(Luận văn) điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG lu an n va to gh tn ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU p ie CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG lu an va n ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU p ie gh tn to CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu ll u nf va Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: m co l gm @ PGS.TS Đỗ Văn Lưu an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si i Mục lục Mở đầu lu an Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu va n thường lập toán tối ưu đa mục tiêu 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ ie gh tn to không trơn p 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu w thường lập 18 d oa nl 1.3 Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường an lu Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu 24 ul nf không trơn va nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu 24 2.2 Điều kiện tối ưu 28 oi lm 2.1 Các kết bổ trợ z at nh 2.3 Các định lý đối ngẫu 38 2.3.1 Đối ngẫu kiểu Wolfe 38 z 44 Kết luận 48 m co 50 an Lu Tài liệu tham khảo l gm @ 2.3.2 Đối ngẫu kiểu Mond - Weir n va ac th si Mở đầu Lí chọn đề tài Điều kiện tối ưu đối ngẫu hướng nghiên cứu quan trọng lu an lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với tốn tối ưu khơng trơn, người n va ta thường dùng khái niệm vi phân để thiết lập điều kiện gh tn to tối ưu định lý đối ngẫu vi phân lồi, Clarke, Michel
Penot, Mordukhovich, vi phân suy rộng T.D Chuong [2], 2013 p ie sử dụng giải tích biến phân, dạng khơng trơn quy tắc Fermat w vi phân Mordukhovich để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối oa nl ngẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu d lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất
đẳng thức T.D Chuong - D.S Kim [3], 2014 thiết lập điều kiện an lu nf va tối ưu định lý đối ngẫu kiểu Wolfe Mond - Weir cho nghiệm hữu oi lm ul hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tốn Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: "Điều kiện tối Mục đích đề tài z at nh ưu đối ngẫu cho tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" z Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu đối ngẫu @ gm T.D Chuong đăng tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104 l cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu cô lập m co tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, T.D Chuong - D.S Kim đăng tạp chí Annals of Operations an Lu Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu n va ac th si yếu tốn Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu thường địa phương lập địa phương tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cách sử dụng cơng cụ giải tích lu an biến phân vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat không trơn, vi va phân Mordukhovich (hay gọi vi phân giới hạn) hàm max, n tn to quy tắc tổng cho vi phân Fréchet giới hạn Các điều kiện đủ gh tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngôn ngữ p ie vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫu w yếu, mạnh trình bày chương Các kết trình bày oa nl chương tham khảo [2], [1], [7], [8] d Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu hữu lu an hiệu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" nf va Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu oi lm ul yếu toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức công cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quy z at nh tắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn cơng thức vơ hướng hóa đối đạo hàm Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu z hiệu yếu nghiệm hữu hiệu trình bày với giả thiết tính lồi @ gm suy rộng ngơn ngữ vi phân giới hạn Các định lý đối ngẫu Wolfe l Mond - Weir trình bày chương Các kết m co trình bày chương tham khảo [3], [7], [1] an Lu Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn n va ac th si Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường phòng chức Trường; Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan lu an tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường va Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động n tn to viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên ie gh cứu học tập p Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 d oa nl w Tác giả luận văn nf va an lu oi lm ul Trần Thị Lan Hương z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho lu nghiệm hữu hiệu thường an n va tn to lập tốn tối ưu đa p ie gh mục tiêu không trơn nl w d oa Chương trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu
thường địa phương cô lập địa phương T.D Chuong [2], 2013 cho lu va an toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức ul nf cách sử dụng công cụ giải tích biến phân vi phân suy rộng Các oi lm điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngơn ngữ vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các z at nh định lý đối ngẫu Wolfe trình bày chương z Các định nghĩa kết bổ trợ m co l Nón cực Ω ⊂ Rn tập gm @ 1.1 Ωo := {v ∈ Rn | hv, xi 0, ∀ x ∈ Ω} (1.1) an Lu n va ac th si Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn , ta kí hiệu: Lim sup F (x) := {v ∈ Rn : ∃xn → x → v với ∈ F (xn ), ∀n ∈ N} x→x giới hạn (ngoài) Painlevé - Kuratowski dãy F x → x Một tập Ω ⊂ Rn gọi đóng xung quanh x ∈ Ω có lân cận U x cho Ω ∩ clU tập đóng Ta nói Ω đóng địa phương Ω đóng xung quanh x với x ∈ Ω Cho Ω ⊂ Rn tập đóng xung quanh x ∈ Ω Nón pháp tuyến Fréchet Ω x ∈ Ω định nghĩa lu ( an x∗ ∈ Rn | Lim sup b (x, Ω) := N Ω n va x−→x ) ∗ hx , x − xi ≤0 , kx − xk (1.2) Ω gh tn to x −→ x nghĩa x → x với x ∈ Ω b (x, Ω) = ∅ Nếu x ∈ / Ω ta đặt N p ie b (x, Ω) Ω x ∈ Ω nhận Nón pháp tuyến Mordukhovich N w từ nón pháp tuyến Fréchet việc lấy giới hạn Painlevé - oa nl Kuratowski dãy sau d b (x, Ω) N (x, Ω) := Lim sup N (1.3) Ω an lu x−→x va Nếu x ∈ / Ω ta đặt N (x, Ω) := ∅ Đặc biệt, Ω tập lồi địa phương oi lm tập lồi ta có ul nf xung quanh x, nghĩa có lân cận U ⊂ Rn x cho Ω ∩ U N (x, Ω) := {x∗ ∈ Rn | hx∗ , x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U } z at nh (1.4) Với hàm giá trị thực mở rộng ϕ : Rn → R := Rn ∪ {∞}, ta đặt z gm @ domϕ := {x ∈ Rn | ϕ(x) < ∞} l epi := {(x, à) Rn ì R | ≥ ϕ(x)} an Lu định nghĩa tương ứng m co Dưới vi phân Modukhovich vi phân Fréchet ϕ x ∈ domϕ ∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)} (1.5) n va ac th si b b ((x, ϕ(x); epiϕ)} := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ∂ϕ(x) (1.6) b Nếu x ∈ / domϕ, ta đặt ∂ϕ(x) = ∂ϕ(x) := ∅ b ⊂ ∂ϕ(x) Đặc biệt, Từ (1.3), (1.5) (1.6), ta có ∀ x ∈ Rn , ∂ϕ(x) ϕ hàm lồi vi phân định nghĩa (1.5) (1.6) trùng với vi phân giải tích lồi cổ điển Xét hàm δ(., Ω) định nghĩa δ(x, Ω) = với x ∈ Ω δ(x, Ω) := ∞ x ∈ / Ω Ta có mối quan hệ nón pháp tuyến lu an Mordukhovich vi phân Mordukhovich hàm sau (xem n va [7]): to (1.7) gh tn N (x, Ω) := ∂δ(x, Ω), ∀ x ∈ Ω p ie Dạng không trơn quy tắc Fermat (xem [7]) quan trọng cho nhiều ứng dụng phát biểu sau: oa nl w Nếu x cực tiểu địa phương ϕ (1.8) d b ∈ ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x) an lu Trong chương ta xét vi phân Fréchet ϕ x với va ul nf |ϕ(x)| < ∞, định nghĩa oi lm b ∂b+ ϕ(x) := −∂(−ϕ)(x) (1.9) z at nh Quy tắc tổng cho vi phân Fréchet sau: z Bổ đề 1.1 [8] Cho ϕi : Rn → R hữu hạn x ∈ Rn với i := 1, Nếu ∂b+ ϕ2 (x) 6= ∅ h i \ b + ϕ2 )(x) ⊂ b (x) + x∗ ∂(ϕ ∂ϕ m co l gm @ x∗ ∈∂b+ ϕ2 (x) an Lu Bổ đề 1.2 [7] Cho ϕi : Rn → R, i = 1, 2, , n, n ≥ nửa liên tục n va quanh x ∈ Rn tất hàm này, ngoại trừ hàm liên ac th si tục Lipschitz quanh x Khi đó, (1.10) ∂(ϕ1 + ϕ2 + + ϕn )(x) ⊂ ∂ϕ1 (x) + ∂ϕ2 (x) + + ∂ϕn (x) 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập Cho Ω tập đóng địa phương 6= ∅ Rn cho K := {1, 2, , m}, I := {1, 2, , p} ∪ ∅, J := {1, 2, , q} ∪ ∅ tập số Giả sử lu f := (fk ), k ∈ K, g := (gi ), i ∈ I, h := (hj ), j ∈ J hàm vectơ với an va thành phần Lipschitz địa phương xác định Rn n Xét tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc sau: to tn {f (x)|x ∈ C} m (1.11) ie gh R+ p Tập chấp nhận C định nghĩa w (1.12) oa nl C := {x ∈ Ω| gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J} d Định nghĩa 1.1 (i) Ta nói x ∈ C nghiệm hữu hiệu địa phương lu va an toán (1.11) tồn lân cận U x cho oi lm ul nf ∀x ∈ U ∩ C, f (x) − f (x) ∈ / −Rm + {0} (ii) [4] Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu cô lập địa phương z at nh toán (1.11) tồn lân cận U x số ν > cho z ∀x ∈ U ∩ C, max {fk (x) − fk (x)} ≥ νkx − xk gm @ 1≤k≤m (iii) Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu thường địa phương l cho m co toán (1.11) tồn lân cận U x λ ∈ intRm + an Lu ∀x ∈ U ∩ C, hλ, f (x)i ≥ hλ, f (x)i n va ac th si 37 γj ∈ R, j ∈ J Để ý µi gi (x) = 0, µi gi (b x) ≤ i ∈ I ωj x) = 0, j ∈ J Vì vậy, ta có hj (x) = 0, hj (b đó, σj = X X λk fk (x) = k∈K λk fk (x) + X µi gi (x) + i∈I k∈K P ≤ λk fk (b x) + P σj hj (x) j∈J P µi gi (b x) + i∈I k∈K ≤ X P σj hj (b x) j∈J λk fk (b x) k∈K lu Do đó, tồn k0 ∈ K cho an (2.26) n va fk0 (x) ≤ fk0 (b x), tn to λ ∈ Rm + \ {0} Kết hợp (2.26) với (2.25) dẫn đến mâu thuẫn gh Điều chứng tỏ (i) p ie / S(P ) Điều có nghĩa Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, x ∈ nl w tồn x b ∈ C cho (2.27) d oa f (b x) − f (x) ∈ −Rm + \ {0} lu an Theo định nghĩa nón cực (f, g, h) L - lồi bất biến chặt, nf va λ ∈ Rm b vậy, tồn v ∈ N (x; Ω)o + \ {0}, ta suy từ (2.24) với x P k∈K P i∈I µi hx∗i , vi + λk [fk (b x) − fk (x)]+ P γj hyj∗ , vi j∈J P γj [hj (b x) − hj (x)] j∈J ωj z at nh < P λk hzk∗ , vi + oi lm 0≤ ul cho P µi [gi (b x) − gi (x)]+ i∈I k∈K z Do đó, X X X X X X λk fk (x)+ µi gi (x)+ σj hj (x) < λk fk (b x)+ µi gi (b x)+ σj hj (b x), j∈J k∈K l i∈I gm @ k∈K i∈I j∈J m co γj ∈ R, j ∈ J Ta có µi gi (x) = 0, µi gi (b x) ≤ i ∈ I ωj hj (x) = 0, hj (b x) = j ∈ J Vì vậy, ta có đó, σj = an Lu n va ac th si 38 X λk fk (x) = X λk fk (x) + < µi gi (x) + i∈I k∈K k∈K X P λk fk (b x) + P σj hj (x) j∈J P µi gi (b x) + P σj hj (b x) j∈J i∈I k∈K ≤ X λk fk (b x) k∈K Điều kéo theo tồn k0 ∈ K cho fk0 (x) < fk0 (b x) lu Cùng với (2.27) ta đẫn đến mâu thuẫn Do (ii) Định lý an  n va chứng minh Các định lý đối ngẫu ie gh tn to 2.3 p Trong phần ta xây dựng đối ngẫu kiểu Wolfe [9] toán (Dw ) w đối ngẫu kiểu Mond - Weir [6] toán (DM W ) định lý đối d oa nl ngẫu mạnh yếu toán tương ứng lu Đối ngẫu kiểu Wolfe va an 2.3.1 nf p Cho z ∈ X, λ := (λ1 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , γ := oi lm ul (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ e := (1, , 1) ∈ Rm Trong toán (P), ta xem xét toán tối ưu đa mục tiêu đối ngẫu kiểu Wolfe toán (P): z at nh max {fe(z, λ, µ, γ) := f (z)+hµ, g(z)ie+hγ, h(z)ie | (z, λ, µ, γ) ∈ Cw } (Dw ) m R+ z l gm @ Ở đây, tập ràng buộc Cw xác định X  p q × R | ∈ λk ∂fk (z) Cw := (z, , à, ) ì Rm ì R + + + + γj (∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z)) + N (z, Ω), (2.28) j∈J hλ, ei = 1, h(z) ∈ (γ − S(0, kγk))o an Lu i∈I µi ∂gi (z) + X m co k∈K X n va ac th si 39 S(0, kγk)) := {σ ∈ Rq | kσk = kγk} Một nghiệm hữu hiệu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán "max" đối ngẫu (Dw ) định nghĩa tương tự Định nghĩa 2.1 m m m cách thay −Rm + (-intR+ ) R+ (intR+ ) Ta kí hiệu tập nghiệm hữu hiệu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán (Dw ) S(Dw ) ( S w (Dw )) Sau đây, để thuận tiện ta sử đụng kí hiệu sau: u ≺ v ⇔ u − v ∈ -intRm + , u ⊀ v phủ định u ≺ v, u  v ⇔ u − v ∈ −Rm + \ {0}, u  v phủ định u  v Định lý sau mơ tả mối quan hệ tính đối ngẫu yếu toán lu an xuất phát (P) toán (Dw ) va n Định lý 2.3 (Đối ngẫu yếu) Giả sử x ∈ C cho (z, λ, µ, γ) ∈ Cw gh tn to (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z p ie f (x) ⊀ fe(z, λ, µ, γ) oa nl w (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z d f (x)  fe(z, λ, µ, γ) va an lu Chứng minh nf Do (z, λ, µ, γ) ∈ Cw , tồn λ := (λ1 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) oi lm ul ∈ Rp+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ , zk∗ ∈ ∂fk (z), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (z), i ∈ I z at nh yj∗ ∈ ∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z), j ∈ j, cho   X X X − λk zk∗ + µi x∗i + γj yj∗  ∈ N (z; Ω) i∈I j∈J z k∈K (2.29) gm @ hλ, ei, hγ − σ, h(z)i ≤ 0, ∀ σ ∈ Rq , kσk = kγk Đầu tiên ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại, an Lu f (x) ≺ fe(z, λ, µ, γ) m co l (2.30) n va ac th si 40 Vì thế,hλ, f (x) − fe(z, λ, µ, γ)i < Điều tương đương với bất đẳng thức sau: (2.31) hλ, f (x) − f (z)i − hµ, g(z)i − hγ, h(z)i < Theo định nghĩa nón cực tính chất L - lồi bất biến (f, g, h) Ω z, từ (2.29) ta suy với x, tồn v ∈ N (z, Ω)o cho P P P 0≤ λk hzk∗ , vi + µi hx∗i , vi + γj hyj∗ , vi P ≤ j∈J i∈I k∈K λk [fk (x) − fk (z)]+ P P γj [hj (x) − hj (z)] j∈J ωj µi [gi (x) − gi (z)]+ i∈I k∈K lu γj ∈ R, j ∈ J, ta có Đặt σj := ωj an n va (2.32) tn to ≤ hλ, f (x) − f (z)i + hµ, g(x) − g(z)i + hσ, h(x) − h(z)i, gh đó, σ := (σ1 , , σq ) ∈ Rq Do x ∈ C nên ta có hµ, g(x)i ≤ 0, p ie hσ, h(x)i = Vì vậy, (2.32) dẫn đến oa nl w (2.33) ≤ hλ, f (x) − f (z)i − hµ, g(z)i − hσ, h(z)i Vì kσk = kγk, kết hợp (2.30), (2.31) (2.33) ta dẫn đến mâu thuẫn Vì d an lu (i) chứng minh nf va Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, (2.34) oi lm ul f (x)  fe(z, λ, µ, γ) z at nh Vì thế, hλ, f (x) − fe(z, λ, µ, γ)i ≤ tương đương với bất đẳng thức sau (2.35) hλ, f (x) − f (z)i − hµ, g(z)i − hγ, h(z)i ≤ z gm @ Từ (2.34) ta có x 6= z Thật vậy, x = z m co l f (x) − fe(z, λ, µ, γ) = −hµ, g(x)ie − hγ, h(x)ie Do x ∈ C, hµ, g(x)i ≤ hγ, h(x)i = Vì vậy, (2.34) kéo theo an Lu −hµ, g(x)ie ∈ −Rm + \ {0} Điều xảy Vậy x 6= z Từ định nghĩa nón cực tính chất L - lồi bất biến chặt (f, g, h) Ω n va ac th si 41 z từ (2.29) suy với x, tồn v ∈ N (z, Ω)o cho P P P 0≤ λk hzk∗ , vi + µi hx∗i , vi + γj hyj∗ , vi i∈I k∈K P < j∈J λk [fk (x) − fk (z)]+ P P γj [hj (x) − hj (z)] j∈J ωj µi [gi (x) − gi (z)]+ i∈I k∈K γj Đặt σj := ∈ R, j ∈ J, ta có ωj (2.36) < hλ, f (x) − f (z)i + hµ, g(x) − g(z)i + hσ, h(x) − h(z)i, đó, σ := (σ1 , , σq ) ∈ Rq Do x ∈ C nên ta có hµ, g(x)i ≤ 0, hσ, h(x)i = Vì vậy, từ (2.36) suy lu an (2.37) < hλ, f (x) − f (z)i − hµ, g(z)i − hσ, h(z)i va n Vì kσk = kγk, kết hợp (2.30), (2.35) (2.37) dẫn đến mâu thuẫn Do Ví dụ sau cho thấy tính chất L - lồi bất biến (f, g, h) ie gh tn to  (ii) Vậy định lý chứng minh p định lý cốt yếu Cụ thể kết luận định lý không nl w tính chất bị bỏ qua d oa Ví dụ 2.3 Cho f : R → R2 xác định f (x) = (f1 (x), f2 (x)), an lu với f1 (x) = f2 (x) := x3 , x ∈ R g, h : R → R xác định va g(x) := −|x|, h(x) := x2 + x, x ∈ R Xét toán (P) với m = 2, Ω = R oi lm ul nf Khi đó, C = {−1, 0} chọn x = −1 ∈C Ta  xét toán đối ngẫu 1 (Dw ) Bằng cách chọn z := ∈ Ω, λ := , , µ := 1, γ := 1, ta 2 có (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Để ý (f, g, h) không L - lồi bất biến Ω z at nh z Ta có z gm @ f (x) = (−1, −1) ≺ (0, 0) = fe(z, λ, µ, γ) Điều có nghĩa kết luận Định lý 2.3 không l h(z) ∈ (γ − S(0, kγk)o an Lu toán tối ưu, ta có quan hệ m co Nhận xét 2.1 Không giống số kết trước đối ngẫu (2.38) n va ac th si 42 tập ràng buộc Cw toán đối ngẫu (Dw ) Mối quan hệ không xuất tốn xuất phát khơng có ràng buộc đẳng thức, tức J = ∅ Đối với tốn có ràng buộc đẳng thức, mối quan hệ (2.38) tự động thỏa mãn h = Nếu không, điều kiện điều kiện cần thiết Cụ thể, ta khơng có điều kiện trên, trường hợp lồi, quan hệ đối ngẫu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc h 6= Cw không thỏa mãn (2.38) Để minh họa điều ta xét ví dụ sau đây: lu Ví dụ 2.4 Cho f : R → R2 xác định f (x) = (f1 (x), f2 (x)), với an n va f1 (x) = f2 (x) := x, x ∈ R g : R → R xác định g(x) := tn to |x|, x ∈ R, h : R → R2 xác định h(x) = (h1 (x), h2 (x)), ie gh h1 (x) := x, h2 (x) := −x, x ∈ R p Xét toán (P) với m = 2, Ω = R Ta có C = {0}  chọn x= ∈ C 1 , Ta xét toán đối ngẫu (Dw ) Chọn z := ∈ Ω, λ := , µ := 0, 2 γ := (1, 0) Khi đó, (z, λ, µ, γ) thỏa mãn tất điều kiện Cw d oa nl w an lu (2.28), ngoại trừ điều kiện (2.38) áp dụng cho z := Ta có ul nf va f (x) = (0, 0) ≺ (2, 2) = fe(z, λ, µ, γ) oi lm Điều cho thấy kết luận Định lý 2.3 không đúng, (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z Lý z at nh h(z) ∈ / (γ − S(0, kγk)o z toán (P) toán đối ngẫu (Dw ) l gm @ Định lý thể mối quan hệ đối ngẫu mạnh m co Định lý 2.4 (Đối ngẫu mạnh) Cho x ∈ S w (P ) thỏa mãn điều kiện (CQ) an Lu p q Khi tn ti (, à, ) Rm + ì R+ × R+ cho (x, λ, µ, γ) ∈ Cw f (x) = fe(x, λ, µ, γ) Hơn nữa, n va ac th si 43 (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z ∈ Ω (x, λ, µ, γ) ∈ S w (Dw ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω (x, λ, µ, γ) ∈ S(Dw ) Chứng minh Theo Định lý 2.1, x thỏa mãn điều kiện (KKT), nghĩa tồn p λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + \ {0}, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ γ := lu (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ cho X X X µi ∂gi (x) + γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) 0∈ λk ∂fk (x) + an n va (2.39) j∈J i∈I) tn to k∈K ie gh + N (x; Ω), µi gi (x) = 0, i ∈ I p Đặt oa nl w λk µi γj λk := P , k ∈ K, µi := P , i ∈ I, γ j := P , j ∈ J λk λk λk k∈K k∈K k∈K d an lu Khi ta có λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , hλ, ei = 1, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ nf va Rp+ γ := (γ , γ , , γ q ) ∈ Rq+ Hơn nữa, khẳng định (2.39) ul λk , µi , γj thay tương ứng λk , µi , γ j Ngồi ra, oi lm x ∈ C, ta có hj (x) = với j ∈ J Điều nghĩa hγ−σ, h(x)i = z at nh với σ ∈ Rq với kσk = kγk nghĩa h(x) ∈ (γ − S(0, kγk)o Vì vậy, (x, λk , µi , γ j ) ∈ Cw Do hµ, g(x)i = hγ, h(x)i = ta nhận z f (x) = f (x) + hµ, g(x)ie + hγ, h(x)ie = fe(z, λ, µ, γ) l gm @ Chứng minh (i) Định lý 2.3 ta nhận m co Khi (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z ∈ Ω, sử dụng (i) an Lu fe(z, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ fe(z, λ, µ, γ) n va ac th si 44 với (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Điều có nghĩa (z, λ, µ, γ) ∈ S w (Dw ) Chứng minh (ii) Khi (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω, sử dụng (ii) Định lý 2.3 ta nhận fe(z, λ, µ, γ)  fe(z, λ, µ, γ), với (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Do đó, (z, λ, µ, γ) ∈ S(Dw ) Định lý chứng minh  Chú ý điều kiện (CQ) Định lý 2.4 đóng vai trị quan lu trọng Nói xác, x nghiệm hữu hiệu yếu tốn xuất an n va phát, mà điều kiện (CQ) khơng thỏa mãn, ta khơng tìm tốn đối ngẫu Trong trường hợp này, tất nhiên ta khơng có gh tn to p q (, à, ) Rm + ì R+ × R+ cho (x, λ, µ, γ) thuộc tập chấp nhận quan hệ đối ngẫu mạnh (xem Ví dụ 2.1) p ie Đối ngẫu kiểu Mond - Weir nl w 2.3.2 d oa p Cho z ∈ X, λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , γ := an lu (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ e := (1, 1, , 1) ∈ Rm nf va Xét toán đối ngẫu kiểu Mond - Weir: max {f (z, λ, µ, γ) := f (z) | (z, λ, µ, γ) ∈ CM W } m (DM W ) ul oi lm R+ z at nh Ở đây, tập ràng buộc CM W xác định X X  p q CM W := (z, λ, µ, γ) ∈ Ω×Rm ×R ×R | ∈ λ ∂f (z)+ µi ∂gi (z) k k + + + γj (∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z)) + N (z, Ω), gm @ j∈J i∈I k∈K z + X S(0, kγk)) := {σ ∈ Rq | kσk = kγk} m co l hλ, ei = 1, hµ, g(z)i + hσ, h(z)i ≥ ∀ σ ∈ S(0, kγk) , an Lu Quan hệ đối ngẫu yếu toán (P) toán đối ngẫu (DM W ) sau: n va ac th si 45 Định lý 2.5 (Đối ngẫu yếu) Cho x ∈ C (z, λ, µ, γ) ∈ CM W (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z f (x)  f (z, λ, µ, γ) Chứng minh Do (z, λ, µ, γ) ∈ CM W , tồn λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm +, lu an µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ Rp+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ , zk∗ ∈ ∂fk (z), n va gh tn to k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (z), i ∈ I, yj∗ ∈ ∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z), j ∈ J, cho   X X X (2.40) λk zk∗ + µi x∗i + γj yj∗  ∈ N (z; Ω) − i∈I k∈K j∈J p ie oa nl w hλ, ei = 1, hµ, g(z)i + hσ, h(z)i ≥ 0, ∀ σ ∈ Rq , vớikσk = kγk (2.41) Trước hết ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại d lu va an f (x) ≺ f (z, λ, µ, γ) oi lm ul nf Do đó, hλ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) < Nhưng (2.42) hλ, f (x) − f (z)i < z at nh Theo định nghĩa nón cực (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z z, từ (2.40) ta suy với x vậy, tồn v ∈ N (x; Ω)o cho P P P γj hyj∗ , vi 0≤ λk hzk∗ , vi + µi hx∗i , vi + λk [fk (x) − fk (z)]+ P m co i∈I an Lu γj ∈ R, j ∈ J, ta có Đặt σj = ωj P γj [hj (x) − hj (z)] j∈J ωj µi [gi (x) − gi (z)]+ l k∈K j∈J i∈I gm ≤ P @ k∈K (2.43) ≤ hλ, f (x) − f (z)i + hµ, g(x) − g(z)i + hσ, h(x) − h(z)i n va ac th si 46 σ := (σ1 , σ2 , , σq ) ∈ Rq Bởi x ∈ C, ta suy hµ, g(x)i ≤ hσ, h(x)i = Vì vậy, từ (2.43) ta có (2.44) ≤ hλ, f (x) − f (z)i − (hµ, g(z)i + hσ, h(z)i) Chú ý kσk = kγk Kết hợp (2.41) với (2.42) (2.44) ta đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ (i) Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, (2.45) f (x)  f (z, λ, µ, γ) lu Do đó, hλ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) ≤ Điều tương đương với bất đẳng an thức sau: va (2.46) n hλ, f (x) − f (z)i ≤ gh tn to Hơn nữa, từ (2.45) suy x 6= z Theo định nghĩa nón cực p ie (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z, từ (2.40) ta suy với x j∈J λk [fk (x) − fk (z)]+ lu k∈K i∈I d < P oa k∈K nl w vậy, tồn v ∈ N (z; Ω)o cho P P P 0≤ λk hzk∗ , vi + µi hx∗i , vi + γj hyj∗ , vi P P γj [hj (x) − hj (z)] j∈J ωj µi [gi (x) − gi (z)]+ i∈I ul nf va an γj Đặt σj = ∈ R, j ∈ J, ta có ωj (2.47) oi lm < hλ, f (x) − f (z)i + hµ, g(x) − g(z)i + hσ, h(x) − h(z)i Vì vậy, từ (2.47) ta có z at nh σ := (σ1 , σ2 , , σq ) ∈ Rq Mà x ∈ C, hµ, g(x)i ≤ hσ, h(x)i = (2.48) z < hλ, f (x) − f (z)i − (hµ, g(z)i + hσ, h(z)i) gm @ Chú ý kσk = kγk Kết hợp (2.41) với (2.46) (2.48) ta đến  m co Vậy định lý chứng minh l mâu thuẫn Điều chứng tỏ (ii) an Lu Đinh lý sau trình bày quan hệ đối ngẫu mạnh toán (P) n va toán đối ngẫu (DM W ) ac th si 47 Định lý 2.6 (Đối ngẫu mạnh) Cho x ∈ S w (P ) thỏa mãn điều kiện (CQ) p q điểm Khi tồn (λ, µ, γ) ∈ Rm + ×R+ ×R+ cho (x, λ, µ, γ) ∈ CM W f (x) = f (x, λ, µ, γ) Hơn nữa, (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z (x, λ, µ, γ) ∈ S w (DM W ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z (x, λ, µ, γ) ∈ S(DM W ) Chứng minh lu Theo Định lý 2.1, x thỏa mãn điều kiện (KKT), nghĩa tồn an n va p λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + \ {0}, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ γ := gh tn to (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ cho X X X 0∈ λk ∂fk (x) + γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) µi ∂gi (x) + k∈K ie + N (x; Ω), µi gi (x) = 0, i ∈ I p nl w Đặt (2.49) j∈J i∈I) d oa λk µi γj λk := P , k ∈ K, µi := P , i ∈ I, γ j := P , j ∈ J λk λk λk lu k∈K an k∈K k∈K va p Ta có λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , hλ, ei = 1, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , oi lm ul nf γ := (γ , γ , , γ q ) ∈ Rq+ Hơn nữa, khẳng định (2.49) λk , µi , γj thay tương ứng λk , µi , γ j Vì thế, hµ, g(x)i = z at nh Ngồi ra, x ∈ C, hj (x) = với j ∈ J Khi đó, hµ, g(x)i+hσ, h(x)i = với σ ∈ S(0, kγk) Vì vậy, ta có (x, λ, µ, γ) ∈ CM W Rõ ràng theo z định nghĩa ta có f (x) = f (x, λ, µ, γ) @ m co l Định lý 2.5 ta có gm (i) Khi (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z theo (i) f (x, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) n va S w (DM W ) an Lu với (z, λ, µ, γ) ∈ CM W Điều có nghĩa (x, λ, µ, γ) ∈ ac th si 48 (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω theo (ii) Định lý 2.5 ta có f (x, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ), với (z, λ, µ, γ) ∈ CM W Do đó, (x, λ, µ, γ) ∈ S(DM W )  Định lý chứng minh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 49 Kết luận Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu đối ngẫu T.D Chuong đăng tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104 lu an cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập n va tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, tn to T.D Chuong - D.S Kim đăng tạp chí Annals of Operations gh Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu p ie yếu tốn w Nội dung luận văn bao gồm: oa nl - Các khái niệm vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich Các quy tắc tính vi phân Fréchet giới hạn d an lu - Điều kiện tối ưu đối ngẫu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu nf va thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu không trơn oi lm ul - Điều kiện tối ưu đối ngẫu Wolfe Mond- Weir cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu khơng z at nh trơn Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu z đa mục tiêu đề tài nhiều nhà toán học quan tâm m co l gm @ nghiên cứu an Lu n va ac th si 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), "Giải tích lồi", NXB Khoa học n va kĩ thuật, Hà Nội p ie gh tn to Tiếng Anh w [2] T.D Chuong (2013), "Optimality and duality for proper and isolated oa nl efficiencies in multiobjective opmization", Nonlinear Analysic, 76, d pp 93 - 104 lu va an [3] T.D Chuong, D.S Kim (2014), "Optimality conditions and dual- nf ity in nonsmooth multiobjective optimization problems", Annals of oi lm ul Operations Research, 217, pp 117 - 136 [4] I Ginchev, A Gueraggio, M Rocca (2006), "From scalar to vector z at nh optimization", Appl.Math, 51, pp - 36 z [5] D.S Kim, S Schaible (2004), "Optimality and duality for invex nons- @ m co l 165 - 176 gm mooth multiobjective programming problems", Optimization, 53, pp [6] B Mond, T Weir (1981), "Generalized concavity and duality in", S an Lu Schaible, W.T Ziemba (Eds), "Generalized concavity in optimization and economics", New York: Academic Press, pp 263 - 279 n va ac th si 51 [7] B.S Mordukhovich (2006), "Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic theory", Berlin: Springer [8] B.S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2006), "Fréchet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming", Optimization, 55, pp 685 - 708 [9] P Wolfe (1961), "A duality theorem for nonlinear programming", Quarterly of Applied Mathematies, 19, pp 239 - 244 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si