(Luận văn) vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— NGUYỄN MẠNH ĐỨC lu an VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO GIẢI va n MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— NGUYỄN MẠNH ĐỨC lu VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO GIẢI an n va MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI gh tn to p ie Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si Mục lục Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý cộng 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.2 Nguyên lý nhân 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.3 Nguyên lý bù trừ, thêm bớt 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Ví dụ 1.4 Hàm sinh 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các định lý mệnh đề d oa nl w 16 16 16 16 23 23 24 30 30 30 36 36 nf va an lu 6 7 9 10 13 13 13 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Vận dụng phương pháp đếm vào giải toán 2.1 Vận dụng phương pháp truy hồi 2.1.1 Ý tưởng 2.1.2 Một số ví dụ 2.2 Vận dụng phương pháp song ánh 2.2.1 Ý tưởng 2.2.2 Một số ví dụ 2.3 Vận dụng phương pháp đa thức số phức 2.3.1 Ý tưởng 2.3.2 Ví dụ 2.4 Vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh 2.4.1 Ý tưởng ac th si 2.4.2 Ví dụ 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Trong chương trình tốn trường THPT nói chung, nội dung dành cho học sinh giỏi nói riêng, “bài tốn đếm” thu hút quan tâm học sinh tính thực tiễn đa dạng, phong phú dạng tập thường có mặt đề thi học sinh giỏi hàng năm cấp Tuy nhiên việc giải toán dạng thường khó nhiều học sinh, lý học sinh chưa nắm biết cách vận dụng phép đếm vào toán cụ thể Cũng có số tác giả đưa vài dạng tập liên quan đến hướng nghiên cứu luận văn như: Văn Phú Quốc [7], Nguyễn Văn Nho [8] Tuy nhiên tài liệu chưa phân nhóm, đưa cách tường minh, rõ ràng ý tưởng, phương pháp vận dụng phép đếm vào giải tốn Với mục đích tìm hiểu, sưu tầm hệ thống toán mà lời giải có vận dụng phép đếm để sử dụng tập vào việc ôn tập, bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi trường THPT, chọn đề tài: “Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải số toán thi học sinh giỏi” Nhiệm vụ cụ thể luận văn là: (1) Hệ thống số tính chất chương trình tốn phổ thơng để khởi đầu cho việc tìm hiểu phép đếm nâng cao (2) Giới thiệu số phép đếm nâng cao minh họa việc vận dụng chúng vào giải số tập, đề thi học sinh giỏi Trong trình thực đề tài, luận văn tham khảo trích dẫn số tập tài liệu tham khảo đồng thời cố gắng đưa lời giải chi tiết cho số ví dụ mà tài liệu tham khảo đưa hướng giải lời giải vắn tắt Vì SGK, chương trình tốn THPT không dạy phép đếm cách tường minh; nên để phân biệt gọi tạm d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si “Phép đếm nâng cao” Để hồn chỉnh luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Trịnh Thanh Hải (Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun), thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên thầy giảng dạy lớp cao học tốn K9A Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô xin gửi lời tri ân đến thầy cô Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy tồn thể thầy trường hướng dẫn tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va p ie gh tn to Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Chủ đề nghiên cứu từ kỉ XVII, vấn đề tổ hợp nêu cơng trình nghiên cứu trị chơi may rủi Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp Đếm đối tượng để giải nhiều toán khác oa nl w Nguyên lý cộng d 1.1 lu nf va an Đây nguyên lý tổ hợp, vận dụng rộng rãi vào giải toán đếm Nếu A B hai tập hợp khơng giao |A ∪ B| = |A| + |B| Các tập hợp xét tập hợp có hữu hạn phần tử ký hiệu |A| số phần tử tập hợp A z at nh oi lm ul 1.1.1 Định nghĩa z Cho Ai , i = 1, n tập rời Khi n n [ 1.3 Nguyên lý bù trừ, thêm bớt 1.3.1 Định nghĩa Cho X tập hữu hạn A ⊂ X Gọi A¯ = X/A Khi ta có: ¯ = |X| − |A| |A| Nhận xét 1.3.1 Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hợp hữu hạn A1 , A2 , A3 , ta có: |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A2 ∩ A3 | − |A3 ∩ A1 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | lu quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , Ak ta có: an n va |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk p ie gh tn to Nm (1 ≤ m ≤ k) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa X Nm = |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | oa nl w 1≤i1