(Luận văn) thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ ĐÌNH THẢN lu an n va PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN p ie gh tn to THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ ĐÌNH THẢN lu an n va PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN p ie gh tn to THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh z m co l gm @ GS.TS Trần Vũ Thiệu an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si iii Mục lục Danh mục hình vẽ lu Danh mục ký hiệu an n va gh tn to Mở đầu p ie KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM PHÂN THỨC AFIN oa nl w 1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.3 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER 11 d 1.4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN 14 an lu nf va THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN oi lm ul TUYẾN TÍNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) 18 z at nh 2.1.1 Biến đổi (LFP) tốn tuyến tính (LP) 18 2.1.2 Thuật toán 20 z 2.1.3 Ví dụ minh họa 20 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) 25 gm @ m co l 2.2.1 Cơ sở phương pháp 26 2.2.2 Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu mẫu số 27 2.2.3 Ví dụ minh họa 28 an Lu 2.2.4 Bài toán cực tiểu 29 n va TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN 32 ac th si iv 3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH 32 3.1.1 Ký hiệu kết chuẩn bị 32 3.1.2 Sự hội tụ toàn cục thuật toán 34 3.2 THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN 36 3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU lu an n va Tập số thực Không gian véctơ n chiều Rn+ Tập véctơ không âm Rn T kxk Ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận Chuẩn Euclid véctơ x ∈ Rn |x| {xk }, {xk } Giá trị tuyệt đối x ∈ R Dãy điểm Rn hx, yi [x, y] Tích vơ hướng hai vectơ x y Đoạn thẳng nối x y Rn p ie gh tn to R Rn d oa nl w x≤y Véctơ x lớn hay véctơ y, (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) ul nf va x≥y an lu Véctơ x nhỏ hay véctơ y, (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x phần tử tập X x không phần tử tập X int X Phần tập X C ∅ Bao đóng tập C Tập hợp rỗng A+B A∪B Tổng véctơ hai tập A B Hợp hai tập A B A∩B A×B Giao hai tập A B Tích Đề hai tập A B oi lm x∈X x∈ /X z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si A⊂B A tập B A⊆B (mọi phần tử A phần tử B A tập (có thể bằng) B S ⊆ Rn Tập lồi đa diện Rn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ lu Chương 1: - Hình 1.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.1 an - Hình 1.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.2 n va - Hình 2.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.2 - Hình 2.3 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.6 p ie gh tn to Chương 2: - Hình 2.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.1 w Chương 3: d oa nl - Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU lu Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt LFP), rộng quy hoạch phân thức phi tuyến, mở rộng an n va trực tiếp quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP), với đối tượng nghiên cứu tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm gh tn to phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), tập ràng buộc xác định đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính p ie Các tốn quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mơ tả oa nl w tốn học cho nhiều toán thực tế với hàm mục tiêu phân thức, chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v ứng d dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, tài chính, kỹ thuật, v.v an lu ul nf va Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quy hoạch tuyến tính, lý thuyết lẫn phương pháp giải Trong số oi lm trường hợp riêng, tốn quy hoạch phân tuyến tính trở thành tốn quy hoạch tuyến tính giải theo thuật tốn đơn hình quen z at nh thuộc quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác giả tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính giải z @ hay nhiều toán quy hoạch tuyến tính l gm Luận văn với đề tài "Thuật toán giải số toán tối ưu phân thức tuyến tính phi tuyến" nhằm tìm hiểu trình bày m co số thuật toán gần đây, nêu tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) an Lu giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số) n va ac th si Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại hàm phân thức afin tính chất, tốn quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ quy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính cuối chương giới thiệu phương pháp tiêu biểu dựa thuật tốn đơn hình để giải quy hoạch phân tuyến tính Chương "Thuật tốn cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính" trình bày thuật tốn cải tiến M B Hasan S Acharjee nêu [5] giải tốn quy hoạch phân tuyến tính (LFP) cách đưa lu an toán quy hoạch tuyến tính (LP) thuật tốn P Pandian n va M Jayalakshmi nêu [7] đưa (LFP) giải hai toán (LP) Chương "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức p ie gh tn to phi tuyến" trình bày kết nghiên cứu A Jeflea nêu [6] tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán nl w Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp d oa cận tham số giải toán phân thức tuyến tính (LFP) Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc lu nf va an tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn oi lm ul soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót z at nh định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện z Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình giúp @ l gm đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại m co học Thái Nguyên GS, PGS, TS Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam an Lu n va giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu ac th si Thái Nguyên, ngày 21 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Lê Đình Thản lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 21 lu an n va p ie gh tn to Hình 2.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.1 ! ! ! −2 −5/2 α 1 p=c− d= − = ,γ = β 32 −1/2 !   y 1 −1 −5 + = − y1 − y2 + → min, ⇒ g(y) = pT y +γ = 2 2 2 y2 với ràng buộc:  b b T Ax ≤ b, x ≥ ⇔ M y ≤ q, y ≥ ⇔ A + d y ≤ , y ≥ β β        ! ! −1 4   1  y y1       ⇔  14  , >   +  14  (1 3)× y2 y2 6 d oa nl w  oi lm ul nf va an lu !     ! −1 1 y1    21   ≤  7/2 ⇔   +  /2 /2 × y2 3/2 9/2 3/2     ! ! y1 y1     ⇔  11/2 23/2  × ≤  7/2  , ≥ y2 y2 3/ 11/2 3/2     4y2 ≤ 4y2 ≤        11y + 23y ≤  11 y + 23 y ≤ 2 2 ⇔ ⇔ 11   y + y ≤ 3y + 11y ≤  2  2      y ≤ 0, y ≤  y ≤ 0, y ≤   z at nh  , z ≥ y2 ! ! m co l gm @ y1 ! n va an Lu ac th si 22 Vậy toán (LP) tương đương 1 g(y) = − y1 − y2 + −→ min, 2 với điều kiện ràng buộc   4y2 ≤     11y + 23y ≤  3y + 11y ≤     y ≤ 0, y ≤ lu an 12 Nghiệm tối ưu (LP) :y1∗ = , y2∗ = g(y ∗ ) = 11 11 βyk Trở lại biến x: xk = , k = 1, 2; − dT y n va = ⇒ x∗1 = 7, x∗2 = 11 11 p ie gh tn to − dT y = − Thay giá trị vào hàm mục tiêu ban đầu ta nl w d oa f (x∗ ) = −2 × + × + 12 =− 1×7+3×0+4 11 lu 12 11 nf va an Vậy nghiệm tối ưu (LFP) x∗1 = 7, x∗2 = với fmin = − oi lm ul Ví dụ 2.2 Tìm nghiệm tối ưu tốn quy hoạch phân tuyến tính: 2x1 + 3x2 −→ min, x1 + x2 − z at nh f (x) = với ràng buộc: x1 + x2 ≤ 3, −x1 − 2x2 ≤ −3, x≥ 0, x2 ≥ z Giải @ ,b = ! , −3 m co l gm 1 Trong ví dụ n = 2, m = 2, A = −1 −2 ! ! c= ,d = , α = β = −1 1 Tập ràng buộc S vẽ Hình 2.2 ! an Lu n va ac th si 23 lu Hình 2.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.2 an va n α p=c− d= β ! tn to − −1 ! ,γ = α =0 β ie gh ⇒ g(y) = pT y + γ = 2y1 + 3y2 −→ max, p với ràng buộc:  d oa nl w  b T b Ax ≤ b, x ≥ ⇔ M y ≤ q, y ≥ ⇔ A + d y ≤ , y ≥ β β ! ! ! ! !   −3 y1 1 ,y ≥ − × ⇔ 1 y2 −1 −2 −3 ! + y1 ≤ y1 × −3 ≤ ! , y1 y2 −3 ! , ! ≥ y1 ! ≥ y2 ! ! z an Lu n va ac th g(y) = 2y1 + 3y2 −→ max,    −2y1 − 2y2 ≤ −3 với ràng buộc 2y1 − +y2 ≤   y1 ≥ 0, y2 ≥ m co l gm @ y2    −2y1 − 2y2 ≤ −3 ⇔ 2y1 − +y2 ≤   y1 ≥ 0, y2 ≥ Vậy toán (LP) tương ứng ! y2 z at nh × ! !! oi lm −1 −2 ! −2 −2 −3 −3 ul ⇔ nf va an lu ⇔ si 24 lu Nghiệm tối ưu toán (LP): y1∗ = 0, y2∗ = g(y ∗ ) = βyk Trở lại biến x : xk = , k = 1, 2; − dT y = − = −2 − dT y ⇒ x∗1 = 0, x∗2 = Thay giá trị vào hàm mục tiêu ban đầu ta được: 2×0+3× = f (x∗ ) = 1×0+1× −1 Vậy nghiệm tối ưu (LFP) x∗1 = 0, x∗2 = với fmax = an n va p ie gh tn to Ví dụ 2.3 Tìm nghiệm tối ưu tốn quy hoạch phân tuyến tính: x1 + 2x2 + 3, 5x3 + x4 + f (x) = −→ max, với ràng buộc 2x1 + 2x2 + 3, 5x3 + 3x4 + 2x1 + x2 + 3x3 + 3x4 ≤ 10, x1 + 2x2 + x3 + x4 ≤ 14, x1 , x2 , x3 , x4 ≥ Giải Trong ví dụ n = 4, m = 2, α = 1, β =     ! !     2  2  3 10    A= ,b = ,c =   3,  , d =  3,  1 14     d oa nl w ul   oi lm  nf va an lu Tính đại lượng   1/2  z at nh            3/2  α −  = ,γ = α = p=c− d=       β β  3,   3,   10,5/4  1/4 3 10, 1 g(y) = pT x + γ = y1 + y2 + y3 + y4 + −→ max, 2 4 với ràng buộc   b T b Ax ≤ b, x ≥ ⇔ M y ≤ q, y ≥ ⇔ A + d )y ≤ , y ≥ β β   !  y1  ! 10/4  47/4 42/4  y  ≤ ⇔ , y ≥  14/4 53/4 46/4   y3  y4 z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25 Vậy toán (LP) tương đương 10, 1 y3 + −→ max, g(y) = y1 + y2 + 2 4  42 47 42   7y1 + 6y2 + /4y3 + /4y4 ≤ /4 8y1 + 9y2 + 53/4y3 + 46/4y4 ≤ 14/4   y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ Nghiệm tối ưu (LP): y1∗ = 0, y2∗ = 0, 304762, y3∗ = 0, 0571429, y4∗ = g(y ∗ ) = 0, 857143 lu Trở lại biến x : an βyk , k = 1, 2, 3, − dT y − dT y = − 0, 0809524 = 0, 190476 n va xk = to gh tn ⇒ x∗1 = 0; x∗2 = 6, 4; x∗3 = 1, 2; x∗4 = p ie Thay giá trị vào hàm mục tiêu ban đầu ta d oa nl w × 6, + 3, × 1, + = ≈ 0, 857143 × 6, + 3, × 1, + Vậy nghiệm tối ưu (LFP) x∗1 = 0; x∗2 = 6, 4; x∗3 = 1, 2; x∗4 = với fmax = ≈ 0, 857143 Phương pháp M B Hasan S Acharjee có chung ý f (x∗ ) = ul nf va an lu oi lm tưởng với phương pháp A Charnes W W Cooper giới z at nh thiệu Chương 1, cho phép đưa (LFP) toán (LP), với biến số ràng buộc Tuy nhiên, phương pháp z có hạn chế địi hỏi β 6= Cũng cần nghiên cứu mở rộng cho miền ràng buộc vơ hạn Kết tính tốn thử nghiệm giải @ l gm toán (LFP) cho thấy phương pháp đơn giản có hiệu tốt, có ích dùng để giải tốn thực tế nơng nghiệp, lập m co kế hoạch sản xuất tài chính, y tế quản lý bệnh viện, v.v an Lu 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) va n Cũng mục trước, xét toán quy hoạch phân tuyến tính ac th dạng: si 26 cT x + α : Ax ≤ b, x ≥ 0}, dT x + β A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , x, c, d ∈ Rn , α, β ∈ R Ta giả thiết tập chấp nhận max{f (x) = (LFP) S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} = ∅ bị chặn, dT x + β > 0, ∀x ∈ S 2.2.1 Cơ sở phương pháp lu Từ toán (LFP) cho, lập hai toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu, tương ứng với tử số (bài toán cực đại) mẫu số (bài an toán cực tiểu: n va Hai định lý sau liên kết nghiệm toán (LFP), toán (P) toán (Q) sử dụng phương pháp giải đề xuất p ie gh tn to max{p(x) = cT x + α : Ax ≤ b, x ≥ 0} min{q(x) = dT x + β : Ax ≤ b, x ≥ 0} (P) Q) oa nl w Định lý 2.1 Giả sử x0 nghiệm tối ưu toán (P) Nếu q trình giải tốn (Q) theo thuật tốn đơn hình, xuất phát từ d nghiệm chấp nhận ban đầu x0 , ta thu dãy nghiệm sở chấp lu ul nf va an nhận xn cho f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = 0, 1, 2, , n − f (xn ) ≥ f (xn+1 ), xn nghiệm tối ưu toán (LFP) oi lm Chứng minh Rõ ràng xn nghiệm chấp nhận toán (LFP) Giả sử u nghiệm chấp nhận toán z at nh (LFP) Điều kéo theo q(u) ≤ q(xn ) q(u) > q(xn ) a) Trường hợp q(u) ≤ q(xn ) : Do f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = z 0, 1, 2, , n − 1, f (xn ) ≥ f (xn+1) (Q) toán cực tiểu, f (xn ) ≥ f (u) Vì thế, xn nghiệm tối ưu toán (LFP) gm @ l b) Trường hợp q(u) > q(xn ) : Do f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = m co 0, 1, 2, , n − 1, f (xn ) ≥ f (xn+1 ) (Q) tốn cực tiểu, kết luận f (xn ) ≥ f (u) Vì thế, xn nghiệm tối ưu an Lu  ac th (LFP) định lý chứng minh n va toán (LFP) Vậy hai trường hợp xn nghiệm tối ưu toán si 27 Định lý 2.2 Giả sử x0 nghiệm tối ưu tốn (P) Nếu q trình giải tốn (Q) theo thuật tốn đơn hình, xuất phát từ nghiệm chấp nhận ban đầu x0 , ta thu dãy nghiệm sở chấp nhận xn cho f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = 0, 1, 2, , n xn+1 nghiệm tối ưu tốn (Q), xn+1 nghiệm tối ưu toán (LFP) Chứng minh Rõ ràng xn+1 nghiệm chấp nhận lu toán (LFP) Giả sử v nghiệm chấp nhận toán (LFP) Do xn+1 nghiệm tối ưu toán (Q), an n va q(v) ≥ q(xn+1 ) Bây f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = 0, 1, 2, , n xn+1 nghiệm tối ưu toán (Q), ta kết luận p ie gh tn to f (xn+1 ) ≥ f (v) Vì thế, xn+1 nghiệm tối ưu tốn (LFP) định lý chứng minh  Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu mẫu số nl w 2.2.2 d sau oa Phương pháp tìm nghiệm tối ưu (cực đại) (LFP) theo bước lu nf va an Bước Từ toán (LFP) cho lập hai tốn quy hoạch tuyến tính mục tiêu (P) (Q) (một tốn tìm cực đại, tốn oi lm ul tìm cực tiểu) Bước Dùng thuật tốn đơn hình tìm nghiệm tối ưu z at nh toán (P) Giả sử nghiệm sở tối ưu thu x0 với f0 := f (x0 ) Bước Dùng x0 làm nghiệm sở ban đầu, giải toán (Q) z theo thuật tốn đơn hình để tìm dãy nghiệm sở chấp nhận (Q) {xn } tính giá trị hàm f nghiệm sở tìm dược l gm @ f (xk ), k = 0, 1, 2, m co Bước (a) Nếu f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = 0, 1, 2, , n − f (xn ) ≥ f (xn+1 ) với số n đó, dừng q trình tính tốn an Lu chuyển sang bước (b) Nếu f (xk ) ≤ f (xk+1 ) với k = 0, 1, 2, , n xn+1 nghiệm va n tối ưu tốn (Q) với n đó, dừng q trình tính tốn chuyển sang bước ac th si 28 Bước xn nghiệm tối ưu (LFP) fmax = f (xn ) theo Định lý 2.1 Bước xn+1 nghiệm tối ưu (LFP) fmax = f (xn+1 ) theo Định lý 2.2 Nhận xét 2.1 Giá trị lớn (n + 1) số vòng lặp để nhận nghiệm tối ưu toán (Q) theo thuật tốn đơn hình Nhận xét 2.2 Phương pháp đơn giản, không cần biến đổi hàm lu mục tiêu hàm ràng buộc toán cần giải, làm phương an pháp trước, giữ nguyên vẹn cấu trúc vốn có hệ ràng buộc tốn Hơn nữa, gộp q trình giải hai tốn (P) n va gh tn to (Q) lại với nhau, cách thay dòng mục tiêu bảng đơn hình cuối tốn thứ dịng mục tiêu tốn thứ hai p ie tiếp tục giải toán thứ hai gặp tình nêu Bước 4a) 4b) dừng trình giải nl w Ví dụ minh họa d oa 2.2.3 nf va dụ sau an lu Phương pháp giải (LFP) trình bày minh họa qua ví f (x) = p(x) 5x1 + 6x2 = −→ max, q(x) 2x2 + z at nh với ràng buộc oi lm ul Ví dụ 2.4 Xét tốn (LFP): z gm @ 2x1 + 3x2 ≤ 6, 2x1 + x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ m co l Với toán này, ta xét hai tốn tuyến tính (một mục tiêu): (P ) max{p(x) = 5x1 +6x2 : 2x1 +3x2 ≤ 6, 2x1 +x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} an Lu min{q(x) = 2x2 + : 2x1 + 3x2 ≤ 6, 2x1 + x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Dùng thuật tốn đơn hình giải (P), ta nghiệm tối ưu x0 =  T 3 51 , với giá trị tối ưu p(x0 ) = = 12, 75 giá trị tương ứng 4 51 f (x0 ) = = 1, 275 40 (Q) n va ac th si 29 Theo Bước phương pháp trình bày, chọn x0 làm nghiệm lu sở ban đầu, giải toán (Q) theo thuật tốn đơn hình ta thu  T 15 với q(x1 ) = giá trị tương ứng f (x1 ) = lời giải x1 = ,0 ≈ 14 1, 071429 15 Do f (x0 ) = 1, 275 > f (x1 ) = ≈ 1, 071429 theo Bước 4a) 14 phương pháp trình bày, nghiệm tối ưu toán quy hoạch 3 phân tuyến tính cho x∗1 = , x∗2 = giá trị mục tiêu tối ưu 15 fmax = ≈ 1, 275 14 an n va với ràng buộc ie gh tn to Ví dụ 2.5 Xét tốn (LFP): p(x) x1 + 2x2 f (x) = = −→ max, q(x) 2x1 − x2 + p −x1 + 2x2 ≤ 2, x1 + x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ d oa nl w Với toán này, ta xét hai tốn tuyến tính (một mục tiêu): (P ) max{p(x) = x1 + 2x2 : −x1 + 2x2 ≤ 2, x1 + x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} oi lm ul nf va an lu (Q) min{q(x) = 2x1 −x2 +2 : −x1 +2x2 ≤ 2, x1 +x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Dùng thuật tốn đơn hình giải (P), ta nghiệm tối ưu x0 = (2, 2)T với giá trị tối ưu p(x0 ) = giá trị tương ứng f (x0 ) = = 1, Theo Bước phương pháp trình bày, chọn x0 làm nghiệm sở ban đầu, giải toán (Q) theo thuật tốn đơn hình ta thu z at nh nghiệm tối ưu x1 = (0, 1)T với q(x1 ) = giá trị tương ứng f (x1 ) = Theo Bước 4b) phương pháp trình bày, nghiệm tối ưu z tốn quy hoạch phân tuyến tính cho x∗1 = 0, x∗2 = giá trị mục tiêu tối ưu fmax = m co Bài toán cực tiểu l gm @ 2.2.4 tính: an Lu Cùng với toán cực đại, ta xét toán cực tiểu hàm phân tuyến n va cT x + α (LFP) min{f (x) = T : Ax ≤ b, x ≥ 0}, d x+β với ký hiệu giả thiết toán cực đại ac th si 30 Bài toán cực tiểu đưa toán cực đại cách đổi dấu tử số hàm mục tiêu ban đầu:   cT x + α :Ax b,x > fmin = f (x) = T d x+β   −cT x − α = − max f (x) = T :Ax b,x > d x+β Áp dụng phương pháp trình bày để tìm cực đại hàm g(x) lu Từ cho ta lời giải tốn ban đầu Để minh họa ta xét ví dụ sau an n va Ví dụ 2.6 Xét tốn cực tiểu (LFP): to gh tn f (x) = p(x) 2x1 − x2 − = −→ min, q(x) x1 + x2 + p ie với ràng buộc x ∈ S, đó: oa nl w S = {x ∈ R2 : −2x1 + 7x2 ≤ 28, 3x1 − x2 ≤ 15, 2x1 + x2 ≥ 2, x1 , x2 ≥ 0} Tập chấp nhận S vẽ Hình 2.3 d oi lm ul nf va an lu z at nh z gm @ l Hình 2.3 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.6 m co Ta đưa toán cực tiểu min{f (x) : x ∈ S} toán cực đại max{g(x) : x ∈ S} với an Lu −p(x) −2x1 + x2 + = −→ max q(x) x1 + 2x2 + n va g(x) = −f (x) = ac th Với toán cực đại, ta xét hai tốn tuyến tính (một mục tiêu): si 31 max{−2x1 + x2 + : x ∈ S}, min{x1 + 2x2 + : x ∈ S} (P) (Q) Dùng thuật tốn đơn hình giải (P), ta nghiệm tối ưu x0 = (0, 4)T với giá trị tối ưu −p(x0 ) = giá trị tương ứng g(x0 ) = ≈ 0, 555555 Theo Bước phương pháp trình bày, chọn x0 làm nghiệm sở ban đầu, giải toán (Q) theo thuật tốn đơn hình, ta thu liên tiếp hai nghiệm chấp nhận (Q): = 0, b) x2 = (1, 0)T với q(x2 ) = giá trị tương ứng g(x2 ) = −0, Do g(x1 ) = 0, > g(x2 ) = −0, theo Bước 4a) phương lu a) x1 = (0, 2)T với q(x1 ) = giá trị tương ứng g(x1 ) = an n va gh tn to pháp trình bày, nghiệm tối ưu toán max{g(x) : x ∈ S} x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = x1 = (0, 2)T với giá trị mục tiêu tối ưu gmax = 0, p ie Từ kết suy nghiệm tối ưu toán cực tiểu: x∗1 = 0, x∗2 = với giá trị mục tiêu tối ưu fmin = −gmax = −0, w d oa nl Tóm tắt chương Chương trình bày thuật toán cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính (LFP) nhờ đưa hay hai tốn lu tốn trình bày oi lm ul nf va an quy hoạch tuyến tính (LP) nêu số ví dụ minh họa cho thuật z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Chương TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI lu an QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI n va p ie gh tn to TUYẾN oa nl w Chương trình bày kết nghiên cứu A Jeflea (2003) tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán d Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp an lu oi lm ul nf va cận tham số giải toán phân thức tuyến tính (LFP) Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [6] 3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH z at nh Mục đề cập tới toán quy hoạch phân thức, thuật toán z Dinkelbach hội tụ tồn cục thuật tốn cho trường hợp tổng quát m co Ký hiệu kết chuẩn bị l gm @ 3.1.1 an Lu Quy hoạch phân thức tổng quát mô tả dạng toán: p(x) (P) min{f (x) = : x ∈ X}, q(x) X tập compact khác rỗng Rn , p(x) q(x) n va ac th si 33 hàm giá trị thực liên tục x ∈ X Hơn ta giả thiết q(x) > với x ∈ X (3.1) Do f (x) hàm liên tục tập compact X nên tốn (P) có nghiệm Ký hiệu S tập nghiệm tối ưu toán (P) Jagannathan (1966) đưa kết luận sâu sắc mặt lý thuyết cho mối quan hệ quy hoạch phân thức phi tuyến quy hoạch tham số phi tuyến Ông nghiên cứu mối quan hệ toán (P) toán sau đây, phụ thuộc λ: lu an (P(λ)) min{p(x) − λq(x) : x ∈ X} chứng minh định lý quan trọng sau n va nghiệm tối ưu (P) y nghiệm tối ưu toán: p ie gh tn to Định lý 3.1 (Định lý Jagannathan) Giả sử y ∈ X Khi y p(y) q(x) : x ∈ X} q(y)  oa nl w min{p(x) − f (y)q(x) : x ∈ X} = min{p(x) − d Bài tốn P (λ) có nghiệm với λ ∈ R, tập X compact (đóng, bị chặn) Rn hàm p(x), q(x) liên tục X Ta có ul nf va an lu thể xác định: oi lm F (λ) = min{p(x) − λq(x) : x ∈ X} Dinkelbach (1968) đưa phương pháp, dựa định lý Ja- z at nh gannathan để giải toán phân thức phi tuyến, hàm q(x) lõm hàm p(x) lồi Dinkelbach chứng minh hội tụ thuật z l gm @ tốn cho trường hợp Có thể mơ tả thuật tốn gốc Dinkelbach sau: m co Bước Chọn x1 điểm chấp nhận X λ1 = f (x1 ) Đặt k = chuyển sang Bước an Lu Bước (Bài toán con) Dùng thuật toán quy hoạch lồi giải toán sau đây: n va ac th SUB(k): F (λk ) = min{p(x) − λk q(x) : x ∈ X} ký hiệu xk+1 nghiệm tối ưu toán si 34 Bước Nếu F (λk ) = dừng thuật tốn xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, đặt λk+1 = f (xk+1 ), k := k + chuyển tới Bước lu an n va p ie gh tn to Sự hội tụ toàn cục thuật tốn an lu 3.1.2 d oa nl w Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach ul nf va Mục nhỏ thuật toán Dinkelbach để giải toán phân thức tổng quát Thuật tốn áp dụng oi lm giải tốn SUB(k), sinh vịng lặp, SUB(k) khơng thiết tốn quy hoạch lồi z at nh Giả sử xk dãy điểm X Ký hiệu fk hàm xác định z fk (x) = p(x) − f (xk )q(x) (Để ý fk (xk ) = p(xk ) − f (xk )q(xk ) = f (xk ) = p(xk )/q(xk )) gm @ m co l Bổ đề 3.1 Giả sử xk dãy điểm X Nếu fk (x) < với x thuộc X f (x) < f (xk ) fk (x) = p(x) − f (xk )q(x) < an Lu Chứng minh Kết luận bổ đề suy từ biểu thức sau đây: va n Chia hai vế cho q(x) > (theo (3.1)), ta nhận f (x) < f (xk )  ac th Bổ đề sau cho thấy giá trị hàm mục tiêu f (x) (P) giảm dần si 35 Bổ đề 3.2 Giả sử xk nghiệm chấp nhận (P) xk+1 nghiệm tối ưu SUB(k) Nếu xk nghiệm tối ưu SUB(k) xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, f (xk+1 ) < f (xk ) Chứng minh Nếu xk nghiệm tối ưu SUB(k) định lý Jagannathan đảm bảo xk nghiệm tối ưu (P) Trái lại, xk+1 nghiệm tối ưu SUB(k) nên fk (x k+1 p(xk ) k ) < fk (x ) = p(x ) − f (x )q(x ) = p(x ) − q(x ) = q(xk ) k k k k k lu theo Bổ đề 3.1, ta có f (xk+1) < f (xk ) an  Bổ đề 3.2 bảo đảm cho tính đắn việc kiểm tra tối ưu n va v.v Định lý sau khẳng định hội tụ thuật toán p ie gh tn to Bước thuật toán Nếu sau giải SUB(k) chưa phát hội tụ, thuật tốn tiếp tục vịng lặp k := k + với tham số λk+1 = f (xk+1) , nl w Định lý 3.2 Thuật toán Dinkelbach dừng sau hữu hạn vòng lặp, d oa tạo dãy vô hạn cho điểm tụ dãy nghiệm tối ưu (P) an lu Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ thuật toán Dinkelbach (ký va oi lm ul nf hiệu D : x ∈ X → y = argmin{p(y) − (p(x)/q(x))q(y) : y ∈ X}) đóng tập X\S z at nh Giả sử {xk } {y k } hai dãy thỏa mãn (S - tập nghiệm tối ưu (P))  k  x ∈ X, lim xk = x ∈ X\S k→∞ (3.2)  y k ∈ D(xk ), lim y k = y z gm @ k→∞ m co l Ta chứng minh y ∈ D(x) Thật vậy, y k ∈ X X tập đóng, nên y ∈ X Đặt p(x) G(x, y) = p(y) − q(y), x ∈ X, y ∈ D(x) q(x) an Lu n va Giả xử yˆ ∈ D(x) Ta có bất đẳng thức (3.3) ac th G(x, yˆ) ≤ G(x, y) si