Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 7 phần đại số 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: an = m n a a a n (a ) = a m.n ; ; am.an = am+n ; n n ( a.b) = a b am : an = am –n ( a 0, m n) n ; a n an ( )  n (b 0) b b Một số toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an b) Tính tổng : A = c c c    a1.a2 a2 a3 an  1.an với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 =k HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an Ta có : aS – S = an+1 – Nếu a =   aS = a + a2 +… + an + an+1 ( a – 1) S = an+1 –  S=n Nếu a khác , suy S = a n 1  a b) Áp dụng c c 1  (  ) a.b k a b Ta có : A = c 1 c 1 c 1 (  )  (  )   (  ) k a1 a2 k a2 a3 k an  an với b – a = k = c 1 1 1 (       ) k a1 a2 a2 a3 an  an = c 1 (  ) k a1 an Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thực phép tính: a) A = b) B  HD : A = Bài 4: 9 28 ( 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35  46.92  22.3  84.35  510.73  255.492  125.7   59.143 ; B =2 1, Tính: P= 1   2003 2004 2005 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 5: a) TÝnh b) Cho 3   0,375  0,3    1,5   0,75  11 12  : 1890  115 A    2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng Bài 6: a) Tính : b) TÝnh B 5   10  230  46  13  27 6 25  2  10      :  12  14  7  10   1 1     2012 P 2011 2010 2009     2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = …  MS 1  2012 2010 1      2011 2011 2012  c) 2012 2012    2011 2011 = 1 1 2012(     ) 2012  1 1 (1     99  100)     (63.1,2  21.3,6)  9 A      99  100 Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức:  11   2  31   15  19   14   31    A    1   93   50     12     6 3   b) Chứng tỏ rằng: B 1  1 1      2 3 2004 2004 Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức:    81,624 :  4,505   125   A  11      13    : 0,88  3,53  ( 2,75)  :   25   25  b) Chứng minh tổng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : - a c   a.d b.c b d -Nếu - Có a c e   b d f a c e   b d f a c e a b e    b d f b d  f với gt tỉ số dều có nghĩa = k Thì a = bk, c = d k, e = fk Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức Bài 1: HD: Cho Từ a c  c b a c  c b Chứng minh rằng: suy a2  c2 a  b2  c b c a.b a  c a  a.b  b  c b  a.b = a ( a  b) a  b( a  b) b Bài 2: Cho a,b,c  R a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a c = (a  2012b) (b  2012c) HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy : a c (a  2012b) (b  2012c) = Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu HD : Đặt Suy : a c  k  b d a c  b d a = kb, c = kd 5a  3b b(5k  3) 5k    5a  3b b(5k  3) 5k  Vậy Bài 4: 5c  3d d (5k  3) 5k    5c  3d d (5k  3) 5k  5a  3b 5c  3d  5a  3b 5c  3d BiÕt a c  b d HD : Ta có 5a  3b 5c  3d  5a  3b 5c  3d th× a  b ab  c  d cd với a,b,c, d 0 Chứng minh : a d  b c a b a  b ab 2ab a  2ab  b (a  b) ( ) (1)    = 2 2 (c  d ) cd c d cd 2cd c  2cd  d a b a  b ab 2ab a  2ab  b (a  b) ( ) (2)  =   2 2 (c  d ) c d c d cd 2cd c  2cd  d Từ (1) (2) suy :  a b a  b  c  d c  d a b a b ( ) ( )   cd c d  a  b b  a  c  d d  c Xét TH đến đpcm Bài : Cho tØ lÖ thøc ab a  b  cd c  d HD : Xuất phát từ a c  b d a c  b d Chøng minh r»ng: vµ a  b2  a b    c d2 cd  biến đổi theo hướng làm xuất ab a  b a c a  b a b     ( ) 2 cd c  d b d c d c d Bài : Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Tính HD : Từ M  a b b c c d d a    c d d a a b b c 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Suy :  2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1 1 a b c d a b c  d a b c  d a b c d a b c  d    a b c d Nếu a + b + c + d =  M   a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) a b b c c d d a    c d d a a b b c Nếu a + b + c + d 0  = -4 a=b=c=d  M  a b b c c d d a    c d d a a b b c =4 Bài : a) Chứng minh rằng: Nếu x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c Thì a b c   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z b) Cho: HD : a) Từ  a b c   b c d Chứng minh: a  a b c     d bcd  a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c x y z      x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c a    x 2y z x  2y  z (1) 2(a  2b  c ) (2a  b  c ) 4a  4b  c b    2x y z 2x  y  z (2) 4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c c    4x 4y z 4x  y  z Từ (1) ;(2) (3) suy : Bài 8: Cho (3) a b c   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P HD Từ x  y y  z z t t  x    z t t  x x  y y  z x y z t y  z t z t  x t  x  y x  y  z        y  z t z t  x t  x  y x  y  z x y z t  y  z t z t  x txy xyz 1  1  1  1 x y z t  x  y  z t z t  x  y t  x  y  z x  y  z t    x y z t Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t 0 x = y = z = t  P=4 Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức : B = yz x zx y xy z   x y z  1  x  y  z  1  1  y  z  x Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: x 2010  y 2010  z 2010  t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010     a  b2  c  d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* a 14 c 11 e 13  ;  ;  b 22 d 13 f 17 c) Cho số a, b, c thỏa mãn : a b c   2009 2010 2011 Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d TÝnh M  a b bc c d d a    c d d  a a b b c Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    x y z t ( n số tự nhiên) x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y   12 5x 4x HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 => 2y 2y   x x  12 với y = thay vào không thỏa mãn Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 1 3y y   y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = Vậy x = 2, y = 1 15 Bài : Cho 1 15 thoả mãn đề a b c   b c a a + b + c ≠ 0; a = 2012 Tính b, c HD : từ a b c a b c    1  b c a a b c a = b = c = 2012 y  x 1 x  z  x  y     x y z xyz Bài : Tìm số x,y,z biết : HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y  x  x  z  x  y  2( x  y  z )    2  x y z (x  y  z) xyz (vì x+y+z 0) Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z Bài : Tìm x, biết rằng: HD : Từ  y  y  y 2(1  y )  (1  y)  y   y  (1  y)     18 24 6x 2.18  24 18  24  x Suy : 1   x 1 6x Bài 6: T×m x, y, z biÕt: HD : Từ 1 y 1 y 1 y   18 24 6x x y z   x  y  z z  y 1 x  z 1 x  y  (x, y, z 0 ) x y z x yz   x  y  z   z  y 1 x  z 1 x  y  2( x  y  z ) Từ x + y + z =  x+y= z , y +z = x,z+x= - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x Bài : T×m x, y, z biÕt Bài : Tìm x , y biết : 3x y 3z   64 216 vµ x  y  z 1 x 1 y  x  y    7x Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế - Tính chất giá trị tuyệt đối : A 0 với A ;  A, A 0 A    A, A  - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A  B  A B dấu ‘=’ xẩy AB 0;  A m A m   (m  0)  A  m ; A B  A  B  A m A m   (hay  m  A m)  A  m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n A A m = An  0< A < B m = n; An = Bn  dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 0 với m > với A ; - A2n 0 với A = B (nếu n lẻ ) A = B ( n chẵn) An < Bn ;  Bài tập vận dụng Dạng 1: Các tốn Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) x x x x    2011 2010 2009 2008 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013  x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013  x 2011.2012 2.2013 2012.2013  x  2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ  x x x x    2011 2010 2009 2008 ( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008    2011 2010 2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012     2011 2010 2009 2008 1 1  ( x  2012)(    )  2011 2010 2009 2008 1 1  x  : (    )  2012 2011 2010 2009 2008  Bài Tìm x nguyên biết a) 1 1 49      1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x 1) 99 10