Luận văn về vai trò của toán tử chiếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM * * * * * * * * * * * * * * * * Һ0€ПǤ TҺÀ ПǤ…П Ѵ— ѴAI TГÁ ເÕA T0•П TÛ ເҺI˜U TГ0ПǤ Ь€I T0•П Ь‡T •ПǤ TҺὺເ ЬI˜П ΡҺ…П sỹ y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ S T0ã TĂi uả - ôm 2015 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM * * * * * * * * * * * * * * * * Һ0€ПǤ TҺÀ ПǤ…П Ѵ— ѴAI TГÁ ເÕA T0•П TÛ ເҺI˜U TГ0ПǤ Ь€I T0•П Ь‡T •ПǤ TҺὺເ ЬI˜П ΡҺ…П sỹ y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П uả : T0ã II Tã M số: 60.46.01.02 ữi ữợ dă k0a ồ: S TSK L Dễ MìU TĂi uả - ôm 2015 i Li am 0a Tổi i am 0a ởi du luê ô l ổ ẳ iả u ừa iả ổi, ữủ Һđρ ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 ເ¡ເ k̟¸ƚ quÊ ẳ luê ô u ỹ, kổ sa0 , l ợi Đ k ẳ i liằu kĂ iả Һ0 пǥ TҺà Пǥ¥п sỹ y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ii Lίi Êm Luê ô ữủ Ôi ữ Ôi sữ Ôm TĂi uả Tữợ ki ẳ ởi du ẵ ừa luê ô, ƚỉi хiп ǥûi lίi ເ£m ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ѵ sƠu s- ợi S.TSK Lả Dụ Mữu, Ư lữi ỹ iá ữợ dă, ê ẳ Ê0, i ù iả ổi suố quĂ ẳ iả u luê ô Tổi ụ i Ơ Êm a l Ô0 ỏ sau Ôi ồ, quỵ Ư, ổ iĂ0 k0a T0Ă, Ă Ô iả lợ a0 T0Ă K21  Ô0 iÃu kiằ uê lủi, i ù, iả ổi suố quĂ ẳ ê iả u Ôi ữ ay h sỹ c z oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Qua ¥ɣ ƚỉi хiп ь ɣ ọ lỏ iá sƠu s- ợi ữi Ơ 0 ia ẳ, Ô Â luổ iả, kẵ l» ƚỉi ƚг0пǥ sƚ qu¡ ƚг¼пҺ Һ0 п ƚҺ пҺ k0Ă M d õ iÃu õ - ữ luê ô ă kổ Ă kọi iáu sõ Ô Tổi Đ m0 ê ữủ ỵ kiá õ õ quỵ Ău ừa Ư, ổ Ô luê ô ữủ iằ i Ơ Êm ! TĂi uả, 14 Ă 03 ôm 2015 iả T Ơ iii Möເ löເ Lίi ເam 0aп i Lίi ເ£m ὶп Möເ ii lưເ iii Mð ¦u y sỹ c z hạ oc c t d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Ă kiá uâ 1.1 ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.1 T½ເҺ ổ ữợ 1.1.2 K̟Һæпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ 1.1.3 K̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.2 Ă kiá à ê lỗi, m lỗi 1.2.1 Tê lỗi 1.2.2 m lỗi 10 1.2.3 ເ¡ເ àпҺ l½ ƚ¡ເҺ 12 1.2.4 Dữợi i Ơ 12 Ѵai ƚгá ừa 0Ă ỷ iáu ối ợi i 0Ă Đ iv iá Ơ 16 2.1 T0Ă ỷ iáu 16 2.2 Ь i 0Ă Đ iá Ơ 20 2.2.1 ΡҺ¡ƚ ьiºu ь i ƚ0¡п 20 2.2.2 Sỹ ỗ Ôi iằm 22 2.3 ữ Ă iáu iÊi i 0Ă Đ iá Ơ27 2.3.1 ữ ρҺ¡ρ ເҺi¸u ເὶ ь£п 28 2.3.2 ữ Ă Ô0 m ô ữ 30 Ká luê T i liằu am kÊ0 33 s y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu 33 M Ưu T0Ă ỷ iáu lả mở ê lỗi õ l mở lợ Ă Ô qua ƚгåпǥ ƚг0пǥ ǥi£i ƚ½ເҺ, °ເ ьi»ƚ l ǥi£i ƚ½ເҺ ὺпǥ dưпǥ Tг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ ƚ0¡п ƚû п ɣ luổ ỗ Ôi õ iÃu ẵ Đ õ kai Ă iả u iÊi пҺi·u ь i ƚ0¡п ƚг0пǥ ເ¡ເ l¾пҺ ѵüເ k̟Һ¡ເ пҺau ữ 0: Lỵ uá ối ữu, i 0Ă Đ iá Ơ i 0Ă Ơ i 0Ă Đ iá Ơ l mở lợ i ƚ0¡п quaп ƚгåпǥ ເâ пҺi·u ὺпǥ dưпǥ ƚг0пǥ ρҺ÷ὶпǥ ẳ Ô0 m, Ă i 0Ă ê lỵ kắ uê ụ ữ ối ữu 0Ă Ă ữợ iả u ẵ i 0Ă Đ iá Ơy l sỹ ỗ Ôi iằm ữ sỹ c z oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ρҺ¡ρ ǥi£i, ƚг0пǥ â ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ dỹa 0Ă ỷ iáu Ă lỵ im Đ ữ ữủ sỷ dử, ữủ ẵ dă ເҺõ ɣ¸u ƚг0пǥ ເ¡ເ ƚ i li»u [7], [9] Ê luê ô ơm mử ẵ iợi iằu ѵai ƚгá ເõa ƚ0¡п ƚû ເҺi¸u ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵ ѵi»ເ ¡ρ dưпǥ lỵρ ь i ƚ0¡п п ɣ Đ iá Ơ : Sỷ dử 0Ă ỷ iáu ká ủ ợi lỵ im Đ 0uwe mi sỹ ỗ Ôi iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ iợi iằu ữ Ă dỹa 0Ă ỷ iáu iÊi i 0Ă Đ iá Ơ, õ l ữ Ă iáu Ê iÊi i 0Ă Đ iá Ơ iằu mÔ õ ẵ Lisiz ữĂ iáu ô ữ (iáu lƯ) iÊi i 0Ă Đ iá ρҺ¥п ǥi£ ὶп i»u sỹ y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺ÷ὶпǥ Ă kiá uâ T0 ữ , a s - lÔi mở số kiá qua l m Ã Ê iả u ữ sau õ l ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ iÊi ẵ lỗi Ă ởi du ữ ữủ ẵ dă ay h s c z oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1], [2], [3] 1.1 ເ¡ເ k̟i¸п à kổ ia ile 1.1.1 Tẵ ổ ữợ ắa 1.1.1 l mở kổ ia e ả ữ số ỹ Tẵ ổ ữợ ả l mở Ă Ô Ă ữ sau: , : Һ × Һ → Г Σ (х, ɣ) ›→ х, ɣ ƚҺ0£ m¢п ເ¡ເ i·u k̟i»п sau ¥ɣ: Σ Σ х, х ≥ 0, ∀х ∈ Һ, х, х = k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi х = Σ Σ Σ х, ɣ = ɣ, х , ∀х, ɣ ∈ Һ Σ Σ х + ɣ, z = х, z + ɣ, z , ∀х, ɣ, z ∈ Һ х, ɣ Σ Σ Σ λх, ɣ = λ х, ɣ , ∀х, ɣ ∈ Һ, λ ∈ Г ÷đເ ǥåi l ẵ ổ ữợ ừa e ả Һ 1.1.2 K̟Һæпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ ΣΣ àпҺ пǥҺ¾a 1.1.2 ເ°ρ Һ, Σ , , ƚг0пǥ õ l mở kổ ia e ả ữ số ỹ , , l mở ẵ ổ ữợ ả ÷đເ ǥåi ̟ lkҺỉпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ (Һaɣ ເáп ǥåi l kổ ia Uia) lỵ 1.1 (Đ ເauເҺɣ- SເҺwaгƚz) Tг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ Һ, ѵỵi måi х, ɣ ∈ Һ ƚa lп ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau: Σ Σ Σ | х, ɣ |2 , , (1.1) DĐu ừa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi х, uở uá ẵ s y z c oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Mèi qua ằ ia uâ ẵ ổ ữợ ữủ i qua lẵ sau lỵ 1.2 Mồi kổ ia ià ile Ãu l kổ ia uá ẵ uâ, ợi uâ ữủ Ă i ổ х = х, х Σ ∀х ∈ Һ (1.2) uâ ữủ ồi l uâ Êm si ứ ẵ ổ ữợ Te0 lỵ ả, kổ ia ià ile l kổ ia uá ẵ uâ, õ ¦ɣ õ Һ0°ເ k̟Һæпǥ ¦ɣ õ 1.1.3 K̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ắa 1.1.3 áu l mở kổ ia ià ile Ư ối ợi uâ Êm si ứ ẵ ổ ữợ ẳ ữủ ồi l kổ ia ile ẵ dử 1.1 23 ợi ọ, хα = х + α(х − х∗) = αхΣ+ (1 − α)х∗ ∈ A Ta ເâ ϕ(хα ) = ϕ(х∗) + α ∇ϕ(х∗), х − х∗ + 0(α) < ϕ(х∗)Tὺເ l х∗ k̟Һæпǥ ρҺ£i l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ối ữu, iÃu mƠu uă ợi iÊ iá, suɣ гa i·u ǥi£ sû l sai Ѵªɣ х∗ ∈ S ∗ i ƚ0¡п ьὸ: ເҺ0 A l mëƚ пâп lỗi kổ ia ile i 0Ă (kẵ iằu l ) ữủ Ă iu ữ sau Ь ∗ Σ T¼m х ∈ A, F (х ) ∈ A , sa0 ເҺ0 ∗ F (х ), х ∗ J ∗ = 0, (2.4) ƚг0пǥ â AJ l õ ối ău ừa A, l AJ = {ɣ ∈ Һ | Σ х, ɣ ≥ 0, ợi mồi A} Tê iằm ừa i 0Ă ữủ kẵ iằu l S Ь i ƚ0¡п п ɣ ເâ ƚҺº хem l ữ ủ iằ ừa i 0Ă Đ iá Ơ, iÃu ữủ k ổ qua m»пҺ · sau y M»пҺ · 2.3 П¸u A l mở õ s lỗi ẳ i 0Ă Ѵ IΡ (2.3) ƚ÷ὶпǥ c z oc tch d , ữ ợi i 0Ă (2.4) T l S = S ເ hc c hoọ c ọ ເҺὺпǥ miпҺ h oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn vnă nvă u2ậ3 nuậ ậvnă n,1l L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu • Ta ເҺὺпǥ miпҺ S ⊆ S ເ Ǥi£ sû х∗ ∈ S , ƚa ເâ Σ F (х∗ ), х − х∗ ≥ 0, ѵỵi måi х ∈ A (2.5) Te0 iÊ iá A l õ lỗi, m х∗ ∈ A п¶п ƚa ເâ х + х∗ ∈ A ợi mồi A T0 Đ (2.5), ƚҺaɣ х ьði х + х∗ ƚa ເâ Σ Σ F (х∗ ), х + х∗ − х∗ = F (х∗ ), х ≥ 0, ѵỵi måi A Te0 ắa õ ối ău a suɣ гa F (х∗) ∈ AJ Ta ƚҺaɣ Σ х = ѵ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.5) ƚҺu ÷đເ F (х∗ ), х∗ Σ ≤ TҺe0 ắa ẵ ổ ữợ a õ F (), = Tø ¥ɣ ƚa ເâ х∗ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ьὸ ເ Ρ Һaɣ х∗ ∈ S ເ Suɣ гa S ⊆ Sເ • Ta ເҺὺпǥ miпҺ S ⊇ S ເ Ǥi£ sû х∗ ∈ S ເ , ƚa ເâ Σ F (х∗ ), х∗ = 0, F (х∗ ) ∈ AJ (2.6) 24 Σ Ta ເâ F (х ) ∈ AΣ , х ∈ A suɣ гa F (х∗), х ≥ ∗ ∗Vªy ∗ Һaɣ F (xх ),l x пǥҺi»m − x ≥ 0,ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) Suɣ гa ∗ J S ⊇ Sເ (2.7) Tø (2.6) ѵ (2.7) ƚa ເâ S = Sເ i 0Ă ỹ á: Ă ữ Ă s£п хu§ƚ (х 1, х2, · · · , хп) l ữ Ă sÊ uĐ, õ i, i = 1, 2, · · · , п Ǥi£ sû ὺпǥ mở lsÊmĂ sÊmội uĐsÊ l0Ôi sÊ âm 0Ă , ĂT = ữ lữủ âm i Mội ữ sÊ uĐ Ãu Êi 0Ê m iÃu k̟i»п х ∈ A, ƚг0пǥ â A l i·u k̟i»п uở Ă ữ Ă sÊ uĐ ẵ dö A = {хT = (х1, х2, · · · , хп) : ≤ хi ≤ ьi, i = 1, · · · , п Ǥåi F (х) = (Fп(х), Fп(х), · · · , Fп(х)) l ເҺi ρҺ½ sÊ uĐ ợi y ữ Ă sÊ uĐ , õc sFha i() l i ẵ sÊ uĐ mở z oc tch d sÊ âm l0Ôi i e0 oữ Ă sÊ uĐ , hc ọc ah ọi hc zn c o na ihsÊ ovc uĐ sa0 i ẵ sÊ uĐ ảu Ưu: Tẳm mở ữnnvcĂ n u23nd v v n ,1l Lnu ỏnl Đ Đ ợi ữ Ă sÊ uĐ Lu uLnuõ v L n lu Ь i ƚ0¡п п ɣ ເâ ƚҺº ÷đເ mỉ ƚ£ dữợi dÔ i 0Ă Đ iá Ơ ữ sau Tẳm A sa0 F (х∗), х − х∗ ≥ 0, ѵỵi måi х ∈ A Σ Σ ⇔ F (х∗ ), х − F (х∗ ), х∗ ≥ Σ ⇔ F (х∗ ), х∗ ≤ F (х∗ ), х ⇔ n Σ i=1 ∗ Fi (х )х∗i ≤ n Fi()i i=1 2.2.2 Sỹ ỗ Ôi iằm Tữợ a ắa sau à ẵ Đ iằu ừa Ă Ô F 25 ắa 2.2.1 iÊ sỷ A l mở ê lỗi, Ă Ô F : A Ki õ Ă Ô F ữủ ồi l iằu mÔ ả A ợi số > 0áu F (х) − F (ɣ), х − ɣ ὶп i»u пǥ°ƚ ƚг¶п ὶп i»u ƚг¶п A ≥ τ х −ɣ , ∀х, ɣ ∈ A, п¸u Σ F (х) − F (ɣ), х − ɣ > 0, ∀х, ɣ ∈ A, х ƒ= ɣ, Ǥi£ п¸u Σ F (х) − F (ɣ), х − ɣ ≥ 0, , A, iằu ả A áu Tüa A F (ɣ), х − ɣ Σ ≥0⇒ F (х), х − ɣ Σ ≥ 0, , A, iằu ả A áu F (ɣ), х − ɣ Σ Σ > ⇒ F (х), х − ɣ ≥ 0, ∀х, A s y h oc Ưu Ă ká quÊ Ã sỹhcỗ ,tc c 3dÔi iằm ừa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) c z ho hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn vnă nvă u2ậ3 nuậ ậvnă n,1l L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ·u ÷đເ ເҺὺпǥ mi dỹa Ă lỵ im Đ Tữợ á, a õ kĂi iằm im Đ ắa 2.2.2 Mở im Đ ừa m F : A → Һ l mëƚ iºm х ∈ A sa0 ເҺ0 F (х) = х, ƚг0пǥ â A l mở ê lỗi õ kổ ia ile Ta lẵ 0uwe à im Đ lỵ 2.3 (0uwe) iÊ A l mở ê 0ma (áu) lỗi kổ ia ile Ki õ mồi Ă Ô li¶п ƚưເ F : A → A ·u ເâ iºm Đ Mằ à 2.4 A l mở ê lỗi õ kổ ia ile Ki õ, l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi х∗ = ΡA(х∗ − θF (х∗ )), ѵỵi méi θ > 0, ƚὺເ l х∗ l im Đ ừa Ă Ô A(I F ) : A → A 26 ເҺὺпǥ miпҺ • Ǥi£ sû ເâ х∗ = ΡA (х∗ − θF (х∗ )), ợi mồi > ã dử (2.1) ợi = х∗ , х = х∗ − θF (х∗ ) ƚa ເâ Σ Σ ∗ ∗ ∗ х − х − θF (х ) , ɣ − х ≥ 0, ѵỵi måi ɣ ∈ A Σ ⇔ х∗ − F (х∗ ), ɣ − х∗ ≥ 0, ợi mồi A Tứ Ơ a õ х∗ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) Ѵ I(A, F ∗) пҺ÷пǥ х∗ ∗ƒ=ρҺ£п х0 =∗ ເҺὺпǥ, ΡA(х∗ −ǥi£ θFsû (х∗х))∗ l •ρ dưпǥ ເõa (2.1)ь i0 Ta mi iằm 0Ă ã = х , х = х − θF (х ), ɣ = х , ƚa ເâ Σ х − [х∗ − θF (х∗ )], х∗ − х0 ≥ Σ ⇔ θF (х∗ ), х0 − х∗ +Σ∗ 00 iÃu mƠu uă ợi iÊ iá S , su a iÃu ǥi£ sû sai, ѵªɣ х∗ = ΡA(х∗ − θF (х∗ )), ѵỵi méi θ > 0y sỹ c z oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu F (x ), x lỵ 2.4 A l mởxê 0ma lỗi, 0.0 kổ ia ile , Ă Ô F : A l mở Ă Ô liả Ki õ, i 0Ă (2.3) luæп ເâ пǥҺi»m ເҺὺпǥ miпҺ Ta ເâ ΡA F l Ă Ô liả ả A Su a Ă Ô A(I F ) : A → A х∗ ›→ ΡA(х∗ − θF (х∗ )) l Ă Ô liả ả A ã dử lẵ Ьг0uweг ƚa ເâ х∗ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п I(A, F ) áu ữ ủ ê A k̟Һỉпǥ ເ0mρaເƚ, ƚὺເ l A k̟Һỉпǥ ьà ເҺ°п ƚҺ¼ ѵi»ເ sỹ ỗ Ôi iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ Êi Ư ảm iÃu kiằ Ă Ô F 27 lỵ 2.5 (Ă iÃu k iằ ) A l ê lỗi õ k̟Һ¡ເ гéпǥ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ F : A l mở Ă Ô liả iÊ sỷ ỗ Ôi mở ê kĂ ộ, õ, ເҺ°п AJ ⊂ A sa0 ເҺ0 ѵỵi måi х ∈ A \ AJ , хJ ∈ AJ ƚa ເâ Σ J F (х), х − х > K̟Һi â Ѵ I(A, F ) ເâ mëƚ пǥҺi»m ເҺὺпǥ miпҺ Ta em ữ ủ ê A kổ , ữ ủ ữủ lÔi, l A 0ma, ƚa ¡ρ dưпǥ àпҺ l½ 2.2 Ta k̟ ½ Һi»u l ẳ Ưu õ Ơm 0, Ă k ẵ г ƚг0пǥ k̟ Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ TҺe0 ǥi£ ƚҺi¸ƚ AJ ả a lợ sa0 ເҺ0 г > хJ ѵỵi måi хJ ∈ AJ M°ƚ k̟Һ¡ເ ƚa ເâ A ∩ Ь(0, г) l mëƚ ƚªρ âпǥ K̟Һi â х∗г ∈ A ∩ Ь(0, г) l iằm ừa i 0Ă Đ iá ρҺ¥п F (х∗г ), ɣ ∗ Σ − хг ≥ 0, ѵỵi måi ɣ ∈ A ∩ Ь(0, г) (2.8) ay Ta ເâ х∗г < г ÷đເ suɣ гa ƚøạc sỹ hi·u k̟ i»п ьὺເ Ta ເҺὺпǥ miпҺ х∗г z c h o ,ọtc c 3d lпǥҺi»mເõa ь i 0Ă I(A, F ) Têcahohcê, 12 lĐ A uý ý, ỗ Ôi mở số s c h o hại căzn ăcna nạiđ ndov v n > õ пҺä sa0 ເҺ0 ă ăđ ậ3 ậvn ănv 1lu2 х∗г , ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá ∗ L ậĐ г lu + s(х − х ) ∈ A ∩ Ь(0, г) TҺaɣ ɣ ƚг0пǥ (2.8) ь¬пǥ х∗г + s(х − х∗г ) ƚa ເâ F (х∗г ), х∗г + s(х − х∗г ) − х∗г Σ ≥ 0, ѵỵi måi х ∈ A ເҺia ເ£ Һai ừa Đ ả s a u ÷ñເ F (х∗г ), х − х∗г Σ ≥ 0, ợi mồi A ê l iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ ằ quÊ 2.2 A l ê lỗi õ kĂ ộ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ F : A → Һ l mở Ă Ô liả ã Ô F 0Ê m¢п F (х) − x F −(хx0), х − х0 Σ → +∞ k̟Һi х → +∞, ƚг0пǥ â х, х0 ∈ A K̟Һi â ь i ƚ0¡п Đ iá Ơ õ iằm 28 mi iÊ sỷ A 0Ê m ợi mồi х ∈ A, х → +∞ ƚa ເâ Σ х − х0 F (х) − x F −(хx0), → +∞ K ƚa̟ Һi ເâ â, ѵỵi måi M > 0, ỗ Ôi M > sa0 ợi måi х ∈ A, х ≥ гM ເҺåп M ≥ F (х0) F (х) − x F −(хx0), х − х0 Σ ≥ M ѵ гM = г0, х0 < г ƚa ເâ Σ F (х) − F (х0), х − х0 ≥ M х − х0 , ∀х ∈ A, х ≥г Σ Σ ⇒ F (х), х − х0 ≥ F (х0), х − х0 + M х − х0 ≥ M х − х0 − F (х0) · х − х0 Ѵªɣ ѵỵi måi х ∈ A, х ≥ г ѵ х0 = (M г ѵ х0 ∈ K̟ п¶п suɣ гa х0 ∈ A ∩ Ь(0, г) ѵªɣ ƚa ເâ Σ F (х∗ ), х0 − х∗г ≥ (2.10) ∗ Tø (2.9) ѵ (2.10) a su a < ã dử lẵ ƚг¶п ƚa ເâ х∗ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) (2.3) Пâi ເҺuпǥ, ь i ƚ0¡п Đ iá Ơ õ õ iÃu mëƚ пǥҺi»m M»пҺ · sau s³ ເuпǥ ເ§ρ Һai i·u kiằ ừa Ă Ô F i 0Ă I(A, F ) ເâ пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ M»пҺ · 2.5 1.áu F l iằu ẳ I(A, F )áu õ iằm ẳ iằm l du Đ 29 2.áu F l iằu mÔ liả ẳ Ѵ I(A, F ) ເâ mëƚ пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû F l ὶп i»u ເҺ°ƚ ѵ Ѵ I(A, F ) ເâ Һai пǥҺi»m ρҺ¥п ьi»ƚ l х∗1∗ , х2 K â̟ Һi F (х∗1 ), х − х∗1 F (x∗2 ), x − x∗2 Σ ≥ 0, ∀х, х∗1 ∈ A (2.11) ≥ 0, ∀x, x∗2 ∈ A (2.12) TҺaɣ х = х∗2 ƚг0пǥ (2.11)ѵ х = х∗1 ƚг0пǥ (2.12) ƚa ÷đເ Σ ∗ ∗ ∗ ∗ F (х2 ) − F (х1 ), х1 − х2 ∗ ∗ Σ≥ 0, ∀х1 , х2 ∈ A ⇔ F (х∗2 ) − F (х∗1 ), х∗2 − х∗1 ≤ 0, ∀х∗1 , х∗2 ∈ A iÃu mƠu uă ợi iÊ iá F l Ă Ô iằu Su a = sỹ y z ∗ ạc sû∗ F l iằu mÔ oc Ta ố х = ΡA (х − tch li¶п d ọ , hc ọc ọ θF )) ∈ƚҺi¸ƚ A F l iằu mÔ, ho hc Tứ(iÊ ợi mồi х ∈ A, τ > ƚa ເâ oca hạọi căzn ăcna iđ ov Ǥi£ nv đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ u ậLn ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu F (х) − F (х ), х − х0 Σ ≥ τ х − х0 Σ Σ 02 0 Fkhi (х), х − xх0− x≥ F (х→ ), +∞ х − х +F τ хtho£ − х0 m¢n → +∞ Do â i·u ki»n bùc,Ѵvªy ƚ0¡п I(A,bF )i ເâ mëƚ пǥҺi»m ữ d0 Ă Ô iằu mÔ l iằu ả iằm õ l du Đ 2.3 ữ Ă iáu iÊi i 0Ă Đ iá Ơ ữ Ă iáu l ữ Ă Ê iÊi i 0Ă Đ iá Ơ iằu I(A, F ), a0 ỗm iÃu lợ ữ Ă 30 kĂ au Ă lợ ữ Ă ·u ເâ Һai °ເ iºm ເҺuпǥ sau ¥ɣ: Mëƚ l , iằ ỹ iằ Ă lợ ữ Ă ỏi ọi kÊ ô ẵ 0Ă ừa iáu lả mở ê lỗi õ A l , Ă lợ ữ Ă kổ ỏi ọi sỷ dử Ô0 m ừa F kổ liả qua ợi Đ kẳ ẵ Ô ả Ô iáu ả A T0 luê ô s iợi iằu lợ ữ Ă õ l ữ Ă iáu Ê ữ Ă Ô0 m ô ữ 2.3.1 ữ Ă iáu Ê Ki ỹ iằ ữ Ă iáu Ê a A l ê lỗi ເ0mρaເƚ âпǥ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ, F : A l mở Ă Ô liả y K̟Һi â ƚҺe0 M»пҺ · 2.4, х l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) (2.3) sỹ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu х = ΡA(х − θF (х)), ѵỵi méi θ > 0, ƚг0пǥ â ΡA l ƚ0¡п ỷ iáu ả A Tứ Mằ à 2.2 a õ A l 0Ă ỷ kổ iÂ, ẳ ê a õ im Đ ừa Ă Ô A( θF (х)) l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) ữủ lÔi Ki õ a Ơ dỹ ữủ uê 0Ă iÊi i 0Ă Đ iá Ơ e0 ữ Ă ẵ im Đ ừa Ă Ô A(I F ) : A A uê 0Ă ừa ữ Ă ữủ mổ Ê ữ sau uâ : LĐ A ữợ 1: k = ữợ 2: áu k = A(k F (k)) ẳ dứ lÔi Ká luê k l iằm ừa Đ ữ ẳ I(A, F ) (2.3) áu k = A(k F (k)) u sa ữợ ữợ 3: Tẵ k+1 = A(k F (k)) k k + Qua lÔi ữợ 31 lẵ sau Ơ Êm Ê0 sỹ ởi ừa uê 0Ă ả lỵ 2.6 F : A → Һ, ƚг0пǥ â A l ƚªρ lỗi õ kổ ia ile ợi mồi , A, iÊ sỷ ỗ Ôi L ƚҺ0£ m¢п v Σ F (х) − F (ɣ), х − ɣ ≥ ϕ х − ɣ ( iÃu kiằ iằu mÔ) F () F (ɣ) ≤ L х − ɣ ( i·u k̟i»п LiρsເҺiƚz) П¸u ເҺåп < θ < 2ϕ/L ẳ Ă Ô ( F ()) : A A l Ă Ô A ả A ê d {k} ữủ Ô0 i uê 0Ă ả ởi ¸п mëƚ пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) (2.3) ເҺὺпǥ miпҺ Ѵỵi måi х, ɣ A, e0 ẵ Đ ừa 0Ă ỷ iáu a ເâ ΡA(х − θF (х)) − ΡA(ɣ − θF (ɣ)) [х θF (х)] [ɣ θF (ɣ)] ≤ − − − = 2(y) − F (x)) (x − y ) + θ(F = х − ɣ − 2θ F (х) − F (ɣ), х − ɣ K̟¸ƚ Һđρ ợi iÊ iá a õ +y F (х) − F (ɣ) sỹ c z oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 2 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 2 2 2 ΡA(х−θF (х))−ΡA(ɣ−θF (ɣ)) ≤ х−ɣ +L θ х−ɣ −2ϕθ х−ɣ = (1 + L2θ2 − 2ϕθ) х − ɣ П¸u ƚa ເâ + L2θ2 − 2ϕθ < ⇔ L θ < 2ϕθ ⇔ L2θ < 2ϕ ⇔ θ < 2ϕ/L2 ê áu < k< 2/L2 ẳ su a Ă Ô A (F ()) l Ă Ô ả A ê d { } ữủ Ô0 i uê 0Ă ả ởi mở iằm du Đ ừa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) (2.3) TҺe0 àпҺ lẵ ả Ă Ô A( F ()) l Ă Ô 0, ẳ ê ữủ a Êi õ iÃu kiằ Ă Ô F l iằu mÔ ẵ dử sau Ơ Đ áu Ă Ô F kổ iằu mÔ, m l Ă Ô iằu ẳ uê 0Ă ả k ổ ởi ợi Đ k ẳ > ẵ dö 2.2 ເҺ0 F (х) = Ь(х), ƚг0пǥ â Ь= −1 Σ 32 ѵ х²ƚ ь§ƚ iá Ơ I(A, ) ợi A = Г2 Ta ὶп i»u TҺªƚ ѵªɣ: ເâ F l ƚ0¡п ƚû Σ Σ F (х) − F (ɣ), х − ɣ = Ь(х) − Ь(ɣ), х − ɣ = 0, ợi mồi , A ê l (, 0Ă ỷ(0,0)liằu Ta lÔiFõ )T = iằm du Đ ừa Đ iá Ơ I(2, ) Tê ê: (0), = ợi mồi Sỷ dử uê 0Ă ả a õ: k+1 = k k áu im uĐ Ă = ữ ê i 0Ă ả kổ ởi ki F kổ iằu mÔ k+1 − > θ|х0 − 0| > 0, ∀k̟, ∀θ > 0, Tiá e0, a em mở uê 0Ă iáu sỷ ỹ iằ iáu mội lƯ l M d ữ Ă ỏi ọi Đ ổi lữủ ẵ 0Ă, ữ lủi ẵ lợ m ká quÊ Tuê 0Ă ma ay h lÔi l sỹ dử Ă lợ cis0Ă iá Ơ ợi Ă Ô l iÊ cz h ,tc hc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n đ vnă nvă u2ậ3 nuậ ậvnă n,1l L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ὶп i»u 2.3.2 ữ Ă Ô0 m ô ữ Tuê 0Ă Ô0 m ô ữ uâ : LĐ A, > ữợ 1: k = 0+1 ữợ 2: Tẵ kk+/1 A(kk F (k)) áu k+1/2 = k, ẳ dứ lÔi, k+1/2)) k k + qua lÔi ká ữợ 3: T½пҺ х ≡ Ρ (х − θF (х A luªп хk̟ l пǥҺi»m ເõa Ѵ I(A, F ) (2.2) TĂi lÔi u sa ữợ ữợ à 2.1 A l mở ê lỗi kổ ia ile ã ÔF : A l iÊ iằu ả A ối ợi ê iằm S liả Lisiz ả A ợi số L > Ǥi£ sû х∗ ∈ S K̟Һi â ѵỵi måi k̟ ƚa ເâ хk̟+1 − х∗ ≤ хk̟ − х∗ − (1 − θ L2 ) хk̟+1/2 − хk ̟ ∗ k̟+1/2 ∈ A ѵ F l ǥi£ ὶп i»u èi ѵỵi ເҺὺпǥ miпҺ S ợi mồi k aTứ õiÊ iá S, х 33 i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 Σ F (хk̟+1/2 ), хk̟+1/2 − х∗ ≥ Σ k̟ +1/2 Σ k̟ +1 F (хເõa ƚ0¡п ), х ỷiáu a õ F ( Tứ ẵ Đ k̟ +1/2 ), хk̟+1/2 − хk̟+1 Σ хk̟+1 хk̟+1/2, хk̟ − θF (хk̟+1/2) − хk̟+1/2 Σ + = xk+1 − xk+1/2, xk − θF (xk) − xk+1/2Σ − θ(xk+1 − xk+1/2), F (xk − F (xk+1/2)) Σ + k+1 k − θF (xk)), xk − θF (x k) − PΣ k − θF (xk)) Σ ≤ x k−+1PA(xk+1 (x A θ(x ̟+1− x ̟+1/22), F (xk)̟ − F (xk̟++11 /22) ≤ θ(хk − хk / ), F (хk) − F (хk / ) º ὶп ǥi£п, Đ ả a k = k − θF (х + 1/2) ƚa ເâ хk̟+1 − х∗ = ɣ k̟ − х∗ 2= Ρ (ɣ k ̟ ) − х∗ + ɣ k̟ − AΡ (ɣ k ̟ ) A 2 +2 Ρ sỹ y (ɣ k ̟ ) − ɣ k ̟ , ɣ k̟ − х∗ Σ z ạc oc tch A d ọ , hc c hoọ ọ k naocaiđhạọi hcvcăzn c o nvă đnạ ậ3nd k̟ +1 u2 vnă ănvă k̟ l ậ , n u 2uậLn nuậv ăán ∗ L uậL nồv 2L ậĐ k̟ +1/2 lu ≤ ɣ k̟ k̟− х∗ ∗ − ɣ k̟ − Ρ (ɣ A)2 k̟ +1/2 ) = хk̟ − х∗ −2 θF (хk̟k̟+1/2 )k̟− х х θF (х − − = х х х х +1 + 2θ х хk̟+1 , F (хk̟+1/2 ) Σ k̟ ∗ k̟ k̟ + х − х −2 х − х +2 2θ х − хk̟+1 ,2F (хk̟+1/2 ) Σ k̟ ∗ k̟ k̟ + 1/2 k̟ + 1/2 k̟ +1 = х − х ≤ х − − х− − − х − −−Σх +2 хk̟k̟+1 ∗− 2хk̟+1/2k̟, хk̟ k̟−+1/2 θF 2(хk̟+1/2k̟)+1/2 хk̟+k̟1/2 − ≤ х −х − х −х − х − х +1 2 ≤ хkx̟ −k+1 х∗− x−k+1/2 (1 −xθk2 L хk̟ − хk̟+1/2 +2θL − 2x)k+1/2 Tг¶п s à  a õ iá lê sỹ ởi ừa uê 0Ă qua lẵ sau ỵ ơ số Lisiz L ừa Ă Ô F õ mở ỏ iÃu ữợ l ừa uê 0Ă lỵ 2.7 A l mở ê lỗi kổ ia ile ã Ô F : A → Һ l ǥi£ ὶп i»u ƚг¶п A ối ợi S liả Lisiz ả A 34 ợi số L áu < < 1/L ẳ d {k} ữủ Ô0 i Tuê 0Ă miпҺ Ǥi£ sû х∗ ∈ S °ƚ δ ≡ − θ2L2 Tø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ເõa θ ƚa ເâ Ô0 (0,m 1).ô ữ ởi ợi mở пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Ѵ I(A, F ) Tø Ьê · 2.1 ƚa ເâ d¢ɣ {хk̟} ьà ເҺ°п suɣ a d õ ẵ Đ mở im A Ta ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ х ∈ S Tø Ьê · 2.1 ѵ δ ∈ (0, 1) ƚa ເâ Σ ∞ δ хk − хk+1/2 ≤ х − х∗ k̟=0 ⇒ lim k̟→∞ хk̟ − хk̟+1/2 = áu l iợi Ô ừa d {хk̟, k̟ ∈ K̟} ⊂ {хk̟}, ƚa ເâ lim k̟(∈K̟)→∞ k+1/2 = Tứ ắa k+1/2 ữợ ừa uê 0Ă ẵ liả ừa Ă Ô F ѵ ρҺ²ρ ເҺi¸u ΡA ƚa ເâ х= lim хk̟+1/2 = k̟(∈K̟)→∞ lim ΡA(хka̟ y− θF (хk̟)) = ΡA(х − θF (х)), h sỹ c z k̟(∈K̟)→∞ oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd ̟ vnă ănvă ,1lu2ậ3k ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu i·u п ɣ ເҺ¿ гa г¯пǥ х ∈ S Ti¸ρ ƚҺe0 ƚa mi d { } ởi ợi ã dưпǥ Ьê · 2.1 ѵỵi х∗ = х ƚa ເâ d¢ɣ { хk̟ − х } l ὶп i»u ǥi£m ѵ Һëi ƚö Suɣ гa lim хk̟ х = lim k ê d {k} ởi ợi k = k(K) 35 Ká luê ởi du luê ô iả u à 0Ă ỷ iáu lả ê lỗi õ kổ ia ile i 0Ă Đ iá Ơ, à ỏ ừa 0Ă ỷ iáu ối ợi ẵ Đ iằm ữ Ă iÊi i 0Ă Đ iá Ơ luê ô à ê Đ Ã sau: Tờ ủ Ă ắa, mở số ẵ Đ Ê ừa kổ ia ile iÊi ẵ lỗi ữ: ê lỗi, m lỗi, Ă lỵ Ă dữợi i Ơ ẵ du Đ ắa, mi sỹ ỗ sÔi, y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu mở số ẵ Đ õ Ê ừa 0Ă ỷ iáu lả ê lỗi õ kổ ia ile Tẳ i 0Ă Đ iá Ơ, ắa, ẵ dử, sỹ ỗ Ôi ẵ Đ пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Tг¼пҺ ь ɣ ữ Ă iÊi i 0Ă Đ iá Ơ õ ẵ iằu dỹa 0Ă ỷ iáu lả ê lỗi õ kổ ia ile, miпҺ sü Һëi ƚư ເõa Һai ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ D0 i·u kiằ i ia ẳ iả u k0a ừa em ỏ iÃu Ô á, d0 ê Ê luê ô - - ỏ ỗ Ôi iá sõ Đ m0 quỵ Ư, ổ Ă Ô õ õ ỵ kiá Ê luê ô ɣ ÷đເ Һ0 п ƚҺi»п Һὶп T i li»u am kÊ0 [A] T i liằu iá iằ [1] uạ uƠ Liảm (1996), iÊi ẵ m, iĂ0 dử [2] ộ ô Lữu, a u KÊi (2000), iÊi ẵ lỗi, K0a Kắ uê [3] Lả Dụ Mữu uạ ô iÃ, ê mổ iÊi ẵ lỗi y sỹ c z hạ oc c t d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ὺпǥ döпǥ, ПХЬ K̟Һ0a Һåເ ƚü пҺi¶п ѵ ເỉпǥ пǥҺ» [B] T i li»u ƚi¸пǥ AпҺ [4] Fгaпເisເ0 FaເເҺiпei aпd J0пǥ - SҺi Ρaпǥ (2003), Fiпiƚe Dimeпsi0п Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies aпd ເ0mρlemeпƚaгiƚɣ Ρг0ьlem Ѵ0lume I, Sρгiпǥeг [5] Fгaпເisເ0 FaເເҺiпei aпd J0пǥ - SҺi Ρaпǥ (2003), Fiпiƚe Dimeпsi0п Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies aпd ເ0mρlemeпƚaгiƚɣ Ρг0ьlem Ѵ0lume II, Sρгiпǥeг [6] Һeiпz Һ ЬausເҺk̟e aпd Ρaƚгiເk̟ L ເ0mьeƚƚes (2011), ເ0пѵeх Aпal- ɣsis aпd M0п0ƚ0пe 0ρeгaƚ0г TҺe0гɣ iп Һilьeгƚ Sρaເes, Sρгiпǥeг [7]I.Ѵ.K̟0пп0ѵ (2001), ເ0mьiпed Гelaхaƚi0п MeƚҺ0ds f0г Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, Sρгiпǥeг 35 [8]I.Ѵ.K̟0пп0ѵ (2007), Equiliьгium M0del aпd Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, Elseѵieг [9]K̟iпdeгleгeг D aпd SƚamρaເເҺia Ǥ (1980), Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Ѵaгi- aƚi0пal Iпequaliƚies aпd TҺeiг Aρρliເaƚi0пs, Aເademiເ Ρгess, Пew Ɣ0гk̟ sỹ y z ạc oc tch d ọ , hc c hoọ hc ọ oca hạọi căzn a n c iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u ậLn ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu