(Luận văn) về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG lu an n va gh tn to VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON p ie THẦN KINH PHÂN THỨ d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ THÁI NGUYÊN, 04/2018 an Lu n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG lu an n va VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON p ie gh tn to THẦN KINH PHÂN THỨ nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC d oa Chuyên ngành: Toán ứng dụng u nf va an lu Mã số: 46 01 12 ll NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN oi m z at nh z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên, 4/2018 n va ac th si Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi lu phân phân thứ Caputo 10 an va 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12 n 1.4 Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ 13 tn to gh Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron 18 p ie thần kinh phân thứ w 2.1 Tính ổn định cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 oa nl 2.2 Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 21 d Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron lu 25 va an thần kinh không chắn phân thứ u nf 3.1 Tính ổn định lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn ll phân thứ 25 m oi 3.2 Tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh không z at nh chắn phân thứ 28 z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật [5, 6, 7] Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác tùy thuộc vào cách người ta tổng quát đạo hàm dn dxn cho trường hợp n không nguyên Tuy nhiên, hai khái niệm dùng phổ biến đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville đạo lu an hàm phân thứ Caputo Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville phát triển n va Abel, Riemann Liouville nửa đầu kỉ 19 Xét theo tiến trình tn to lịch sử, khái niệm đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, gh áp dụng khái niệm để mơ tả tượng thực tế gặp hạn chế p ie điều kiện ban đầu tốn giá trị đầu khơng có nhiều ý nghĩa vật lý w Đạo hàm phân thứ Caputo Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàm oa nl phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho toán d thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có an lu ý nghĩa vật lý Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo va nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ll u nf nước với nhiều toán khác nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa oi m Lyapunov hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [8], nghiên cứu tính z at nh ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9] Những năm gần đây, hệ phương trình nơ ron thần kinh phân thứ nhận z quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Có nhiều cơng trình @ gm cơng bố tạp chí quốc tế uy tín tốn ổn định theo nghĩa l Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian (xem [10] tài liệu tham khảo m co đó) Vì vậy, nói việc nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa theo nghĩa an Lu Lyapunov số lớp hệ nơ ron thần kinh tốn quan trọng có ý nghĩa khoa học Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định n va ac th si hóa theo nghĩa Lyapunov số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ dùng để chứng minh số kết Chương luận văn Ngồi ra, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer lớp hệ tuyến tính phân thứ lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3, 4, 6, 7] lu Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho an va tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Nội dung n chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11] gh tn to Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định ie hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ Đây nội p dung nghiên cứu luận văn d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục ký hiệu lu an va R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} n λmin(A) tn to chuẩn phổ ma trận A, kAk = kAk λmax(A⊤ A) ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn ie gh A≥0 p A≥B A>0 bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )⊤ ∈ Rn d lu không gian ma trận thực cỡ (n × r) an Rn×r ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= oa kxk nghĩa A − B ≥ nl w LMIs p u nf va C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α ll AC m [a, b] oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính lu ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương an va trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ n sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau tn to Kiến thức sử dụng chương tham khảo [3, 4, 6, 7] Giải tích phân thứ p ie gh 1.1 Tích phân phân thứ nl w 1.1.1 d oa Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân an lu thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm va tích phân lặp thơng thường ll u nf Định nghĩa 1.1 ([7]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- oi m Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 z at nh z tα−1 e−t dt, α > 0 gm @ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R α t0 It l Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước := I với I toán an Lu < α < cho định lí sau m co tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với n va Định lí 1.1 ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi ac th si đó, tích phân α t0 It x(t) hàm khả tích tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([3]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) =λ −α +∞ X lu j=0 an t > Đạo hàm phân thứ n va 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) tn to Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville ie gh đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều p lĩnh vực nl w Định nghĩa 1.2 ([6]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ an  dn  n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn u nf va RL α t0 Dt x(t) lu cho d oa R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R Z t t0 (t − s)n−α−1 x(s)ds, ll n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α đạo oi m hàm thông thường cấp n dn dtn z at nh z Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < l gm @ RL α Dt f (t) = n va t−α Γ(1 − α) an Lu Liouville cấp α hàm f (t) m co Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– ac th si Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] sau: lu  an AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1 f )(t) ∈ AC[a, b] va  d } D= dt n Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] gh tn to Mệnh đề 1.1 ([7]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng p ie sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X w k=0 ck (t − t0 )k , d oa nl ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 va an lu Ngoài ra, từ điều kiện ta có oi m (s), f (k) (t0 ) ck = (k = 0, 1, , n − 1) k! ll u nf ϕ(s) = f (n) z at nh Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville z Định lí 1.2 ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 n va Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Z an Lu = n−1 X m co RL α t0 Dt f (t) l diễn dạng sau tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu gm RL α t0 Dt f (t) @ hàm phân thứ ac th si Hệ 1.1 ([7]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t ′ f (t ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([6]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) lu λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] an Chứng minh Ta có n va + µg(t)] Z dn t = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 Z Z λ µ dn t dn t n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 p ie gh tn to RL α t0 Dt [λf (t) w d oa nl α = λ tRL Dtα f (t) + µ RL t0 Dt g(t) lu va an Định nghĩa 1.3 ([6]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ ll u nf R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho := n−α n D x(t), t0 It oi m C α t0 Dt x(t) đạo hàm thơng thường cấp n z at nh n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α D n = dn dxn z T gm @ Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ l Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) m co C α t0 Dt x(t) an Lu Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ n va cấp α ac th si 21 Sau đây, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Định lí 2.2 Ví dụ 2.1 Xét hệ (2.1), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 , T hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t), sin x3 (t)) ∈ R3 , I = (5, 1, −3)T ma trận   −2.5    C = diag{6, 7, 5.5}, B =  −1 1.5    −2.5 −1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Cho lu θ = 0.6, ta tính  an n va    tn to 0 0.6  0.4744 −0.1086 −0.1612     B T (C −1 )T C −1 B = −0.1086 0.2000 −0.0822 < θ(L−1 )2 =  0.6      0 0.6 −0.1612 −0.0822 0.2778 ie gh Do điều kiện Giả thiết Giả thiết thỏa mãn p liệu xét ví dụ Ngồi ra, cách sử dụng hộp công cụ w LMI MATLAB, ta có điều kiện (2.3) Định lí 2.2 thỏa mãn d oa nl với γ = 17.8226 ma trận   u nf va an lu 0.1010  2.7321 0.1613   P = 0.1613 2.4966 −0.0975   0.1010 −0.0975 3.0800 ll Vậy, theo Định lí 2.2, hệ cho ổn định Mittag–Leffer tồn cục oi m Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ z at nh 2.2 z @ l nơ ron thần kinh phân thứ gm Trong mục này, chúng tơi trình bày tính ổn định hóa hệ điều khiển m co Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ    C D α x(t) = −Cx(t) + Df (x(t)) + Bu(t), t an Lu (2.5) n va ac th   x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ 0, si 22 T α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, n T số nơ ron, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma trận đường chéo chính, xác định dương, D ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận số Tương tự mục trước, mục ta giả thiết hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn f (0) = tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } cho kf (y) − f (x)k ≤ kL(y − x)k, với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn lu an Định nghĩa 2.1 Hệ (2.5) gọi Mittag–Leffler ổn định hóa n va p ie gh tn to tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau    C D α x(t) = − [C − BK] x(t) + Df (x(t)), t ≥ 0,   t (2.6) n x(0) = x0 ∈ R , w ổn định Mittag–Leffer oa nl Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ điều d khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) lu va an Định lí 2.3 Hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) Mittag–Leffer u nf ổn định hóa tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , ll ma trận Y ∈ Rm×n số dương γ cho bất đẳng thức ma m oi trận tuyến tính sau thỏa mãn   T T T T −CP − P C + BY + Y B + γDD PL  <  T L P −γI z at nh (2.7) z @ t ≥ n va V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) an Lu Chứng minh Chọn hàm Lyapunov sau m co u(t) = Y P −1 x(t), l gm Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.5) xác định ac th si 23 Ta có λmin (P −1 )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 )kx(t)k2 Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: C α Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t)   = xT (t) −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t) + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) (2.8) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau: lu an va 2xT (t)P −1 Df (x(t)) ≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 f T (x(t))f (x(t)) n = γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 kf (x(t)) − f (0)k2 (2.9) to gh tn ≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 xT (t)L2 x(t) p ie Từ (2.8) (2.9), ta có (2.10) (t, x(t)) ≤ xT (t)Mx(t) ≤ λmax (M)kx(t)k2 , d oa nl w C α Dt V lu va an M = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + γP −1 DD T P −1 + γ −1 L2 ll u nf Nhân bên trái bên phải M với P đặt K = Y P −1 , ta oi m P MP = −CP − P C T + BY + Y T B T + γDD T + γ −1 P LLP z at nh Chú ý P MP < tương đương với M < Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều z kiện P MP < tương đương với điều kiện (2.7) Từ suy λmax(M) < hệ đóng (2.6) ổn định Mittag–Leffler toàn cục Sau ví dụ số minh họa cho Định lí 2.3 m co l gm @ Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, an Lu Ví dụ 2.2 Xét hệ (2.5), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 , n va ac th si 24 T hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t), sin x3 (t)) ∈ R3 ma trận    −0.5 −1.2    C = diag{5, 6, 5}, D =  1.71 1.15   −4.75 1.1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Cho lu θ = 0.99, ta tính      0.99  0.9403 0.0715 −0.1771     D T (C −1 )T C −1 D =  0.0715 0.1388 0.0546  < θ(L−1 )2 =  0.99      0 0.99 −0.1771 0.0546 0.0851 an Do điều kiện Giả thiết Giả thiết thỏa mãn va n liệu xét ví dụ Ngồi ra, cách sử dụng hộp cơng cụ tn to LMI MATLAB, ta có điều kiện (2.7) Định lí 2.2 thỏa mãn p ie gh với γ = 1.1053 ma trận   0.2525 −0.1918  0.8261 h i   P =  0.2525 1.5670 −0.8899 , Y = 0.1953 0.3950 −0.7136   −0.1918 −0.8899 1.9300 d oa nl w an lu Vậy, theo Định lí 2.3, hệ cho Mittag–Leffer ổn định hóa tồn cục ll u nf va với điều khiển ngược ổn định hóa xác định bởi: h i u(t) = 0.1468 0.0362 −0.3384 x(t), oi m t ≥ z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25 Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh khơng lu chắn phân thứ an n va định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ Đây gh tn to Trong chương luận văn chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn p ie nội dung nghiên cứu luận văn Theo định lí tồn nghiệm tồn cục (Định lí 1.8 Chương 1), lớp hệ xét chương Tính ổn định lớp hệ nơ ron thần kinh không d lu 3.1 oa nl w tồn nghiệm [0, +∞) u nf va an chắn phân thứ ll Xét hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ    C D α x(t) = − [C + ∆C(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)), t oi m z at nh   x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ 0, (3.1) T z α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, @ T gm n số nơ ron, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt m co l hệ nơ ron thần kinh phân thứ, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma trận đường chéo chính, xác định dương, D ma trận số, ∆C(t) = Gc Fc (t)Hc , ∆D(t) = an Lu Gd Fd (t)Hd , Gc , Hc , Gd , Hd ma trận số cho trước, Fc (t), Fd (t) n va ac th si 26 ma trận hàm chưa biết thỏa mãn điều kiện FcT (t)Fc (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, , n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz R với số Lipschitz li > 0(i = 1, , n), tức |fi (yi ) − fi (xi )| ≤ li |yi − xi |, với xi , yi ∈ R Điều kiện tương đương với điều kiện tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } thỏa mãn (3.2) lu kf (y) − f (x)k ≤ kL(y − x)k, an va với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn n Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffer hệ gh tn to (3.1) p ie Định lí 3.1 Hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ (3.1) ổn định Mittag–Leffer toàn cục tồn ma trận đối xứng, xác định dương nl w P ∈ Rn×n , số dương ǫ1 , ǫ2 , ǫ3 cho bất đẳng thức ma trận tuyến d oa tính sau thỏa mãn N11 P Gc P Gd     ∗ −ǫ2 I  < 0,   ∗ ∗ −ǫ3 I (3.3) ll u nf va an lu   oi m z at nh
N11 = −P C − C T P + ǫ2 + ǫ3 λmax(HdT Hd ) L2 z Chứng minh Chọn hàm Lyapunov sau @ m co Ta có l gm V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) an Lu λmin(P )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P )kx(t)k2 Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ n va ac th si 27 Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: C α Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C Dt x(t)   = xT (t) −P C − C T P x(t) − 2xT (t)P Gc Fc (t)Hc x(t) (3.4) + 2xT (t)P Df (x(t)) + 2xT (t)P Gd Fd (t)Hd f (x(t)) Áp dụng Bổ đề 1.1 điều kiện (3.2), ta thu đánh giá sau: T T T T (3.5) −2xT (t)P Gc Fc (t)Hc x(t) ≤ ǫ−1 x (t)P Gc Gc P x(t) + ǫ1 x (t)Hc Hc x(t), T T T 2xT (t)P Df (x(t)) ≤ ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 f (x(t))f (x(t)) (3.6) T T = ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 kf (x(t)) − f (0)k lu T T T ≤ ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 x (t)L x(t), an va 2xT (t)P Gd Fd (t)Hd f (x(t)) n T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 f (x(t))Hd Hd f (x(t)) tn to (3.7) T T T = ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd )kf (x(t)) − f (0)k p ie gh T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd )f (x(t))f (x(t)) w T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd )x (t)L x(t) d oa nl Từ (3.5), (3.6) (3.7), ta có (3.8) (t, x(t)) ≤ xT (t)N x(t) ≤ λmax (N )kx(t)k2 , u nf va an lu C α Dt V ll T T −1 T −1 T N = −P C − C T P + ǫ−1 P Gc Gc P + ǫ1 Hc Hc + ǫ2 P DD P + ǫ3 P Gd Gd P
+ ǫ2 + ǫ3 λmax(HdT Hd ) L2 oi m z at nh Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện N < tương đương với điều kiện (3.3) Từ suy λmax(N ) < Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa z mãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (3.1) ổn định Mittag–Leffler toàn cục @ gm Sau chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết m co l Định lí 3.1 Ví dụ 3.1 Xét hệ (3.1), với α ∈ (0, 1), n = 2, x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , hàm n va fi (xi ) = 0.5 (|xi + 1| − |xi − 1|) (i = 1, 2), an Lu T kích hoạt f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t))) ∈ R2 với ac th si 28 ma trận   h i C = diag{5, 6}, Gc =   , Hc = , Fc (t) = sin t,     h i     , Gd = , Hd = , Fd (t) = cos t D= −1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (3.3) Định lí 3.1 thỏa mãn với ǫ1 = 0.9336, ǫ2 = 0.7178, ǫ3 = 0.9157 ma trận lu  an P = 0.3027 0.0103 0.0103 0.2389  va  n Vậy, theo Định lí 3.1, hệ cho ổn định Mittag–Leffer tồn cục tn to Tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh p ie gh 3.2 không chắn phân thứ w = − [C + ∆C(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)) + [B + ∆B(t)] u(t), d (3.9) u nf   x(0) = x0 ∈ Rn , va an lu C α Dt x(t) oa nl Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ    T ll α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, n m T oi số nơ ron, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ z at nh Rn hàm kích hoạt hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma z trận đường chéo chính, xác định dương, D ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận @ số ∆C(t) = Gc Fc (t)Hc , ∆D(t) = Gd Fd (t)Hd , ∆B(t) = Gb Fb (t)Hb l gm Gc , Hc , Gd , Hd , Gb , Hb ma trận số cho trước, Fc (t), Fd (t), Fb (t) ma trận hàm chưa biết thỏa mãn điều kiện m co an Lu FcT (t)Fc (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I n va ac th si 29 Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, , n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz R với số Lipschitz li > 0(i = 1, , n), tức |fi (yi ) − fi (xi )| ≤ li |yi − xi |, với xi , yi ∈ R Điều kiện tương đương với điều kiện tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } thỏa mãn (3.10) kf (y) − f (x)k ≤ kL(y − x)k, với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Định nghĩa 3.1 Hệ (3.9) gọi ổn định hóa Mittag–Leffler lu an n va   x(0) = x0 ∈ Rn , (3.11) gh tn to tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau    C D α x(t) = − [C + ∆C(t) − BK − ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)), t p ie ổn định Mittag–Leffer w Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ điều oa nl khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ (3.9) d Định lí 3.2 Hệ điều khiển nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ (3.9) an lu ổn định hóa Mittag–Leffer tồn ma trận đối xứng, xác định va u nf dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n số dương ǫi (i = 1, 2, 3, 4) ll cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   W11 P HcT Y T HbT P L κP L    ∗ −ǫ I 0       < 0,  ∗ ∗ −ǫ I 0       ∗ ∗ ∗ −ǫ I   ∗ ∗ ∗ ∗ −κǫ4 I oi m z at nh z (3.12) m co an Lu κ = λmax(HdT Hd ), l gm @ n va W11 = −CP − P C T + BY + Y T B T + ǫ1 Gc GTc + ǫ2 Gb GTb + ǫ3 DD T + ǫ4 Gd GTd ac th si 30 Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.9) xác định u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ Chứng minh Chọn hàm Lyapunov cho hệ đóng (3.11) sau V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Ta có λmin (P −1 )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 )kx(t)k2 Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: lu an C α Dt V n va α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t)   = xT (t) −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t) tn to + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) + 2xT (t)P −1 Gd Fd (t)Hd f (x(t)) p ie gh (3.13) w Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau: oa nl T T − 2xT (t)P −1 Gc Fc (t)Hc x(t) ≤ ǫ1 xT (t)P −1 Gc GTc P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)Hc Hc x(t), d (3.14) lu an 2xT (t)P −1 Gb Fb (t)Hb Kx(t) va (3.15) ll u nf T T T ≤ ǫ2 xT (t)P −1 Gb GTb P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)K Hb Hb Kx(t), ≤ ǫ2 x (t)P −1 Gb GTb P −1 x(t) + (3.16) T T T ǫ−1 x (t)K Hb Hb Kx(t), z at nh T oi m 2xT (t)P −1 Gb Fb (t)Hb Kx(t) z T 2xT (t)P −1 Df (x(t)) ≤ ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 f (x(t))f (x(t)) gm @ = ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 kf (x(t)) − f (0)k l T ≤ ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)L x(t), m co (3.17) an Lu n va ac th si 31 2xT (t)P −1 Gd Fd (t)Hd f (x(t)) T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 f (x(t))Hd Hd f (x(t)) (3.18) T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd )f (x(t))f (x(t)) T = ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd )kf (x(t)) − f (0)k T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd )x (t)L x(t) Từ (3.13) đến (3.18), ta có C α Dt V (3.19) (t, x(t)) ≤ xT (t)Wx(t) ≤ λmax (W)kx(t)k2 , lu T W = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + ǫ1 P −1 Gc GTc P −1 + ǫ−1 Hc Hc an va T T −1 DD T P −1 + ǫ−1 + ǫ2 P −1 Gb GTb P −1 + ǫ−1 L K Hb Hb K + ǫ3 P n + ǫ4 P −1 Gd GTd P −1 + ǫ−1 κL tn to ie gh Nhân bên trái bên phải W với P đặt K = Y P −1 , ta p T T P WP = −CP − P C T + BY + Y T B T + ǫ1 Gc GTc + ǫ−1 P Hc Hc P + ǫ2 Gb Gb nl w T T T −1 T −1 + ǫ−1 Y Hb Hb Y + ǫ3 DD + ǫ3 P L P + ǫ4 Gd Gd + ǫ4 κP L P d oa Chú ý P WP < tương đương với W < Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều an lu kiện P WP < tương đương với điều kiện (3.12) Từ suy λmax(W) < va Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, u nf hệ đóng (3.11) ổn định Mittag–Leffler tồn cục ll Chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết Định lí 3.2 m oi Ví dụ 3.2 Xét hệ (3.9), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , hàm z at nh T z kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t)) ∈ R2 ma trận   h i 0.1   C = diag{3, 3}, Gc = , Hc = , Fc = cos t, 0.3     h i 0.9 0.8     D= , Gd = , Hd = 0.8 0.9 , Fd (t) = cos t, 0.5 0.7     h i B =   , Gb =   , Hb = , Fb (t) = sin t m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1} Bằng cách sử dụng hộp cơng cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (3.12) Định lí 3.2 thỏa mãn với ǫ1 = 3.2385, ǫ2 = 1.9621, ǫ3 = 1.1908, ǫ4 = 3.0083 ma trận  P = 1.7080 −0.4748 −0.4748 0.9005  h i  , Y = −1.4390 −0.1571 Vậy, theo Định lí 2.3, hệ cho Mittag–Leffer ổn định hóa tồn cục lu với điều khiển ngược ổn định hóa xác định bởi: h i u(t) = −1.0440 −0.7249 x(t), t ≥ an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo • Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo • Đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lu lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ Caputo an n va • Đưa số ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học, 2017 Tiếng Anh lu an [2] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix n va Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin p ie gh tn to [3] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An nl w [4] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and Castro- oa Linares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove d Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications lu va an in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 u nf [5] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World ll Science Publishing, Singapore oi m Springer z at nh [6] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, z @ [7] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Appli- l gm cations of Fractional Differential Equations, Springer m co [8] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mit- an Lu tagLeffer stability” Computers and Mathematics with Applications, 59(5), n va 1810–1821 ac th si 35 [9] Li M and Wang J (2017), “Finite time stability of fractional delay differential equations” Applied Mathematics Letters, 64, 170–176 [10] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017) “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [11] Zhang S., Yu Y and Yu J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si