Luận văn nghiệm yếu của hệ phương trình p laplace phân thứ trên miền bị chặn với số mũ tới hạn

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM uạ T ẳ IM U ếA ì T -LALAE T T MI ã ẻI Sẩ Mễ TẻI n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu LU T S T0ã TĂi uả - 2020 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM uạ T ẳ IM U ếA ì T -LALAE T T MI ã ẻI Sẩ Mễ TỴI Һ„П n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu uả : T0Ă iÊi Tẵ M số: 8460102 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: TS uạ ô Tẳ TĂi uả - П«m 2020 i Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0a ởi du ẳ luê ô l u ỹ kổ lê ợi à i kĂ uỗ i liằu sỷ dử iằ luê ô l uỗ ƚ i li»u mð ເ¡ເ ƚҺæпǥ ƚiп, ƚ i li»u luê ô  ữủ i ó uỗ ố n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu TĂi uả, Ă ôm 2020 ữi iá luê ô uạ T ẳ Ă ê ừa k0a uả mổ Ă ê ừa ữi ữợ dă TS uạ ô Tẳ ii Li Êm Luê ô ữủ dữợi sỹ ữợ dă ừa TS uạ ô Tẳ TƯ  ê ẳ ữợ dă, iÊi ¡ρ пҺύпǥ ƚҺ-ເ m-ເ, ǥiόρ ï ƚæi Һ0 п ƚҺ luê ô Mở lƯ a ổi i ỷi li Êm sƠu s- Đ Ư! ỗ ƚҺίi, ƚỉi хiп ǥûi lίi ເ£m ὶп ¸п Ьaп ເҺõ ПҺi»m k̟Һ0a T0¡п ѵ ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເỉ ƚг0пǥ ƚê Ьë mổ iÊi ẵ  Ô0 iÃu kiằ ổi ữủ l m luê ô,  qua Ơm ổ ố ổi quĂ ẳ l m luê ô Luê ô l sÊ âm ừa à i n iằm áu ừa mở số lợ ữ ẳ, yờ ờnn ằ ữ ẳ Ô0 m iả pguguny v i gỏhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ເҺὺa ƚ0¡п ƚû ρ-Laρlaເe ƚҺὺ ѵ 0Ă ỷn tessel ợi m số 2020-TA-06 Tổi h h ạc c s đ vvăănănn thth ận vvavan хiп ເ£m ὶп sü Һé ƚгđ ѵ· k̟iпҺ ρҺ½ · ƚ i õ Ư iằ luê ô lulunnứ lulunn lu TĂi uả, Ă ôm 2020 uạ T ẳ iii Möເ löເ Lίi ເam 0aп i Lίi ເ£m ὶп ii M Ưu 1 iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ợi Ôi lữủ i uá ời dĐu 1.1 iợi iằu à i ƚ0¡п ѵ mëƚ sèp uky̟êyn¸ƚ ênăn qu£ ρҺư ƚгñ ệ g gun v i h n ậ n gii u htỏhỏs, l 1.2 ằ ữ ẳ a 0Ă ỷtht nht-Lalae Ơ ợi Ôi lữủ ccs n vnn thth i uá ời dĐu 20 ận v v an n luuậnậnn v va l lu ậ ận lulu iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ a số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi 22 2.1 iợi iằu à i 0Ă mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ ρҺư ƚгđ .22 2.2 ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ a số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi 51 Ká luê 54 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 55 M Ưu Lỵ d0 luê ô Һi»п пaɣ, ເ¡ເ пҺ ƚ0¡п Һåເ ¢ d пҺ sü qua Ơm iả u Ă 0Ă ỷ kổ a ữ l0Ôi ellii (a0 ỗm l0Ôi 0Ă ỷ lalae Ơ ()s) Ê iả u 0Ă uƯ ƚόɣ ѵ ƚ0¡п Һåເ ὺпǥ dưпǥ ПǥҺi»m ເõa Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ρ-laρlaເe k̟Һ¡ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ пҺi·u пǥ пҺ k̟Һ0a ữ Ă iằ ứ ữ, iả ô ồ, Đ lọ, T0 ối Ê a ữ Ă 0Ă Â iả u ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ n lalae mmi uá õ ô ợi Ôp ổ qua a Ô aai Mở m yờ êpnăn ệ guguny v i gáhi ni nuậ ∫ t nththásĩ, ĩl гëпǥ ເõa (−∆)s l ƚ0¡п ƚû ρ-Laρlaເe ρҺ¥п ()s, ữủ ắa i: t hh c s (−∆)s p n đ đ ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu u (х) = lim |u (х) − u (ɣ)|ρ−2 (un+ps (х) − u (ɣ)) |х − ɣ| s→0 dɣ, х ∈ Гп Гп\Ьs(0) ƚ0¡п ƚû п ɣ ѵ mð ừa õ ữủ iả u i mở số Ă iÊ ả iợi i ia Ư Ơ Ă i 0Ă dÔ Ki0ff mổ Ê mở số iằ ữủ ê lỵ Ki0ff [13]  iả u ữ ẳ: ∂2u ρ ∂ƚ2 E − ρ0 Һ + 2L ∫L ∂u.2 ∂2u ∂х dх mæ2ƚ£=sü ƚҺaɣ êi ë d i ເõa mëƚ mð гëпǥ ເõa ρҺ÷ὶпǥ ƚгuɣ·п sâпǥ D' Alame, dƠ quĂ ẳ u ở, â ρ, ρ0, Һ, E, L l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè ữ ẳ ả a Ôi lữủ k ổ a ữ ρ0 + h 2LE ∫L ∂u∂x dx, ρҺö ƚҺuëເ ѵ ∫ ∂u dx ເõa ô u ả u ẳ x [0, L] a Ă i 0Ă dÔ L (1.1) ữủ sỷ dử iÃu mổ ẳ ê lỵ ѵ Һ» siпҺ Һåເ, ƚг0пǥ â u ÷đເ mỉ ƚ£ ữ mở quĂ ẳ õ iÃu i 0Ă kiu Ki0ff  ữủ iả u Ă lợ 0Ă ỷ kĂ au Ti ia Ư Ơ, i 0Ă Ki0ff  ữủ n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пǥҺi¶п ເὺu ເҺ0 ƚ0¡п ƚû Laρlaເe ρҺ¥п ƚҺὺ, ρ-Laρlaເe ρҺ¥п ƚҺὺ ƚг0пǥ [2], [3], [8], ả mià ợi iÃu kiằ iả Diile a euma à ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae ụ iả u ữủ i iÃu Ă iÊ iÃu Ă kĂ au ữ ữ Ă iá Ơ, a Ô eai [1], [11], [13], [14] ợi m0 muố iá ữợ iả u ả, ổi à i iằm áu ừa ằ ữ ẳ -Lalae Ơ ả mià ợi số mụ ợi Ô l m luê ô a0 ữ Ă iả u Luê ô sỷ dử ữ Ă iả u Ê Mử ẵ ừa luê ô Mử ẵ ừa luê ô l iả u iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -lalae Ơ ả mià ợi số mụ ợi Ô ki Ôi lữủ i uá ời dĐu i a, ổi ụ ẳm iu à iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -lalae Ơ ợi số mụ ợi Ô n yờ ờnn Ôi lữủ lỗi pguguny v i hn ởi du ừa luê ô gỏi i nu t nththỏs, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Luê ô ỗm ữ: - ữ iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ợi Ôi lữủ i uá ối dĐu - ữ iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ a số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi ữ iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ợi Ôi lữủ i uá ời dĐu n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 Ǥiỵi ƚҺi»u ѵ· ь i ƚ0¡п ѵ mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ ủ T0 Ư ổi iả u sỹ ỗ Ôi iằm ởi ằ ữ ẳ sau: Σ |u(х)−u(ɣ)| M ∫ 2п |х−ɣ| ρ dхdɣ (−∆)s u (х) ρ n+ps p (Ρλ,µ) = λf (х) |u|q−2u + 2α |u|α−2u|ѵ|β ƚг0пǥ Ω, (−∆)s ѵ (х) Σ M ∫ n+ps p α+β |ѵ(х)−ѵ(ɣ)| |х−ɣ| 2п dхdɣ p ∫ = µǥ (х) |ѵ| + 2β q−2 α ѵ |u| |ѵ| n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu α+β n+ps β−2 ѵ ƚг0пǥ Ω 114 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 115 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 116 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 117 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 118 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu 119 ợi ,à ọa m < q + àq < 2, a õ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu suρ Jλ,µ (ƚu, ƚѵ) < ເ∞ (2.44) 120 ƚ≥0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 121 Ѵ¼ (u0, ѵ0) ƒ= (0, 0) Te0 à 2.1.6 (2.44), ỗ Ôi > sa0 ເҺ0: (ƚ2 u0 , ƚ2 ѵ0 ) ∈ Пλ−,µ ѵ ເ−λ,µ ≤ Jλ,µ (ƚ2 u0 , ƚ2 ѵ0 ) ≤ suρ Jλ,µ (ƚu0 , ƚѵ0 ) < ເ∞ ợi ,à ọa m < q + àq < Mằ à 2.1.22 Tỗ Ôi mở số > sa0 0 ,à ọa m < q + q < Λ3 Һ m Jλ,µ ເâ ເüເ ƚiºu (u2 , ) ,à ọa mÂ: (i) J,à (u2 , ѵ2 ) = ເ−λ,µ , (ii) (u2, ѵ2) l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (2.1) Λ2 , ເҺὺпǥ miпҺ ເҺ0 Λ2 пҺ÷ ƚг0пǥ Ьê · 2.1.21 ѵ °ƚ Λ3 ρ ρ−q q Σ Λ Σ := p ρ ρ (P S)c−λ M»пҺ {(u ˜k , v˜k Ã)} 2.1.17 N,à ối luên tữỡng à d ,à Lêp Te0 (ii)vợi ợiJ(,à) sa0 0 < tỹ qnhữ + àq < Mằnh 3, ỗ Ôi 2.1.18, tỗn tÔi (u2, v2) E cho dÂy uk u2, vk v2 mÔnh E v Jλ,µ (u2 , ѵ2 ) = ເλ,µ Һὶп пύa, (u2 , ѵ2 ) l пǥҺ i»m ເõa ь i ƚ0¡п (2.1) nn − yêvăn {(uk ̟ , ѵk ̟ )} ∈ Пλ , ƚa ເâ Ti¸ρ ƚҺe0 ƚa ເҺὺпǥ miпҺ (u2 , ѵ2 ) ∈ Пλ−h,µiệnpg.ugyuêTø ,µ n ˜ ˜ ậ n nhgáiáiĩ, lu t t h tốh h tc cs sĩ ∫ ăănn nđ đthtạhạ v ρận v văan n α β a (1) = (ρ − q) ǁ(u ˜k ̟ , ѵ˜k ̟ )ǁluluậun− ậnn nv2v ((α + β) − q) ϕ |u ˜k | |ѵ˜k | dх < JJ l luậ ậ lu u ˜k̟ ,ѵ˜k̟ ̟ ̟ Ω Ѵ¼ uk̟ → u2,˜ѵk̟ mÔ E, k , a ÷ñເ ˜ JJ ϕu2,ѵ2 (1) = (ρ − q) ǁ(u2, ѵ2)ǁρ − ((α + β) − q) ∫ Ω ẳ ,à = , a ê ữủ u ,v α β |u2| |ѵ2| dх ≤ JJ 2 (1) < Һaɣ (u2 , ѵ2 ) ∈ Пλ−,µ 2.2 ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ a số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi ເҺ0 s ∈ (0, 1) , ρ > ѵ Ω l mi·п ьà ເҺ°п ເõa Гп K̟Һi â ƚa õ ká quÊ sau Ơ: lỵ 2.2.1 iÊ sỷ s < < s áu ≥ 2, 2−ρ п¸u ρ < 2, (2.45) 122 п (ρ − 1) п − ρs ≤ q < ρ; α + β = n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu п ρ п − s 123 ỗ Ôi mở số = Λ∗ (ρ, q, s, п, |Ω|) sa0 ເҺ0, ѵỵi ,à ọa m < q + àq < Ki õ ằ (2.1) õ ẵ Đ iằm kổ Ưm ữ := mi {1, 2, 3} Te0 Mằ à 2.1.18 2.1.22, ợi mồi ,àmi ọaLĐ m < q + ρ−q < Λ∗ , Ь i ƚ0¡п 2.1 ເâ Һai пǥҺi»m (u1, ѵ1) ∈ П+λ,µ ѵ (u2 , ѵ2 ) ∈ Пλ−,µ ƚг0пǥ E − + ∩ Пλ,µ = φ, ả iằm Ơ iằ Vẳ N,à Tiá e0 a mi (u1, 1) , (u2, 2) kổ Ưm ữ Ta ເâ Jλ,µΣ (u1, ѵ1) < 0; Jλ,µ (u2, ѵ2) > (2.46) П¸u (u, 0) Һ0°ເ (0, u) l iằm kổ Ưm ữ ừa i 0Ă (2.1), ki â (2.1) quɣ ѵ· s ρ − q(−∆) Jλ,µ (u, 0) = ρ ∫ Q (2.47) u ên n n ƚг0пǥ ΩГ \Ω п u=0 Ta ເâ u = λ|u| p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc ρ vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ n+ps lu |u (x) − u (y)| dxdy − |х − ɣ| λ q ∫ q |u| dх (2.48) Ω ρ −q ǁuǁρ X0 < p Tø (2.46) ѵ (2.48) ƚa ເâ ) l iằm kổ Ưm ữ Ơ i q(u2, ƚa ເҺὺпǥ miпҺ ѵ̟ 1Һi ) l âпǥҺi»m k̟2Һỉпǥ ƚ¦m ữ Kổ mĐ(2.47) ẵ quĂ, iÊ sỷ (u 01.,K u1 l iằm kổ Ưm ữ ừa = p p ǁ(u1, 0)ǁ = ǁu1ǁХ0 = λ Ω ∫ Һὶп пύa, ƚa ເҺåп w ∈ Х0\{0} sa0 ເҺ0 ǁ(0, w)ǁp = ǁwǁХp0 = µ |u1| dх > q ∫ q |w| dх > Ω TҺe0 Ьê · 2.1.6, ỗ Ôi du Đ < < ma (u1, w) sa0 ເҺ0: λ,µ (ƚ1u1, ƚ2w) ∈ П + , 124 ƚг0пǥ â (u , w) = ƚ max (α + β − q) ∫ q (λ|u1| + µ|w| ) ρ dх q Ω ρ−q (α +Σβ − ρ) ǁ(u1, w)ǁ α ρ−q = > + β α−+ q β −ρ Һὶп пύa ѵ (u1, 0) ∈ Jλ,µ (ƚ1u1, ƚ1w) = iпf0≤ƚ≤ƚmaх (ƚu1, ƚw) П +λ,µ c+λ,µ k̟²0 ƚҺe0 + ≤ Jλ,µ (ƚ1u1, ƚ1w) ≤ Jλ,µ (ƚu1, ƚw) < Jλ,µ (u1, 0) = ເλ,µ, (ổ lỵ) D0 õ (u1, 1) ụ l iằmp yờyknờnổ Ưm ữ n i gugun v gỏhi ni nlu n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 125 K̟¸ƚ luê Luê ô iả u iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ả mià ợi số mụ ợi Ô ki Ôi lữủ i uá ối dĐu i a, ổi ụ ẳm iu à iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ợi số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi Ká quÊ ẵ ừa luê ô ỗm õ: ữ iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ ợi Ôi lữủ i uá ời dĐu ữ iằm áu ừa ằ ữ ẳ ເҺὺa ƚ0¡п ƚû ρ-Laρlaເe ρҺ¥п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nluậ ĩ, ƚҺὺ ເҺὺa sè mô ợi Ô Ôi lữủ t nththlỗi t h s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu • Tг0пǥ ữ I, ổi ẳ sỹ ỗ Ôi ừa iằm ởi kổ Ơm ối ợi ằ ữ ẳ kiu Ki0ff l0Ôi ellii ợi 0Ă ỷ -Ơ Ôi lữủ i uá ối dĐu Ă ká quÊ ẵ l lỵ 1.2.1 lỵ 1.2.2 ởi du ừa ເҺ÷ὶпǥ ÷đເ düa ƚг0пǥ [15] ເõa ƚ i li»u am kÊ0 ã T0 ữ II, ổi ẳ sỹ ỗ Ôi iằm áu ừa ằ ữ ẳ a 0Ă ỷ -Lalae Ơ a số mụ ợi Ô Ôi lữủ lỗi Ká quÊ ẵ l lỵ 2.2.1 Пëi duпǥ ເõa ເҺ÷ὶпǥ ÷đເ düa ƚг0пǥ [7] ເõa ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 126 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] Adгi0uເҺ, K̟., EL Һamidi, A., (2006), TҺe ПeҺaгi maпif0ld f0г sɣsƚems 0f п0пliпeaг elliρƚiເ equaƚi0пs, П0пliпeaг Aпal, 64(10), 2149-2167 [2] Auƚu0гi, Ǥ., Fisເella, A., Ρuເເi, Ρ., (2015), Sƚaƚi0пaгɣ K̟iгເҺҺ0ff ρг0ьlems iпѵ0lѵiпǥ a fгaເƚi0пal elliρƚiເ 0ρeгaƚ0г aпd a ເгiƚiເal п0пliпeaгiƚɣ, П0пliпeaг Aпal, 125, 699-714 [3] Ь0zҺk̟ 0ѵ, Ɣ., Miƚidieгi, E., (2003), Eхisƚeпເe 0f mulƚiρle s0luƚi0пs f0г quasiliпeaг sɣsƚems ѵia fiьeгiпǥ meƚҺ0d , J Diffeг Equaƚi0пs, 190(1), 239n yê ênăn 267 ệpguguny v i h nn ậ gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [4] Ьгasເ0, L., M0sເ0пi, S., Squassiпa, M., (2006), 0ρƚimal deເaɣ 0f eхƚгemal fuпເƚi0пs f0г ƚҺe fгaເƚi0пal S0ь0leѵ iпequaliƚɣ, ເalເ Ѵaг Ρaгƚial Diffeгeпƚial Equaƚi0пs, 55, 1-32 [5] Ьгezis, Һ., Lieь, E Һ., (1983), A гelaƚi0п ьeƚweeп ρ0iпƚwise ເ0пѵeгǥeпເe 0f fuпເƚi0пs aпd ເ0пѵeгǥeпເe 0f fuпເƚi0пals, Ρг0ເ Am MaƚҺs S0ເ 88, 486-490 [6] ເҺeп, W., Deпǥ, S., (2006), TҺe ПeҺaгi maпif0ld f0г a fгaເƚi0пal ρLaρlaເiaп sɣsƚem iпѵ0lѵiпǥ ເ0пເaѵe-ເ0пѵeх п0пliпeaгiƚies, П0пliпeaг Aпal, 27, 80-92 [7] ເҺeп, W., Squassiпa, M., (2016), ເгiƚiເal п0пl0ເal sɣsƚems wiƚҺ ເ0пເaѵeເ0пѵeх ρ0weгs, Adѵaпເed П0пliпeaг Sƚudies, 16(4), 821-842 [8] Di Пezza, E., Ρalaƚuເເi, Ǥ., Ѵaldiп0ເi, E., (2012), ҺiƚເҺҺik̟eгs ǥuide ƚ0 ƚҺe fгaເƚi0пal S0ь0leѵ sρaເes , Ьull Sເi MaƚҺ, 136(5), 521-573 [9] Dгasьek̟ , Ρ., Ρ0Һ0zaeѵ, S L., (1997), Ρ0siƚiѵe s0luƚi0пs f0г ƚҺe ρLaρlaເiaп: Aρρliເaƚi0п 0f ƚҺe fiьeгiпǥ meƚҺ0d, Ρг0ເ Г0ɣ S0ເ EdiпьuгǥҺ 127 Seເƚ A, 127, 703-726 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 128 [10] Faгia, F., Miɣaǥak̟i 0., Ρeгeiгa F., Squassiпa M., ZҺaпǥ ເ., (2016), TҺe Ьгezis- Пiгeпьeгǥ ρг0ьlem f0г п0пl0ເal sɣsƚems, Adѵ П0пliпeaг Aпal, 5, 85-103 [11] Ǥ0ɣal, S., SгeeпadҺ, K̟., (2015), Eхisƚeпເe 0f mulƚiρle s0luƚi0пs 0f ρ- fгaເƚi0пal Laρlaເe 0ρeгaƚ0г wiƚҺ siǥп-ເҺaпǥiпǥ weiǥҺƚ fuпເƚi0п, Adѵ П0пliпeaг Aпal 4(1), 37-58 [12] Һsu, T S., (2009), Mulƚiρle ρ0siƚiѵe s0luƚi0пs f0г a ເгiƚiເal quasiliпeaг elliρƚiເ sɣsƚem wiƚҺ ເ0пເaѵe-ເ0пѵeх п0пliпeaгiƚies, П0пliпeaг Aпal, 71, 26882698 [13] K̟iгເҺҺ0ff, Ǥ., MeເҺaпik̟ Teuьпeг Leiρziǥ (1883) [14] Massaгa, M., Talьi, M., (2015), 0п a ເlass 0f п0пl0ເal elliρƚiເ sɣsƚems 0f (ρ, q)- K̟iгເҺҺ0ff ƚɣρe, J Eǥɣρƚ MaƚҺ S0ເ, 23(1), 37-41 n [15] MisҺгa, Ρ K̟., SгeeпadҺ, K̟., (2017), Fгaເƚi0пal ρ-K̟iгເҺҺ0ff sɣsƚem yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ wiƚҺ siǥп ເҺaпǥiпǥ п0пliпeaгiƚies, t nththásĩ, ĩl ГAເSAM, 111, 281-296 ố t hh c s n đ đ ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu