(Luận văn) không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình với hàm trọng loga lõm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN lu an n va p ie gh tn to KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM d oa nl w a lu f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm ul z at nh z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN lu an n va p ie gh tn to KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM d oa nl w Chun ngành: Tốn giải tích a lu Mã số: 8.46.01.02 oi lm ul f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z @ om l.c gm Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG n a Lu n va ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu iii 1 Kiến thức chuẩn bị lu Mở đầu an n va 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm p ie gh tn to 1.2 1.1.1 Không gian véctơ tôpô 1.1.2 Không gian Banach Một số vấn đề hàm lồi Rn Một số vấn đề giải tích phức 1.3.1 Hàm chỉnh hình khơng gian hàm chỉnh hình 1.3.2 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình 10 a lu Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 1.4.1 f an nv 1.4 d oa nl w 1.3 Không gian trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng oi lm ul 1.4.2 12 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt 17 z at nh phẳng 1.4.3 12 Phân loại đẳng cấu khơng gian có trọng hàm chỉnh z hình nửa mặt phẳng 19 gm @ Một số kết hàm lồi 24 Các định nghĩa ký hiệu 2.2 Một số kết ví dụ om l.c 2.1 24 26 n a Lu n va ac th si ii Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình 44 3.1 Điều kiện để khơng gian trọng không tầm thường 44 3.2 Sự đẳng cấu không gian trọng 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU lu an n va : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực G : Nửa mặt phẳng mặt phẳng phức C D : Hình trịn đơn vị C tn to K Ω : Tập mở C p ie gh : Đại số tất hàm chỉnh hình Ω τco : Tôpô compact mở d oa nl w H(Ω) (H(G), τco ) : Không gian Fréchet Hv (Ω) : Không gian với trọng v hàm chỉnh hình Ω : Không gian Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} H∞ : Khơng gian tất hàm chỉnh hình bị chặn G a lu Hv0 (Ω) oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Ta ký hiệu G = {z = x + iy : x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞)} nửa mặt phẳng lu mặt phẳng phức C Một trọng G hàm v : G → (0, ∞) cho an v(z) = v(x + iy) = v(iy) với z = x + iy ∈ G n va ∀c > (A) Chú ý đặt ϕv (y) = (−1) log v(iy), y ∈ (0, +∞), (A) tương đương p ie gh tn to inf v(iy) > 0, y∈[ 1c ,c] với d oa nl w ∀c > sup ϕv (y) < +∞, (A’) y∈[ 1c ,c] Ký hiệu H(G) đại số tất hàm chỉnh hình G τco tơpơ hội tụ a lu tất tập compact G (thường gọi tôpô compact mở ) Không f an nv gian (H(G), τco ) không gian Fréchet Ta xét khơng gian có trọng sau: oi lm ul Hv (G) := {f ∈ H(G) : kf kv = sup v(z)|f (z)| < +∞}; z∈G nh z at Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} z trang bị nửa chuẩn @ z∈G gm kf kv := sup v(z)|f (z)| om l.c Ở hàm v.|f | triệt tiêu vô hạn hiểu theo nghĩa sau: Với ε > tồn tập compact Kε ⊂ G cho n a Lu sup v(z)|f (z)| < ε n va z∈G\Kε ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu toán phân loại đẳng cấu không gian trọng v thỏa mãn số điều kiện tăng trưởng (xem, chẳng hạn, [7, 14]) Nhiều cơng trình, chẳng hạn [10, 12] giải toán toán tử khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình trịn đơn vị mặt phẳng phức trọng liên kết sử dụng để đánh giá chuẩn toán tử trọng Dựa sở lý thuyết hàm lồi số tính chất đặc biệt khơng gian có trọng, mục đích luận văn nghiên cứu số tính chất trọng liên kết, từ tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v lu an Luận văn tập trung giải toán sau: n va Nghiên cứu số tính chất số lớp hàm lồi ϕ có liên quan đến giới hạn ϕ(x) x nó, vấn đề liên quan hàm lồi liên hợp Young-Fenhel thứ hai ϕ∗∗ nó, ϕ∗∗ : (0, +∞) → R, p ie gh tn to b aϕ = lim inf x→+∞ d oa nl w ϕ∗∗ (x) = sup (ax + b) (a,b)∈Mϕ với Mϕ = {(a, b) : a, b ∈ R, inf t∈(0,+∞) (ϕ(t) − at) > b} a lu Áp dụng kết tốn nói đưa điều kiện để không f an nv gian có trọng Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) oi lm ul Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba nh z at chương z Chương dành cho việc tóm tắt sơ lược số kiến thức cần thiết khơng gian @ có trọng hàm chỉnh hình miền phẳng số kiến thức khơng gian gm có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng mặt phẳng phức l.c Trong chương tập trung giải số toán lớp hàm lồi om có liên quan đến giới hạn chúng mối quan hệ hàm lồi với liên hợp n a Lu Young - Fenhel thứ hai n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương trình bày số vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn lu giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi an cho tơi q trình học tập thực đề tài n va Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia p ie gh tn to đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn d oa nl w Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp a lu ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện oi lm ul f an nv Tôi xin chân thành cảm ơn z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm an n va Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: ˆ Phần ảo z ∈ C ký hiệu Imz p ie gh tn to ˆ Phần thực z ∈ C ký hiệu Rez Không gian véctơ tôpô d oa nl w 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Giả sử E không gian véctơ trường K Một tôpô E gọi tương thích với cấu trúc đại số E phép tốn a lu × : K × E −→ E f an nv + : E × E −→ E (λ, x) 7−→ λx (x, y) 7−→ x + y oi lm ul liên tục theo tôpô Một không gian véctơ với tơpơ tương thích với cấu trúc z at nh đại số gọi khơng gian véctơ tơpơ Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E z @ gọi bị chặn lân cận U ∈ E tồn ε > cho tA ⊂ U gm với |t| < ε n (ii) Bội vô hướng tập bị chặn bị chặn; a Lu (i) Bao đóng tập bị chặn bị chặn; om l.c Mệnh đề 1.1.3 ([3]) Giả sử E khơng gian véctơ tơpơ Khi n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (iii) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn bị chặn Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho M tập không gian véctơ tôpô E Tập M gọi đầy đủ lọc Cauchy tập M hội tụ đến điểm thuộc M Mệnh đề 1.1.5 ([3]) Các điều kiện sau tương đương: a) M tập đầy đủ; b) Mọi dãy suy rộng Cauchy phần tử M hội tụ tới phần tử thuộc M lu an Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E n va gọi compact A không gian compact với tôpô cảm sinh tôpô tn to E p ie gh Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Trong không gian véctơ tôpô E (i) Hợp số hữu hạn tập compact compact; d oa nl w (ii) Tập đóng tập compact compact; (iii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn tập compact compact a lu f an nv 1.1.2 Không gian Banach mêtric sinh chuẩn) oi lm ul Định nghĩa 1.1.8 ([4]) Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với nh hội tụ tuyệt đối hội tụ z at Định lý 1.1.9 ([3]) Không gian định chuẩn E Banach chuỗi z @ gm Định lý 1.1.10 ([3]) Cho hai không gian tôpô E F Ánh xạ f : E → F gọi liên tục thỏa mãn khẳng định tương đương sau: om n a Lu (ii) f −1 (U ) đóng với tập đóng U F ; l.c (i) f −1 (V ) mở với tập mở V F ; n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 ˆ ψ không hàm lồi (0, +∞)    −1, ∗∗ ψ =   x2 + x − 7, x ∈ (0; 2] x ∈ (2, +∞) Khi đó, ta có inf (ϕ(x) − ψ(x)) = 6= = x∈(0,+∞) inf (ϕ∗∗ (x) − ψ ∗∗ (x)) x∈(0,+∞) Do đó, khơng có trường hợp tương tự Định lý 2.2.9 ϕ∗∗ ψ Hệ lu 2.2.15 Hệ 2.2.16 an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Chương Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình lu an n va Ở chương luận văn chúng tơi trình bày số vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với p ie gh tn to không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v 3.1 d oa nl w Điều kiện để không gian trọng không tầm thường Trong phần ta áp dụng Định lý 2.2.9, 2.2.11, 2.2.13 cho lý thuyết không a lu gian Hvp (G) Hv0 (G) Chúng sử dụng ký hiệu sau: f an nv M f (y) = |f (x + iy)|, sup x∈(−∞,+∞) oi lm ul ψf (y) = ln M f (y), ∀y > 0, z at nh f hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G Chú ý (−1) ln kf kv = inf (ϕv (y) − ψf (y)) y>0 z Ta nhắc lại số kết [28] l.c gm @ v hàm trọng cho v(z) = p(Imz) với z ∈ G n (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > a Lu Hv (G) 6= {0} có hai số thực a, b cho om Định lý 3.1.1 ([28]) Giả sử p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (2.1.2) Khi n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Hv (G) 6= {0} có hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > Giả sử Hv (G) 6= {0} cho f ∈ Hv (G) \ {0} hàm tùy ý không thuộc vào Hv (G) Theo Bồ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Hơn nữa, f ∈ Hv (G) p(t)M f (t) ≤ kf kp với t > 0, ta có lu (−1) ln p(t) ≥ (−1) ln kf kp + ln M f (t) an ≥ (−1) ln kf kp + a0 t + b0 , ∀t > n va tn to Ta đặt a = a0 , b = b0 − ln kf kp có p ie gh (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > d oa nl w Ngược lại, để chứng minh Hv (G) 6= {0}, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện (1.4.7) ngồi cịn tồn hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > a lu f an nv Do đó, cho số a, b ta đặt f (z) = e−iaz+b , z ∈ D Khi kf kp ≤ oi lm ul Vì f ∈ Hv (G) \ {0} Do định lý chứng minh xong Định lý 3.1.2 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (1.4.7) Khi z at nh khơng gian Hv0 (G) 6= {0} hai điều kiện sau hàm p thỏa mãn z gm @ (1) Có hai số thực a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > om l.c (2) limt→0+ p(t) = n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Chứng minh Giả sử Hv0 (G) 6= {0} xét hàm f ∈ Hv0 (G) \ {0} Rõ ràng, từ định nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Vì vậy, Định lý 3.1.1 điều kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, dựa theo Định nghĩa 1.4.15 ta có lim p(t)M f (t) = t→0+ Hơn nữa, theo Bổ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Vì lu an ≤ lim+ inf p(t) ≤ lim+ sup p(t) n va t→0 t→0 at+b −(at+b) to ≤ lim+ sup p(t)e e t→0 tn p ie gh ≤ lim+ sup p(t)M f (t) lim+ e−(at+b) = t→0 t→0 Suy limt→0+ p(t) = Do đó, khẳng định Định lý 3.1.1, hai điều d oa nl w kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện (1.4.7) hai điều kiện sau thỏa mãn: a lu (1) Tồn hai số a, b cho f an nv (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > 0; oi lm ul (2) limt→0+ p(t) = nh ei(a+1)z , ∀z ∈ G z+i z f (z) = z at Ta cho Hv0 (G) 6= {0} Thật vậy, xét hàm f định nghĩa gm @ Do f (z) ∈ Hv0 (G) \ {0} Vậy Định lý 3.1.2 chứng minh xong om l.c Định lý 3.1.3 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) cho n a Lu inf p(t) > 0, ∀c > 1, Hv0 (G) 6= {0} t∈[ 1c ] n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 Nếu hàm chỉnh hình f ∈ Hv0 (G) 6= {0} cho lim inf t→∞ ln M f (t) < ∞, t a = lim inf t→∞ ln M f (t) t Ta có a > −∞ lim (ln M f (t) − at) = −∞ t→∞ Chứng minh Cho f ∈ Hv0 (G) \ {0} cho lim inf t→∞ ln M f (t) t < ∞ Rõ ràng, từ định lu nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Theo Bổ đề 1.4.17, tồn an hai số a0 , b0 cho n va ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > ln M f (t) t ≥ a0 Ta đặt p ie gh tn to Vì lim inf t→∞ a = lim inf t→∞ ln M f (t) t (3.1.1) d oa nl w Vì a0 ≤ a < ∞ Rõ ràng, F (z) = eiaz f (z), ∀z ∈ G, a lu f an nv hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G Ta chứng minh hàm F có tính chất sau: oi lm ul ln M F (t) = ln M f (t) − at với t > Đó điều hiển nhiên bỏ z at nh qua chi tiết ln M F lồi (0, ∞) Thật vậy, ln M f lồi (0, ∞) theo Bổ đề 1.4.17 z lim inf om t→∞ ln M f (t) = t l.c gm @ theo mục trước ln M F lồi n a Lu Điều xảy phương trình (3.1.1) mục xảy n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 ln M F hàm giảm dần (0, ∞) Ta suy điều từ mục thứ hai mục thứ ba, tức cho tùy ý t1 t2 cho < t1 < t2 < ∞ cho t > t2 Từ mục thứ hai ta có ln M F (t2 ) ≤ t − t2 t2 − t1 ln M F (t1 ) + ln M F (t), t − t1 t − t1 từ mục thứ ba ta có ln M F (t2 ) ≤ ln M F (t1 ), tức ln M F giảm (0, ∞) ln M F bị chặn [ 21 , ∞) Nó suy từ mục 4, tức ln M F (t) ≤ ln M F ( 12 ) với t ≥ 12 Hơn nửa, f ∈ Hv0 (G) suy ln M f ( 21 ) hữu hạn lu mục ln M F ( 12 ) hữu hạn Khi đó, ta có ln M F bị chặn an [ 12 , ∞) n va F (x + iy) dần đến |x| → ∞, với y ∈ [ 1c , c], c ≥ Ta p ie gh tn to có điều tính chất hàm f ∈ Hv0 (G), cụ thể theo Định nghĩa 1.4.15, f (x + iy) có tính chất d oa nl w Ta đặt A = supz,Imz≥1 |F (z)| Theo mục A < ∞ Hơn nữa, A 6= F ∈ Hv (G) 6= {0} Chú ý rằng, theo mục 5, khẳng định Định lý 3.1.3 nêu dạng hàm F sau: a lu lim M F (t) = (3.1.2) f an nv t→∞ Để chứng minh phương trình (3.1.2), ta có với ε > 0, tồn số oi lm ul yε > cho M F (t) ≤ ε với t > yε Cho ε ∈ (0, A) tùy ý Theo mục tính chất liệt kê hàm F z at nh tồn số x1 > cho z ε sup |F (x + i)| ≤ |x|≥x1 om n a Lu Ta cần chứng minh M F (t) ≤ ε với t > yε l.c gm @ Hơn nữa, ta đặt yε > Vì vậy, ta có s x1 + ε ≤ sup 2 x1 + (y + 1) 2A y≥yε n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 Cho z0 ∈ D cho Imz0 > yε Lấy η > bất kỳ, ta đặt n 2A o yη = + max Imz0 , ln η ε Khi từ mục 5, tồn xη với xη > max{|Rez0 |, x1 } cho ε |F (z)| ≤ z,|Rez|≥xη ,Imz∈[1,yη ] sup Ta xây dựng hình chữ nhật R R = {z| |Rez| ≤ xη , Imz ∈ [1, yη ]}, lu an định nghĩa hàm chỉnh hình G nửa mặt phẳng G n va G(z) = eiηz ∀z ∈ G Bằng cách chọn xη , yη , yε ta có mơđun hàm G, |G| ≤ p ie gh tn to z F (z), z + iyη ε đường biên hình chữ nhật R Thật vậy, d oa nl w ˆ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có ηyη |G(z)| = e z ε |F (z)| ≤ e−ηyη A ≤ z + iyε a lu f an nv ˆ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có z z