THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT lu an n va p ie gh tn to d oa nl w PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 5/2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT lu an PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN n va p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 5/2017 n va ac th si iii Mục lục lu an Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu n va 1.1 Không gian Banach ie gh tn to 1.1.1 1.1.2 p 1.2 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Ánh xạ j-đơn điệu 11 1.1.3 Giới hạn Banach 15 Bất đẳng thức biến phân 16 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 18 d oa nl w 1.2.1 1.2.2 2.1 nf va an lu Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 lm ul Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 21 2.1.1 Định nghĩa 21 gm @ 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc Yamada 25 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 27 z 2.2.1 2.2.2 z at nh oi 2.2 2.1.2 Ví dụ 24 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 25 Ví dụ minh họa 35 l 37 m co Kết luận an Lu Tài liệu tham khảo 38 n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va không gian Hilbert thực E E∗ không gian Banach không gian đối ngẫu E SE R mặt cầu đơn vị E tập số thực ∀x D(A) với x miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A gh tn to H ánh xạ đồng không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], < p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] p ie I lp , < p < ∞ oa nl w khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } d d(x, C) lim supn→∞ xn nf va giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 lm ul dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc z at nh oi xn * x0 J an lu lim inf n→∞ xn xn → x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f z j Fix(T ) m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality) phát biểu sau: lu Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn: hF p∗ , p − p∗ i ≥ ∀p ∈ C (1) an n va Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stamnăm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân đề tài thời sự, thu hút nhiều nhà toán ie gh tn to pacchia (xem [10] [15]), nghiên cứu đưa vào cuối p học quan tâm nghiên cứu vai trị quan trọng tốn lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế oa nl w d Khi tập ràng buộc C toán (1) cho dạng ẩn tập điểm bất động chung họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ an lu nf va khơng giãn tốn (1) cịn có nhiều ứng dụng toán lm ul thực tế xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, phân phối băng thơng tốn điều khiển tối ưu Đối với lớp toán này, phương pháp lai z at nh oi ghép đường dốc Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ phương pháp hiệu ánh xạ F : H → H ánh xạ đơn điệu z mạnh liên tục Lipschitz không gian Hilbert H Phương pháp khắc phục khó khăn việc thực phép chiếu mêtric PC @ co l gm chiếu H lên tập lồi đóng C H dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, {λn } dãy tham số thỏa m mãn số điều kiện định Dựa cách tiếp cận Yamada, có nhiều nghiên cứu nhằm an Lu mở rộng cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất n va ac th si đẳng thức biến phân tập ràng buộc C tập điểm bất động chung họ hữu hạn, họ vô hạn đếm hay nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach sở báo [6] [8] Nguyễn Thị Thu Thủy đồng tác giả công bố năm 2015 2017 Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương: lu Chương "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu không gian Banach an n va trình bày hội tụ phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa p ie gh tn to Chương "Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, nhóm ánh xạ khơng giãn trình bày ví dụ minh họa nl w d oa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu an lu nf va Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học– z at nh oi lm ul Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn–Tin thầy cô trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung học phổ z thông Đông Triều - Quảng Ninh anh chị em đồng nghiệp tạo @ l gm điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C bạn bè m co đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái an Lu Nguyên n va ac th si Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Việt lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu lu an n va Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian gh tn to Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j-đơn điệu, đồng thời giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, j-đơn p ie điệu không gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5], [9]-[14] [18] nl w Không gian Banach d oa 1.1 an lu Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu E ∗ nf va Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn E E ∗ viết tích đối ngẫu hx∗ , xi thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ điểm lm ul x ∈ E, tức hx∗ , xi = x∗ (x) z at nh oi 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn z Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi phản xạ, với l gm @ phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai E, tồn phần tử x ∈ E cho m co x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E ∗ an Lu Định lý 1.1.2 Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: n va ac th si (i) E không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn E có dãy hội tụ yếu Ví dụ 1.1.3 Các không gian véc tơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach E Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x 6= y, ta có lu k(1 − λ)x + λyk < với λ ∈ (0, 1) an va n Chú ý 1.1.5 Định nghĩa 1.1.4 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm p ie gh tn to x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < d oa nl w Ví dụ 1.1.6 Khơng gian E = Rn với chuẩn kxk2 xác định 1/2 X n , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn kxk2 = xi lu nf va an i=1 không gian lồi chặt kxk1 = n X |xi |, i=1 x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn z at nh oi lm ul Không gian E = Rn , n ≥ với chuẩn kxk1 xác định không gian lồi chặt Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0), z an Lu không lồi chặt x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn m 1≤i≤n co kxk∞ = max |xi |, l Tương tự không gian E = Rn với gm @ y = (0, 1, 0, , 0) ∈ Rn Ta thấy x 6= y, kxk1 = kyk1 = kx + yk1 = n va ac th si Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ Ví dụ 1.1.8 Không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b] với < p < ∞ không gian lồi Ta không gian Hilbert H không gian lồi Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) ∀x, y ∈ H lu suy an n va kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H ε > Khi kx + yk2 ≤ − ε2 Suy x + y ε2 ≤1− p ie gh tn to Lấy x, y ∈ SH , hình cầu đóng đơn vị H, với x 6= y kx − yk ≥ ε, d oa nl w Do r x + y r ε2 ε2 =1− 1− 1− , ≤ 1− 4 r ε2 1− δ(ε) = − an lu chặt phản xạ nf va Định lý 1.1.9 Mọi không gian Banach lồi đều không gian lồi lm ul z at nh oi Để đo tính lồi khơng gian Banach E người ta sử dụng khái niệm mô đun lồi E Định nghĩa 1.1.10 Cho E không gian Banach Hàm δE (ε) : z [0, 2] → [0, 1] gọi mô đun lồi E x + y o n δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε co l gm @ m Ví dụ 1.1.11 Mơ đun lồi không gian Hilbert H r ε2 δH (ε) = − − , ε ∈ (0, 2] an Lu n va ac th si 26 Trong trường hợp F = 5ϕ, ϕ : H → R ∪ {∞} hàm lồi khả vi Gâteaux khơng gian Hilbert H bất đẳng thức biến phân cổ điển Tìm điểm p∗ ∈ C cho: hF p∗ , p − p∗ i ≥ ∀p ∈ C (2.5) điều kiện tối ưu cho toán tối ưu lồi minp∈C ϕ(p) tập C dãy lặp Picard viết dạng xn+1 = PC (I − λn ϕ)xn Việc tính tốn phép chiếu mêtric PC từ H lên tập lồi đóng C H khơng dễ dàng phức tạp cấu trúc tập C Để ý lu thân ánh xạ chiếu mêtric PC ánh xạ không giãn với Fix(PC ) = C, mà tập ràng buộc C bất đẳng thức biến phân thường an va n cho dạng ẩn, chẳng hạn tập điểm bất động chung gh tn to họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ không giãn Xuất phát từ nhận xét đó, năm 2001, Yamada [17] đưa phương pháp lai ghép đường dốc p ie giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C := ∩N i=1 Fix(Ti ) dạng: n ≥ 0, (2.6) oa nl w un+1 = T[n+1] un − λn+1 µF (T[n+1] un ), d [n] := n mod N hàm modulo lấy giá trị tập {1, 2, , N }, lu nf va an u0 điểm ban đầu H, µ ∈ (0, 2η/L2 ), {Ti }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ không giãn Phương pháp Yamada đề xuất hội z at nh oi lm ul tụ mạnh đến phần tử nằm tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.5) C := ∩N i=1 Fix(Ti ) với điều kiện đặt lên dãy tham số {λn } sau: z (L1) limn→∞ λn = 0, P (L2) ∞ n=1 λn = ∞, P (L3) ∞ n=1 |λn − λn+N | < ∞ Khi N = 1, phương pháp lai ghép đường dốc Yamada trở m co l gm @ un+1 = T (un ) − λn+1 µF (T un ) an Lu dạng n va ac th si 27 Mục giới thiệu phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu với tập ràng buộc C tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach 2.2.2 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc Mục giới thiệu phương pháp lặp [6] giải toán VI∗ (F, F): Xuất phát từ điểm x1 ∈ E tùy ý, ta xây dựng dãy {xn } sau: xn+1 = γn Fn xn + (1 − γn )Tn xn , n ≥ (2.7) lu an Các ánh xạ Tn Fn (2.7) xác định Z tn T (s)xds, Tn x = tn n va (2.8) ie gh tn to p Fn x = (I − λn F )x ∀x ∈ E, (2.9) sau: d oa nl w {λn }, {tn } {γn } dãy tham số thỏa mãn điều kiện lu λn → 0, an λn ∈ (0, 1), ∞ X λn = ∞, (2.10) |tn+1 − tn | = 0, n→∞ tn+1 (2.11) nf va n=1 lm ul lim tn = ∞, z at nh oi n→∞ lim (2.12) n→∞ gm @ n→∞ z γn ∈ (0, 1) cho < lim inf γn ≤ lim sup γn < Ta sử dụng số kết sau để chứng minh hội tụ phương m co l pháp lặp (2.7): an Lu Bổ đề 2.2.1 Cho {xn } {zn } dãy bị chặn không gian Banach E thỏa mãn xn+1 = (1 − γn )xn + γn zn với n ≥ 1, {γn } ⊂ n va ac th si 28 (0, 1) thỏa mãn < lim inf n→∞ γn ≤ lim supn→∞ γn < Giả sử lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ n→∞ Khi limn→∞ kxn − zn k = Bổ đề 2.2.2 Cho dãy {sn } số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − ζn )sn + ζn ηn + θn , n ≥ 0, dãy {ζn }, {ηn }, {θn } thỏa mãn điều kiện sau: P (i) {ζn } ⊂ [0, 1], ∞ n=0 ζn = ∞; lu (ii) lim supn→∞ ηn ≤ 0; P∞ (iii) θn ≥ 0, n=0 θn < ∞ an va n Khi limn→∞ sn = p ie gh tn to Bổ đề 2.2.3 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, bất đẳng thức sau thỏa mãn ∀x, y ∈ E, ∀j(x + y) ∈ J(x + y) nl w kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i d oa Mệnh đề sau tham khảo [8] lu an Mệnh đề 2.2.4 Cho E không gian Banach lồi có chuẩn nf va khả vi Gâteaux đều, F : E → E ánh xạ L-liên tục Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn E với lm ul z at nh oi F := ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Nếu tồn dãy bị chặn {xn } thỏa mãn limn→∞ kxn − T (t)xn k = với t ≥ tồn limk→∞ yk = p∗ ∈ F, dãy {yk } xác định z yk = γk (I − λk F )yk + (1 − γk )T (tk )yk , tk > 0, k ≥ @ gm (2.13) m co n→∞ l lim sup hF p∗ , j(p∗ − xn )i ≤ an Lu Chứng minh Với n, k ∈ N cố định x, y ∈ E ta có yk − xn = γk [(I − λk F )yk − xn ] + (1 − γk )[T (tk )yk − xn ] n va ac th si 29 hT (tk )x − T (tk )y, j(x − y)i ≤ kx − yk2 , ∀tk > Suy ra, kyk − xn k2 = = (1 − γk ) hT (tk )yk − xn , j(yk − xn )i + γk h(I − λk F )yk − xn , j(yk − xn )i = (1 − γk )[hT (tk )yn − T (tk )xn , j(yk − xn )i + hT (tk )xn − xn , (yk − xn )i] + γk h(I − λk F )yk − yk , j(yk − xn )i + γk kyk − xn k2 lu ≤ (1 − γk )(kyk − xn k2 + kT (tk )xn − xn kkyk − xn k) an + γk h(I − λk F )yk − yk , j(yk − xn )i + γk kyk − xn k2 va n ≤ kyk − xn k2 + kT (tk )xn − xn kkyk − xn k to tn + γk h(I − λk F )yk − yk , j(yk − xn )i ie gh = kyk − xn k2 + kT (tk )xn − xn kkyk − xn k p − γk λk hF yk , j(yk − xn )i w oa nl Và vậy, ta có d hF yk , j(yk − xn )i ≤ (2.14) an lu kxn − T (tk )xn k kyk − xn k γk λk nf va Khi đó, theo giả thiết limn→∞ kxn − T (t)xn k = với t ≥ ta suy lm ul z at nh oi lim kxn − T (tk )xn k = ∀tk > k cố định n→∞ Do dãy {yk } {xn } bị chặn nên {yk − xn } bị chặn lim kxn − T (tk )xn k = với tk > 0, lấy lim sup hai vế (2.14), ta z n→∞ gm @ lim sup hF yk , j(yk − xn )i ≤ (2.15) l n→∞ m co Mặt khác, sử dụng tính liên tục Lipschitz ánh xạ F giả thiết yk → p∗ k → ∞ ta có an Lu kF yk − F p∗ k ≤ Lkyk − p∗ k → 0, k → ∞ (2.16) n va ac th si 30 Mặt khác, ta lại có: | hF yk , j(yk − xn )i − hF p∗ , j(p∗ − xn )i | = | hF yk − F p∗ , j(yk − xn )i + hF p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn )i | ≤ kF yk − F p∗ kkyk − xn k + | hF p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn )i | Do yk → p∗ k → ∞ dãy {xn } bị chặn, sử dụng tính liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ta có lim hF p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn )i = k→∞ lu Do vậy, với ε > 0, tồn < K ∈ N cho với k ≥ K, với an n ∈ N ta có va n | hF yk , j(yk − xn )i − hF p∗ , j(p∗ − xn )i | < ε gh tn to Từ suy ra, ε > 0, tồn < K ∈ N cho với k ≥ K, p ie với n ∈ N ta có nl w hF p∗ , j(p∗ − xn )i < hF yn , j(yn − xn )i + ε d oa Sử dụng (2.15), ta có n→∞ an lu lim sup hF p∗ , j(p∗ − xn )i ≤ lim sup hF yn , j(yn − xn )i + ε ≤ ε n→∞ nf va Do ε bé tùy ý nên ta thu (2.13) Điều phải chứng minh lm ul z at nh oi Sự hội tụ phương pháp lặp (2.7) chứng minh [6] Ta có định lý sau Định lý 2.2.5 Cho E khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi z Gâteaux đều, F : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η, γ ∈ (0, 1) thỏa mãn η + γ > 1, {T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ gm @ co l khơng giãn E cho F := ∩s≥0 Fix(T (s)) 6= ∅ Khi dãy lặp {xn } xác định (2.7) với dãy tham số thỏa mãn điều kiện (2.10)-(2.12) m hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ bất đẳng thức biến phân: an Lu Tìm điểm p∗ ∈ F cho: hF p∗ , j(x − p∗ )i ≥ ∀x ∈ F (2.17) n va ac th si 31 Chứng minh Nội dung chứng minh Định lý 2.2.5 chia thành bước sau Bước Ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Thật vậy, với p ∈ F cố định, ta có Tn p = p đó, theo Bổ đề 1.1.44, kxn+1 − pk = kγn (I − λn F )xn + (1 − γn )Tn xn − pk ≤ γn k(I − λn F )xn − pk + (1 − γn )kTn xn − Tn pk ≤ γn [(1 − λn τ )kxn − pk + λn kF pk] + (1 − γn )kxn − pk kF pk = (1 − γn λn τ )kxn − pk + γn λn τ τ ≤ ≤ max{kx1 − pk, kF pk/τ } lu Suy ra, {xn } dãy bị chặn Từ suy dãy {Tn xn }, {Fn xn }, {F xn }, {xn − p} bị chặn Giả sử dãy bị chặn an va n số dương M1 gh tn to Bước Ta với t ≥ 0, ie lim kT (t)xn − xn k = p w Đặt (2.18) n→∞ oa nl zn = Tn xn − γn λn F xn − γn d Từ (2.7) ta suy nf va an lu xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn z at nh oi lm ul γn λn γ λ n+1 n+1 kzn+1 − zn k ≤ kTn+1 xn+1 − Tn xn k + F x − F x n n+1 − γn − γn+1 z ≤ kTn+1 xn+1 − Tn+1 xn k + kTn+1 xn − Tn xn k γn λn γ λ n+1 n+1 + F x − F x n+1 − γn n − γn+1 βM1 |tn+1 − tn | M1 + (λn + λn+1 ) , tn+1 1−β l gm @ ≤ kxn+1 − xn k + m co với β số dương thuộc khoảng (0, 1) cho γn ≤ β Kết hợp điều với λn → |tn+1 − tn |/tn+1 → n → ∞ ta thu lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ an Lu n→∞ n va ac th si 32 Do vậy, từ (2.12) Bổ đề 2.2.1 suy lim kxn − zn k = n→∞ Mặt khác, kzn − Tn xn k = λn γn βM1 kF xn k ≤ λn − γn 1−β λn → n → ∞, nên kzn − Tn xn k → Tiếp theo, ≤ kxn − Tn xn k ≤ kxn − zn k + kzn − Tn xn k → 0, n → ∞, (2.19) nên lu an kxn − T (t)xn k ≤ kxn − Tn xn k + kTn xn − T (t)Tn xn k va n + kT (t)Tn xn − T (t)xn k to gh tn ≤ 2kxn − Tn xn k + kTn xn − T (t)Tn xn k p ie Sử dụng (2.19) Bổ đề 2.1.7 bất đẳng thức cuối ta suy giới w hạn (2.18) thỏa mãn với t ≥ n → ∞ d oa nl Bước Ta khẳng định limn→∞ kxn − p∗ k = 0, với p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) an lu Xác định dãy {yk } sau: nf va yk = γk (I − λk F )yk + (1 − γk )T (tk )yk , k ≥ lm ul Sử dụng kết [16], k → ∞ dãy yk hội tụ mạnh đến p∗ z at nh oi nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Tiếp theo ta đánh giá kxn+1 − p∗ k2 sau: kxn+1 − p∗ k2 = = (1 − γn )hTn xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ )i + γn h(I − λn F )xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ )i = (1 − γn )hTn xn − Tn p∗ , j(xn+1 − p∗ )i + γn λn h(I − F )xn − p∗ j(xn+1 − p∗ )i + γn (1 − λn ) hxn − p∗ , j(xn+1 − p∗ )i ≤ (1 − γn )kxn − p∗ kkxn+1 − p∗ k + γn (1 − λn )kxn − p∗ kkxn+1 − p∗ k lu + γn λn h(I − F )xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ )i an ≤ (1 − γn λn )kxn − p∗ kkxn+1 − p∗ k va n + γn λn (1 − τ )kxn − p∗ kkxn+1 − p∗ k to tn + γn λn h−F p∗ , j(xn+1 − p∗ )i gh kxn − p∗ k2 + kxn+1 − p∗ k2 h−F p∗ , j(xn+1 − p∗ )i + γn λn τ , τ p ie ≤ (1 − γn λn τ ) nl w 1−η Do đó, γ với τ = − d oa r an lu − γn λn τ kxn − p∗ k2 + γn λn τ 2γn λn τ h−F p∗ , j(xn+1 − p∗ )i + , + γn λn τ τ nf va kxn+1 − p∗ k2 ≤ 2γn λn τ 1− kxn − p∗ k2 + γn λn τ 2γn λn τ hF p∗ , j(p∗ − xn+1 )i + + γn λn τ τ z kxn+1 − p∗ k ≤ z at nh oi lm ul hay m co l gm @ Ta viết lại bất đẳng thức cuối dạng kxn+1 − p∗ k2 ≤ (1 − ζn )kxn − p∗ k2 + ζn ηn , an Lu (2.20) n va ac th si 34 2γn λn τ hF p∗ , j(p∗ − xn+1 )i ηn = + γn λn τ τ P P∞ Sử dụng giả thiết ∞ n=1 λn = ∞, ta có n=1 ζn = ∞ Kết hợp (2.18) Mệnh đề 2.2.4 ta có giới hạn (2.13) suy lim supn→∞ ηn ≤ Áp dụng ζn = Bổ đề 2.2.2 (với θn = 0) vào (2.20) ta suy limn→∞ kxn −p∗ k2 = Vậy dãy {xn } hội tụ mạnh điểm p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) Định lý chứng minh Chú ý 2.2.6 Phương pháp (2.7) tác giả [6] cải thiện Rt theo hướng khơng sử dụng tích phân Bochner Tn x = t1n n T (s)xds mà lu thay ánh xạ T (tn ) xác định từ nửa nhóm {T (s) : s ≥ 0} sau: an n ≥ 1, x1 ∈ E (2.21) n va xn+1 = γn (I − λn F )xn + (1 − γn )T (tn )xn , gh tn to với λn ∈ (0, 1], γn ∈ (0, 1) tn > thỏa mãn γn = n→∞ tn ie lim tn = lim n→∞ p oa nl w Sự hội tụ mạnh phương pháp (2.21) chứng minh với điều kiện đặt lên không gian Banach E, ánh xạ F nửa nhóm khơng giãn d {T (s) : s ≥ 0} tương tự Định lý 2.2.5 nf va an lu Nhận xét 2.2.7 lm ul (a) (2.7) viết lại dạng y = (I − λ F )x n n n x n+1 = γn yn + (1 − γn )Tn xn z at nh oi (2.22) z Khi đó, yn = (I − λn F )xn xây dựng theo phương pháp đường dốc xn+1 = γn yn + (1 − γn )Tn xn thiết lập dựa dãy lặp dạng l gm @ Mann (Mann, 1953 [11]) co (b) Xét trường hợp F = Fix(T ) tập điểm bất động ánh m xạ khơng giãn dãy lặp (2.7) trở thành phương pháp an Lu xn+1 = γn (I − λn F )xn + (1 − γn )T xn (2.23) n va ac th si 35 Ceng đồng nghiệp (2008) [7] nghiên cứu để giải toán bất đẳng thức biến phân (2.17) khơng gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy (c) Tích phân Bochner toán tử T (s), s ≥ bước lặp thứ n Rt phương pháp lặp (2.7), (2.21) xác định Tn xn = n T (s)xn ds tính gần tổng Riemann (Neerven, 2002 [12]) 2.3 Ví dụ minh họa Trong mục ta xét ví dụ số nhằm minh họa cho phương pháp lặp (2.7) để giải bất đẳng thức biến phân ngôn ngữ lu an MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính DELL INSPIRON, CORE i5, RAM 1,7GHz va n Xét toán cực trị có ràng buộc tn to ϕ(p∗ ) = ϕ(x), (2.24) ie gh x∈C p với C tập khác rỗng lồi đóng khơng gian Euclid RN , với nl w ϕ : RN → R hàm lồi thường liên tục RN có dạng x ∈ RN , a = (1, 1, , 1)T ∈ RN d oa ϕ(x) = kx − ak2 , nf va an lu Khi đó, ta có gradient 5ϕ : RN → RN hàm ϕ 5ϕ(x) = 2(x − a), lm ul điều kiện tối ưu cho toán (2.24) bất đẳng thức biến phân sau: z at nh oi h5ϕ(p∗ ), x − p∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C (2.25) z Xét trường hợp N = C = F tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : R6 → R6 , t ≥ 0} sau: 0 0 0 0 0 0 cos(βt) 0 sin(βt) x1 x2 x3 , x4 − sin(βt) x5 x6 cos(βt) an Lu cos(αt) m co l sin(αt) T (t)x = − sin(αt) gm cos(αt) @ n va ac th si 36 với x = (x1 , x2 , , x6 )T ∈ R6 α ∈ R cố định Khi đó, Mục 2.1, ta thấy {T (t) : t ≥ 0} xác định thỏa mãn tính chất nửa nhóm khơng giãn F = {x ∈ R6 : x = (0, 0, x3 , x4 , 0, 0)T } tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t ≥ 0} Nghiệm toán (2.24) điểm p∗ = (0, 0, 1, 1, 0, 0)T ∈ F ⊂ R6 Với xấp xỉ ban đầu x0 = (5, 5, , 5)T ∈ R6 , chọn α = π/5, β = π/7 dãy số tn = (n + 1)2 , γn = (n + 1)−1/2 λn = (n + 1)−1/3 Kết tính tốn MATLAB cho bảng lu an n va gh tn to n err = kxn − p∗ k Thời gian 40.669 0.49 6.2061 0.529 3.6527 0.542 10 1.3108 0.563 20 0.30432 0.563 50 0.093269 0.65 100 0.044659 0.81 Bảng 2.4: Bảng tính tốn thử nghiệm cho dãy lặp (2.7) p ie d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach cụ thể không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn đều, có chuẩn khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux đều; ánh xạ đơn điệu lu j-đơn điệu, ánh xạ giả co chặt, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn; tổng quan bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu an n va Đề tài giới thiệu phương pháp lặp dựa phương pháp lai ghép đường dốc để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân ie gh tn to tập ràng buộc tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Trình bày p chứng minh hội tụ mạnh phương pháp dựa nguyên lý ánh xạ co Banach tính chất liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối nl w oa ngẫu chuẩn tắc j số điều kiện đặt lên dãy tham số d phương pháp, ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội lu an [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc n va gia Hà Nội tn to Tiếng Anh ie gh p [3] R.P Agarwal, D O’Regan D., D.R Sahu (2009), Fixed Point The- nl w ory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer d oa [4] Y Alber (1996), "Metric and generalized projection operators in lu Banach spaces: Properties and applications" in: Kartsatos A G lm ul 15–50 nf va an (Ed), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Lecture Notes in Pure and Appl Math., 178, z at nh oi [5] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht z [6] Ng Buong, P.T Hieu, and Ng.T.T Thuy (2013), "An explicit iteration method for a class of variational inequalites in Banach spaces", gm @ m thuật co l Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông", NXB Khoa học Kỹ an Lu n va ac th si 39 [7] L.-C Ceng, Q.H Ansari, J.-C Yao (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 987–1033 [8] P.T Hieu, Ng.T.T Thuy, and J.J Strodiot (2017), "Explicit iterative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc DOI 10.1007/s40840-017-0494-8 (online) [9] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Vari- lu ational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York an n va [10] J.L Lions, G Stampacchia (1967), "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 p ie gh tn to [11] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, 506–510 w [12] J.M Neerven (2002), "Approximating Bochner integrals by Rie- oa nl mann sums", Indagationes Mathematicae, 13(2), 197–208 d [13] W.V Petryshyn (1970), "A characterization on strict convexity of lu nf va an Banach spaces and other uses of duality mappings", J Funct Anal., 6, 282–291 lm ul [14] F Schoepfer (2007), "Iterative regularization methods for the solu- z at nh oi tion of the split feasibility problem in Banach spaces", PhD Dissertation, Saarbrucken z [15] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 gm @ l [16] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu (2013), "Implicit iteration methods for m co variational inequalites in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc., 36(4), 917–926 an Lu n va ac th si 40 [17] I Yamada (2001), "The hybrid steepest descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Chapter 8, pp 473–504 [18] E Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, II/B - Nonlinear Monotone Operator, Springer–Verlag lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:27
Xem thêm: