(Luận văn) về lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ UYÊN lu an n va VỀ LÍ THUYẾT HÀM PHỨC VÀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC p ie gh tn to w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS Trần Việt Cường m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu lu an n va p ie gh tn to Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức 1.2 Hàm phức 1.3 Giới hạn liên tục 1.4 Đạo hàm hàm giải tích 1.5 Thặng dư 1.6 Đa thức hệ số phức 3 6 11 12 w thức để giải d oa nl Áp dụng lí thuyết hàm phức nghiệm đa số tốn sơ cấp 2.1 Bài tốn tính tích phân xác định 2.2 Bài toán rút gọn biểu thức 2.3 Bài toán phủ 2.4 Bài toán đếm số nf va an lu z at nh oi lm ul 16 16 19 23 27 z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Một số ký hiệu chữ viết tắt an n va Z tập nguyên R tập số thực C tập số phức 1, n tập số tự nhiên {1, 2, , n} z, z¯ số phức z số phức liên hợp số phức z Rez, Imz phần thực phần ảo tương ứng số phức z kết thúc chứng minh định lí, hệ quả, lời giải gh tn to tập số tự nhiên số tự nhiên khác không ie lu N, N∗ p d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu lu an n va p ie gh tn to Giải tích phức cổ điển lý thuyết hàm biến phức, nhánh tốn học, có nguồn gốc từ kỷ 18 trước Nó hữu ích nhiều ngành tốn học, bao gồm hình học đại số, lý thuyết số, tổ hợp phân tích, tốn học ứng dụng; vật lý, bao gồm nhánh thủy động lực học, nhiệt động lực học đặc biệt học lượng tử Bằng cách mở rộng, giải tích phức có ứng dụng lĩnh vực kỹ thuật hạt nhân, hàng khơng vũ trụ, khí kỹ thuật điện Trong thời đại, trở nên phổ biến với đời hệ động lực phức hình ảnh fractals tạo hàm chỉnh hình Một ứng dụng quan trọng khác giải tích phức lý thuyết dây nghiên cứu bất biến tuân thủ lý thuyết trường lượng tử Các nhà tốn học có đóng góp quan trọng liên quan đến số phức bao gồm Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, nhiều kỷ 20 Trong toán học, đa thức biểu thức bao gồm biến hệ số, liên quan đến phép toán cộng, trừ, nhân lũy thừa số nguyên không âm biến Đa thức xuất nhiều lĩnh vực tốn học khoa học Ví dụ, chúng sử dụng để hình thành phương trình đa thức, mã hóa loạt tốn từ đến phức tạp khoa học; chúng sử dụng để xác định hàm đa thức, xuất hóa học, vật lý đến kinh tế khoa học xã hội; chúng sử dụng tính tốn phân tích số để tính gần hàm khác Trong toán học nâng cao, đa thức sử dụng để xây dựng vòng đa thức đại số, khái niệm trung tâm đại số hình học đại số Một số đa thức, chẳng hạn x2 +1, khơng có nghiệm tập số thực Tuy nhiên, tập hợp nghiệm mở rộng thành số phức, đa thức khác số có nghiệm phức; định lí có đại số Như hệ quả, đa thức có hệ số phức viết dạng tích đa thức hệ số phức bậc số nghiệm phức tính với bội số chúng bậc đa thức d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Luận văn chia làm hai chương với nội dung sau: Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm kết lí thuyết hàm phức Chương 2, chúng tơi áp dụng lí thuyết hàm phức nghiệm đa thức giải số tốn sơ cấp Để hồn thành luận văn này, nỗ lực học hỏi thân, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Trường Thanh - người Thầy tận tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12 khóa 2018 - 2020, phịng ban chức năng, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho em thời gian học tập vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể lớp K12, gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành khóa luận w d oa nl Thái Nguyên, ngày 30 tháng 12 năm 2019 Tác giả luận văn nf va an lu z at nh oi lm ul PHẠM THỊ UYÊN z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức số phức hàm phức Các khái niệm kết Chương tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 6] an n va Số phức tn to 1.1 p ie gh Định nghĩa 1.1.1 Số phức biểu thức dạng a + bi a, b số thực i2 = −1 Đối với số phức z = a + bi ta nói a phần thực, b phần ảo z, i đơn vị ảo Kí hiệu: a = Rez, b = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C oa nl w d C = {z = a + bi|a, b ∈ R} lu nf va an Nhận xét 1.1.2 Mỗi số thực a xem số phức với phần ảo b = Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo Số vừa số thực vừa số ảo z at nh oi lm ul z Hai số phức nhau: Hai số phức gọi phần thực phần ảo tương ứng chúng Mô đun số phức: Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi mặt phẳng tọa độ −−−→ Độ dài |OM | mơ đun số phức z Kí hiệu |z| √ −−−→ Ta có: |z| = |OM | = |a + bi| = a2 + b2 m co l gm @ an Lu n va ac th si Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi, ta gọi a − bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a − bi Ví dụ: z = + 2i z = − 2i Một số tính chất số phức liên hp: ã z ì z = a2 + b2 l số thực • z + z0 = z + z0 ã z ì z0 = z ì z0 lu an n va gh tn to Dạng lượng giác số phức: Trong mặt phẳng phức cho số phức z với z 6= biểu diễn −−→ vector OM với M (a; b) −→ −−→ Góc lượng giác (Ox, OM ) = ϕ + 2kπ, k ∈ Z Số đo góc lượng giác gọi acgumen z Gọi ϕ acgumen r > mô đun số phức z = a + bi khác dạng lượng giác z là: ie z = r(a cos ϕ + i sin ϕ) p √ Với r = a2 + b2 ϕ định cos ϕ = ar sin ϕ = br Ghi chú: oa nl w d • |z| = ↔ z = (cos ϕ + i sin ϕ), ϕ ∈ R lu nf va an • z = |z| = r = acgumen z không xác định xem tùy ý • z1 + z2 = z2 + z1 , z at nh oi Phép cộng: lm ul Cấu trúc đại số số tính chất khác số phức: m co an Lu • (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 l • (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ), gm • z1 z2 = z2 z1 , @ Phép nhân: z • (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) n va ac th si Phép chia: Nếu z1 = wz2 , z2 6= 0, w ∈ C, kí hiệu phép chia số phức z1 z2 , z1 = w z2 Phép lấy bậc n Nếu z0 = wn , w ∈ C, kí hiệu bậc n số phức z0 √ n z0 = w Dấu lu ( Re z1 z1 = z2 ⇔ Im z1 an = Re z2 , = Im z2 va n Một số tính chất khác: giả sử số phức sau có biểu diễn tn to ie gh z1 = x1 + iy1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), p z2 = x2 + iy2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), nl w số phức liên hợp d oa z¯1 = x1 − iy1 , z¯2 = x2 − iy2 an lu Khi nf va • z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 z2 = z¯1 z¯2 lm ul • z¯1 = |z1 |(cos ϕ1 − i sin ϕ1 ), z¯2 = |z2 |(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) z at nh oi • |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, |z1 z¯1 | = |z1 |2 z gm @ • z1 z2 = |z1 ||z2 |(cos[ϕ1 + ϕ2 ] + i sin[ϕ1 + ϕ2 ]) z1 z¯2 |z1 | z1 = = (cos[ϕ1 − ϕ2 ] + i sin[ϕ1 − ϕ2 ]), với z2 6= z2 |z2 |2 |z2 | m co l • an Lu n va ac th si 1.2 Hàm phức Định nghĩa 1.2.1 Giả sử S tập C Hàm f : S → C quy tắc gán với z S số phức w Số w gọi giá trị f z ký hiệu f (z) Tập S gọi miền xác định hàm phức f (z) Khi miền xác định không đề cập, quy ước tập lớn để hàm xác định Ví dụ 1.2.2 Một số hàm phức Hàm đa thức lu P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n , an ci ∈ C, cn 6= 0, i = 0, 1, , n va n Hàm mũ số e to gh tn ez = ex (cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R p ie Hàm lượng giác Giới hạn liên tục d an lu 1.3 oa nl w ez + e−z ez − e−z cos z = , sin z = 2i nf va Định nghĩa 1.3.1 Giả sử hàm f (z) xác định tất điểm z lân cận z0 , khơng xác định z0 Hàm f (z) nói có giới hạn z0 với ε > tồn δ > cho z at nh oi lm ul < |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − w0 | < ε Trong trường hợp này, kí hiệu z gm @ lim f (z) = w0 z→z0 (ii) lim f (z) tồn tại, n va z→z0 an Lu (i) f (z0 ) xác định, m co l Định nghĩa 1.3.2 Hàm f (z) gọi liên tục điểm z0 ba điều kiện sau thỏa mãn: ac th si (iii) lim f (z) = f (z0 ) z→z0 Hàm f nói liên tục tập liên tục điểm tập Ví dụ 1.3.3 Các hàm đa thức P (z), hàm mũ ez , hàm lượng giác cos z, sin z liên tục mặt phẳng phức C 1.4 Đạo hàm hàm giải tích lu Định nghĩa 1.4.1 Giả sử hàm biến phức f (z) xác định lân cận z0 Hàm f (z) nói có đạo hàm điểm z0 giới hạn sau tồn hữu hạn f (z) − f (z0 ) lim z→z0 z − z0 an n va tn to Trong trường hợp này, kí hiệu đạo hàm f (z0 ) f (z) − f (z0 ) z→z0 z − z0 p ie gh f (z0 ) = lim oa nl w Định nghĩa 1.4.2 Hàm f biến phức z giải tích điểm z0 có đạo hàm điểm số lân cận z0 d Tiếp theo, giới thiệu điều kiện cần đủ để tồn đạo hàm hàm phức điểm nf va an lu z at nh oi lm ul Định lý 1.4.3 (Điều kiện cần để tồn đạo hàm) Giả sử f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) f (z) tồn điểm z0 = x0 + iy0 Khi đó, đạo hàm riêng bậc u v phải tồn (x0 , y0 ) chúng phải thỏa mãn phương trình Cauchy - Riemann (x0 , y0 ), u0x = vy0 , u0y = −vx0 z f (z0 ) = (u0x + 4 ≤ sup ε2i ≤ ε21 + ε22 + ε23 + ε24 → 0, = 2 ∆x + i∆y ∆x + ∆y i ε ∆y + iε ∆x ε2 ∆y + ε2 ∆x2 3 ≤ sup ε2i ≤ ε21 + ε22 + ε23 + ε24 → = 2 ∆x + i∆y ∆x + ∆y i co l gm @ m Từ biểu thức trên, ta thu tồn giới hạn an Lu n va f (z) − f (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) z→z0 z − z0 lim ac th si 10 Điều hồn tất chứng minh định lí Định lý 1.4.5 (Định lí Liouville) Nếu hàm f giải tích bị chặn C, f (z) hàm C Ví dụ 1.4.6 Xét hàm f (z) = z số phức z0 = + i Chúng ta kiểm tra tồn đạo hàm hàm f (z) điểm z0 Lời giải Ta thấy, với z = x + iy, f (z) = z = (x + iy)2 = x2 − y + i2xy = u + iv, u = x2 − y , v = 2xy Dễ dàng thấy rằng, đạo hàm riêng bậc u0x = 2x, u0y = −2y, vx0 = 2y, vy0 = 2x lu an n va liên tục lân cận điểm (1, 1) điều kiện Cauchy - Riemann thỏa mãn điểm z0 ,