i t to BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ng TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM hi ep w n lo ad ju y th yi pl al n ua ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG n va ll fu CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN oi m at nh z z k om l.c gm Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình tuấn jm ht vb Mã số: CS – 2013 - 37 an Lu n va ey t re th Tp Hồ Chí Minh 12 – 2013 MƯC LƯC t to MƯC LÖC .1 ng hi Ch÷ìng mð ¦u .3 ep Lỵ chồn · t i .3 w Mưc ti¶u v kát quÊ nghiản cựu n lo Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu ad Kát cĐu cừa · t i y th ju Ch÷ìng 1: Mởt số cổng cử giÊi tẵch Lipschitz a phữỡng khổng trỡn v cĂc khĂi niằm và cĂc têp tiáp xóc c§p mët v c§p hai yi pl Ch÷ìng 2: Kh¡i niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng ua al n Chữỡng 3: KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng 11 va n Chữỡng 4: CĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like .15 fu ll Ch÷ìng 5: C¡c i·u ki»n tối ữu ừ cĐp hai 25 m oi Kát luên v hữợng nghi¶n cùu mð rëng · t i .28 nh at T i li»u tham kh£o 29 z z C¡c b i b¡o khoa håc liản quan trỹc tiáp án à ti nghiản cựu .31 ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re Chữỡng m Ưu t to ng Lỵ chồn à ti hi ep Trong quy hoÔch toĂn hồc, v têng qu¡t hìn tèi ÷u hâa, c¡c i·u kiằn tối ữu cĐp hai chiám mởt v trẵ quan trồng, vẳ nõ cung cĐp thổng tin thảm quan cho cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp mởt Ăp ựng cho sỹ phƠn loÔi ựng dửng thỹc tá, cĂc b i to¡n tèi ÷u ÷đc xem x²t, v â cĂc cổng cử v k thuêt nghiản cựu, ngy cng tr nản phực tÔp hỡn Tuy nhiản cõ th nhên thĐy rơng, a số cĂc kát quÊ nghiản cựu liản quan  cõ, nởi dung chẵnh cừa cĂc kát quÊ và iÃu kiằn tối ữu cĐp hai câ thº ÷đc kh¯ng ành mët c¡ch t÷ìng tü nh÷ kát quÊ cờ in l Ôo hm cĐp hai cõa c¡c h m mưc ti¶u (ho°c c¡c h m Lagrange cĂc bi toĂn cõ rng buởc) tÔi cĂc im cỹc tiu l khổng Ơm Kawasaki [17] l nh nghiản cựu Ưu tiản cho thĐy rơng cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai cừa hm Lagrange cõ th Ơm tÔi cĂc im cỹc tiu, náu Ôo hm theo hữợng cừa hm kát hủp bi hm mửc tiảu v cĂc rng buởc nơm trản phƯn c biằt cừa biản cừa nõn hủp Ơm tẵch cĂc khổng gian Ênh ặng Đy gồi hiằn tữủng ny l hiằn tữủng envelope-like CĂc kát quÊ cừa Kawasaki  ữủc nhiÃu nh nghiản cựu phĂt trin [6, 8, 25, 26], luæn luæn xem x²t c¡c bi toĂn quy hoÔch vổ hữợng thuởc lợp C , giống nhữ [17] Trong quy hoÔch a muc tiảu, cĂc kát quÊ Ưu tiản thuởc kiu ny ữủc nghiản cựu [14, 15] cụng xt cho cĂc trữớng hủp trỡn ối vợi quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn, Gutirrez-Jimnez-Novo [13]  dũng cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai Dini v parabolic a tr thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like Hå xem x²t c¡c h m kh£ vi Fr²chet m Ôo hm cừa nõ l liản tửc hoc ờn nh tÔi im nghiản cựu Tuy nhiản, văn cỏn nhiÃu tĂc giÊ chữa nhên hiằn tữủng envelope-like nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai iÃu ny cõ th dăn án mởt số sai lƯm khổng biát Hỡn núa, c¡c b i b¡o nâi tr¶n, ỉi khỉng xĂc nh ữủc no thẳ hiằn tữủng envelop-like xÊy v no thẳ khổng CĂc quan sĂt trản Ơy l nguỗn cÊm hựng cho mửc ẵch nghiản cựu Ưu tiản cừa chúng tổi à ti nghiản cựu n y l l m rã hi»n t÷đng envelope-like c¡c i·u kiằn tối ữu cĐp hai Mt khĂc, mởt cĂch tiáp cên chẵnh cho tối ữu khổng trỡn l à xuĐt v Ăp dửng cĂc Ôo hm suy rởng thẵch hủp thay thá Ôo hm GƠteaux v Frchet cờ in khổng tỗn tÔi thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu NhiÃu loÔi Ôo hm  ữủc dũng, mội loÔi Ãu cõ thuên lủi riảng mởt số tẵnh cử th khổng thuên lủi cho tĐt cÊ cĂc trữớng hủp GƯn Ơy, cĂc Ôo hm a tr cho hm vectỡ ỡn tr  ữủc sỷ dửng hiằu quÊ cung cĐp cĂc quy tưc nhƠn tỷ cĂc quy hoÔch khổng trỡn, xem [5, 10, 11, 13, 19, 23] (nh÷ng [5, 10, 11, 19, 23], hi»n t÷đng envelope-like khổng xÊy ra) CĂc quan sĂt ny l nguỗn cÊm hựng tiáp theo cho mửc ẵch nghiản cựu thự hai cõa chóng tỉi · t i nghi¶n cùu n y l Ăp dửng Ôo hm theo hữợng cĐp hai Hadamard (  ữủc à xuĐt [19]) vợi tẵnh chĐt l-ờn nh (  ữủc nghiản cựu [2, 3, 4, 12]) Ôt ữủc cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi cÊi thiằn v m rởng cĂc kát quÊ nghiản cựu gƯn Ơy Vẳ giĂ tr cừa Ôo hm theo hữợng cĐp hai Hadamard tÔi mởt im thẳ lợn hỡn giĂ tr cừa cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai Dini v parabolic, c¡c i·u ki»n c¦n cõa chóng tổi mÔnh hỡn cĂc iÃu kiằn cƯn [13] Hỡn núa, chóng tỉi nỵi läng w n lo ad ju y th yi pl n ua al n va ll fu oi m at nh z z ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re cĂc giÊ thiát chẵnh t [13]: thay thá lƯn lữủt tẵnh khÊ vi liản tửc v ờn nh bi tẵnh khÊ vi cht v l-ờn nh t to Mửc tiảu v kát qu£ nghi¶n cùu ng hi Chóng tỉi xem x²t b i toĂn quy hoÔch a mửc tiảu sau Ơy Cho cĂc h m f : Rn → Rm , g : Rn → Rp v h : Rn → Rr Cho C l nõn lỗi õng Rm v K l têp lỗi Rp Bi toĂn dữợi sỹ xem x²t cõa chóng tỉi l ep (P) f (x), cho g(x) ∈ −K , h(x) = w Náu K = Rn+ , thẳ rng buởc g(x) ∈ −K trð th nh r ng bc b§t ¯ng thùc thỉng thữớng Chúng tổi dũng cĂc Ôo hm theo hữợng a tr Hadamard v Dini dữợi giÊ thiát khÊ vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn) hay l-ờn nh (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ) thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi vợi tẵnh chĐt envelope-like ữủc lm ró hỡn cho bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn (P) Cử th, à ti thỹc hiằn cĂc mửc tiảu nghiản cựu sau Ơy n lo ad ju y th yi pl + Kh¡i niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng al + KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng n ua + CĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like cho cĂc nghiằm yáu a phữỡng cừa (P) va n + CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai cho cĂc nghi»m chc chn àa ph÷ìng cõa (P) ll fu C¡c k¸t qu£ cõa · t i ho n thi»n c¡c k¸t qu£  cõ lắnh vỹc nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu cĂc bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn CĂc kát quÊ nghiản cựu ny  ữủc tĂc giÊ v GS.TSKH Phan Quốc KhĂnh, trữớng Ôi hồc Quốc tá, Ôi hồc Quốc gia Tp HCM cổng bố trản mởt tÔp chẵ khoa hồc quốc tá h» thèng ISI oi m at nh z Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu z ht vb · t i nghi¶n cùu dũng cĂc cổng cử v k thuêt giÊi tẵch khỉng trìn, gi£i t½ch a trà v gi£i t½ch h m k jm Kát cĐu cừa à ti gm à ti bao gỗm chữỡng ã Chữỡng m Ưu: Lỵ thỹc hiằn à ti, mửc tiảu v kát quÊ nghiản cựu cừa à ti om l.c ã Chữỡng 1: Mët sè cỉng cư gi£i t½ch Lipschitz àa phữỡng khổng trỡn v cĂc khĂi niằm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai y te re ã Chữỡng 5: CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai n ã Chữỡng 4: CĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like va ã Chữỡng 3: KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng n a Lu ã Chữỡng 2: KhĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng t to Ch÷ìng 1: Mët sè cỉng cư giÊi tẵch Lipschitz a phữỡng khổng trỡn v cĂc khĂi niằm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai ng hi ep N v R lƯn lữủt l cĂc têp hủp cĂc số tỹ nhiản v số thỹc Vợi khổng gian nh chuân X , X l ối ngău topo cừa of X ; h., i l tẵch ối ngău k.k l chuân khổng gian nh chuân bĐt ký v d(y, S) l khoÊng cĂch tứ im y án têp S Bn (x, r) = {y ∈ Rn : kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn : kyk = 1}; Sn∗ = {y ∈ (Rn )∗ : kyk = 1}; L(X, Y ) l kỵ hiằu khổng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh b chn tứ X vo Y , â X v Y l c¡c khỉng gian ành chu©n Vợi nõn C Rn , kỵ hiằu C = {c∗ ∈ (Rn )∗ : hc∗ , ci ≥ 0, ∀c ∈ C} l nân èi cüc cõa C Vợi A Rn , cĂc kỵ hiằu riA, intA, clA, bdA, convA, coneA v LinA lƯn lữủt l phƯn tữỡng ối, phƯn trong, bao õng, biản, bao lỗi, bao nõn cừa A v khổng gian tuyán tẵnh sinh bði A Vỵi t > v r ∈ N, o(tr ) l kỵ hiằu cừa mởt im phử thuëc v o t cho o(tr )/tr → t → 0+ w n lo ad ju y th yi pl n ua al Chúng ta hÂy nhợ lÔi mởt số nh nghắa sau Ơy nh xÔ f : Rn → X , â X l khæng gian gian nh chuân, ữủc gồi l khÊ vi cht tÔi x Rn náu nõ cõ Ôo hm Frchet f (x) tÔi x v limyx,t0+ suphSn k (f (y + th) − f (y)) − f (x)hk = t Vợi hm Lipschitz a phữỡng f : Rn → Rm , Jacobian suy rëng Clarke cõa f tÔi x ữủc nh nghắa bi n va ll fu oi m nh ∂f (x) = conv{limf (xk ) : xk ∈ Ω, xk → x}, at õ f khÊ vi , vợi l têp trũ mêt bi nh lỵ Rademacher Mởt vi tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa Jacobian suy rởng Clarke ữủc liằt kả m»nh · sau ¥y z z n → Rm l hm Lipschitz a phữỡng tÔi x Khi õ, jm (i) f (x) l têp compôc lỗi khĂc rộng L(Rn , Rm ); ht vb M»nh · 1.1 ([7]) Cho f : R k (ii) ∂f (x) l tªp mët iºm n¸u v ch¿ n¸u f l kh£ vi cht tÔi x: f (x) = {f (x)}; gm (iii) ∂f (x) = {limk→∞ vk : vk ∈ ∂f (xk ), xk → x}, nâi c¡ch kh¡c (v¼ f (x) l compôc), Ănh xÔ f (.) l nỳa liản tửc trản tÔi x; om l.c (iv) ( nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Lebourg) náu f l Lipschitz a phữỡng mởt lƠn cên lỗi U cừa x v a, b ∈ U , th¼ n v M ⊂ Rn (a) Nõn contingent cừa M tÔi x0 l y te re ành ngh¾a 1.2 Cho x , u R n Giớ Ơy, ta nhưc lÔi cĂc khĂi niằm và cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai s ữủc sỷ dửng phƯn sau va f (b) − f (a) ∈ ∂f (c)(b a) n v m = 1, tỗn tÔi mët iºm c ∈ (a, b) cho a Lu f (b) − f (a) ∈ conv(∂f ([a, b])(b − a)) T (M, x0 ) = {v ∈ Rn : ∃tk → 0+ , ∃vk → v, ∀k ∈ N, x0 + tk vk ∈ M } (b) Nân ti¸p xúc cừa M tÔi x0 l IT (M, x0 ) = {v ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∀vk → v, ∀k õ lỵn, x0 + tk vk M } t to (c) Têp contingent cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l ng hi T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∃tk → 0+ , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tk u + 12 t2k wk ∈ M } ep (d) Nõn tiáp xúc cĐp hai tiằm cên cừa M tÔi (x0 , u) l 00 T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∃(tk , rk ) → (0+ , 0+ ) : tk /rk → 0, ∃wk → w, w ∀k ∈ N, x0 + tk u + 12 tk rk wk ∈ M } n lo (e) Têp kà cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l ad A2 (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tk u + 21 t2k wk ∈ M } y th (f) Têp tiáp xúc cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l ju IT (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∀wk → w, ∀k õ lỵn, yi x0 + tk u + 12 t2k wk ∈ M } pl al Mằnh à sau Ơy tõm tưt mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp hai trản ua M»nh · 1.3 Cho M ⊂ R , x n n ∈ Rn v u ∈ Rn Khi â, va (i) IT (M, x0 , u) ⊂ A2 (M, x0 , u) ⊂ T (M, x0 , u) ⊂ clcone[cone(M − x0 ) − u]; n (ii) náu u T (M, x0 ), thẳ T (M, x0 , u) = ∅ fu ll Náu, thảm nỳa, M l lỗi, intM 6= v u ∈ T (M, x0 ), th¼ (xem [15, 24, 28]) oi m (iii) intcone(M − x0 ) = IT (intM, x0 ); nh (iv) n¸u A2 (M, x0 , u) 6= ∅, th¼ at IT (M, x0 , u) = intA2 (M, x0 , u), clIT (M, x0 , u) = A2 (M, x0 , u); z (v) náu u cone(M x0 ), thẳ ht vb (b) A2 (M, x0 , u) = clcone[cone(M − x0 ) − u] z (a) IT (M, x0 , u) = intcone[cone(M − x0 ) − u]; k jm om l.c gm n a Lu n va y te re t to Ch÷ìng 2: Kh¡i ni»m hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng ng hi ep Hm h : Rn Rm ữủc gồi l ờn nh tÔi x Rn náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U , kh(y) − h(x)k ≤ ϑky − xk w ành ngh¾a 2.1 ([2, 12]) n lo (i) Ôo hm theo hữợng dữợi (tữỡng ựng, trản) cừa hm : Rn R tÔi x theo hữợng ad u ữủc nh nghắa bi ju y th ϕl (x, u) = lim inf t→0+ (ϕ(x + tu) − ϕ(x)) t (t÷ìng ùng, ϕu (x, u) = lim supt→0+ (ϕ(x + tu) − ϕ(x))) t (ii) H m ϕ ÷đc gåi l l-ên ành (t÷ìng ùng, u-ên ành) tÔi x náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U v u ∈ Sn , yi pl ua al (2.1) n |ϕl (y, u)−ϕl (x, u)| ≤ ϑky −xk va (2.2) n (t÷ìng ùng, |ϕu (y, u) − ϕu (x, u)| ≤ ϑky − xk) fu Mët sè tẵnh chĐt cừa hm l-ờn nh : R R ÷đc tâm tt m»nh · sau ll M»nh · 2.2 n oi m nh (i) ([2, 4]) H m l-ên ành l Lipschitz àa ph÷ìng v kh£ vi ch°t at (ii) ([12]) l l-ờn nh tÔi x náu v ch náu l khÊ vi (Frchet) tÔi x v tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x cho l Lipschitz trản U , v tỗn tÔi ϑ > cho z 0 z kϕ (y) (x)k ky xk hƯu hát U (theo ngh¾a ë o Lebesgue) vb ht (iii) ([12]) C¡c kh¡i ni»m l-ên ành v u-ên ành l tữỡng ữỡng; hỡn nỳa lƠn cên U v hơng số ữủc Ăp dửng giống cĂc bĐt ng thùc (2.1) ho°c (2.2) jm k Bði M»nh · 2.2 (iii), phƯn sau ta ch sỷ dửng Ôo hm theo hữợng dữợi v l-ờn nh, cỏn Ôo hm theo hữợng trản v u-ờn nh ữủc nhưc án cƯn thiát l.c gm KhĂi niằm l-ờn nh ữủc m rëng cho c¡c h m vectì nh÷ sau ∗ m ∗ y te re n → Rm li¶n tưc tr¶n mởt têp m U Rn chựa oÔn [a, b] v (Rm ) Khi õ, tỗn tÔi cĂc im , (a, b) cho n va M»nh · 2.4 ([3]) Cho h m Φ : R n Φlξ∗ (x, u) = lim inf t→0+ hξ ∗ , Φ(x + tu) − Φ(x)i t (t÷ìng ùng, Φuξ∗ (x, u) = lim supt→0+ hξ , (x + tu) (x)i) t Tẵnh chĐt giĂ tr trung bẳnh sau Ơy cho cĂc hm vectỡ liản tửc s cƯn án Rm a Lu tÔi x theo hữợng u ối vợi (R ) ữủc nh nghắa bi n om nh nghắa 2.3 ([3]) Ôo hm theo hữợng dữợi (tữỡng ựng, trản) cừa hm Φ : R Φlξ∗ (γ1 , b − a) ≤ hξ ∗ , Φ(b) − Φ(a)i ≤ Φlξ∗ (γ2 , b − a) ành ngh¾a 2.5 Cho h m Φ : R n ∗ → Rm v Γ = C ∗ ∩ Sm t to (i) ([3]) Gi£ sû C Rm l nõn lỗi, õng v nhồn vợi intC 6= ữủc gồi l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U , u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ Γ, ng hi ep |Φlξ∗ (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk (ii) ([12]) ữủc gồi l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu, vợi mồi (R ) , hm vổ hữợng (.) := h , (.)i l l-ờn nh tÔi x m w n Hin nhiản, náu hm vổ hữợng hay vectỡ f cõ Ôo hm Frchet f l ờn nh, thẳ f l l-ên ành lo ad M»nh · 2.6 ju y th Mởt vi tẵnh chĐt cừa cĂc hm vectỡ l-ờn nh ữủc têp hủp dữợi Ơy (xem [3, 12]) yi (i) ([12]) Φ : Rn → Rm l l-ên nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu v ch náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U , u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ (Rm )∗ , pl al ua |Φlξ∗ (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑkξ ∗ kky − xk n (ii) ([12]) : Rn Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu v ch náu nõ khÊ vi Frchet tÔi x v tỗn tÔi mởt lƠn cªn mð U cõa x v ϑ > cho l Lipschitz trản U , v, vợi hƯu h¸t y ∈ U , n va fu 0 ll kΦ (y) − Φ (x)k ≤ ϑky − xk m oi (iii) ([3, 12]) N¸u h m Φ : Rn Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor hoc Ginchev, thẳ l Lipschitz a phữỡng tÔi x v khÊ vi cht tÔi x nh at Sau Ơy, ta chựng minh rơng hai nh nghắa trản và l-ên ành cho c¡c h m vectì l t÷ìng ÷ìng z z M»nh · 2.7 N¸u Φ : R → Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev, thẳ bĐt ng thực nh nghắa và l-ờn nh cừa Bednarẵk-Pastor thọa mÂn Náu C l nhồn v intC 6= , thẳ hai nh nghắa trản l tữỡng ữỡng ht vb n jm k Chùng minh Tø M»nh · 2.6 (i), ta suy r¬ng Φ l l-ên nh tÔi x theo nghắa gm om |l (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk l.c cừa Ginchev náu v ch náu tỗn tÔi mởt lƠn cªn U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi ∗ y ∈ U, u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ Sm , y te re n Cho M = maxi,j |αi,j | v Φi l thnh phƯn thự i cừa Vẳ l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor, ta thĐy r¬ng Φle∗i (x, u) = Φue∗i (x, u) = he∗i , (x)ui Vợi mồi va Ngữủc lÔi, giÊ sỷ C l nhån, intC 6= ∅ v b§t ¯ng thùc trản thọa mÂn cho Vẳ Lin = (Rm ) , vợi mồi i {1, 2, , m}, tỗn tÔi i,1 , ,i,r Γ v αi,1 , , αi,ri ∈ R i P ri ∗ ∗ ∗ m ∗ with ri = 1, , m cho ei = j=1 αi,j ξi,j , õ ei (R ) ữủc nh nghắa bi he∗i , xi = xi , vỵi x = (x1 , x2 , , xm ) n a Lu ∗ Vẳ thá, bĐt ng thực ny thọa mÂn cho Sm nhữ yảu cƯu nh nghắa cừa Bednarẵk-Pastor y U, u Sn , v i ∈ {1, 2, , m}, ta câ Φli (y, u) − Φli (x, u) = Φle∗i (y, u) − Φle∗i (x, u) t to ng hi ep = lim inf t→0+ he∗i , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pri ∗ , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui = lim inf t→0+ j=1 αi,j hξi,j t Pri l l ≥ − j=1 |αi,j ||Φξi,j ∗ (y, u) − Φξ ∗ (x, u)| ≥ −ϑ1 ky − xk, i,j â ϑ1 = mM ϑ Hìn núa, bði sü t÷ìng ÷ìng cõa c¡c kh¡i ni»m l-ên ành v u-ên ành, ta câ w n lo Φli (y, u) − Φli (x, u) ≤ Φue∗i (y, u) − Φue∗i (x, u) ad ju y th = lim supt→0+ he∗i , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pri ∗ = lim supt→0+ j=1 αi,j hξi,j , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pi u ≤ rj=1 |αi,j ||Φuξi,j ∗ (y, u) − Φξ ∗ (x, u)| ≤ ϑ1 ky − xk i,j yi pl n ua al Hai b§t ¯ng thực Ôt ữủc trản chựng tọ rơng i l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev vợi mồi i = 1, , m Do â, h m vectì Φ l l-ờn nh tÔi x n va Bi mằnh à trản, tứ Ơy và sau ta ch quan tƠm án kh¡i ni»m l-ên ành theo ngh¾a cõa Ginchev ll fu oi m at nh z z ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re t to ng hi ep w n lo ad ju y th yi pl n ua al n va ll fu oi m at nh z z ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re 10 Bơng lêp luên tữỡng tỹ, ta Ôt ữủc g(x0 + tk uk + 21 t2k w) − g(x0 ) − tk g (x0 )u → z0 + g (x0 )w, tk /2 t to ng h(x0 + tk uk + 21 t2k w) − h(x0 ) − tk h (x0 )u → w0 + h (x0 )w = tk /2 hi ep V¼ h(x0 ) = v h (x0 )u = 0, tø giợi hÔn sau cũng, ta suy rơng h(x0 + tk uk + 12 t2k w) → t2k /2 w n lo Bi giÊ thiát dữợi chẵnh quy metric, vợi k lợn, tỗn tÔi yk H cho ad kx0 + tk uk + 21 t2k w − yk k ≤ µkh(x0 + tk uk + 21 t2k w)k + o(t2k ), ju y th v v¼ th¸ (x0 + tk uk + 21 t2k w − yk )/ 12 t2k → °t wk := (yk − x0 − tk uk )/ 12 t2k , ta ÷đc wk → w v yi pl x0 +tk uk + 12 t2k wk ∈ H (4.2) ua al Mt khĂc, bi (4.1) v tẵnh chĐt Lipschitz cừa f v g , n f (x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u 0 → y0 + f (x0 )w ∈ −intcone[C + f (x0 )u], tk /2 (4.3) n va fu ll g(x0 + tk uk + 21 t2k wk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u 0 → z0 +g (x0 )w ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u).(4.4) t2k /2 oi m 0 at nh V¼ IT (−intC, f (x0 )u) = −intcone(C + f (x0 )u) (bi Mằnh à 1.3 (iii)), (4.3) dăn án, vợi k lỵn, z f (x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u f (x0 )u + tk ∈ −intC , t2k /2 z vb ht v â jm (4.5) k f (x0 +tk uk + 12 t2k wk )−f (x0 ) ∈ −intC gm Mët cĂch tữỡng tỹ, bi (4.4) v nh nghắa cừa IT , vỵi k õ lỵn ta câ g(x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u g(x0 ) + tk g (x0 )u + t2k ∈ −K t2k /2 om l.c (4.6) y 17 te re f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u → f (x0 )w tk rk /2 n 00 (iii) Vỵi w ∈ T (M, x0 , u), tỗn tÔi (tk , rk ) (0+ , 0+ ) : tk /rk → 0, v xk ∈ M cho wk := (xk − x0 − tk u)/ 12 tk rk → w Bði M»nh · 3.4 (iii), ta câ va C¡c cæng thùc (4.2), (4.5) v (4.6) mƠu thuăn vợi giÊ thiát và x0 n g(x0 + tk uk + 12 t2k wk ) ∈ −K a Lu Do â, 0 N¸u f (x0 )w ∈ −intcone[C + f (x0 )u], thẳ, vợi k ừ lợn, f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u ∈ −intC , f (x0 )u + rk tk rk /2 t to i·u n y suy r¬ng f (xk ) − f (x0 ) ∈ −intC : m¥u thuăn ng hi ep Lữu ỵ rơng kát luên cừa nh lỵ 4.2 nõi và tĐt cÊ cĂc im thuởc têp D2 (f, g, h)(x0 , u) lợn hỡn têp d2 (f, g, h)(x0 , u) ữủc dũng nh lỵ 4.2 cừa [13], vẳ thá kát quÊ cừa chúng tổi mÔnh hỡn Hỡn nỳa, nh lỵ 4.2 m rëng c¡c M»nh · 3.5 cõa [5] v 4.1 cõa [19], m ch¿ x²t tr÷íng hđp h = v g (x0 )u ∈ −K(g(x0 )) w º Ôt ữủc tứ nh lỵ 4.2 mởt dÔng ối ngău theo cĂc nhƠn tỷ Lagrange, ta kỵ hiằu têp hủp c¡c nh¥n tû Fritz John bði n lo ad Λ(x0 ) := {(c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ (Rm )∗ × (Rp )∗ × (Rr )∗ : (c∗ , k ∗ , h∗ ) 6= (0, 0, 0), c∗ ◦ f (x0 )+ 0 y th k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = 0, c∗ ∈ C ∗ , k ∗ ∈ N (−K, g(x0 ))} ju Ta c¦n ành lỵ tĂch sau Ơy yi Bờ à 4.3 ([27], nh lỵ 20.2) Cho C , C Rn l cĂc têp lỗi cho C1 l a diằn Khi õ, tỗn tÔi mởt siảu phng tĂch riảng C1 v C2 v khỉng chùa C2 n¸u v ch¿ n¸u C1 ∩ riC2 = ∅ pl ua al n ành lỵ 4.4 Cho intC and intK khĂc rộng v cĂc giÊ thiát (vợi (i), (ii) v (iii)) cừa va n nh lỵ 4.2 thọa mÂn, v x0 l nghiằm yáu àa ph÷ìng cõa (P) Khi â, ll fu (i) tỗn tÔi (c , k , h ) Λ(x0 ) cho (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0); oi m (ii) vỵi måi u ∈ Rn vợi (f, g, h) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C × K(g(x0 )))] × {0}, v (y0 , z0 , w0 ) ∈ D2 (f, g, h)(x0 , u), tỗn tÔi (c , k , h ) ∈ Λ(x0 ) cho at nh hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk , ki, z v náu, thảm nỳa, z ã h = 0, th¼ (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0); (TRu ) ht vb • i·u kiằn chẵnh quy cĐp hai jm (g, h) (x0 )Rn − T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) × {0} = Rp ì Rr , k thọa, thẳ c 6= 0; gm 00 (iii) n¸u w ∈ T (M, x0 , u), thẳ tỗn tÔi c C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = cho l.c hc∗ , f (x0 )wi ≥ 0 om Chùng minh (i) Bði ành lỵ 4.2 (i), Ăp dửng Bờ à 4.3 vợi C1 = (f, g, h) (x0 )Rn v (4.8) n va hc∗ , ci + hk ∗ , ki ≤ α n a Lu C2 = −int[C ×K(g(x0 ))]×{0}, ta câ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ (Rm )∗ ×(Rp )∗ ×(Rr )∗ vỵi (c∗ , k ∗ , h∗ ) 6= (0, 0, 0) v α ∈ R cho, ∀(y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , ∀(c, k) ∈ −(C × K(g(x0 ))), hc∗ , yi+hk ∗ , zi+hh∗ , ti ≥ α, (4.7) H := {(y, z, t) ∈ Rm × Rp × Rr ) : hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti = α} 18 y khỉng chùa C2 V¼ (f, g, h) (x0 )Rn v C × K(g(x0 )) l c¡c nân, α = Khi â (4.7) suy 0 r¬ng c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = Cho k = (4.8) ta Ôt ữủc te re v si¶u ph¯ng c∗ ∈ C ∗ °t c = (4.8) ta câ k ∗ K(g(x0 )) = N (K, g(x0 )) Vẳ siảu ph¯ng H khæng chùa C2 , (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0) t to ng hi ep (ii) Gi£ sû A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) 6= (náu khổng, kát quÊ l tƯm thữớng) Theo nh lỵ 4.2 (ii), Ăp dửng Bờ à 4.3 vỵi C1 = (f, g, h) (x0 )Rn +(y0 , z0 , w0 ) v C2 = −intcone[C + 0 f (x0 )u] × IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u) ì {0}, ta Ôt ữủc (c , k ∗ , h∗ ) ∈ (Rm )∗ × (Rp ) ì (Rr ) vợi (c , k , h∗ ) 6= (0, 0, 0) v α ∈ R cho, vỵi måi (y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , w ∈ 0 −intcone[C + f (x0 )u] v k ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u), (4.9) hc∗ , wi+hk ∗ , ki ≤ α (4.10) w hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti + hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ α, n lo v siảu phng H ữủc nh nghắa nhữ trản khổng chùa C2 V¼ (f, g, h) (x0 )Rn l khỉng gian con, tø (4.9) ta câ, vỵi måi (y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , ad y th hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti = 0, 0 ju v vẳ thá c f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = v yi (4.11) pl hc∗ , y0 i+hk ∗ , z0 i+hh∗ , w0 i ≥ α n ua al V¼ −intcone[C +f (x0 )u] l nân, (4.10) suy r¬ng hc∗ , wi ≤ 0, vỵi måi w ∈ −intcone[C + 0 f (x0 )u], m suy r¬ng c∗ ∈ C ∗ v hc∗ , f (x0 )ui = Cho w hëi tư ¸n gèc (4.10), ta câ hk ∗ , ki ≤ α, vỵi måi k ∈ IT (K, g(x0 ), g (x0 )u), v nhữ thá, vỵi måi k ∈ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) (xem M»nh · 1.3 (iv)) n va fu iÃu ny vợi (4.11) suy rơng ll hc , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk , ki m oi thĐy rơng (c , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) nh÷ yảu cƯu, ta quan sĂt tứ Mằnh à 3.1 [8], nh 0 0 at A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) + T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) ⊂ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) z Do â, hk ∗ , k+k1 i ≤ α, vỵi k ∈ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) v k1 ∈ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) V¼ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) l nân, tø cæng thùc (2.110) [6] suy r¬ng z vb 0 ht k ∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u)]∗ = {k ∗ ∈ N (−K, g(x0 )) : hk ∗ , g (x0 )ui = 0} (4.12) k jm B¥y gií, gi£ sû h = N¸u (c∗ , k ∗ ) = (0, 0), th¼ bði (4.9) v (4.10), α = v â si¶u ph¯ng H chùa C2 : mƠu thuăn gm l.c GiÊ sỷ iÃu kiằn (TRu ) thọa mÂn, tực l, vợi mồi (y, z) Rp ì Rr , tỗn tÔi x ∈ Rn v 0 k ∈ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) cho (g, h) (x0 )x − (k, 0) = (y, z) Do â, om h(k ∗ , h∗ ), (y, z)i = hk ∗ , g (x0 )xi + hh∗ , h (x0 )xi hk , ki (i) têp sau Ơy khĂc rộng: 19 l nghiằm yáu y a phữỡng cừa (P) Khi â, te re H» qu£ 4.5 Cho cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 4.4 thọa mÂn, h = 0, v x n Sau ¥y l h» qu£ trỹc tiáp cừa nh lỵ 4.4 h = va n (iii) i·u n y suy tø ành lỵ 4.2 (iii) v nh lỵ tĂch thổng thữớng a Lu Náu c = 0, thẳ vá phÊi cừa ng thực trản bơng hk , ki, vẳ (c , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) Bði (4.12) hk ∗ , ki ≤ V¼ (y, z) l tũy ỵ, (k , h ) = (0, 0): mƠu thuăn 0 (x0 ) := {(c , k ∗ ) ∈ (Rm )∗ × (Rp )∗ : (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0), c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) = 0, c∗ ∈ C ∗ , k ∗ ∈ N (−K, g(x0 ))}; t to (ii) vỵi måi u ∈ Rn vỵi (f, g) (x0 )u ∈ −[C×clK(g(x0 ))\ int(C × K(g(x0 )))] v (y0 , z0 ) D2 (f, g)(x0 , u), tỗn tÔi (c , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ) cho ng hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki, hi ep v c 6= náu, thảm nỳa, iÃu kiằn chẵnh quy sau Ơy thọa (TR1u ) g (x0 )Rn − T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) = Rp ; 00 w (iii) náu w T (M, x0 , u), thẳ tỗn tÔi c C \ {0} vợi hc , f (x0 )ui = cho ∗ hc , f (x0 )wi ≥ n lo L÷u þ (i) Kh¯ng ành (iii) c¡c ành lþ 4.2 v 4.4 (v H» qu£ 4.5) óng cho ad ju y th cĂc hm g v h tũy ỵ Hỡn nỳa, náu ta t thảm giÊ thiát trản (g, h) nhữ sau: (g, h) l l-ờn nh tÔi x0 v dữợi chẵnh quy metric theo hữợng tÔi (x0 , u) ối vợi K ì {0}, thẳ khng nh (iii) tr nản mÔnh hỡn v ữủc diạn tÊ theo g v h nhữ sau: náu g (x0 )w 00 0 T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) v h (x0 )w = 0, thẳ tỗn tÔi c∗ ∈ C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = 0 cho hc∗ , f (x0 )wi ≥ Thªt vªy, ¡p dưng M»nh · 4.6 dữợi Ơy vợi (g, h) thay vẳ g v K ì {0} thay vẳ K , vợi M = (g, h)−1 (−K × {0}) = G ∩ H v bði ành ngh¾a cõa 00 T , ta câ yi pl n ua al 00 00 0 va T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : (g, h) (x0 )w ∈ T (−K × {0}, (g, h)(x0 ), (g, h) (x0 )u)} 00 0 n = {w ∈ Rn : g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), h (x0 )w = 0} fu ll (ii) Mc dũ ta  biát biu thực sau Ơy xuĐt hiằn nh lỵ 4.4 l khỉng d÷ìng: m (4.13) oi supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki ≤ 0, at nh ta muèn ữa lới giÊi thẵch ỡn giÊn vẳ tƯm quan trång cõa nâ Bði M»nh · 1.3 (i), ta câ 0 z A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) ⊂ clcone[cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u] z ht vb M°c kh¡c (xem ph¦n cuèi cõa ph²p chùng minh nh lỵ 4.4 (ii) v Mằnh à 2.5 (ii) [15]), jm k ∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u)]∗ = −[clcone(cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u)]∗ k om l.c gm iÃu ny dăn án (4.13) Cổng thực ny phÊn Ănh hiằn tữủng envelop-like, bi vẳ nõ cõ th thọa mÂn nhữ l bĐt ng thực cht Supremum (4.13) triằt tiảu (v giống trữớng hủp cờ in) náu ∈ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) °c bi»t, i·u n y x£y n¸u ta x²t c¡c i·u kiằn cƯn cĐp hai ch cho hữợng u Rn vỵi g (x0 )u ∈ cone(−K − g(x0 )) = −K(g(x0 )) (xem M»nh · 1.3 (v) (b)), nh÷ nhi·u tĂc giÊ thỹc hiằn Tuy nhiản, nh lỵ 4.4 xt hữợng u vợi g (x0 )u clcone(K g(x0 )) = clK(g(x0 )) Nghắa l, hiằn tữủng envelop-like x£y cho c¡c iºm u lê hêng bao õng dữớng nhữ nhọ ny Chúng ta nhĐn mÔnh rơng khổng cõ hiằn tữủng envelop-like xÊy cho g (x0 )u ∈ −K(g(x0 )), c£ iºm n y nơm trản biản n y te re 20 va Hằ quÊ 4.5 m rởng nh lỵ 4.1 cừa [19] v nh lỵ 3.1 cừa [5], xt thảm cĂc im u lê hêng nâi tr¶n v x£y hi»n tữủng Hỡn nỳa, náu h = (h1 , , hr ) kh£ vi c§p hai n a Lu Hìn núa, náu K l têp a diằn, thẳ K(g(x0 )) l õng, v vẳ thá cụng khổng cõ hiằn tữủng envelop-like xÊy 0 t to tÔi x0 vợi h1 (x0 ), , hr (x0 ) ởc lêp tuyán tẵnh, thẳ iÃu kiằn (MF) thọa mÂn vợi S = {0} v , â, i·u ki»n (DMSRu ) công thäa mÂn Vẳ thá, nh lỵ 4.4 (tữỡng ựng, nh lỵ 4.2) cÊi thiằn Theorem (tữỡng ựng, nh lỵ 1) cừa [13], õ cĂc giÊ thiát giợi hÔn 0 hỡn nhữ sau: f v g liản tửc tÔi x0 , d2 (f, g)(x0 , u) ÷đc dịng, v h = (h1 , , hr ) kh£ vi 0 Frchet cĐp hai tÔi x0 vợi h1 (x0 ), , hr (x0 ) ởc lêp tuyán tẵnh Hỡn nỳa, D2 (f, g, h)(x0 , u) ÷đc dịng c¡c nh lỵ 4.2 v 4.4 lợn hỡn d2 (f, g, h)(x0 , u) [13] ng hi ep K¸t qu£ sau Ơy cho ta mởt c trững cừa nõn tiáp xúc cĐp hai tiằm cên cừa têp chĐp nhên ữủc M = g −1 (−K) w M»nh · 4.6 Cho hm g l l-ờn nh tÔi x dữợi chẵnh quy metric theo hữợng tÔi n (x0 , u) èi vỵi −K Khi â, vỵi M = g −1 (−K) ta câ lo 00 00 ad T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u)} 00 y th Chùng minh Vỵi w ∈ T (M, x0 , u), tỗn tÔi (tk , rk ) → (0+ , 0+ ) : tk /rk → v wk → w ju cho xk := x0 + tk u + 12 tk rk wk ∈ M Bði M»nh · 3.4 (iii), ta câ yi g(xk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u → g (x0 )w tk rk /2 pl 00 al 0 ua V¼ g(xk ) ∈ −K , ta câ g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) 00 n B¥y gií gi£ sû g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) Khi õ, tỗn tÔi (tk , rk ) → (0+ , 0+ ) : 0 tk /rk → v zk → g (x0 )w cho g(x0 ) + tk g (x0 )u + 21 tk rk zk ∈ −K vỵi måi k Bði gi£ thiát và dữợi chẵnh quy metric, vợi k ừ lợn, ta câ tk ∈ (0, ρ) v uk := u+ 12 rk w ∈ Bn (u, ρ) cho n va ll fu oi m d(x0 + tk uk , M ) ≤ µd(g(x0 + tk uk ), −K) 0 nh ≤ µkg(x0 + tk uk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u − 21 tk rk zk k at ≤ µ(kg(x0 + tk uk ) − g(x0 ) − g (x0 )(tk uk )k + k 12 tk rk g (x0 )w − 12 tk rk zk k) z z ≤ µϑktk uk k2 + 12 µtk rk kg (x0 )w − zk k ht vb = 12 µtk rk (2ϑ(tk /rk )kuk k2 + kg (x0 )w − zk k) k jm (bĐt ng thực sau ữủc suy tứ Bờ à 3.2) Vẳ zk g (x0 )w, bĐt ng thực ny 00 dăn án tỗn tÔi xk M cho kx0 + tk uk − xk k/ 21 tk rk → Do â, w ∈ T (M, x0 , u) v¼ xk − x0 − tk u xk − x0 − tk uk wk := = + w → w tk rk /2 tk rk /2 gm (s)ds ữủc nh nghắa cho x R ( v ữủc lĐy tứ [5]) Ta lữu ỵ rơng l hm chđn v lỗi, 21 y te re R |x| n θ(x) = va V¼ khổng giÊm trản [0, +), hm n náu s > 1, ϕ(s) = 1/(q + 1) n¸u 1/(q + 1) < s ≤ 1/q, q ∈ N, náu s = a Lu Vẵ dử 4.1 Cho ϕ : [0, +∞) → R ÷đc ành nghắa bi om l.c Vẵ dử sau Ơy cho thĐy mởt trữớng hủp m nh lỵ 4.4 cõ th Ăp dửng ữủc mởt số kát quÊ gƯn Ơy khổng Ăp dửng ữủc v cõ cĂc Ôo hm phÊi v trĂi, vợi q N, 0 θ+ (1/q) = 1/q , θ− (1/q) = 1/(q + 1) t to Cho C = K = R+ , x0 = (0, 0) v f ,g, h : R2 R ữủc nh nghắa bi x1 + x2 n¸u x1 ≥ 0, f (x1 , x2 ) = θ(x1 ) + x2 n¸u x1 < 0, ng hi ep g(x1 , x2 ) = 12 x21 + x1 + x32 , h(x1 , x2 ) = −x21 − x2 Khi â, g v h l c¡c h m thc lỵp C v ta câ 0 w f (x0 ) = (0, 1), g (x0 ) = (1, 0), h (x0 ) = (0, 1) n Vẳ iÃu kiằn (MF) ối vợi S = {0} thọa mÂn, h l dữợi chẵnh quy metric theo hữợng tÔi (x0 , u) ối vợi têp ny vợi mồi u R2 Têp hủp cĂc nh¥n tû Fritz John cõa (P) l lo ad y th Λ(x0 ) = {(c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ R3 : c∗ = h∗ > 0, k ∗ = 0} ju H m f khæng kh£ vi U \ {x0 }, vợi bĐt cự lƠn cên U cõa x0 Do â, ta khỉng thº dịng ành lỵ cừa [13] yi pl Ta khng nh rơng f l l-ờn nh tÔi x0 Thêt vêy, cho U l mởt lƠn cên cừa x0 , x = (x1 , x2 ) ∈ U , v u = (u1 , u2 ) ∈ S2 N¸u x1 > 0, th¼ al n ua |f l (x, u) − f l (x0 , u)| = |2x1 u1 | ≤ 2kx x0 k va Náu x1 < 0, thẳ n |f l (x, u) − f l (x0 , u)| = |θ± (x1 )u1 | ≤ lims→x±1 ϕ(s) ≤ −x1 ≤ kx − x0 k fu ll N¸u x1 = 0, th¼ |f l (x, u) − f l (x0 , u)| = Nhữ thá, f l l-ờn nh tÔi x0 , vẳ |f l (x, u) − f l (x0 , u)| ≤ 2kx − x0 k vỵi måi x ∈ U v u ∈ S2 oi m nh Chån u = (−1, 0) Khi â at (f, g, h) (x0 )u = (0, −1, 0) ∈ −[C×clK(g(x0 ))\ int(C × K(g(x0 )))] × {0}, z A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = R, D2 (f, g, h)(x0 , u) = {(1 + α, β, −2 − α) : α, β ∈ R} z ht vb ( tẵnh thnh phƯn Ưu tiản cõa D2 (f, g, h)(x0 , u), quan s¡t r¬ng |x| − ln(1 + |x|) ≤ R |x| R |x| ϕ(s)ds ≤ sds = x2 /2.) Vỵi (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ), tùc l , c∗ = h∗ > 0, k ∗ = 0, v 0 (y0 , z0 , w0 ) ∈ D2 (f, g, h)(x0 , u), tùc l , y0 = + α, z0 = β , w0 = −2 − α vỵi α, β ∈ R, ta câ hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i = c∗ (1 + α) + c∗ (−2 − α) = −c∗ < k jm gm Trong vẵ dử sau Ơy, Hằ quÊ 4.5 thuên tiằn hỡn nhiÃu kát quÊ gƯn Ơy y 22 te re õ ữủc nh nghắa Vẵ dử 4.1 (v K v g ữủc lĐy tứ Vẵ dử cừa [13]) Khi â, g l h m thc lỵp C tÔi x0 , v ta cõ n g(x1 , x2 ) = (x1 , + x21 , x2 ), va = R+ , K = {(k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 : k2 k3 ≥ 2k12 , k2 ≤ 0, k3 ≤ 0}, x0 = (0, 0), v f : R2 → R v g : R2 R3 ữủc nh nghắa bi 3x21 + x2 n¸u x1 ≥ 0, f (x1 , x2 ) = θ(x1 ) + x2 n¸u x1 < 0, n a Lu V½ dư 4.2 Cho C om l.c Bði nh lỵ 4.4 (ii), (vẳ khổng cõ hiằn tữủng envelope-like xÊy ra), x0 khổng l nghiằm yáu a phữỡng 0 f (x0 ) = (0, 1), g (x0 ) = 0 0, g(x0 ) = (0, 1, 0) ∈ −K , t to ng hi ep Ró rng K l nõn lỗi õng vợi intK 6= BƠy giớ ta tẵnh K(g(x0 )) = cone(K + g(x0 )) Vỵi (t1 , t2 , t3 ) ∈ K(g(x0 )), (t1 , t2 , t3 ) = α[(k1 , k2 , k3 ) + (0, 1, 0)] ⇔ t1 = αk1 , t2 = α(k2 + 1), t3 = αk3 vỵi α ≥ v (k1 , k2 , k3 ) ∈ K Náu = 0, thẳ w (t1 , t2 , t3 ) = (0, 0, 0) (4.14) n N¸u α > 0, th¼ k1 = t1 /α, k2 = (t2 /α) − 1, k3 = t3 /α Ta câ k2 ≤ ⇔ t2 ≤ α, k3 ≤ ⇔ t3 ≤ 0, k2 k3 ≥ 2k12 ⇔ (t2 − α)t3 ≥ 2t21 lo ad y th ju Ta cõ hai trữớng hủp Náu t3 = 0, thẳ dng thĐy rơng t1 = Vẳ t2 α, ta ÷đc (t1 , t2 , t3 ) = (0, β2 , 0) vỵi β2 ∈ R (4.15) yi pl al Náu t3 < 0, thẳ t2 + (2t21 /t3 ) Vẳ thá (t1 , t2 , t3 ) = (β1 , β2 , β3 ) vỵi β1 , β2 ∈ R, β3 < Tø (4.14) - (4.16), ta Ôt ữủc n ua (4.16) va n K(g(x0 )) = {(k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 : k3 < 0} ∪ {(0, k2 , 0) : k2 ∈ R} ll fu Hìn núa, m T (−K, g(x0 )) = {(k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 : k3 ≥ 0}, N (−K, g(x0 )) = {λ(0, 0, −1) : λ ∈ R}, oi Λ1 (x0 ) = {(c∗ , k ∗ ) ∈ R × R3 : c∗ = α > 0, k ∗ = α(0, 0, −1)} nh at T÷ìng tü Vẵ dử 4.1, ta cõ th chựng minh rơng f l l-ờn nh tÔi x0 v khổng khÊ vi U \ {x0 }, vợi bĐt cự lƠn cên U cõa x0 z z Cho u = (u1 , u2 ) ∈ R2 cho ht vb (f, g) (x0 )u ∈ −[C×clK(g(x0 ))\ int(C × K(g(x0 )))] k jm Khi â, u = (u1 , 0) vỵi u1 ∈ R v g (x0 )u = (u1 , 0, 0) N¸u u 6= 0, tùc l , u1 6= 0, 0 th¼ g (x0 )u 6∈ −K(g(x0 )) Náu u = 0, thẳ g (x0 )u −K(g(x0 )) v D2 (f, g)(x0 , u) = {(β, , 0, ) : , R} Vẳ thá, vỵi måi (y0 , z0 ) ∈ D2 (f, g)(x0 , u), tỗn tÔi (c , k ) = 0 (1, 0, 0, −1) ∈ C ∗ × K(g(x0 ))∗ \ {(0, 0)} cho c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) = v hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i = Do õ, nh lỵ 4.1 cừa [19] v nh lỵ 3.1 cừa [5] khổng th bĂc bä x0 D2 (f, g)(x0 , u) = {(−6 + β, γ, 2, β) : β, γ ∈ R} 23 y Bði H» qu£ 4.5 (ii), x0 khæng l nghiằm yáu a phữỡng cừa bi toĂn (P) te re hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i = α(−6 + β) − αβ = −6α < −4α n v , vỵi (y0 , z0 ) ∈ D2 (f, g)(x0 , u), va supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki = −4α, n Vỵi α > 0, cho (c∗ , k ∗ ) = (α, 0, 0, −α) ∈ Λ1 (x0 ), ta câ a Lu A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = {(k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 : k3 ≥ 4}, om l.c gm M°c kh¡c, chån u = (1, 0), ta cõ Vẵ dử tiáp theo minh hồa viằc ¡p döng kh¯ng ành (iii) cõa H» qu£ 4.5 tr÷íng hđp m kh¯ng ành (ii) khỉng ¡p dưng ÷đc t to V½ dư 4.3 Cho C = R ng hi = {0}, x0 = (0, 0), f nh÷ V½ dư 4.1 v g : R2 → R ữủc nh nghắa bi g(x1 , x2 ) = x31 + x22 Khi õ, f l l-ờn nh tÔi x0 v f (x0 ) = (0, 1) V¼ intK = ∅, H» qu£ 4.5 (ii) khỉng thº ¡p dưng ÷đc Thû kiºm tra kh¯ng ành (iii), ta câ +, K ep M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x31 + x22 = 0}, T (M, x0 ) = {(u1 , u2 ) ∈ R2 : u1 ≤ 0, u2 = 0} 00 Vỵi u = (−1, 0) ∈ T (M, x0 ), T (M, x0 , u) = R2 L§y w = (w1 , w2 ) vỵi w2 < Khi â, 0 vỵi måi c∗ ∈ C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = 0, tùc l , c∗ > 0, ta câ hc∗ , f (x0 )wi = c∗ w < Bði (iii), x0 khỉng l nghi»m y¸u àa phữỡng w n lo ad Lữu ỵ rơng cĂc xĐp x ( ữủc nh nghắa [1, 16]) l cĂc loÔi Ôo hm rĐt tờng quĂt viằc nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu (xem [18, 20, 21]) Vẵ dử sau Ơy chựng tọ rơng Hằ quÊ 4.5 cõ th Ăp dửng ữủc cĂc iÃu kiằn cƯn theo cĂc xĐp x nh lỵ 4.1 cừa [20] khổng Ăp dửng ữủc ju y th yi Vẵ dử 4.4 Cho C = R = R, x0 = 0, v f, g : R R ữủc nh nghắa bi g = v −x2 /2 n¸u x ≥ 0, √ f (x) = x2 /2 − (2/3)x −x n¸u x < 0, pl +, K n ua al n va (f ữủc lĐy tứ Vẵ dử 4.1 cừa [19]) Khi õ, f khÊ vi liản tửc tÔi x0 v f (x0 ) = Tªp hđp c¡c nh¥n tû Fritz John cõa (P) l ll fu Λ1 (x0 ) = {(c∗ , k ∗ ) ∈ R2 : c∗ > 0, k ∗ = 0} oi m Vỵi u = 1, A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = R, D2 (f, g)(x0 , u) = {(−1, 0)}, v vỵi måi (c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ), ta câ nh at hc∗ , −1i + hk ∗ , 0i = −c∗ < supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki = z Bði H» qu£ 4.5 (ii), x0 khæng l nghi»m yáu a phữỡng cừa bi toĂn (P) z BƠy giớ ta thỷ dũng nh lỵ 4.1 cừa [20] Hin nhiản rơng vợi mồi u Rn , T (M, x0 , u) = T (M, x0 , u) = R Ta tẵnh xĐp x cĐp hai cừa f tÔi x0 v cĂc têp liản quan nhữ sau: Bf (x0 ) = {−1/2} ∪ (α, +∞) vỵi α > 0, clBf (x0 ) = {−1/2} ∪ [α, +∞) v Bf (x0 ) = [0, +) Vẳ thá, x0 thọa mÂn cĂc iÃu kiằn cƯn nh lỵ 4.1 cừa [20] v khæng bà b¡c bä vb 00 ht k jm om l.c gm n a Lu n va y te re 24 Ch÷ìng 5: C¡c i·u ki»n tèi ÷u ừ cĐp hai t to ng hi Trong phƯn ny, ta x²t b i to¡n (P) vỵi h = 0, v C , K cõ th khổng lỗi vợi phƯn rộng Bờ à sau Ơy ữủc sỷ dửng chựng minh c¡c i·u ki»n õ c§p hai Bê · 5.1 Gi£ sû x ep ∈ M ⊆ Rn N¸u xk ∈ M \ {x0 } hëi tư ¸n x0 , thẳ tỗn tÔi u T (M, x0 ) \ {0} v mởt dÂy con, kỵ hiằu xk , cho w (i) (xk − x0 )/tk → u, â tk = kxk − x0 k; n lo (ii) ([15], Bê · 3.4) ho°c z T (M, x0 , u)u tỗn tÔi cho (xk −x0 −tk u)/ 21 t2k → z 00 ho°c z ∈ T (M, x0 , u) ∩ u⊥ \ {0} v rk 0+ tỗn tÔi cho tk /rk → 0+ v (xk − x0 − tk u)/ 12 tk rk → z , â u⊥ l ph¦n bị trüc giao cõa u ∈ Rn ad y th nh lỵ 5.2 Xt bi toĂn (P) vỵi h = 0, cho f v g l l-ên nh tÔi x ju M Khi õ, mët c¡c i·u ki»n sau l õ º x0 l nghiằm chưc chưn a phữỡng cĐp hai yi pl (i) ∀u ∈ Sn , ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ C ∗ × K(g(x0 ))∗ cho al 0 ua hc∗ , f (x0 )ui + hk ∗ , g (x0 )ui > 0 n (ii) ∀u ∈ Sn vỵi u ∈ T (M, x0 ) v f (x0 )u ∈ −C , ta câ va n (a) ∀w ∈ T (M, x0 , u) ∩ u⊥ , ∀(y0 , z0 ) ∈ d2 (f, g)(x0 , u) vỵi g (x0 )w + z0 ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ) ( ÷đc ành nghắa Hằ quÊ 4.5) thọa mÂn fu (5.1) ll hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i > hk ∗ , g (x0 )w + z0 i; m 00 oi (b) ∀w ∈ T (M, x0 , u) ∩ u⊥ \ {0}, ∃c∗ ∈ C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = thọa mÂn Chựng minh (i) Xem nh lỵ 4.2 (i) [19] at nh hc∗ , f (x0 )wi > z z (ii) Gi£ sû ph£n chùng rơng tỗn tÔi xk M Bn (x0 , k1 ) \ {x0 } v ck ∈ C cho (5.2) ht vb f (xk ) − f (x0 ) + ck ∈ Bm (0, k1 t2k ), k jm â tk = kxk − x0 k Ta câ thº gi£ sû (xk − x0 )/tk → u ∈ T (M, x0 ) ∩ Sn Chia (5.2) cho tk v qua giợi hÔn, ta ữủc f (x0 )u ∈ −C Bði Bê · 5.1, ch¿ cƯn xt hai trữớng hủp sau l ừ gm n vỵi (y, z) ∈ D2p (f, g)(x0 , u, w) Bði M»nh · 3.5, a Lu (f, g)(xk ) − (f, g)(x0 ) − tk (f, g) (x0 )u (yk , zk ) := → (y, z), t2k /2 om l.c Trữớng hủp mởt: Tỗn tÔi w T (M, x0 , u)∩u⊥ cho wk := (xk −x0 −tk u)/ 21 t2k → w Bði M»nh · 3.4 (i), ta câ va (y, z) = (f, g) (x0 )w + (y0 , z0 ) n vỵi (y0 , z0 ) ∈ d2 (f, g)(x0 , u) V¼ g(xk ) ∈ −K v 0 25 y suy r¬ng g (x0 )w + z0 ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), v â g (x0 )u ∈ T (−K, g(x0 )) Bi giÊ thiát (ii) (a), tỗn tÔi (c , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ) thäa m¢n (5.1) Cëng th¶m hc∗ , f (x0 )wi te re 0 zk = (g(xk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u)/ 21 t2k → z = g (x0 )w + z0 , 0 v o hai v¸ cõa (5.1) v dòng ¯ng thùc c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) = 0, b§t ng thực (5.1) tữỡng ữỡng vợi hc , f (x0 )w + y0 i > (5.3) t to M°t kh¡c, tø (5.2) ta suy 0 ng (f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u)/ 21 t2k + (ck + tk f (x0 )u)/ 12 t2k hi ep Vẳ số hÔng Ưu tiản Ơy l yk , sỹ hởi tử trản dăn án 0 y = f (x0 )w + y0 ∈ −clcone(C + f (x0 )u) 0 0 w V¼ f (x0 )u ∈ −C , g (x0 )u ∈ T (−K, g(x0 )) v c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) = 0, ta suy 0 hc∗ , f (x0 )ui = 0, v â c [clcone(C + f (x0 )u)] Vẳ thá, hc∗ , f (x0 )w + y0 i ≤ 0, mƠu thuăn vợi (5.3) n lo ad y th Trữớng hủp hai: Tỗn tÔi rk 0+ cho tk /rk → v 00 ju wk := (xk − x0 − tk u)/ 12 tk rk → w ∈ T (M, x0 , u) ∩ u⊥ \ {0} 0 yi Bi giÊ thiát (ii) (b), tỗn tÔi c ∈ C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = v hc∗ , f (x0 )wi > Bði M»nh · 3.4 (iii), ta câ pl 0 ua al (f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u)/ 21 tk rk → f (x0 )w n M°t kh¡c, tø (5.2) ta suy 0 0 va (f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u)/ 12 tk rk + (ck + tk f (x0 )u)/ 12 tk rk 0 n Vẳ thá, f (x0 )w −clcone(C + f (x0 )u) Do â, hc∗ , f (x0 )wi 0: mƠu thuăn ll fu Lữu þ (i) i·u ki»n (ii) (a) ành lþ 5.2 hin nhiản ữủc suy bi mởt oi m c¡c i·u ki»n sau ¥y 0 at nh (a ) ∀w ∈ Rn , ∀(y0 , z0 ) ∈ d2 (f, g)(x0 , u) vỵi g (x0 )w + z0 ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ) thäa m¢n (5.1) 00 z (a ) ∀(y0 , z0 ) ∈ d2 (f, g)(x0 , u), ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ), z (5.4) vb hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i > supk∈T (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki ht (ii) iÃu kiằn (ii) (b) nh lỵ 5.2 ÷đc suy bði mët c¡c i·u ki»n sau ¥y 00 k jm 00 0 gm (b ) ∀w ∈ u⊥ \ {0} vỵi g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ), hk ∗ , g (x0 )wi < om l.c (b ) ∀w ∈ u⊥ \ {0} vỵi g (x0 )w ∈ clcone[cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u], ∃(c∗ , k ∗ ) ∈ Λ1 (x0 ), hk ∗ , g (x0 )wi < 00 00 0 g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) ⊂ clcone[cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u] y te re 26 n (iii) BƠy giớ ta nõi án lờ hờng giỳa iÃu kiằn cƯn nh lỵ 4.4 v iÃu kiằn ừ nh lỵ 5.2 Ưu tiản lữu ỵ rơng, náu u T (M, x0 ), thẳ g (x0 )u ∈ T (−K, g(x0 )) = va Do õ, nh lỵ 5.2 cÊi thiằn nh lỵ cừa [13], â f v g ÷đc gi£ sû l ờn nh tÔi x0 v cĂc iÃu kiằn (a') v (b) ữủc dũng Lữu ỵ rơng, thay vẳ D2 (f, g)(x0 , u) nhữ cĂc iÃu kiằn cƯn, nh lỵ 5.2 ta dũng têp nhọ hỡn d2 (f, g)(x0 , u) ữủc kát luên mÔnh hỡn n a Lu Thüc vªy, bði M»nh · 3.4 (iii), náu w T (M, x0 , u), thẳ t to ng hi ep clK(g(x0 )) Vẳ thá, nh lỵ 5.2 (ii) cụng úng náu cĂc hữợng u Sn cho (f, g) (x0 )u ∈ −[C×clK(g(x0 ))] ữủc xt án (nhữ nh lỵ 4.4) Hỡn nỳa, nh lỵ 4.4 (tữỡng ựng, nh lỵ 5.2) cụng úng (thỹc sỹ yáu hỡn) náu ta thay D2 (tữỡng ựng, d2 ) bði d2 (t÷ìng ùng, D2 ) Ngay c£ vợi viằc lm yáu i nhữ trản, K thọa mÂn tẵnh chĐt sau tÔi g(x0 ): T (K, g(x0 ), u) = A2 (−K, g(x0 ), u) vỵi måi u ∈ Rp , lê hêng nâi tr¶n l nhọ: cĂc bĐt ng thực iÃu kiằn cƯn ữủc thay bði c¡c b§t ¯ng thùc ch°t i·u ki»n ừ Trong vẵ dử sau Ơy, nh lỵ 5.2 kh¯ng ành nghi»m chc chn, c¡c k¸t qu£ gƯn Ơy thẳ khổng w Vẵ dử 5.1 Xt Vẵ dử 4.2 vợif ữủc nh nghắa bi ( nhữ Vẵ dử 4.1) n lo x21 + x2 náu x1 ≥ 0, θ(x1 ) + x2 n¸u x1 < ad f (x1 , x2 ) = y th Tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 4.2, ta cõ th chựng minh rơng f l l-ờn nh tÔi x0 v f (x0 ) = (0, 1) Khi â, vỵi u = (1, 0) ∈ S2 v (c∗ , k ∗ ) ∈ C ∗ × K(g(x0 ))∗ , ta câ ju yi 0 pl hc∗ , f (x0 )ui + hk ∗ , g (x0 )ui = ua al Do õ, iÃu kiằn (i) nh lỵ 5.2 khỉng thäa m¢n Cho u = (u1 , u2 ) ∈ S2 cho (f, g) (x0 )u ∈ −[C×clK(g(x0 ))] Khi â, u = (u1 , 0) vỵi u1 = ±1 Ta câ 0 n T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u), va n v â, vỵi k ∗ = (0, 0, −1) ∈ N (−K, g(x0 )), supk∈T (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki = −4 ll fu N¸u u1 = 1, thẳ vợi (y0 , z0 ) d2 (f, g)(x0 , u) = {(2, 0, 2, 0)}, tỗn tÔi (c , k ∗ ) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1 (x0 ) thäa m¢n m oi hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i = −2 > supk∈T (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki nh at Náu u1 = 1, thẳ vợi (y0 , z0 ) d2 (f, g)(x0 , u), tỗn tÔi tk → 0+ cho y0 = limk→+∞ z z v z0 = (0, 2, 0) Vẳ thá, vợi (c , k ∗ ) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1 (x0 ), ta câ θ(−tk ) hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i = limk→+∞ ≥ > supk∈T (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki tk /2 θ(−tk ) t2k /2 ht vb jm 00 k Do â, i·u ki»n (a ) thäa m¢n, v â i·u ki»n (a) cõa ành lỵ 5.2 cụng thọa mÂn gm om l.c Cho w = (w1 , w2 ) ∈ v ⊥ \ {(0, 0)}, tùc l , w1 = v w2 6= 0, n¸u g (x0 )w = (0, 0, w2 ) ∈ clcone[cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u] = {(k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 : k3 ≥ 0}, th¼ w2 > Chån 00 (c∗ , k ∗ ) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1 (x0 ), ta câ hk ∗ , g (x0 )wi = w2 < Vẳ thá, iÃu ki»n (b ) thäa m¢n, v â i·u ki»n (b) cừa nh lỵ 5.2 cụng thọa mÂn Kát quÊ l, bi nh lỵ 5.2, x0 l nghiằm chưc chưn a phữỡng cĐp hai cừa bi toĂn (P) n a Lu n va Vẳ f khổng ờn nh tÔi x0 , nh lỵ 4.2 cừa [19] v nh lỵ cừa [13] khổng Ăp dửng ữủc Hỡn nỳa, vẳ vá trĂi cừa (5.4) cõ th Ơm, nh lỵ 4.1 cõa [5] khỉng ¡p dưng ÷đc y te re 27 Kát luên v hữợng nghiản cựu m rởng à ti t to ng hi ep Trong · t i nghi¶n cùu ny, Ưu tiản, chúng tổi giợi thiằu khĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v khÊo sĂt mởt số tẵnh chĐt cừa chúng Tiáp theo, chúng tổi à xuĐt khĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v ữa cĂc tẵnh chĐt cừa chúng Cuối cũng, dũng cĂc Ôo hm theo hữợng a tr Hadamard v Dini dữợi giÊ thiát khÊ vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn) hay l-ờn nh (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ), chúng tổi thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi cho cĂc nghiằm yáu a phữỡng hay cĂc nghiằm chưc chưn a phữỡng, vợi tẵnh chĐt envelope-like ữủc lm ró hỡn, bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn (P) Trong ká hoÔch nghiản cựu tữỡng lai, chúng tổi s m rởng hữợng nghiản cựu cừa à ti bơng cĂch x²t b i to¡n tèi ÷u vectì khỉng trìn kh¡ têng qu¡t sau ¥y: w n lo ad y th f (x), s.t x ∈ S , g(x) ∈ −K, h(x) = 0, ju (P1) yi pl â f : X → Y , g : X → Z , v h : X → W l c¡c Ănh xÔ, X v W l cĂc khổng gian Banach, Y v Z l c¡c khỉng gian ành chu©n, S X , C Y l nõn lỗi õng, v K Z l têp lỗi Chúng tổi s thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn v ừ cĐp mởt v cĐp hai cho cĂc nghiằm yáu v nghi»m chc chn cõa b i to¡n (P1) b¬ng c¡c quy tưc nhƠn tỷ FritzJohn-Lagrange dũng cĂc Ôo hm theo hữợng a tr v cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai Chúng tổi t cĂc giÊ thiát gi£m nhµ: steadiness v kh£ vi ch°t cho c¡c i·u kiằn cƯn cĐp mởt v cĐp hai, tữỡng ựng; ờn ành v l-ên ành cho c¡c i·u ki»n õ c§p mởt v cĐp hai, tữỡng ựng n ua al n va ll fu oi m at nh z z ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re 28 T i li»u tham kh£o t to ng [1] K Allali and T Amahroq, Second-order approximations and primal and dual necessary optimality conditions, Optimization (1997) 229-246 hi 40 [2] D Bednar½k and K Pastor, On second-order conditions in unconstrained optimization, Math Program (Ser A) (2008) 283-298 ep 113 w [3] D Bednar½k and K Pastor, Decrease of C 1,1 property in vector optimization, RAIROOper Res (2009) 359-372 n 43 lo [4] D Bednar½k and K Pastor, l-stable functions are continuous, Nonlinear Anal (2009) 2317-2324 ad 70 y th [5] D Bednar½k and K Pastor, On second-order optimality conditions in constrained multiobjective optimization, Nonlinear Anal (2011) 1372-1382 ju 74 yi [6] J.F Bonnans and A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York (2000) pl al n ua [7] F.H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York (1983) n fu 21 va [8] R Cominetti, Metric regularity, tangent sets and second order optimality conditions, Appl Math Optim (1990) 265-287 ll [9] A.L Donchev, R.T Rockafellar, Implicit Functions and Solution Mappings, Springer, Dordrecht (2009) oi m 104 at nh [10] I Ginchev, A Guerraggio and M Rocca, Second-order conditions for C 1,1 constrained vector optimization, Math Program (Ser B) (2005) 389-405 [11] I Ginchev, A Guerraggio and M Rocca, From scalar to vector optimization, Appl Math (2006) 5-36 z 51 z vb ht [12] I Ginchev, On scalar and vector l-stable functions, Nonlinear Anal 194 74 (2011) 182- jm [13] C Guti²rrez, B Jim²nez and V Novo, On second order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming, Math Program (Ser B) (2010) 199-223 k 123 gm om 58 l.c [14] B Jim²nez and V Novo, Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization, Math Methods Oper Res (2003) 299-317 49 [18] P.Q Khanh and N.D Tuan, First and second-order optimality conditions using 29 y 41 te re [17] H Kawasaki, An envelope-like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization problems, Math Program (1988) 73-96 n 18 va [16] A Jourani and L Thibault, Approximations and metric regularity in mathematical programming in Banach spaces, Math Oper Res (1992) 390-400 n a Lu [15] B Jim²nez and V Novo, Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets, Appl Math Optim (2004) 123-144 approximations for nonsmooth vector optimization in Banach spaces, J Optim Theory Appl (2006) 289-308 130 [19] P.Q Khanh and N.D Tuan, Optimality conditions for nonsmooth multiobjective optimization using Hadamard directional derivatives, J Optim Theory Appl (2007) 341-357 t to 133 ng hi ep [20] P.Q Khanh and N.D Tuan, First and second-order approximations as derivatives of mappings in optimality conditions for nonsmooth vector optimization, Appl Math Optim (2008) 147-166 58 w [21] P.Q Khanh and N.D Tuan, Second-order optimality conditions using approximations for nonsmooth vector optimization problems under inclusion constraints, Nonlinear Anal (2011) 4338-4351 n 74 lo ad [22] P.Q Khanh and N.D Tuan, Second-order optimality conditions with envelope-like effect for nonsmooth vector optimization in infinite dimensions, Nonlinear Anal (2013) 130-148 ju y th 77 yi [23] L Liu, P Neittaanmaki and M Kr½zek, Second-order optimality conditions for nondominated solutions of multiobjective programming with C 1,1 data, Appl Math (2000) 381-397 pl 45 ua al n [24] Y Maruyama, Second-order necessary conditions for nonlinear optimization problems in Banach spaces and their applications to an optimal control problem, Math Oper Res (1990) 467-482 n va 15 ll m 67 fu [25] J.P Penot, Optimality conditions in mathematical programming and composite optimization, Math Program (1994) 225-245 oi [26] J.P Penot, Second order conditions for optimization problems with constraints, SIAM J Control Optim (1999) 303-318 nh 37 at [27] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1970) z z ht vb [28] D E Ward, Calculus for parabolic second-order derivatives, Set Valued Anal (1993) 213-246 k jm om l.c gm n a Lu n va y te re 30 t to C¡c b i b¡o khoa håc li¶n quan trỹc tiáp án à ti nghiản cựu ng hi ep [1] P Q Khanh and N D Tuan, Second-order optimality conditions with the envelopelike effect in nonsmooth multiobjective mathematical programming, I: l-stability and set-valued directional derivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2013) 695-702 403 w n [2] P Q Khanh and N D Tuan, Second-order optimality conditions with the envelopelike effect in nonsmooth multiobjective mathematical programming, II: Optimality conditions, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2013) 703-714 lo 403 ad ju y th yi pl n ua al n va ll fu oi m at nh z z ht vb k jm om l.c gm n a Lu n va y te re 31