(Luận văn) điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH lu an n va tn to ie gh ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI p CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU d oa nl w DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH lu an n va CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU ie gh tn to ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI p DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC d oa nl w nf va an lu Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 lu Người viết luận văn an n va tn to p ie gh Trần Quang Mạnh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng lu an dẫn tơi hồn thành luận văn va n Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường gh tn to Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy, p ie khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập w Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại oa nl học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp d đỡ suốt thời gian học tập an lu nf va Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, z at nh oi lm ul ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Ngun, tháng năm 2016 Người viết luận văn z co l gm @ Trần Quang Mạnh m an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i lu an Lời cảm ơn ii n va iii gh tn to Mục lục p ie Mở đầu w oa nl Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai Tập tiếp tuyến cấp hai 1.2 Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai d 1.1 3 nf va an lu lm ul Điều kiện cần tối ưu 14 z at nh oi Điều kiện cần cấp hai dạng hệ khơng tương thích 14 2.2 Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange 18 2.3 Các hệ ví dụ z 2.1 co l gm @ 23 an Lu 3.1 28 m Điều kiện đủ tối ưu Điều kiện cấp hai dạng nhân tử Lagrange 28 n va ac th iii si 3.2 Các hệ 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 41 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si Mở đầu Lý chọn đề tài lu Lý thuyết điều kiện tối ưu đóng vai trị quan trọng lý thuyết an toán cực trị Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm va n nghiệm tối ưu trong tập điểm dừng Nhiều kết nghiên cứu tn to điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đơn đa mục tiêu gh p ie thiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) chứng minh nl w điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả oa vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục ổn định Lớp hàm chứa d lớp hàm C 1,1 Đây đề tài nhiều tác giả nước an lu nf va quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu parabolic” z at nh oi Nội dung đề tài lm ul cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu ngôn ngữ đạo hàm z gm @ Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạo hàm l m co parabolic cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet an Lu đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn định Luận văn viết dựa báo C Gutiérrez, B Jiménez V Novo, đăng tạp n va ac th si chí Math Programming 123 (2010), 199-223 Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai" Trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu (1.1) xét luận văn; khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai tập; tính chất mối quan hệ tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai mối quan hệ lu an chúng Các khái niệm kết chương Gutiérrez–Jiménez– va Novo [10] n gh tn to Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu" p ie Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp hai Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho toán (1.1) phát biểu chương với hàm có đạo hàm nl w d oa Fréchet liên tục ổn định, dạng hệ khơng tương thích dạng nhân tử an lu Lagrange với số ví dụ minh họa nf va Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu" lm ul Trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange z at nh oi Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu (3.1) với hệ cho toán với hàm z khả vi Fréchet hai lần, toán với hàm C 1,1 ví dụ m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai lu an n va tn to Chương trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu ie gh luận văn, khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai với tính chất p mối quan hệ chúng, hàm ổn định, đạo hàm theo phương parabolic nl w radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng) d oa Các kết chương Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] an lu Tập tiếp tuyến cấp hai nf va 1.1 lm ul tối ưu đa mục tiêu sau: z at nh oi Cho f , g h hàm từ Rn vào Rp , Rm Rr Xét toán (1.1) z D − Minf (x), @ l gm x ∈ M := g −1 (K) ∩ h−1 (0), m co D nón lồi đóng nhọn (D ∩ −D = {0}) với phần khác an Lu rỗng K ⊂ Rm tập lồi với phần khác rỗng Thứ tự phận n va ac th si Rp xác định quan hệ y ≤D y ⇐⇒ y − y ∈ D Rõ ràng toán (1.1) bao gồm trường hợp đặc biệt tốn quy hoạch thơng thường với ràng buộc bất đẳng thức gj (x) ≤ 0, j = 1, , m, chọn K góc phần tư (orthant) khơng dương Rm − Cho M tập Rn Ta kí hiệu B(¯ x, δ) hình cầu mở tâm x¯ bán kính δ > 0, int M phần tập M , cl M bao đóng tập M , lu co M bao lồi tập M cone M nón sinh tập M an n va Nhắc lại điểm x ¯ ∈ M gọi cực tiểu địa phương (cực tiểu tn to yếu địa phương) tốn (1.1), kí hiệu x ¯ ∈ LMin(f, M ) (tương ứng ie gh x¯ ∈ LWMin(f, M ) điểm cực tiểu yếu địa phương), tồn lân p cận U x ¯ cho w d oa nl (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−D) = {0} nf va phương) an lu (tương ứng (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−intD) = ∅ điểm cực tiểu yếu địa z at nh oi phương biết lm ul Đặc biệt p = D = R+ , trở khái niệm cực tiểu địa Nón cực dương tập M ∈ Rn định nghĩa z M + = (ξ ∈ Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ M ) gm @ co l Nón tiếp tuyến M x ¯ ∈ Rn m T (M, x¯) = {v ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃vn → v cho x¯ + tn ∈ M, ∀n ∈ N} an Lu Sau khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sử dụng luận văn n va ac th si rỗng Bài toán (3.1) tổng quát so với tốn (1.1) với liệu tốn (1.1), (3.1) ta thay Rm Rm × Rr , g (g, h) K K × {0} ta toán (1.1) Với toán (3.1), tập hợp nhân tử Fritz John cho ( x) = {(, à) Rp ì Rm : (λ, µ) 6= (0, 0), λ ◦ f (¯ x) + µ ◦ g (¯ x) = 0, λ ∈ D+ , µ ∈ N (K, g (¯ x))} Khái niệm cực tiểu địa phương chặt cấp q đưa Định nghĩa lu 3.1 [13] an n va Định nghĩa 3.1.1 Cho q ≥ số nguyên Điểm x ¯ ∈ M gọi cực tn to tiểu địa phương chặt cấp q cho tốn (3.1), kí hiệu x ¯ ∈ Strl(q, f, M ), ie gh tồn α > lân cận U x ¯ cho p (f (x) + D) ∩ B(f (¯ x), αkx − x¯kq ) = ∅, ∀x ∈ M ∩ U \ {¯ x} nl w (3.2) d oa Mỗi cực tiểu địa phương chặt cấp q cấp j , với j ≥ q , an lu cực tiểu địa phương chặt cấp q cực tiểu địa phương, nf va Strl(q, f, M ) ⊂ LMin(f, M ) [13] Khái niệm mở rộng khái niệm cực lm ul tiểu địa phương chặt cấp q thơng thường cho tốn tối ưu vô hướng, tức z at nh oi p = D = R+ , (3.2) tương đương với f (x) ≥ f (¯ x) + αkx − x¯kq ∀x ∈ M ∩ U \ {¯ x} z gm @ Nón phương tới hạn m co l CT (¯ x) = T (M, x¯) ∩ C(f, x¯) Ta có an Lu ac th 29 n va CT (¯ x) ⊂ C(¯ x) := {v ∈ Rn : f (¯ x)v ∈ −D, g (¯ x)v ∈ T (K, g(¯ x))} si Với vectơ v ∈ Rn , kí hiệu v ⊥ không gian trực giao với v Bổ đề 3.1.2 Giả sử đạo hàm f f : Rn → Rp ổn định x ¯ cho xn − x¯ − tn v v, w ∈ Rn Nếu wn := → w với tn → 0+ , rn → 0+ tn /rn → tn rn 0, f (xn ) − f (¯ x) − tn f (¯ x)v limn→∞ = f (¯ x)w tn rn Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với b = xn = x ¯ + tn v + 21 tn rn wn a = x ¯, ý f ổn định x¯ với số k, ta có lu kf (xn ) − f (¯ x) − tn f (¯ x)(v + rn wn )k ≤ tn kv + rn wn k sup kf (x) − f (¯ x)k x∈[¯ x,xn ] 1 ≤ tn kv + rn wn kkkxn − x¯k = kt2n kv + rn wn k2 , 2 an n va ie gh tn to p với n đủ lớn d oa nl w Chia hai vế cho 12 tn rn , ta f (x ) − f (¯ x) − tn f (¯ x)v tn n − f (¯ x)wn ≤ 2k kv + rn wn k2 → rn 2 tn rn nf va an lu Bổ đề chứng minh lm ul Trong kết phần này, giả thiết sau sử dụng: ta nói tính z at nh oi chất (H) x ¯ ∀v ∈ CT (¯ x) \ {0} ∀w ∈ v ⊥ \{0} mà z g (¯ x)w ∈ cl cone[cone(K − g(¯ x) − g (¯ x)v], @ l gm tồn (λ, µ) ∈ Λ(¯ x) thỏa mãn hµ, g (¯ x)wi < m co Định lý 3.1.3 Xét toán (3.1) Giả sử f g ổn định x ¯ ∈ M an Lu (H) x¯ Với v ∈ CT (¯ x) \ {0}, điều kiện sau thỏa mãn: n va ac th 30 si (a) ∀w ∈ Rn ∀(x0 , y0 ) ∈ Dr2 (f, g)(¯ x, v) cho g (¯ x)w + z0 ∈ T (k, g(¯ x), g (¯ x)v), tồn (λ, µ) ∈ Λ(¯ x) thỏa mãn hλ, y0 i + hµ, z0 i > hµ, g (¯ x)w + z0 i (3.3) Khi x ¯ ∈ Strl(2, f, M ) Chứng minh Giả sử x ¯ ∈ / Strl(2, f, M ) Khi đó, từ Định nghĩa 3.1.1 với ¯ dn ∈ D cho q = 2, tồn dãy xn ∈ M ∩ B(¯ x, n1 ) \ {x} lu bn := f (xn ) − f (¯ x) + dn ∈ B(0, t2n ), n an (3.4) va n với tn = kxn − x ¯k → 0+ Ta giả sử tồn dãy ta kí hiệu tn to xn , cho gh xn − x¯ → v ∈ T (M, x¯), với kvk = (3.5) tn Chia hai vế (3.4) cho tn lấy giới hạn ta f (¯ x)v ∈ −D Như p ie := nl w d oa vậy, v ∈ CT (¯ x) \ {0} xn − x¯ − tn v , ta có hai trường hợp: 2 tn nf va an lu Với dãy wn : w ∈ Rn Ta đặt z at nh oi lm ul • Trường hợp (i): (wn ) bị chặn, ta giả sử (wn ) → w với (f, g)(¯ x + tn v + 21 t2n wn ) − (f, g)(¯ x) − tn (f, g)0 (¯ x)v (yn , zn ) := t n z Do (f, g)0 ổn định x ¯, ta giả sử ( xem chứng minh Mệnh đề @ (3.6) m co (yn , zn ) → (y, z) l gm 1.2.3) an Lu với (y, z) ∈ Dp2 (f, g)(¯ x, v, w) Từ Mệnh đề 1.2.4 (ii), ac th 31 n va (y, z) = (f, g)0 (¯ x)w + (y0 , zo ) = (f (¯ x)w + y0 , g (¯ x)w + z0 ), si với (y, z0 ) ∈ Dr2 (f, g)(¯ x, v) Do xn ∈ M , tức g(xn ) ∈ K , zn = g(xn ) − g(¯ x) − tn g (¯ x)v → z = g (¯ x)w + z0 , t n ta suy g (¯ x)w + z0 ∈ T (K, g(¯ x), g (¯ x)v) Từ giả thiết (a), tồn (λ, µ) ∈ Λ(¯ x) thỏa mãn (3.3) Cộng hλ, f (¯ x)wi vào hai vế (3.3) ý λ ◦ f (¯ x) + µ ◦ g (¯ x) = 0, (3.3) tương đương với lu an hλ, f (¯ x)w + y0 i > (3.7) va n Mặt khác, ta chia hai vế (3.4) cho 21 t2n đặt to (3.8) yn + en = 2t−2 n bn ∈ B(0, 2/n), (3.9) ie gh tn en := 2t−2 x)v), n (dn + tn f (¯ p ta có oa nl w d yn + en → Do (3.6), yn → y = f (¯ x)w + y0 Sử dụng lu nf va an (3.8)–(3.9), ta suy −1 f (¯ x)w + y0 = − lim en = − lim 2t−1 x)v) n (tn dn + f (¯ lm ul ∈ -cl cone(D + f (¯ x)v), z at nh oi dn ∈ D D nón z Do v ∈ CT (¯ x) ⊂ C(¯ x) λ ◦ f (¯ x) + µ ◦ g (¯ x) = 0, ta suy @ l gm hλ, f (¯ x)vi = n ac th 32 va hλ, f (¯ x)w + y0 i ≤ an Lu Bởi f (¯ x)w + y0 ∈ - cl cone(D + f (¯ x)v), ta có m co (xem (2.10)) Do đó, λ ∈ [cl cone(D + f (¯ x)v)]+ si Điều mâu thuẫn với (3.7) • Trường hợp (ii): Khi wn khơng bị chặn, ta giả sử kwn k → +∞ wn w¯n := → w¯ với w¯ ∈ Rn với kwk ¯ = Nếu ta đặt sn := kwn k−1 → kwn k + , ta có w¯n = xn − x¯ − tn v xn − x¯ − tn v wn = s n = , kwn k t t r n n n 2 (3.10) với rn := tn /sn thỏa mãn tn /rn = sn → Hơn nữa, rn → 0+   − v xn − x¯ −v = w¯n = → w¯n (3.11) rn tn r n lu an Như , − v → 0, ta suy va n rn = Phương trình (3.11) w ¯ ∈ T (Sn−1 ) = v ⊥ , , v ∈ gh tn to 2kvn − vk = 2kvn − vk → kw¯n p ie Sn−1 , Sn−1 mặt cầu đơn vị Rn nl w Bây ta sử dụng (3.10)–(3.11), với (f, g)0 ổn định x ¯, ta có oa (f, g)(xn ) − (f, g)(¯ x) − tn (f, g)0 (¯ x)v → (f (¯ x)w, ¯ g (¯ x)w) ¯ tn rn d (3.12) an lu nf va theo Bổ đề 3.1.2, tn /rn → Hơn nữa, lm ul g (¯ x)w¯ = limn→∞ 2rn−1 [t−1 x)) − g (¯ x)v] n (g(xn ) − g(¯ z at nh oi ∈ cl cone[cone(K − g(¯ x)) − g (¯ x)v] Từ giả thiết (H), tồn (λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho hµ, g (¯ x)wi ¯ < Cộng z hλ, f (¯ x)wi ¯ vào hai vế, biểu thức tương đương với gm @ (3.13) co l hλ, f (¯ x)wi ¯ > m Mặt khác, chia hai vế (3.4) cho 21 tn rn lấy giới hạn, ta suy an Lu f (xn ) − f (¯ x) − tn f (¯ x)v dn + tn f (¯ x)v limn→∞ + limn→∞ = 1 t r t r n n n n 2 n va ac th 33 si Giới hạn thứ f (¯ x)w¯ (3.12) giới hạn thứ hai d¯ := limn→∞ 2rn−1 (t−1 x)v) ∈ cl cone(D + f (¯ x)v) n dn + f (¯ Vì f (¯ x)w¯ = −d¯, hλ, f (¯ x)wi ¯ ≤ 0, mâu thuẫn với (3.13) Nhận xét 3.1.4 Điều kiện (a0 ) sau kéo theo điều kiện (a) Định lý 3.1.3: (a0 ) ∀(y0 , z0 ) ∈ Dr2 (f, g)(¯ x, v) ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho hλ, y0 i + hµ, z0 i > hµ, bi sup (3.14) b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) lu an Khi K khả dẫn xuất parabolic g(¯ x), tức va n T (K, g(¯ x), u) = A2 (K, g(¯ x), u) ∀u ∈ Rm tn to ie gh (xem Định nghĩa 6.1 [18]), điều kiện cần (2.11) khác (3.14) dấu ” ≥” p dấu ” > ” Theo nghĩa đó, ta nói điều kiện đủ gần với điều kiện cần oa nl w Nhận xét 3.1.5 Định lý 3.1.3 Hệ 3.2.1, 3.2.2, 3.2.5 d ta thay CT (¯ x) cho C(¯ x) CT (¯ x) ⊂ C(¯ x) Các hệ nf va an lu 3.2 lm ul z at nh oi Kết sau hệ trực tiếp Định lý 3.1.3 Mệnh đề 1.2.4 (ii) Hệ 3.2.1 Xét toán (3.1) Giả sử f g hàm d2p −khả vi z x¯ ∈ M , có đạo hàm f g ổn định x¯ (H) x¯; Với l gm @ v ∈ CT (¯ x) \ {0}, điều kiện sau thỏa mãn: Khi x ¯ ∈ Strl(2, f, M ) an Lu hλ, d2p f (¯ x, v, w)i > m co (a) ∀w ∈ Rn mà d2p g(¯ x, v, w) ∈ T (K, g(¯ x), g (¯ x)v), ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho n va ac th 34 si Từ Hệ 3.2.1, sử dụng Mệnh đề 1.2.4, ta kết sau cho trường hợp hàm khả vi Fréchet hai lần Hệ 3.2.2 Xét toán (3.1) Giả sử f g hàm khả vi Fréchet hai lần x ¯ ∈ M (H) x¯; Với v ∈ CT (¯ x) \ {0}, điều kiện sau thỏa mãn: (a) ∀w ∈ Rn mà g (¯ x)w + g 00 (¯ x)(v, v) ∈ T (K, g(¯ x), g (¯ x)v) ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho hλ, f (¯ x)w + f 00 (¯ x)(v, v)i > lu Khi x ¯ ∈ Strl(2, f, M ) an n va Nhận xét 3.2.3 Điều kiện (a0 ) sau kéo theo điều kiện (a) Hệ tn to 3.2.2: (a0 ) ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho ie gh hλ, f 00 (¯ x)(v, v)i + hµ, g 00 (¯ x)(v, v)i > hµ, bi sup p b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) nl w Để minh họa cho kết trên, ví dụ sau cho thấy khơng có sai d oa khác Định lý 2.2.6 Định lý 3.1.3 nf va an lu Ví dụ 3.2.4 Xét Ví dụ 2.3.6 Với v = (v1 , 0) ∈ C(¯ x) \ {(0, 0)}, theo Ví dụ 3.39 [5] ta có lm ul T (K, g(¯ x), g (¯ x)v) = A2 (K, g(¯ x), g (¯ x)v), z at nh oi với µ = (0, 0, −1) ∈ N (K, g(¯ x)), sup l gm @ (xem Ví dụ 2.3.6) z b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) hµ, bi = −4v12 m co Cho (y0 , z0 ) = 2v12 (a − c, 0, 1, 0) ∈ Dr2 (f, g)(¯ x, v), (λ, µ) = (1, 0, 0, −1) ∈ n ac th 35 va hλ, y0 i + hµ, z0 i = 2(a − c)v12 an Lu Λ(¯ x), vế trái (3.14) si Do (3.14) thỏa mãn a − c > −2 x, v) a − c > −2 Hơn nữa, (3.14) thỏa mãn với (y0 , z0 ) ∈ Dr2 (f, g)(¯ Như vậy, điều kiện (a0 ) Nhận xét 3.1.4 điều kiện (a) Định lý 3.1.3 thỏa mãn a − c > −2 Cho w = (w1 , w2 ) ∈ v ⊥ \ {(0, 0)}, tức w1 = w2 6= 0, g (¯ x)w = (0, 0, w2 ) ∈ cl cone[cone(K − g(¯ x)) − g (¯ x)v] lu = {(d1 , d2 , d3 ) : d3 ≥ 0}, an va n w2 ≥ gh tn to Chọn (λ, µ) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ(¯ x), ta có p ie hµ, g (¯ x)wi = −w2 < oa nl w Do đó, điều kiện (H) Định lý 3.1.3 thỏa mãn Vì vậy, a − c > −2 ta suy x ¯ cực tiểu địa phương chặt cấp hai d lu nf va an Sử dụng Ví dụ 2.3.6, có trường hợp a − c = không chắn, tức kết luận dựa vào Định lý 2.2.6 Định lý 3.1.3 lm ul x ¯ cực tiểu địa phương Hơn nữa, ta để ý ví dụ này, vế trái z at nh oi (3.14) âm a − c < Trong trường hợp này, tính tối ưu x ¯ suy từ Định lý [7] z @ l gm Sử dụng Mệnh đề 1.2.6, ta nhận kết sau từ Định lý 3.1.3 Hệ 3.2.5 Xét toán (3.1) Giả sử f g hàm C 1,1 co m lân cận x ¯ ∈ M (H) x¯ Với v ∈ CT (¯ x) \ {0}, điều kiện an Lu sau thỏa mãn: n va ac th 36 si (a) ∀w ∈ Rn , ∀(A, B) ∈ ∂ (f, g)(¯ x) cho g (¯ x)w +B(v, v) ∈ T (K, g(¯ x), g (¯ x)v), ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) thỏa mãn hλ, f (¯ x)w + A(v, v)i > Khi x ¯ ∈ Strl(2,f,M) Nhận xét 3.2.6 Dễ dàng kiểm tra điều kiện (a) Hệ 3.2.5 suy điều kiện tương đương: (a’) ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho ∀(A, B) ∈ ∂ (f, g)(¯ x) ta có lu hλ, A(v, v)i + hµ, B(v, v)i > hµ, bi, sup an b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) n va (a”) ∃(λ, µ) ∈ Λ(¯ x) cho ∀N ∈ ∂ (λf + µg)(¯ x) ta có to tn N (v, v) > hµ, bi sup b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) ie gh p Ta xét ví dụ sau minh họa cho Hệ 3.2.5 oa nl w Ví dụ 3.2.7 Xét Ví dụ 2.3.7 (xem thêm Ví dụ 3.2.4) d Với v = (v1 , 0) ∈ C(¯ x) \ {(0, 0)} (λ, µ) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ(¯ x), ta biết nf va an lu sup hµ, bi = −4v12 lm ul b∈T (K,g(¯ x),g (¯ x)v) Với (A, B) ∈ ∂ (f, g)(¯ x) ta biết z at nh oi hλ, A(v, v)i + hµ, B(v, v)i = (2a + (2β − 1)k0 c)v12 z Do đó, điều kiện (a0 ) Nhận xét 3.2.6 thỏa mãn (và điều kiện (a) @ l gm Hệ 3.2.5 đúng) m co 2a + (2β − 1)k0 c > −4, ∀β ∈ [0, 1], n ac th 37 (3.15) va 2a − k0 c > −4 an Lu tức là, si Điều kiện (H) Hệ 3.2.5 thỏa mãn (xem Ví dụ 3.2.4) Do đó, cách áp dụng hệ ta có x ¯ cực tiểu địa phương chặt cấp hai Trong trường hợp này, có sai khác điều kiện cần (2.17) điều kiện đủ (3.15) Cũng ý điều kiện (3.15) yếu điều kiện a − c > −2 nhận Ví dụ 3.2.4 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 38 si Kết luận Luận văn trình bày kết nghiên cứu Gutiérrez– Jiménez–Novo [10] (2010) điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ lu đạọ hàm theo phương parabolic radial cấp hai cho toán tối ưu đa an n va mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên – Các khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai, tính chất mối quan hệ ie gh tn to tục ổn định Nội dung luận văn bao gồm: p tập tiếp tuyến cấp hai đó; w oa nl – Hàm ổn định tính chất; d – Các đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai quan hệ nf va an lu hai đạo hàm này; lm ul – Các điều kiện cần tối ưu cấp hai cho cực tiểu yếu địa phương Lagrange; z at nh oi toán tối ưu đa mục tiêu (1.1) dạng hệ khơng tương thích dạng nhân tử z – Các điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai l gm @ toán (3.1) dạng nhân tử Lagrange; m co – Một số ví dụ minh họa an Lu Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian khả thân hạn chế nên có nhiều cố n va ac th 39 si gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan tâm để luận văn hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 40 si Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ lu an thuật n va ie gh tn to Tài liệu tiếng Anh p [2] Aubin, J P., Frankowska, H (1990), SetValued Analysis, Birkhaă user, oa nl w Boston d [3] Bednarík, D., Pastor, K (2008), "On second order conditions in uncon- lu nf va an strained optimization", Math Program, 113, pp 283–298 lm ul [4] Ben–Tal, A., Zowe, J (1985), "Directional derivatives in nonsmooth optimization J Optim", Theory Appl, 47, pp 483–490 z at nh oi [5] Bonnans, J F., Shapiro, A (2000), Perturbation analysis of optimiza- z tion problems, Springer–Verlag, New York gm @ [6] Cominetti, R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and second order l m co optimality conditions", Appl Math Optim., 21, pp 265–287 an Lu n va ac th 41 si [7] Ginchev, I., Guerraggio, A., Rocca, M (2005), "Second order conditions in C 1,1 constrained vector optimization", Math Program., 104, pp 2–3, 389–405 [8] Ginchev, I., Ivanov, V (2008), "Second order optimality conditions for problems with C data", J Math Anal Appl., 340, pp 646–657 [9] Guerraggio, A., Luc, D T (2003), "Optimality conditions for C 1,1 constrained multiobjective problems", J Optim Theory Appl., 116, pp 117–129 lu an [10] Gutiérrez, C., Jiménez, B., Novo, V (2010), "On second order Fritz va n John type optimality conditions is nonsmooth multiobjective program- gh tn to ming", Math Program, Ser B 123, pp 199–223 p ie [11] Hiriart–Urruty, J B., Strodiot, J J., Nguyen, V H (1984), "General- ized hessian matrix and second order optimality conditions for problems w d oa nl with C 1,1 data", Appl Math Optim., 11, pp 43–54 an lu [12] Jahn, J., Khan, A A., Zeilinger, P (2005), "Second order optimality z at nh oi lm ul 347 nf va conditions in set optimization", J Optim Theory Appl., 125, pp 331– [13] Jiménez, B (2002), "Strict efficiency in vector optimization", J Math Anal Appl., 265, pp 264–284 z gm @ [14] Jiménez, B., Novo, V (2003), "First and second order sufficient condi- l tions for strict minimality in nonsmooth vector optimization", J Math m co Anal Appl., 284, pp 496–510 an Lu n va ac th 42 si [15] Jiménez, B., Novo, V (2003), "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization", Math Methods Oper Res., 58, pp 299317 [16] Liu, L., Neittaanmăaki, P., Krớzek, M (2000), "Second order optimality conditions for nondominated solutions of multiobjective programming with C 1,1 data", Appl Math., 45, pp 381–397 [17] Maruyama, Y (1990), "Second order necessary conditions for nonlinear optimization problems in Banach spaces and their application to an lu an optimal control problem", Math Oper Res., 15, pp 467–482 va n [18] Rockafellar, R T., Wets, R J (1998), Variational analysis, Springer, gh tn to Berlin p ie [19] Ward, D E (1993), "Calculus for parabolic second order derivatives", Set Valued Anal., 1, pp 213–246 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 43 si