(Luận văn) đồng nhất thức newton girard và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BỊI THÀ HƒI Y˜N lu ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD V€ ÙNG DÖNG an n va p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va THI NGUY–N - 2017 ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BỊI THÀ HƒI Y˜N lu ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD V€ ÙNG DÖNG an n va p ie gh tn to d oa nl w Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 60 46 01 13 nf va an lu z at nh oi lm ul LUŠN VN THC S TON HC z NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC m co l gm @ TS TR†N NGUY–N AN an Lu n va THI NGUY–N - 2017 ac th si Mửc lửc Mé U Kián thực chuân bà lu an 1.1 a thùc nhi·u bi¸n 1.2 Chi lơy thøa h¼nh thùc 1.3 a thực c trững v nh lỵ Cayley-Hamilton n va 16 2.1 nh lỵ cì b£n cõa a thùc èi xùng 16 2.2 ỗng nhĐt thực cừa Newton-Girard 23 p ie gh tn to ỗng nhĐt thực Newton-Girard v ựng dửng 13 ỗng nhĐt thực cừa Newton-Girard cho têng lôy thøa nghi»m w 2.3 oa nl cừa a thực ỗng nhĐt thực Newton-Girard v nh lỵ số ngụ giĂc 34 2.5 ng dửng cừa ỗng nhĐt thực Newton-Girard 36 2.5.1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc èi xùng 36 2.5.2 PhƠn tẵch a thùc èi xùng th nh nh¥n tû 41 2.5.3 GiÊi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh ối xựng 42 2.5.4 Tẳm nghiằm nguyản 44 2.5.5 Chùng minh ¯ng thùc 46 2.5.6 Chựng minh bĐt ng thực 48 2.5.7 Trửc côn thực mău d 2.4 31 nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ 51 51 m co l K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o 49 an Lu n va ac th i si MÐ U ỗng nhĐt thực Newton-Girard cho ta mối liản hằ giúa têng lơy thøa c¡c bi¸n v  c¡c a thùc ối xựng cỡ bÊn Dỹa vo ỗng nhĐt thực ny ta biu diạn ữủc tờng lụy thứa cĂc nghiằm cừa a thùc P (x) qua c¡c h» sè cõa nâ ỗng nhĐt thực ny ữủc tẳm bi Isaac Newton vo nôm 1666, ỵ tững ny cụng ữủc cho l xuĐt hiằn cổng trẳnh trữợc õ cừa Albert Giard Do õ ta thữớng gồi l ỗng nhĐt thực Newton-Girard ỗng nhĐt thực Newton-Girard cõ nhiÃu ựng dửng nhiÃu lắnh vỹc lu cừa toĂn hồc nhữ Lỵ thuyát Galois, Lỵ thuyát bĐt bián, Lỵ thuyát tờ hủp an cụng nhữ nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ới sống Luên vôn n y t¼m hiºu mët sè n va c¡ch chùng minh ỗng nhĐt thực Newton-Girard v ựng dửng giÊi to gh tn toĂn sỡ cĐp Luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng Chữỡng trẳnh by mởt số kián ie p thùc chu©n bà v· a thùc, chi lơy thøa hẳnh thực, ma v a thực c nl w trững, nh lỵ Cayley-Hamilton Chữỡng l chữỡng chẵnh trẳnh by và oa ỗng nhĐt thực Newton-Girard v mởt sè ùng dưng º câ c¡ch nh¼n têng d quan và a thực ối xựng, mửc Ưu cừa chữỡng trẳnh by nh lỵ cỡ bÊn lu nf va an cừa a thùc èi xùng v  mët sè thuªt to¡n cì b£n biºu di¹n mët a thùc èi xùng qua c¡c a thực ối xựng cỡ bÊn ỗng nhĐt thực Newton-Girard lm ul vợi nhiÃu cĂch chựng minh v nhiÃu dÔng khĂc ữủc trẳnh by z at nh oi mưc th÷ hai cõa ch÷ìng n y °c bi»t mët sè ựng dửng nhữ chựng minh nh lỵ số ngụ giĂc, tẵnh mởt số biu thực ối xựng, giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, phƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ, chùng minh ¯ng thùc, z gm @ chùng minh b§t ng thực, trửc côn thực mău, cụng ữủc trẳnh by chữỡng l co Ti liằu tham khÊo chẵnh l sĂch [2] cừa GS Lả Thanh Nh n v  m c¡c b i b¡o [6], [7], [8] v  mët sè t i li»u æn thi håc sinh giäi ð phờ thổng an Lu Trong quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp va ù tên tẳnh cừa TS TrƯn Nguyản An Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu n sưc án thƯy ac th si Tỉi xin gûi líi c£m ìn chƠn thnh án quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc khõa  truyÃn thử án cho tổi nhiÃu kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2017 Bịi Thà H£i Y¸n lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b Trong suốt chữỡng ny, luổn giÊ thiát N0 = {0, 1, 2, } ìn Ta k½ hi»u lu N = {1, 2, 3, } an bë n V mët v nh giao ho¡n câ l  tªp cĂc số nguyản khổng Ơm v l têp cĂc số tỹ nhiản Vợi n N, ta kẵ hiằu Nn0 l têp cĂc số nguyản khổng Ơm n va gh tn to 1.1 a thùc nhi·u bi¸n Méi bë n số nguyản khổng Ơm ie ỡn thực xi11 à à · xinn p cõa n bi¸n x1 , , xn ik = jk vỵi måi lu tùc l  d i = j, j = (j1 , , jn ) ∈ Nn0 , oa Vợi nl w thữớng viát ỡn thực ny dữợi dÔng xi l  mët ìn thùc ÷đc gåi l  nf va an cõa tø) v  i1 + · · · + in Chóng ta xi v  xj l  b¬ng náu axi vợi aV (ữủc gồi l ỡn thực cừa tứ hằ số Hai tứ ữủc gồi lm ul náu hai ỡn thực cừa chúng bơng Hai tứ ữủc gồi l náu chúng ỗng dÔng v cõ hằ sè a thùc z at nh oi Mët l  k l mởt biu thực cõ dÔng bơng bêc hai ỡn thực tứ ỗng dÔng vợi cho ta mởt xi Mët l  i = (i1 , · · · , in ) ∈ Nn0 l  mët têng cõa húu hÔn tứ Náu u = axi v v = bxi l hai tứ ỗng dÔng thẳ ta cõ th ữợc l÷đc têng cõa chóng: z @ l gm u + v = (a + b)xi Vẳ vêy, bơng cĂch ữợc lữủc cĂc tứ ỗng dÔng, mội a thực co biu diạn chẵnh tưc m mởt f (x1 , , xn ) câ X n va i∈Nn0 x i an Lu f (x1 , , xn ) = ac th si thnh tờng cừa cĂc tứ ổi mởt khổng ỗng dÔng, õ ch cõ hỳu hÔn tứ khĂc (tực l  h» sè cõa tø kh¡c 0), v  biºu di¹n ny l nhĐt náu khổng k án thự tỹ cĂc hÔng tỷ Mội tứ khĂc chẵnh tưc cừa a thùc ÷đc gåi l  x i P Hai a thực v iNn0 xuĐt hiằn biu diạn mởt tø cõa a thùc â bi xi b¬ng P l iNn0 náu = bi vợi mồi i Nn0 Bªc cõa mët tø kh¡c l  bªc cõa ìn thùc cõa tø â Bªc (hay bªc têng thº) cõa a thùc f (x1 , , xn ) 6= 0, k½ hi»u bði deg f (x1 , , xn ), l  sè lợn nhĐt cĂc bêc cừa cĂc tứ cừa bêc cho a thực thực bêc a thực hơng ữủc gồi l lu mởt dÔng bêc m) l a thực Ta khổng nh nghắa hoc a thực bêc CĂc a a thực tuyán tẵnh a thực thuƯn nhĐt bêc m l mởt a thực m cĂc tứ cừa nõ Ãu cõ bêc an thuƯn nhĐt bêc hai ữủc gồi l n va bêc theo bián xk f (x1 , , xn ) dÔng ton phữỡng Vợi mội m (hay a thực k {1, , n}, cõa mët a thùc l  số lợn nhĐt cĂc số mụ cừa xk to tn xu§t hi»n c¡c tø cõa a thùc â ie gh nh nghắa 1.1.1 Kẵ hiằu V [x1, , xn] l  tªp c¡c a thùc n bián x1, , xn p vợi hằ sè V Vỵi i, j ∈ Nn0 , â i = (i1 , , in ) v  j = (j1 , , jn ), nl w ta ành ngh¾a d oa i + j = (i1 + j1 , , in + jn ) x i + x i i∈Nn0 P bi xi = i∈Nn P i∈Nn0 (ai + bi )xi ; i∈Nn0 X ck xk , ck = k∈Nn0 X b j i+j=k bi xi ∈ V [x1 , , xn ] V nh V [x1 , , xn ] ÷đc @ i∈Nn0 x i , X X z vỵi måi a thùc bi xi = z at nh oi i∈Nn0 i∈Nn0 X X lm ul X nf va an lu Khi â V [x1 , , xn ] l  mët v nh vợi php cởng v php nhƠn gm gồi l vnh a thùc n bi¸n x1 , , xn vỵi h» sè V m co l Nhên xt 1.1.2 Bơng quy nÔp, vnh a thực n bián V [x1, , xn] vợi an Lu h» sè V ch½nh l  v nh a thực mởt bián xn vợi hằ số vnh V [x1 , , xn−1 ] va n Tứ nh nghắa, ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau Ơy v· bªc cõa a thùc ac th si Bê · 1.1.3 Cho f1(x1, , xn), f2(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] l  c¡c a thùc kh¡c cho têng v  t½ch cõa chóng ·u kh¡c Khi â (i) deg(f1 (x1 , , xn ) + f2 (x1 , , xn )) max{deg fi (x1 , , xn )} i=1,2 (ii) deg f1 (x1 , , xn )f2 (x1 , , xn ) deg f1 (x1 , , xn ) + deg f2 (x1 , , xn ), v  ¯ng thực xÊy V l miÃn nguyản nh lỵ 1.1.4 Cho R l  mët mi·n nguy¶n v  a thực (nh lỵ Bzout) f (x) R[x], R i·u ki»n c¦n v  õ º α l  mët nghi»m cõa f (x) l  f (x) chia h¸t cho (x ) Tứ kát quÊ trản ta cõ sỡ ỗ chia Hocner: chia a thực lu x a an Gi£ sû n va a thùc R l  mi·n nguy¶n R[x] Chia f (x) f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 cho g(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , f (x) d÷ x − a, a ∈ R, r ∈ R V¼ cho l  mởt ta ữủc thữỡng dÔng f (x) = (x a)g(x) + r n¶n to tn ta câ p ie gh   bn−1 = an      ···    b = a + ab i−1 i i  ···      b0 = a1 + ab1     r = a0 + b d oa nl w nf va an lu Sỡ ỗ giúp ta tẳm th÷ìng bi , i = 0, · · · , n − ph²p chia cho x − a, Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥ f (x) n¸u f (x) @ chia h¸t cho gm cõa a1 a0 b0 r (Nghi»m bëi) nghi»m bëi k z l  (x − α)k+1 ngh¾a l : ( f (x) = (x − α)k g(x), ∀x ∈ R, m l  nghi»m ìn hay cán gåi nghi»m, n¸u k = 2, ta gåi n ac th nghi»m k²p α va α ta gåi an Lu k = 1, nh÷ng co g(α) 6= N¸u (x − α)k l khỉng chia h¸t cho l  f (x) ÷đc x¡c ành theo 1.1 ÷đc gåi l sỡ ỗ chia an an1 bn1 bn2 nh ngh¾a 1.1.5 α r z at nh oi Hocner Ta gåi v  d÷ lm ul â g(x) (1.1) si Bê · 1.1.6 Cho f (x) ∈ R[x] Ph¦n tû a ∈ R l  nghi»m bëi k cõa f (x) n¸u v  ch¿ n¸u f (x) = (x − a)k g(x) vỵi g(x) ∈ R[x] v  g(a) 6= ành lỵ 1.1.7 Cho R l mởt miÃn nguyản Cho 6= f (x) ∈ R[x] v  a1 , a2 , , ar ∈ R l  c¡c nghi»m ph¥n bi»t cõa f (x) Gi£ sû l  nghi»m bëi ki cõa f (x) vỵi i = 1, 2, , r Khi â ta câ f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr g(x) â g(x) ∈ R[x] v  g(ai ) 6= vỵi måi i = 1, , r H» qu£ 1.1.8 Cho R l  mët mi·n nguy¶n v  f (x) ∈ R[x] l  mët a thùc kh¡c Khi â số nghiằm cừa f (x), mội nghiằm tẵnh vợi số cừa nõ, lu khổng vữủt quĂ bêc cừa cừa f (x) an n va H» qu£ 1.1.9 Cho R l  mi·n nguy¶n v  f (x), g(x) ∈ R[x], â tn to deg(f (x)) n v  deg(g(x)) n Náu f (x) v g(x) cõ giĂ tr bơng gh tÔi n + phƯn tỷ khĂc cõa R th¼ f (x) = g(x) p ie ành lỵ 1.1.10 GiÊ sỷ (nh lỵ Viete thuên) oa nl w f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , lu an−1 α1 + α2 + + αn = − an P an−2 αi αj = an i