Skkn giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán về nghiệm của đa thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY SÁNG KIẾN GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Người thực hiện: NGÔ THỊ HOA Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Tốn NINH BÌNH-THÁNG NĂM 2019 skkn I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình chuyên tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học nội dung nghiệm đa thức cịn yếu, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo q trình giải tốn Đặc biệt, năm gần đây, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp Quốc gia mật độ xuất toán nghiệm đa thức xuất ngày nhiều Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác nhiều chuyên đề nội dung Đa thức Trong SKKN xin chia sẻ : ‘‘Giải pháp giúp học sinh phát huy khả giải toán nghiệm đa thức ” Đây nội dung quan trọng, hay chương trình giải tíchs lớp chun Tốn nên có nhiều tài liệu, sách viết nhiều thầy cô giáo học sinh say sưa nghiên cứu học tập Tuy nhiên việc đưa hướng tiếp cận quy lạ quen toán nhiều sách tham khảo chưa đáp ứng cho người đọc Chính việc đưa sáng kiến cần thiết, làm em hiểu sâu tốn u thích chủ đề Đa thức 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho người đọc nắm cách tiếp cận toán, quy lạ quen, đồng thời giúp cho học sinh số kiến thức, phương pháp kỹ để học sinh giải tốn tích phân, hình thành cho em thói quen tìm tịi tích lũy rèn luyện tư sáng tạo, giải toán đời sống xã hội, chuẩn bị tốt đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chúng tập trung nghiên cứu số tính chất tích phân, nghiên cứu câu hỏi tích phân dạng trắc nghiệm khách quan, nghiên cứu ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay vận dụng tốn thực tế đời sống xã hội 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp như: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải số phương pháp khác phương pháp quy lạ quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án câu hởi trắc nghiệm khách quan skkn II NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung đa thức tài liệu chuyên toán Khi giải tập toán, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết dạy tập phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong q trình giảng dạy nội dung Đa thức, tơi thấy kỹ giải toán nghiệm Đa thức học sinh cịn yếu Do cần phải cho học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng, quy lạ quen, thiết kế trình tự giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mớitừ đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Nội dung Đa thức phần kiến thức tương đối khó rộng với học sinh Học sinh nhanh quên không vận dụng kiến thức học vào giải toán Trong kỳ thi HSG Quốc gia năm 2017, nội dung đưa câu ngày thi 1.Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt trình giải toán liên quan đến nghiệm đa thức, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận toán, khai thác yếu đặc trưng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, kỹ kỹ đọc hiểu toán nâng cao Chính đề tài đưa giúp giáo viên hướng dẫn toán Đa thức cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi HSG Quốc gia Vậy mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng tốt kiến thức nghiệm đa thức để đưa giải pháp nhằm giải toán liên qua đến nghiệm đa thức cách xác nhanh 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa phép toán Định nghĩa : Cho hàm số số thực Ta gọi đa thức với cho : ( số) tồn skkn hay dạng rút gọn: Các số tự Đặc biệt Với gọi hệ số, gọi hệ số cao nhất, gọi hệ số đa thức gọi đa thức chuẩn tắc hay đa thức mo-nic gọi bậc đa thức Quy ước với Đa thức tập số Với tập hợp số, ký hiệu : , ký hiệu , đặc biệt: Cho đa thức  Nếu hệ số ký hiệu  Nếu hệ số ký hiệu  Nếu hệ số Các phép tốn ký hiệu Cho hai đa thức: Khi    với quy ước cách viết hình thức: Từ với đa thức với hệ số thực , skkn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa Ta nói đa thức với hệ số nguyên bất khả quy , khơng phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn ( viết nói đa thức bất khả quy có nghĩa nói đa thức bất khả quy ) Các định lý Định lý 2.1.(Định lý bản) Mọi đa thức bậc có khơng q nghiệm thực Từ điểm, Định lý 2.2( Định lý phép chi có dư) Cho Khi tồn đa thức : cho Đặc biệt, ta nói chia hết cho , ký hiệu hay Định lý 2.3( Định lý Bezout 1) Nếu nghiệm đa thức Từ suy với hai số nguyên phân biệt Định lý 2.4( Định lý Bezout 2) Hai đa thức nguyên tố tồn đa thức cho Chứng minh Giả sử tồn thỏa mãn điều kiện Đặt Ta chứng minh tồn đa thức thỏa mãn Ta chứng minh quy nạp theo Nếu điều cần chứng minh hiển nhiên Giả sử điều cần chứng minh với Xét hai đa thức có Khơng tính tổng quát , giả sử thương dư Thực phép chia cho Khơng thể xảy trường hợp ( vô lý) skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vì với theo giat thiết quy nạp , tồn đa thức Khi cho Thay Ta , tương đương với Do định lý với : Theo nguyên lý quy nạp, định lý Bezout chứng minh Định lý 2.5( Sự phân tích tiêu chuẩn) Mọi đa thức với hệ số thực biểu diễn dạng: 1.2 Nghiệm đa thức Định nghĩa Số gọi nghiệm đa thức Định lý Từ hệ ta có: a nghiệm Định lý Nếu nghiệm đa thức nghiệm đa thức Định nghĩa Cho đa thức Ta nói số a nghiệm bội m Định lý (Định lí đại số) Trong , đa thức bậc n có đầy đủ n nghiệm phức (kể bội) Hệ Trong , đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực (kể bội) Định lý Cho đa thức Nếu nghiệm phức liên hợp Định lý nghiệm skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an i) Cho bậc n, hệ số cao a có n nghiệm phức Khi ii) Cho bậc n, hệ số cao a có tất nghiệm phức tương ứng Khi với bội , iii) Cho đa thức có nghiệm thực Khi với bội tương ứng , với Từ định lý suy có nghiệm phức , có nghiệm phức , với Lặp lại q trình cách xét nghiệm phức ta có định lí Định lý Trong , đa thức phân tích dạng tích nhân tử bậc nhân tử bậc hai với biệt thức âm Định lý i) Nếu đa thức với có nhiều n nghiệm (kể bội) đa thức ii) Nếu hai đa thức có bậc khơng vượt q n, lại nhiều n giá trị khác biến x Hệ Cho đa thức với hệ số thực Khi i) Nếu hàm hàm số chẵn tất hệ số lũy thừa bậc lẻ ii) Nếu hàm hàm số lẻ tất hệ số lũy thừa bậc chẵn Định lý (Định lý Viet) Trong C, đa thức nghiệm có n skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý (Định lí Viét đảo) Nếu có n số phức thỏa mãn n nghiệm đa thức Định lý 10 Nếu Với nghiệm Chứng minh: Đặt Nếu BĐT Nếu Từ ta có điều phải chứng minh skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý 11 Cho đa thức Khi (phân số tối giản) nghiệm Trong trường họp đặc biệt hệ số cao dẫn đến nghiệm hữu tỉ đa thức nghiệm nguyên nên thu hệ Hệ Cho nghiệm thực nguyên vô tỉ 2.3.2 Các giải pháp b) Giải pháp 1: Sử dụng số tính chất giải tích đa thức Định lý i) Mọi đa thức bậc lẻ ln có nghiệm thực ii) Nếu đa thức bậc n mà khơng có nghiệm thực n phải số chẵn Định lý (Định lý Lagrange) Nếu hàm liên tục đoạn khoảng tồn cho , có đạo hàm Định lý (Định lý Roll) Cho đa thức P  x  với hệ số thực hai số thực a, b ( a  b ) Khi đó, P  a   P  b  tồn c   a; b  cho P '  c   Hệ Cho đa thức P  x  với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt đa  nk   x  có n  k nghiệm thực phân biệt thức đạo hàm cấp k tức đa thức P Ví dụ (VMO 2017) Trong mặt phẳng (Oxy), cho (C) đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ Một đường thẳng d thay đổi cho d cắt Chứng minh Bài giải Nhận xét : dễ thấy đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc Giả sử , xét phương trình hồnh độ giao điểm d (C) : skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Để d cắt (C) ba điểm phân biệt Đặt (1) có ba nghiệm phân biệt , theo giả thiết , phương trình Áp dụng định lý Vi- et ta có Mặt khác, xét hàm số , để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi tích giá trị cực đại giá trị cực tiểu nhỏ Điều tương đương với Hay Do giả thiết cần chứng minh tương đương với Bài tốn chứng minh Ví dụ Cho số thực Chứng minh đa thức : có nghiệm thực thuộc khoảng , đa thức : có nghiệm thực Bài giải Gọi nghiệm phương trình : Nghĩa là : Xét hàm số : Khi đó : 10 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải Giả sử có nghiệm nguyên phân biệt Khi Nếu đa thức , có nghiệm nguyên a Suy Do phân biệt, mà nên ta có vơ lý, suy điều cần chứng minh Bài 10 Cho tam thức bậc hai Hỏi đa thức nhận tám số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, làm nghiệm không? Lời giải Khơng giảm tổng qt, coi hệ số x2 Giả sử nhận tám số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, làm nghiệm Vì suy nhận giá trị, mà h(x) tam thức bậc hai, dẫn đến Suy (1) Vì bậc f(x) nên nhận hai giá trị Mà từ (1) ta có , dẫn đến ta có Thay vào (1) Đẳng thức sai Vậy điều giả sử sai tức nhận tám số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, làm nghiệm Bài 11 Cho f(x) đa thức bậc m với hệ số nguyên a số nguyên cho sử f(x) có nghiệm hữu tỉ thức Giả Chứng minh Lời giải Nhận xét với số nguyên a, b Do nên 44 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (với M số nguyên) Suy Mà nên M chia hết cho qn, M = r.qn Do suy Bài 12 Cho f(x) đa thức bậc m với hệ số ngun f(x) có nghiệm hữu tỉ Giả sử phương trình có nghiệm với số Chứng minh Lời giải Gọi nghiệm f(x) Theo giả thiết, ta có Do Suy Do nên suy Vậy ta có Bài toán tồn nghiệm thực đa thức Nhận xét: Để xác định tồn nghiệm thực số nghiệm thực đa thức ta thường sử dụng tính chất nghiệm liên quan tới giải tích như: định lý Lagrange , định lý Rolle , quy tắc dấu Descarte , định lý số nghiệm đa thức,… Bài Chứng minh phương trình: a) có nghiệm với b) có nghiệm Lời giải a) Ta có với liên tục nên tồn p < để f(p) < nên tồn q> để f(q) > Do phương trình có nghiệm Nhận xét: Từ tốn ta khái qt : Mọi phương trình bậc lẻ ln có nghiệm thực b) Ta có liên tục rên 45 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an nên tồn p < để f(p) > 0, f(0) = - < nên tồn q> để f(q) > Do phương trình có nghiệm trái dấu Bài Cho đa thức có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh rẳng đa thức Lời giải Đa thức có nghiệm có nghiệm nên ta có Do Vậy phương trình g(x) = có thuộc khoảng Bài Giả sử (deg f = n) Biết f(x) có n nghiệm thực phân biệt lớn Chứng minh có 2n -1 nghiệm thực phân biệt Lời giải Ta có Giả sử f(x) có n nghiệm thực Vì xf(x) có n+1 nghiệm thực phân biệt là: 0, a1,…, an nên xf’(x)+f(x) có n nghiệm thực phân biệt Lại có có n nghiệm thực phân biệt a1,…,an nên có n-1 nghiệm thực phân biệt nên xf(x)+f’(x) có n-1 nghiệm thực phân biệt Ta chứng minh xf’(x)+f(x) xf(x)+f’(x) khơng có nghiệm chung Giả sử nghiệm chung hai đa thức Do có n nghiệm thực phân biệt a1,…,an nên xf(x)+f’(x) có n-1 nghiệm thực thỏa mãn Do nghiệm chung >1 46 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy suy nghiệm bội f(x) Mâu thuẫn Vậy g(x) có 2n-1 nghiệm phân biệt Bài Cho đa thức f(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt Chứng minh có n nghiệm dương phân biệt Lời giải Giả sử , Xét hàm Suy g(x) hàm giảm Ta có bảng biến thiên g(x) x ’ g (x) g(x) x1 - x2 - x3 - xn-1 - xn - - Từ bảng biến thiên ta suy phương trình có n nghiệm dương phương trình có n nghiệm dương Bài Cho đa thức bậc n có n nghiệm dương phân biệt Chứng minh phương trình (1) có n nghiệm dương phân biệt Lời giải Ta có (1) Đặt (2) Theo 16 Q(x) có n nghiệm dương phân biệt 47 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (2) trở thành Đặt ta có (3) Do Q(x) có n nghiệm dương phân biệt nên đa thức có n nghiệm dương phân biệt, suy phương trình (3) có n nghiệm dương phân biệt Vậy phương trình (1) có n nghiệm dương phân biệt Bài Cho P(x) Q(x) đa thức bậc hệ số thực, có bậc chẵn hệ số cao Chứng minh phương trình P(x) = Q(x) khơng có nghiệm thực phương trình có nghiệm thực, với a số thực khác Lời giải Giả sử Ta có: Nếu phương trình (1) có nghiệm thực Do Khi Trong R(x) đa thức có bậc nhỏ 2013 Dễ thấy điều phải chứng minh đa thức bậc lẻ nên phải có nghiệm thực Vậy ta có Nhận xét Ta thay bậc đa thức P(x), Q(x) số chẵn cụ thể a số thực khác để lớp tốn có cách giải tương tự Một số tập nghiệm dãy đa thức 48 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhận xét: Dãy đa thức có tính chất giống dãy số Việc sử lý vấn đề dãy đa thức có cơng cụ đắc lực phương pháp quy nạp Bài 19 (IMO 1976) Cho dãy đa thức Chứng minh có xác định nghiệm thực phân biệt Lời giải Ta thu hẹp việc xét nghiệm phương trình đoạn Đặt Ta có Bằng quy nạp ta chứng minh Khi phương trình trở thành có nghiệm thực phân biệt Vậy có nghiệm thực phân biệt Bài 20 Cho dãy đa thức xác định Tìm tất nghiệm đa thức Gọi tổng nghiệm thực phân biệt đa thức Lời giải Nhận xét thấy bậc nên ta thấy nghiệm có tối đa Tính nghiệm Lập bảng biến thiên nên phương trình khơng có Ta thu hẹp việc xét nghiệm đa thức đoạn Đặt Ta có Bằng quy nạp ta chứng minh Khi phương trình trở thành có Suy nghiệm thực phân biệt Vì nên 49 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ ta có Suy Vậy Bài 21 Cho dãy đa thức xác định Tìm số nghiệm đa thức Lời giải Lập bảng biến thiên P(x) x ’ P (x) P(x) + - + Từ bảng biến thiên ta có Với P(x) = từ bảng biến thiên cho ta nghiệm Với P(x) = từ bảng biến thiên cho ta nghiệm Vậy có nghiệm Như , ta thấy có nghiệm có nghiệm phân biệt khác thuộc (0; 4) có 3k-1 nghiệm Bằng phương pháp truy hồi ta suy Tn số nghiệm phân biệt khác Gọi , ta có Bài 22 Cho dãy đa thức xác định Chứng minh đa thức khơng thể có nhiều nghiệm thực 50 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải Ta chứng minh qui nạp: n chẵn thì nhận giá trị dương với x thuộc R, n lẻ có nghiệm thực khác Với n = ta có có nghiệm x = Với n = ta có Giả sử khẳng định với n < k, ta chứng minh khẳng định với n = k - Xét k lẻ Ta có Suy hàm tăng đa thức bậc lẻ nên có nghiệm thực khác - Xét k chẵn Ta có Vì k – số lẻ nên hàm tăng đa thức bậc lẻ nên có nghiệm thực x0 khác Ta lập bảng biến thiên : X ’ k P (x)=Pk-1(x) Pk(x) x0 - + Pk(x0) Từ bảng biến thiên suy Vậy khẳng định với n = k Ta có kết luận: đa thức khơng thể có nhiều nghiệm thực Bài 23 Cho hai cấp số cộng hai số m nguyên dương lớn Xét dãy tam thức bậc xác định Chứng minh P1(x) Pm(x) khơng có nghiệm thực tam thức cịn lại khơng có nghiệm thực Lời giải Theo đề bài, P1(x) Pm(x) khơng có nghiệm thực P1(x) Pm(x) ln dương với số thực x Giả sử tồn có nghiệm thực x = c Ta có Do Suy , vô lý Vậy điều giả sử sai, tam thức cịn lại khơng có nghiệm thực Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm 51 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài 33 Tìm tất đa thức hệ số thực thỏa mãn đồng thức: a) (1) b) (2) Lời giải a) Nhận xét Từ Nếu thỏa mãn yêu cầu toán Nếu Giả sử Đặt với Ta thấy Đa thức bậc có nhiều Suy Vậy đa thức cần tìm ( số ) b) Từ giả thiết ta nhận thấy Do nghiệm đa thức Thay vào đồng thức (2) ta được: nghiệm Suy Thử lại thấy thỏa mãn yêu cầu toán Vậy ( số ) Bài 34 Tìm tất đa thức hệ số thực thỏa mãn đồng thức a) b) Lời giải a) Ta có: Xét suy Thử lại Vậy b) Ta có: Xét Vậy suy Thử lại * Sử dụng tính chất hữu hạn nghiệm đa thức 52 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhận xét: - Từ phương trình hàm mà ẩn hàm cần tìm đa thức với có hệ số thực Ta dự đốn đa thức xác định để chứng minh sau chứng minh ta xây dựng dãy lặp dãy đơn điệu thực chứng minh từ suy - Để chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm thực ta giả sử phản chứng, giả sử f(x) có nghiệm thực a xây dựng dãy số đơn điệu thực cho Điều mâu thuẫn với tính chất hữu hạn nghiệm đa thức Bài 35 Tìm tất đa thức cho Lời giải Thay x -x ta có Nếu có vơ số nghiệm mà cho phương trình trái dấu điều vơ lý Suy có vơ số nghiệm Chọn Xét dãy số Ta chứng minh Thật toán với Giả sử (1) đến n, suy Ta chứng minh Với Giả sử suy (2) với ta chứng minh , ta có 53 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nếu vô lý Vậy phương trình Thử lại ta thấy có vơ số nghiệm, thỏa mãn u cầu tốn Bài 36 Tìm đa thức có hệ số thực thỏa mãn Lời giải Nếu suy Nếu cho Chọn đa thức có tính chất nên nghiệm phương trình suy nghiệm phương trình Ta xây dựng dãy số suy suy dãy với đa thức tăng thực sự, từ tính chất ta thấy có vơ số nghiệm, điều khơng thể xẩy Từ phương trình (1) cách so sánh hệ số khai triển hai ta nhận hệ số Do đa thức trong đa thức có hệ số thực Thế biểu thức (2) vào phương trình (1) đồng hệ số hai vế ta có ta nhận phương trình 54 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nếu bậc vế trái Vì điều khơng thể xẩy ra, Thử lại thấy thỏa mãn yêu cầu toán Vậy Bài 37 ( Moldova 2004) Tìm đa thức với hệ số thực thỏa mãn (1) Lời giải Từ giả thiết ta có Dễ thấy Với đa thức với hệ số thực Thay vào (1) ta Đặt Thử lại thỏa mãn yêu cầu toán Vậy đa thức cần tìm ( số ) Bài 38 ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm tất đa thức hệ số thực P(x) không đồng không thỏa mãn: P(2014) = 2046, Lời giải 55 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giả sử thỏa mãn đầu Khi ta có Suy Đặt ta có , Xét dãy {xn} sau: Khi , Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh (*) Xét đa thức hệ số thực nhận Từ (*) ta có làm nghiệm với n=0,1,2… Mặt khác dãy tăng nghiêm ngặt nên Thử lại ta có thỏa mãn đầu Vậy: Có đa thức suy Bài 39 (HSGQG 1988) Cho đa thức bậc n với nghiệm thực Biết P(x) có n Hãy xác định hệ số Lời giải Giả sử n nghiệm P(x) Vậy Áp dụng định lí Viéte ta có 56 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.4 Kết thực Trong 03 năm học vừa qua thực đề tài với nhóm học sinh có học lực giỏi Để đánh giá hiệu đề tài, thực hai kiểm tra trước sau áp dụng, cụ thể sau: Đề 1(Trước thực chuyên đề), Đề 2(Sau thực chuyên đề) Hai đề có mức độ khó tương đương Kết cho thấy điểm số trung bình lớp Tốn 11 Toán 12 tăng 68,74% Như vậy, việc áp dụng đề tài có hiệu lớp học sinh giỏi Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2017-2018 học sinh lớp Toán đạt điểm tối đa câu nghiệm Đa thức nguyên phải sử dụng Số học để góp phần vào thành tích cá nhân em cao lên PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Một số hướng phát triển Chuyên Đề -Khai thác thêm kỹ đánh giá khác -Kỹ tư học sinh với kiến thức giải tích liên quan đến chuyên đề -Ứng dụng giải lớp tập liên quan đến nghiệm Đa thức Kiến nghị, đề xuất việc triển khai áp dụng đề tài Đề tài thực cần thiết phải giảng dạy học sinh giỏi học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia , khu vực quốc tế Có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp chuyên toán 10,11,12 tồn quốc, bạn u thích mơn toán sơ cấp Vấn đề mới/cải tiến Chuyên đề đặt giải so với Chuyên đề trước (ở nhà trường) Vấn đề nghiệm đa thứckhông phải là vấn đề mới của Đại số , việc sử dụng kiến thức của nó để giải một số các bài toán Đa thứckhông phải là dễ.Trong Chuyên đề này đã giúp thầy và trò có một cách tiếp cận bài toán một cách dễ gần hơn, cách giải các lớp bài toán Chuyên đề cũng linh hoạt , sáng XÁC NHẬN CỦA BGH Ninh Bình ngày 10 tháng năm 2017 NGƯỜI THỰC HIỆN 57 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn