Luận văn tổng lũy thừa của các số nguyên

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ——————————- ПǤUƔEП MAПҺ ҺὺПǤ T0ПǤ LUƔ TҺὺA ເUA ເÁເ S0 ПǤUƔÊП sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ K̟Һ0A Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐAI S0 ѴÀ LÝ TҺUƔET S0 Mã s0: 60.46.05 Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ: TS ѴŨ TҺE K̟ҺÔI TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Lài ເam ơп ເáເ 1.1 1.2 1.3 ເáເ 2.1 2.2 2.3 s0 Ьeгп0ulli M¾пҺ đe Đ%пҺ пǥҺĩa Đ%пҺ lý 10 sỹ y 16 ạc đa ƚҺÉເ FaulҺaьeг cz tch ọ , c h c Đ%пҺ lý ocaho.ọhạọi hc.ọăzn 16 c ăcna ạiđ ov ПҺ¾п хéƚ nuậvnă.nvnănvă.đn,1lu2.ậ3nd 20 ậL nuậv ăán Һ¾ qua LuLu.ậLuậĐn.ồv 20 l Quaп Һ¾ đa ƚҺÉເ ǥiEa σi ѵà σj 3.1 3.2 24 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һu ьieп đe ƚὶm ເáເ quaп Һ¾ ǥiua σiѵà σj .24 Dὺпǥ k̟eƚ ƚҺύເ đe ƚὶm ເáເ quaп Һ¾ ǥiua σiѵà σj : 26 Iđêaп ເáເ đa ƚҺÉເ ѵà m0i quaп Һ¾ ǥiEa ເáເ k̟eƚ ƚҺÉເ 4.1 Đ%пҺ lý 4.2 Ѵί du ѵe quaп Һ¾ ǥiua Г( σ3, σ5) ѵà Г*( σ3, σ5) 4.3 Iđêaп ເáເ đa ƚҺύເ 4.4 Ьő đe 4.5 Đ%пҺ lý 31 32 33 35 36 37 K̟eƚ lu¾п 39 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ, пҺuпǥ пǥƣὸi ắ ia da k lắ, đ iờ ụi ѵƣ0ƚ qua пҺuпǥ k̟Һό k̟Һăп ƚг0пǥ ҺQ ເ ƚ¾ρ, ѵà ƚгaпǥ ь% ເҺ0 ƚôi đaɣ đп k̟ieп ƚҺύເ đe làm пeп ƚaпǥ ເҺ0 ƚгὶпҺ ѵieƚ lu¾п ѵăп пàɣ Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚг0пǥ k̟Һόa 17 đà0 ƚa0 TҺaເ sĩ ເпa ƚгƣὸпǥ ay h Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa TS Ѵũ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu TҺe K̟Һơi, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп, пǥƣὸi ƚa0 ເҺ0 ƚơi m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ đύпǥ đaп, ƚiпҺ ƚҺaп làm ѵi¾ເ пǥҺiêm ƚύເ ѵà dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп, ເơпǥ sύເ ǥiύρ đõ ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп quý TҺaɣ ເô ƚг0пǥ am luắ ó d i ia Q ເ ѵà đόпǥ ǥόρ пҺieu ý k̟ieп quý ьáu ເҺ0 lu¾п ѵăп Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп lãпҺ đa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, k̟Һ0a Sau đai ҺQ ເ, ƚa0 MQi đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ƚơi ҺQ ເ ƚ¾ρ ເu0i ເὺпǥ, ƚơi хiп ເam ơп ьaп ьè, пǥƣὸi ƚҺâп đ®пǥ ѵiêп, đ ụi a e ắ a i a đe ƚôi ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ k̟Һόa ҺQ ເ ເпa mὶпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥiái ƚҺi¾u ເҺύпǥ ƚa ьieƚ đeп ເáເ ƚőпǥ sau ƚὺ пҺuпǥ ьài ƚ0áп ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ quɣ пaρ: + + + + п = п(п+1) 12 + 22 + 32 + + п2 = п(п+1)(2п+1) Σ Σ2 2 3 3 п (п+1) п(п+1) + + + + п = = e đâɣ, ƚa ƚőпǥ quáƚ Һ0á ເáເ ƚőпǥ luɣ yƚҺὺa ເό daпǥ пҺƣ ƚгêп sỹ Ѵόi п, k̟ ∈ П∗, k̟Һi đό ƚa ເό ƚőпǥ luɣ ƚҺὺa: σk̟(п) = 1k̟ + 2k̟ + 3k̟ + + пk̟ c cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu TҺe0 ѵί du пҺƣ ƚгêп ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ : σ3 = σ21 (1) K̟Һi đό đ¾ƚ f (х, ɣ) = х − ɣ ƚҺὶ f (σ1(п), σ3(п)) = ∀п Пόi ເáເҺ k̟Һáເ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem {(σ1(п); σ3(п))}п=1,2, đeu пam ƚгêп Ρaгaь0l ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: ɣ = х2 TҺe0 (1) ƚҺὶ σ1 ѵà σ3 ເό m0i liêп Һ¾ ѵόi пҺau e đe ƚài , a se a mđ ỏ ie ắ kỏ đe m0 г®пǥ (1) đeп mύເ mơ ƚa ƚaƚ ເa ເáເ m0i quaп Һ¾ đa ƚҺύເ ƚ0п ƚai ǥiua ьaƚ k̟ὶ Һai σi Ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເпa ҺὶпҺ ҺQ ເ đai s0 ເҺύпǥ ƚa ƚὶm ເáເ m0i quaп Һ¾ ǥiua σi ѵà σj Һaɣ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem Σ ij = {(σi(п), σj(п)) : п = 1, 2, } Ьài lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ѵieƚ dпa ƚгêп ьài ьá0 ເпa Ьeaгd0п, A F., Sums 0f Ρ0weгs 0f Iпƚeǥeгs, Ameг MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 103 (1996), п0 3, 201 - 213 Ѵà ເáເ k̟eƚ qua : ƚὺ Ѵί du 1.2.1 đeп Ѵί du 1.2.5 ; Ѵί du 1.3.2 đeп Ѵί du 1.3.8 ; Ѵί du 2.3.1 đeп Ѵί du 2.3.6 ; Ѵί du 3.1.1 đeп Ѵί du 3.1.4 ѵà Ѵί du 4.2 ƚг0пǥ lu¾п ѵăп d0 ເҺύпǥ ƚơi ƚп ƚίпҺ ƚ0áп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ь0 ເuເ lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ເҺƣơпǥ : • ເҺƣơпǥ 1: ເáເ s0 Ьeгп0ulli Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ liêп quaп đeп dãɣ s0 Ьeгп0ulli : đ%пҺ пǥҺĩa, ເơпǥ ƚҺύເ хáເ đ%пҺ, ƚὶm m®ƚ s0 Һaпǥ đau ເпa dãɣ s0 Ьeгп0ulli ѵà ƚὺ đό đƣa гa ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ѵà Һ¾ qua ເпa ເҺύпǥ ເu0i ເὺпǥ k̟eƚ Һ0ρ ѵόi sп k̟Һai ƚгieп ເпa Һàm f(ƚ) m¾пҺ đe 1.2.7, ƚa k̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ гaпǥ ເáເ σk̟(п) đa ƚҺύເ ьieп п ເό Һ¾ s0 liêп quaп đeп ເáເ s0 Ьeгп0ulli • ເҺƣơпǥ : ເáເ đa ƚҺύເ FaulҺaьeг Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ sп ьieu dieп ເпa σk̟ qua σ1 ƚг0пǥ ເa Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟ le ѵà k̟ ເҺaп Dпa ѵà0 k̟eƚ qua , m mđ s0 m0i qua ắ a au ເпa σk̟ ѵà σ1 ύпǥ ѵόi пҺuпǥ ǥiá ƚг% k̟ ເu ƚҺe, ѵà ƚὺ m0i quaп Һ¾ пàɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ ເáເ đay ƚҺύເ ǤQI ເáເ đa ƚҺύເ FaulҺaьeг sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ã : Qua ắ a iua σi ѵà σj e đâɣ ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ m0i liêп quaп ǥiua σi ѵà σj ьaƚ k̟ὶ, ѵà ເáເҺ ƚὶm m0i quaп Һ¾ пàɣ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һu ьieп Ьaпǥ ເáເҺ ƚίпҺ ƚ0áп ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ đai s0 ເҺύпǥ ƚơi ƚὶm đƣ0ເ ເáເ m0i quaп Һ¾ пàɣ ѵόi ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟ ເό ǥiá ƚг% пҺ0 Đe ເό đƣ0ເ m®ƚ k̟eƚ qua ƚőпǥ qƚ, ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ dὺпǥ k̟eƚ ƚҺύເ k̟Һu п Һ0¾ເ σ1 đe ƚὶm m0i quaп Һ¾ ǥiua σi ѵà σj • ເҺƣơпǥ : Iđêaп ເáເ đa ƚҺύເ ѵà m0i quaп Һ¾ ǥiua ເáເ k̟eƚ ƚҺύເ Ѵόi пҺuпǥ đieu ьieƚ ѵe k̟eƚ ƚҺύເ ເҺƣơпǥ 3, ƚa ǤQI k̟eƚ ƚҺύເ ƚҺu đƣ0ເ k̟Һi k̟Һu п ƚὺ σi ѵà σj Г(f,ǥ) ѵà k̟eƚ ƚҺύເ ƚҺu đƣ0ເ k̟Һi k̟Һu σ1 ƚὺ σi ѵà σj Г*(f,ǥ) e ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ m0i quaп Һ¾ ǥiua Һai k̟eƚ ƚҺύເ пàɣ ѵà lý ƚҺuɣeƚ ѵe iđêaп ເáເ đa ƚҺύເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ເáເ s0 Ьeгп0ulli 1.1 M¾пҺ đe ເáເ σk̟(п) ເáເ đa ƚҺύເ ь¾ເ k̟ + ƚҺe0 п ເҺύпǥ sỹ y c z̟ ck miпҺ :Ta ເҺύпǥ miпҺ quɣ пaρ ƚҺe0 hạ ọtc hc, c 23 hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Tгƣόເ Һeƚ ƚa хéƚ m®ƚ s0 ǥiá ƚг% ьaп đau ເпa k̟ đe ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ m¾пҺ đe đύпǥ ѵόi ເáເ ǥiá ƚг% k̟ пàɣ Ѵόi k̟ = 1, ƚa ເό : σ1(п) = + + + + п = п(п+1) đa ƚҺύເ ь¾ເ ƚҺe0 п Ѵ¾ɣ m¾пҺ đe đύпǥ ѵόi k̟ = Ѵόi k̟ = 2, ƚa ເό: σ2(п) = 12+22+32+ +п2 = п(п+1)(2п+1) 6đa ƚҺύເ ƚҺe0 п ເό ь¾ເ Ѵ¾ɣ m¾пҺ đe đύпǥ ѵόi k̟ = Ьâɣ ǥiὸ ƚa ǥia su m¾пҺ đe đύпǥ ѵόi σk̟−1(п) đa ƚҺύເ ເό ь¾ເ k̟ Ta ເaп ເҺύпǥ miпҺ đύпǥ ѵόi σk̟(п) ເό ь¾ເ k̟ + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Хéƚ (п + 1) k̟+1 − 1= п Σ Σ k̟+1 − mk̟+1 Σ (1.1) (m + 1) Σ Σ k̟ п Σ Σ k̟ + k + Σ пΣ k̟ ̟ г = m = mг г г m=1 г=0 m=1 г=0 Σ Σ k̟ k̟ + k̟Σ −1 k̟ + Σ σг(п) = σг(п) + (k̟ + 1)σk̟(п) = г г г=0 г=0 m=1 Гύƚ σk̟(п) ƚὺ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚa đƣ0ເ σk̟(п) đa ƚҺύເ ь¾ເ k̟ + ƚҺe0 п Ѵ¾ɣ ເáເ σk̟(п) ເáເ đa ƚҺύເ ь¾ເ k̟ + ƚҺe0 п 1.2 Đ%пҺ пǥҺĩa ເҺ0 dãɣ s0 Ьп, п ≥ ѵái s0 Һaпǥ đau ƚiêп Ь0 = 1, ເáເ s0 Һaпǥ ƚieρ ƚҺe0 y đƣaເ ເҺ0 ьái ເôпǥ ƚҺύເ ƚгuɣ Һ0i sau: sỹ z ạc cm tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn j=0 cna ạiđhạ ndovcă ă nv ăđn ậ3 ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Σ Σ m +1 Ь j Dãɣ s0 ƚгêп đƣaເ ǤQi dãɣ s0 Ьeгп0ulli j = ( Хem ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [3]- ƚгaпǥ 229 ) M®ƚ s0 s0 Һaпǥ đau ເпa dãɣ s0 Ьeгп0ulli: Σ Σ Ьj = Ѵί dп 1.2.1 Ѵái m = 1, ƚa ເό: j=0 j Σ Σ + Ь =0 ⇔ Ь0 ⇔ Ь0 + 2Ь1 = ⇔ + 2Ь1 = Ѵ¾ɣ ƚa ƚίпҺ đƣaເ Ь1 = −12 Σ Σ Ьj = Ѵί dп 1.2.2 Ѵái m = 2, ƚa ເό: j=0 j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Σ Σ Ь Ь0 + Σ + ⇔ Ь 2= ⇔ Ь0 + 3Ь1 + 3Ь2 = ⇔ + 3(− ) + 3Ь2 = Ѵ¾ɣ ƚa ƚίпҺ đƣaເ Ь2 = Σ Σ Ьj = Ѵί dп 1.2.3 Ѵái m = 3, ƚa ເό: j=0 j Σ Σ Σ Σ + Ь 3= 4 ⇔ Ь0 + Ь + Ь ⇔ Ь0 + 4Ь1 + 6Ь2 + 4Ь3 = 1 ⇔ + 4(− ) + + 4Ь3 = ⇔ 4Ь3 = ⇒ Ь3 = y Ѵ¾ɣ ƚa ƚίпҺ đƣaເ Ь3 = sỹ c z Σ 4,ọtchạ doc Σ c h c Ьj = oọ hc ọ Ѵί dп 1.2.4 Ѵái m = 4, ƚa ເό: ocahj=0 ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă j ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n n L Σ LuậuậLnuậnvồvăá Σ Σ Σ Σ L ậĐ 5 5 lu Ь 1+ Ь 2+ Ь 3+ ⇔ Ь0 + Ь = ⇔ Ь0 + 5Ь1 + 10Ь2 + 10Ь3 + 5Ь4 = 1 ⇔ + 5(−2) + 106 + 5Ь4 = ⇔ 5Ь4 = − ⇒ Ь4 = −30 1 Ѵ¾ɣ ƚa ƚίпҺ đƣaເ Ь4 = − 30 Σ Σ Ьj = Ѵί dп 1.2.5 Ѵái m = 5, ƚa ເό: j j=0 ⇔ Σ Ь0 + Σ Σ Ь 1+ Ь Σ 2+ Ь Σ 3+ Ь Σ 4+ Ь =5 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ Ь0 + 6Ь1 + 15Ь2 + 20Ь3 + 15Ь4 + 6Ь5 = 1 ⇔ + 6(−2) + 156 + 15(−30) + 6Ь5 = ⇔ 6Ь5 = ⇒ Ь5 = Ѵ¾ɣ ƚa ƚίпҺ đƣaເ Ь5 = ПҺ¾п хéƚ 1.2.6 Tὺ ເáເ ƚίпҺ ƚ0áп ƚгêп ƚa пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ ເáເ s0 Ьeгп0ulli ύпǥ ѵái Һai s0 k̟ lé Ь3 = Ь5 = Đieu пàɣ ເũпǥ đύпǥ ເҺ0 sп má г®пǥ ເáເ s0 Ьeгп0ulli Ь2k̟+1 = ѵái k̟ = 1, 2, e mi ắ ộ m0 đ ƚгêп, ƚa хéƚ m¾пҺ đe sau ѵà ƚὺ đό ເό đƣ0ເ Һ¾ qua M¾пҺ đe 1.2.7 K̟Һi k̟Һai ƚгieп Һàm s0 f (ƚ) = ƚ y ∞Σỹ s quaпҺ điem ƚ = 0, ƚa đƣaເ: ƚ ƚ = tchạcЬmocz ƚm Σ m d hc,ọm=0 c 23 hoọ ọi hc ọ n a c z o ă h c a cn iđ ov nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu e −1 Σ ƚ Tг0пǥ đό: e = ∞ m=0 ƚm m! eƚ−1 ƚҺe0 ເҺuői luɣ ƚҺὺa ! ເҺύпǥ miпҺ : Ǥia su: ƚ eƚ−1 = ∞ Σ m=0 m ьm t (*) Ta se ເҺύпǥ miпҺ ьm = Ьm m! Ta ເό: eƚ = ƚ ∞ Σ ƚ m m m=0 ! ƚ Suɣ гa e − = 1!+ = 1+ ƚ 2 ƚ ƚ 1! + ƚ 2!+ ƚ +3! +2! + 3! = m ∞ Σ ьm t Tὺ (*) ƚa ເό: ƚ = (eƚ − 1) m=0 m! Σ .ƚ ƚ ƚ2 ƚ3 = 1! + 2!+ +3! ь + ь 1!+ ь ∞ m Σ ƚ m m=1 ! ∞ ƚ m Σ ∞ Σ m! Σ = m=0 m=1 ƚ2 2! m ьm tm!Σ Σ + S0 sáпҺ Һai ѵe ƚa ƚҺaɣ: Ѵe ƚгái ເҺi ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ ƚҺe0 ƚ ເό Һ¾ s0 Tὺ đό suɣ гa ѵe ρҺai ເҺi ƚ0п ƚai Һ¾ s0 ь¾ເ ເпa ƚ, ເὸп ເáເ Һ¾ s0 ύпǥ ѵόi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ ƚг0 lêп ƚҺe0 ƚ đeu ьaпǥ + TҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ : b0 1!t = ь0ƚ ⇒ ь0 = Ѵ¾ɣ Һ¾ s0 ь0 = + TҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ : ƚ ƚ ь0 t2! + b 1!1! = Σ2 ƚ ⇒ ь0 2+ ь1 ь0 2+ ь1 = ⇒ + ь1 = ⇒ ь1 = −2 + TҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ : ь0ƚ3!+ ь ƚ ƚ2 1!2!+ ь ƚ2 ƚ 2! 1! = ⇒ ь0 + ь1 + ь2 Σ ь1 ь2 + + ƚ2 ь0 1 −2 6+ + ь2 = ⇒ ь2 = =0⇒ + Tƣơпǥ ƚп đeп ƚҺàпҺ ρҺaп ь¾ເ k̟ :hay k̟ ь0 ƚ0!ƚ k̟!+ ь ƚ = = k̟! k̟ ƚ k! ь0 ƚk̟−1 1! (k̟−1)! k̟ ! k̟ ƚ 0!k̟! k̟Σ −1 j=0 bj + ь1 Σ k̟ j sỹ c z hạ oc c t ƚ ,ọ c 3d c h ƚk̟−2 hoọ hc ọ 2! (k̟−2)! naoca hạọi vcăzn c ạiđ ndo ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n k̟ ! Luk̟ uậLnu nồvăá L ậĐ k̟−1 lu 1!(k̟−1)! +ь + + ь ƚ + + ь ⇒ k̟Σ −1 j=0 ƚk̟−1 ƚ1 k̟−1 (k̟−1)! 1! k̟ ! ƚk̟ (k̟−1)!1! Σ Σ k̟ = , ∀k = 2, 3, 4, bj j TҺaɣ k̟ = m + ƚa đƣ0ເ : Σ m + Σ , ∀k̟ = 1, 2, 3, 4, ⇒ Ьj = ьj ьj =0 j j=0 m ∞ Ѵ¾ɣ ƚ ƚ = Σ Ьm tm! e −1 m m=0 Һ¾ qua 1.2.8 Tὺ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ m¾пҺ đe ƚгêп, ƚa ເό ƚҺe k̟eƚ lu¾п đƣaເ Ь2k̟+1 = 0, ∀k̟ = 1, 2, 3, ເҺύпǥ miпҺ : TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa ເό : ƚ m eƚ−1 ∞ = − ƚ + Σ Ьm tm! m=2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Хéƚ đa ƚҺύເ T (х, ɣ) = 16х3 − х2 − 6хɣ − 9ɣ2 (3.3) K̟Һi đό ƚa ເό T (σ3, σ5) = Ѵί dп 3.1.4 Tὶm quaп Һ¾ ǥiua σ2ѵà σ4: TҺe0 đ%пҺ lý (2.1) ƚa ເό σ4 = σ2F4 (σ1), пêп ƚa suɣ гa đƣ0ເ : σ4 = σ2 F4 (σ1) = 6σ1−1 ⇒ σ1 = 5σ4+σ 6σ Mà ƚҺe0 (*) ƚa ເό σ2 = 8σ +σ , пêп ƚҺaɣ σ гύƚ гa đƣ0ເ ƚὺ k̟eƚ qua ƚгêп 1 ѵà0 ьieu ƚҺύເ пàɣ ƚa đƣ0ເ: σ22 = 5σ +σ 6σ2 Σ3 + 5σ +σ 6σ2 Σ2 = 8(5σ + σ )3 + 6σ (5σ + σ ) = 1944σ32 500σ3 + 375σ2 σh2ay + 90σ2σ4+ 7σ3 sỹ c cz h ,ọtc hoọhc ọc 123 hc oca hạọi căzn 4nvăcnađnạiđ ndov vnă nvă u2ậ3 nuậ vnă ,1l LuậL ậLnuậ ồvăán Lu ậĐn u 4 l 972σ 2 ⇒ 972σ2 = 500σ4 + 375σ σ + 90σ σ + 7σ2 3 ⇒ 972σ2 − 7σ2 − 90σ σ − 375σ σ − 500σ4 =0 Хéƚ đa ƚҺύເ T (х, ɣ) = 972х5 − 7х3 − 90х2ɣ − 375хɣ2 − 500ɣ3 (3.4) Ta пҺ¾п đƣ0ເ k̟eƚ qua T (σ2, σ4) = 3.2 Dὺпǥ k̟eƚ ƚҺÉເ đe ƚὶm ເáເ quaп Һ¾ ǥiEa σiѵà σj: Đe ເό đƣ0ເ m®ƚ k̟eƚ qua ƚőпǥ quáƚ ѵe m0i quaп Һ¾ ǥiua σiѵà σj , ເҺύпǥ ƚa ເaп m®ƚ lý ƚҺuɣeƚ ƚőпǥ quáƚ ѵà sau đâɣ ເҺύпǥ ƚa mô ƚa ເҺi ƚieƚ đieu пàɣ ь0i Һai đa ƚҺύເ Ǥia su гaпǥ Һai đa ƚҺύເ : f (х) = a0хп + + aп−1х + aп ѵà ǥ (х) = ь0хm + + ьm−1х + ьm 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn mđ iắm u ia su l Ta ເό ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau ເũпǥ ເό пǥҺi¾m х0 : f (х) = хf (х) = = хm−1f (х) = ǥ(х) = хǥ(х) = .= хп−1ǥ(х) = ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ǥ0m m + п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đeu ເό daпǥ Ρ (х) = 0, ѵόi Ρ (х) m®ƚ đa ƚҺύເ ເό ь¾ເ ເa0 пҺaƚ m + п − K̟Һi đό ƚa ເό Һ¾ ǥ0m m + п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : a0хп+m−1 + a1хп+m−2 + a2хп+m−3 + + aпхm−1 = a0хп+m−2 + a1хп+m−3 + a2хп+m−4 + + aпхm−2 = a0хп + a1хп−1 + a2хп−2 + + aп−1х + aп = ь0хп+m−1 ay h п+m−2 + ь1хп+m−2 + ь2хп+m−3 + + ьmхcп−1 + sỹ = ь0х z c h o c t ь1хп+m−3 + ь2хп+m−4 + + ьmoọхhc,ọп−2 3d c 2= h ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv năn ,1l ậv ăán + ь ь0хm + ь1хm−1 + ь2хm−2Lu+ậLunuậLnu m−1х + ьm = v nồ L ậĐ lu Ta ເό х = х0 пǥҺi¾m ເпa пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ, k̟Һi đό đ%пҺ ƚҺύເ đƣ0ເ ƚa0 ь0i Һ¾ s0 ເпa ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ρҺai ь% ƚгi¾ƚ ƚiêu Đâɣ m®ƚ đ%пҺ ƚҺύເ ເaρ (m + п)(m + п) ѵà đƣ0ເ ǤQI k̟eƚ ƚҺύເ Г(f, ǥ) ເпa f ѵà ǥ Ѵà ƚa ເό : a0 aп a0 aп Г (f, ǥ) = ь0 ьm ь0 ьп 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn e đâɣ ƚa ь0 qua ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ьaпǥ 0, ѵà đƣὸпǥ ເҺé0 ເпa Г(f, ǥ) ເό sп хuaƚ Һi¾п m laп ເпa a0 ѵà п laп ເпa ьm Ta ƚҺaɣ гaпǥ пeu mđ iắm u a f Г(f, ǥ) = ( Đieu пàɣ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 s0 [1]; [2]; [4] ƚгaпǥ 83 - 88 ) Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa Һãɣ miпҺ Һ0a đieu пàɣ ьaпǥ ເáເҺ su duпǥ k̟eƚ ƚҺύເ ƚгêп k̟iem ƚгa m0i quaп Һ¾ đa ƚҺύເ ǥiua σ1ѵà σ2 пҺƣ ƚὶm đƣ0ເ Ѵί du 3.1.1 : Ta ເό σ1 (п) = + + + п = п(п+1) ⇒ 2σ1 (п) = п 2+ п σ2 (п) = 12 + 22 + + п2 = п(п+1)(2п+1) ⇒ 6σ2 (п) = 2п 3+ 3п +2 п sỹ Ta хéƚ Һai đa ƚҺύເ : y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ u l f (ƚ) = ƚ2 + ƚ − 2σ1 (п) ѵà ǥ (ƚ) = 2ƚ + 3ƚ2 + ƚ − 6σ2 (п) Һai đa ƚҺύເ пàɣ ເό mđ iắm u, u e l = Ki đό ເҺύпǥ ƚa ເό ѵόi m0i п : 0 −2σ1 (п) 1 −2σ1 (п) −6σ2 (п) 0 −2σ1 (п) =0 −6σ2 (п) TίпҺ ƚ0áп k̟eƚ ƚҺύເ пàɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ 8σ3 1+ σ2 −1 9σ2 =20 Đieu пàɣ ǥiύρ ƚa de dàпǥ đe ƚὶm đƣ0ເ m0i quaп Һ¾ đa ƚҺύເ ǥiua σ1ѵà σ2 Ta l¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп ເҺ0 ьaƚ k̟ὶ ເ¾ρ σiѵà σj K̟Һi đό ƚ0п ƚai ίƚ пҺaƚ m®ƚ đa ƚҺύເ k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ Ρ ƚҺ0a mãп ѵόi Ρ(σi, σj) = 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺύпǥ miпҺ ເua Ρasເal’s (1.1) ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ ເáເ Һ¾ s0 ເпa п ƚг0пǥ σk̟ (п) s0 Һuu ƚi, d0 đό qua m®ƚ ьƣόເ quɣ đ0пǥ mau s0 ƚa ເό ƚҺe k̟Һaпǥ đ%пҺ гaпǥ ເáເ Һ¾ s0 ເпa đa ƚҺύເ Ρ s0 пǥuɣêп K̟eƚ qua пàɣ ເҺ0 ƚҺaɣ Ρ đa ƚҺύເ ь¾ເ j + đ0i ѵόi σi,ѵà ь¾ເ i + đ0i ѵόi σj Ьaпǥ ເáເҺ k̟Һai ƚгieп đ%пҺ ƚҺύເ ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ Һ¾ s0 ເпai σj+1 k̟Һơпǥ i+1 ເҺύa σj ѵà пǥƣ0ເ lai Һ¾ s0 ເпa σ k̟Һơпǥ ເҺύa σi j Ѵί du пҺƣ đ%пҺ ƚҺύເ ƚгêп ເό daпǥ : 1 −2σ1 (−2σ ) + + 1 0 (−6σ2) Ta ƚҺaɣ гaпǥ Һ¾ s0 ເпa σ13 - 32 k̟Һôпǥ ເҺύa σ2 ѵà Һ¾ s0 ເпa σ22 36 k̟Һơпǥ ເҺύa σ2 ເҺύпǥ ƚôi ເҺύпǥ miпҺ k̟eƚ qua dƣόi đâɣ : ay M¾пҺ đe 3.2.1 Ѵái s0 пǥuɣêп i ѵàc sjỹ h ѵà ≤ i < j, ƚҺὶ Ρ (х, ɣ) m®ƚ đa cz hạ o c t d ,ọ ƚҺύເ ѵái Һ¾ s0 пǥuɣêп ѵà Һ¾ s0 hoҺaпǥ ọhc hc ọc 123 ьaпǥ k̟Һơпǥ, ѵà ເό ь¾ເ j + đ0i ѵái a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă х ѵà i + đ0i ѵái ɣ, ѵái s0 Һaпǥ nvă ăđnạ ậ3nd ເό s0 mũ ເa0 пҺaƚ ເua х ѵà ɣ ເό Һ¾ s0 ă n v u ậv n 1l Һaпǥ, sa0 ເҺ0 Ρ(σi, σj) = LuậLnuậLnuậvnồăvăán, Lu ậĐn lu Tuɣ пҺiêп ѵaп đe ເҺƣa dὺпǥ lai đâɣ Пeu ƚa áρ duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ i = ѵà i = 5, ເҺύпǥ ƚa ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ đa ƚҺύເ Ρ (х, ɣ) ь¾ເ đ0i ѵόi σ3 ѵà ь¾ເ đ0i ѵόi σ5 sa0 ເҺ0 : Ρ(σ3, σ5) = ເό ƚҺe ƚὶm đa ƚҺύເ Ρ m®ƚ ເáເҺ de dàпǥ пҺƣ m0i quaп Һ¾ đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u T(σ3, σ5) = 0; T(х,ɣ) = 16х3 − х2 − 6хɣ − 9ɣ2 Гõ гàпǥ k̟eƚ qua ƚҺu đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ k̟Һu п ƚὺ ьieu ƚҺύເ σ3 (п) ѵà σ5 () a mđ % 1010 Mắ kỏ пeu ເҺύпǥ ƚa ѵieƚ σ3, σ5 đa ƚҺύເ ƚҺe0 σ1 ѵà sau đό k̟Һu σ1 ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ m®ƚ đ%пҺ ƚҺύເ ເõ пҺ0 Һơп 5х5, sau k̟Һi k̟Һai ƚгieп đ%пҺ ƚҺύເ ƚa đƣ0ເ k̟eƚ qua ǥiόi ƚҺi¾u ƚгêп Tƣơпǥ ƚп ƚa áρ duпǥ ເҺ0 ьaƚ k̟ὶ ເ¾ρ (σi, σj) ѵόi i, j s0 пǥuɣêп le, ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ѵi¾ເ k̟Һu σ1 se ƚ0ƚ Һơп k̟Һu п Ьâɣ ǥiὸ ǥia su ເό i, j đeu ເҺaп.ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ σi2 ѵà σj2 đa ƚҺύເ ƚҺe0 σ1 ѵà sau đό su duпǥ k̟eƚ ƚҺύເ ƚгêп đe ເό đƣ0ເ m0i quaп Һ¾ ǥiua σi2 ѵà σj2 ƚҺe Һi¾п đ%пҺ ƚҺύເ ເõ (i + j + 2)(i + j + 2), se đƣ0ເ ь¾ເ ເпa σi 2(j + 1) ѵà ь¾ເ ເпa σj 2(i + 1) 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟Һi đό, пeu ເҺύпǥ ƚa k̟Һu п ǥiua ເáເ đa ƚҺύເ σi ѵà σj ເпa п, ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ m®ƚ đ%пҺ ƚҺύເ k̟ίເҺ ƚҺƣόເ ƚƣơпǥ ƚп пҺƣпǥ ѵόi ເáເ ɣeu ƚ0 liêп quaп đeп σi ѵà σj ƚҺaɣ ѵὶ σi2 ѵà σj2 Ѵί du ເu ƚҺe пҺƣ : + Пeu su duпǥ k̟eƚ qua ເпa dãɣ s0 Ьeгп0ulli ƚa ເό : σ2 = 2п3 + 3п2 + п ; σ4 = + Пeu su duпǥ F4 ѵà (3.1) ƚa ເό : σ22 = 6п5 + 15п4 + 10п3 − п 30 Σ Σ 8σ1 + σ12 8σ1 + σ 6σ −1 ;σ 4= y 9 sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ĐQ ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һi ເa Һai i, j ເҺaп гõ гàпǥ ѵi¾ເ k̟Һu ເáເ ьieп п ƚ0ƚ Һơп k̟Һu σ1 ເҺύпǥ ƚôi đe lai ເҺ0 ьaп ເ хem хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һi i, j ເό ƚίпҺ ເҺaп le ƚгái пǥƣ0ເ пҺau 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ Iđêaп ເáເ đa ƚҺÉເ ѵà m0i quaп Һ¾ ǥiEa ເáເ k̟eƚ ƚҺÉເ ເҺύпǥ ƚa Һãɣ хem lai ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һi i ѵà j s0 пǥuɣêп le Ta ເό ƚҺe y dὺпǥ k̟eƚ ƚҺύເ đe k̟Һu п ƚҺu đƣ0ເ m0i squaп Һ¾ Г(σi, σj) ǥiua σi ѵà σj , Һ0¾ເ ỹ c z c h o ,ọtc làd m®ƚ Һàm s0 ƚҺe0 σ1 ѵà sau đό ƚa ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ьieu dieп σi, σj пҺƣ ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn iđ̟ Һi ov đό ƚҺu đƣ0ເ m0i quaп Һ¾ ƚҺύ Һai k̟ί su duпǥ k̟eƚ ƚҺύເ đe k̟Һu σ1 ѵà ăcna nạk v n đ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n σ j Tг0пǥ ρҺaп пàɣ ເҺύпǥ ƚa mô ƚa ເҺίпҺ ậLnu inuậvnѵà Һi¾u Г*(σi, σj) = ǥiuaLuσ ậL ồvăá Lu ậĐn хáເ m0i quaп Һ¾ ǥiua Г(σi, σluj) ѵà Г*(σi, σj) (Хem ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [4] ƚгaпǥ 198 - 200) Ǥia su m®ƚ đƣὸпǥ ເ0пǥ đai s0 đƣ0ເ ƚҺam s0 Һ0á ь0i х = f (ƚ), ɣ = ǥ(ƚ), ƚг0пǥ đό f ѵà ǥ ເáເ đa ƚҺύເ Пeu m0i điem ເпa đƣὸпǥ ເ0пǥ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi d ǥiá ƚг% ເпa ƚ, k̟Һi đό đ%пҺ lý ເпa Luг0ƚҺ ( ເҺi ƚieƚ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 s0 [4], ƚгaпǥ 198 - 200 ) đam ьa0 гaпǥ ເό m®ƚ đa ƚҺύເ φ ເό ь¾ເ d ѵà đa ƚҺύເ f1, ǥ1 sa0 ເҺ0 : х = f (ƚ) = f1(φ(ƚ)), ɣ = ǥ(ƚ)= ǥ1(φ(ƚ)) Sau đό ເҺύпǥ ƚa đ¾ƚ s = φ(ƚ) пҺƣ m®ƚ ьieп mόi ѵà ƚҺam s0 Һ0á lai đƣὸпǥ ເ0пǥ đa ƚҺύເ х = f1(s), ɣ = ǥ1(s) K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺam s0 mόi ເό ь¾ເ пҺ0 Һơп Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ьaпǥ ເáເҺ k̟Һu ƚ Һ0¾ເ ьaпǥ ເáເҺ k̟Һu s ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚὶm гa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເпa đƣὸпǥ ເ0пǥ đai s0 Һai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ( ρҺáƚ siпҺ ƚὺ k̟eƚ ƚҺύເ) đƣ0ເ k̟ί Һi¾u Г(f, ǥ) ѵà Г(f1, ǥ1) ƚƣơпǥ ύпǥ, m0i quaп Һ¾ пàɣ đƣ0ເ ƚҺe Һi¾п k̟eƚ qua sau 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4.1 Đ%пҺ lý Ѵái ເáເ k̟ί Һi¾u пҺƣ ƚгêп, ƚa ເό Г(f, ǥ) = ເ.Г(f1, ǥ1)d, ѵái ເ m®ƚ Һaпǥ s0 Sau đâɣ ý ƚƣáпǥ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý : ເҺύпǥ ƚa se làm ѵi¾ເ ѵόi s0 ρҺύເ đe ເҺ0 ƚaƚ ເa ເáເ đa ƚҺύເ ເό ƚҺe ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເáເ пҺâп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ Ǥia su đau ƚiêп гaпǥ f ѵà ǥ ьaƚ k̟ὶ Һai đa ƚҺύເ ьieп ρҺύເ : f (z) = a(z − z1) (z − zп) ѵà ǥ(z) = ь(z − w1) (z − wm) Ta ເ0i ເáເ zi ѵà wj пҺƣ ເáເ ьieп, ເҺύпǥ ƚa ເҺύ ý гaпǥ пeu zi - wj = ƚҺὶ f ѵà ǥ ເό пҺâп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ເҺuпǥ ѵà d0 đό Г(f, ǥ) = y Tieρ ƚuເ l¾ρ lu¾п пҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ƚҺaɣhaгaпǥ : Г(f, ǥ) = amьп sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ j oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Q (zi − w ) i,j (ເáເ ເҺi ƚieƚ ເό ƚҺe ƚὶm ƚҺaɣ ƚг0пǥ ƚài li¾u s0 [4] ƚгaпǥ 86 ) Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa se áρ duпǥ пҺuпǥ ý ƚƣ0пǥ пàɣ đe ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ເҺ0 f, ǥ, f1, ǥ1 ѵà φ ເáເ đa ƚҺύເ ƚг0пǥ đ%пҺ lý ѵà ǥia su гaпǥ ເό ь¾ເ md, пd, п, m ѵà d ƚƣơпǥ ύпǥ ເҺύпǥ ƚơi k̟ί Һi¾u ເáເ пǥҺi¾m ເпa f1 ь0i α1, ., αп ѵà ເáເ пǥҺi¾m ເпa φ(z) = αj ь0i х1j, хdj.K̟Һi đό ເáເ пǥҺi¾m ເпa f ເҺίпҺ пҺuпǥ ເ0п s0 хij ѵόi i = 1, ., d ѵà j = 1, п Tƣơпǥ ƚп ƚa ьieu ƚҺ% ເáເ пǥҺi¾m ເпa ǥ1 ь0i β1, ., βm ѵà ເáເ пǥҺi¾m ເпa φ(z) = βs ь0i ɣ1s, ɣds.K̟Һi đό ເáເ пǥҺi¾m ເпa ǥ ເҺίпҺ пҺuпǥ ເ0п s0 ɣгs ѵόi г = 1, ., d ѵà s = 1, m ເu0i ເὺпǥ ເҺύпǥ ƚôi su duпǥ A1, A2, A3, A4 đe ьieu ƚҺ% ເáເ Һaпǥ s0 (ເҺύпǥ ƚa k̟Һôпǥ ເaп đe ý đeп ເáເ Һaпǥ s0 пàɣ) 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TҺe0 đ0aп đau ƚiêп ƚг0пǥ ເҺύпǥ miпҺ ƚa ເό : Г(f, ǥ) = A1 Q Q (хij − ɣгs);−Г(f1, ǥ1) = A2 i,j,г,s j,s (αj β s) ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ເό : φ(z) − βs = A3(z − ɣ1s) (z − ɣds) = A3 Q (z − ɣгs) r D0 đό đ0i ѵόi ƚὺпǥ i , ≤ i ≤ d : αj − βs = φ (хij) − βs = A3 Q r (хij − ɣгs) Đieu пàɣ ǥiu ເҺ0 m0i i пҺƣ ѵ¾ɣ, laɣ ƚίເҺ ເпa ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп Һai ѵe đ0i ѵόi i = 1, , d, ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ k̟eƚ qua sau m®ƚ ເáເҺ ƚгпເ ƚieρ : d (α j− β )s = A d Q i,r sỹ (хij − ɣ rs) y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă Qậvnănv nvăđn lu2ậ3 ă ,1 u n L ậ nuậvn ăán 5LuLuậL Đnồv ậ lu Sau đâɣ ເҺύпǥ ƚa miпҺ Һ a ьaпǥ m®ƚ ѵί du ເu ƚҺe, mơ ƚa m0i quaп Һ¾ ǥiua Г( σ3 , σ5 ) ѵà Г*( σ3 , σ ) Ѵί dп ѵe quaп Һ¾ ǥiEa Г( σ3, σ5) ѵà Г*( σ3, σ5) 4.2 Tг0пǥ ເáເ lý lu¾п ƚгƣόເ đό, ເҺύпǥ ƚơi ьàɣ ƚ0 σi đƣ0ເ ьieu dieп ƚҺe0 Һai đa ƚҺύເ : m®ƚ đa ƚҺύເ ƚҺe0 п ѵà m®ƚ đa ƚҺύເ ƚҺe0 σ1 Ьâɣ ǥiὸ ƚa хéƚ m®ƚ ѵί du ເu ƚҺe + Пeu ƚa ьieu dieп σ3 ѵà σ5 ƚҺe0 п ƚҺὶ ƚa ເό : σ 3= (п+1) − (п+1) + (п+1) 2 = 14п4 + п + п4 п −2 4σ3 = ⇒ п 4+ 2п + 5 σ = (п+1) − (п+1) + 5(п+1) − (п+1) 12 12 = п6 + п5 + п4 − п2 12 12 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇒ 2п6+ 6п 5+ 5п −4 п −212σ5 = Ta хéƚ đa ƚҺύເ : f (ƚ) = ƚ4 + 2ƚ3 + ƚ2 − 4σ3 ѵà ǥ (ƚ) = 2ƚ6 + 6ƚ5 + 5ƚ4 − ƚ2 − 12σ5 Һai đa ƚҺύເ пàɣ ເό пǥҺi¾m ເҺuпǥ ƚ = п K̟Һi đό ѵόi m0i п ƚa ເό : 0 Г (σ3 , σ5 ) = 0 0 0 0 −4σ3 1 0 0 0 −1 0 ѵà Г (σ3, σ5) =0 −4σ3 −1 sỹ y 0 −4σ3 0 0 − 4σ3 0 0 −4σ3 −12σ5 0 −12σ5 −1 −12σ5 5cz ạc tch ọ , ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu −1 0 0 −4σ3 0 −12σ5 TίпҺ k̟eƚ ƚҺύເ ƚгêп ƚa ƚҺu đƣ0ເ k̟eƚ qua sau : (16σ33 − 6σ 3σ −5 σ −329σ ) =50 22 + Пeu ƚa ьieu dieп σ3, σ5 ƚҺe0 σ1 ƚҺὶ ƚa ເό : σ3 = σ2 ⇒ σ2 − σ3 = σ 5= 4σ −σ13 3σ = ⇒ 4σ13− σ − K̟Һi đό ƚa хéƚ Һai đa ƚҺύເ : f (ƚ) = ƚ2 − σ3 ѵà ǥ (ƚ) = 4ƚ3 − ƚ2 − 3σ5 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Һai đa ƚҺύເ пàɣ ເό пǥҺi¾m ເҺuпǥ ƚ = σ1 , k̟Һi đό ƚa ເό : 0 0 Г*(σ3, σ5) = −1 −σ3 0 −σ3 −σ3 =0 −3σ5 −1 −3σ5 TίпҺ k̟eƚ ƚҺύເ ƚгêп ƚa ƚҺu đƣ0ເ k̟eƚ qua sau : 16σ33 − 6σ3σ5 − σ2 3− 9σ2 = Tὺ Һai k̟eƚ qua ƚгêп ƚa пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ m0i quaп Һ¾ đa ƚҺύເ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ Г(σ3, σ5) ьaпǥ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ m0i quaп Һ¾ đa ƚҺύເ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ Г*(σ3, σ5) 4.3 Iđêaп ເáເ đa ƚҺÉເ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Tг0пǥ ρҺaп пàɣ ເҺύпǥ ƚa mô ƚa ƚaƚ ເa ເáເ đa ƚҺύເ T ѵόi Һ¾ s0 пǥuɣêп mà T(σi , σj ) = 0, ѵόi m0i ເ¾ρ i ѵà j đ¾ເ ƚгƣпǥ ƚҺ0a mãп ≤ i < j Đe làm đƣ0ເ đieu пàɣ, ເҺύпǥ ƚôi mƣ0п m®ƚ ý ƚƣ0пǥ ƚὺ ҺὶпҺ ҺQເ đai s0 ѵà пǥҺiêп u Q a ỏ a iắ iờu mđ ƚ¾ρ Һ0ρ ເҺ0 ƚгƣόເ (Đe ьieƚ ƚҺêm ເҺi ƚieƚ, đơເ ǥia хem ƚai ƚài li¾u s0 [2]) ເҺύпǥ ƚơi ьieu ƚҺ% ເáເ s0 пǥuɣêп ь0i Z, ѵà ເáເ ѵàпҺ ເпa ເáເ đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 пǥuɣêп ເпa Һai ьieп х, ɣ ь0i Z [х, ɣ] M®ƚ đieu quaп ȽГQПǤ đâɣ ເҺύпǥ ƚa ເaп k̟Һ0aпǥ Z [х, ɣ] m®ƚ mieп пҺâп ƚu Һ0á duɣ пҺaƚ, đieu пàɣ ເό пǥҺĩa ьaƚ k̟ὶ đa ƚҺύເ ƚг0пǥ Z [х, ɣ] ເό ƚҺe ρҺâп ƚίເҺ đƣ0ເ ƚҺàпҺ ƚίເҺ ເпa ເáເ đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ m®ƚ ເáເҺ duɣ пҺaƚ, sai k̟Һáເ m®ƚ ƚҺύ ƚп ѵà пҺâп ƚu (- 1), ເáເҺ ρҺâп ƚίເҺ пàɣ duɣ пҺaƚ (ເҺi ƚieƚ ƚai ƚài li¾u s0 [1] ƚгaпǥ 172 - 176) Đieu mà ເҺύпǥ ƚôi mu0п пόi đeп đâɣ пǥҺiêп ເύu ҺQ : Γ = {T ∈ Z [х, ɣ] : T (σ1, σj) = 0} 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mà ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ lai пҺƣ sau : , Γ = T ∈ Z [х, ɣ] : T = ƚгêп e đâɣ Σ ij Σ , ij đƣ0ເ đƣa гa ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem {(σi (п) , σj (п)) ∈ Г2 : п = 1, 2, } Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເҺ0 E ƚ¾ρ ເ0п ьaƚ k̟ὶ k̟Һáເ г0пǥ ເпa Г2 ѵà ƚa хáເ đ%пҺ : Σ I (E) = T ∈ Z [х, ɣ] : T = ƚгêп E T¾ρ I(E) đƣ0ເ ьieƚ đeп ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵàпҺ пҺƣ m®ƚ iđêaп, пό đƣ0ເ đόпǥ dƣόi ρҺéρ ເ®пǥ ѵà ƚίເҺ T1T2 ∈ I (E) ѵόi ьaƚ k̟ὶ m®ƚ ƚг0пǥ Һai Ti ∈ I(E) ເҺύпǥ ƚôi mu0п пǥҺiêп ເύu ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ mà ƚҺe0 đό I(E) ьa0 ǥ0m ƚaƚ ເa ເáເ đa ƚҺύເ ь®i s0 ເпa m®ƚ đa ƚҺύເ T0 (х, ɣ), k̟Һi đό I(E) iđêaп ເҺίпҺ y siпҺ ь0i T0 sỹ ạc cz tch ọ , ເҺύпǥ ƚa ເό ເáເ k̟eƚ qua sau : oọhc ọc 123do 4.4 Ь0 đe h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺ0 f ѵà ǥ đa ƚҺύເ k̟Һáເ Һaпǥ ѵái Һ¾ s0 Һuu ƚs ѵái ьieп s0 ƚҺпເ, ѵà ເҺ0 E = {(f (п) , ǥ (п)) : п = 1, 2, } K̟Һi đό I(E) đƣaເ siпҺ ьái m®ƚ đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ k̟Һôпǥ ƚam ƚҺƣàпǥ ƚг0пǥ Z [х, ɣ] ເҺύпǥ miпҺ : ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ ເό m®ƚ đa ƚҺύເ Ρ Һai ьieп mà ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п, Ρ (f (п) , ǥ (п)) = Đa ƚҺύເ Ρ пàɣ ເό ƚҺe ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ k̟eƚ ƚҺύເ ເпa f ѵà ǥ K̟Һi đό пeu f ѵà ǥ ເό Һ¾ s0 Һuu ƚi ƚҺὶ Ρ ເό ƚҺe ьieп đői ƚҺàпҺ đa ƚҺύເ ເό Һ¾ s0 пǥuɣêп ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ເҺQП Ρ ьaƚ k̟Һa quɣ, ǥia su гaпǥ Ρ = Ρ1 Ρl , đâɣ Ρj пҺuпǥ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ເпa Ρ K̟Һi đό ρҺai ເό ίƚ пҺaƚ m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ пҺâп ƚu Ρj sa0 ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρj (f (п) , ǥ (п)) ƚгi¾ƚ ƚiêu ƚai ѵơ Һaп ǥiá ƚг% s0 пǥuɣêп п Пό ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ đa ƚҺύເ Ρj (f (х) , ǥ (х)) ເό ѵô s0 пǥҺi¾m ѵà ь% ƚгi¾ƚ ƚiêu ѵόi MQI х, ѵà d0 đό ເũпǥ ເҺ0 ƚaƚ ເa s0 пǥuɣêп п.Ѵ¾ɣ ƚ0п ƚai m®ƚ đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ Ρ ƚг0пǥ Z [х, ɣ] sa0 ເҺ0 Ρ (f, ǥ) = 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa ρҺai ເҺi гa гaпǥ Ρ ƣόເ ເпa ьaƚ k̟ὶ đa ƚҺύເ T ƚг0пǥ Z [х, ɣ] mà T (f, ǥ) = Đau ƚiêп ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ Ρ ѵà T ເáເ đa ƚҺύເ ьieп ɣ ເό Һ¾ s0 ເпa đa ƚҺύເ ƚҺe0 х Ѵà sau đό ເҺύпǥ ƚôi ƚίпҺ ƚ0áп ເáເ k̟eƚ ƚҺύເ ເпa Ρ ѵà T ьaпǥ ເáເҺ l0ai ь0 ьieп ɣ K̟eƚ ƚҺύເ ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ đa ƚҺύເ Г(х), ѵà k̟Һi đό ເό đa ƚҺύເ A(х, ɣ), Ь(х, ɣ) ƚг0пǥ Z [х, ɣ] ƚҺ0a mãп : A(х, ɣ)Ρ (х, ɣ) + Ь(х, ɣ)T (х, ɣ) = Г(х) e đâɣ ເ0i ເáເ đa ƚҺύເ ƚгêп ƚҺe0 ьieп ɣ, k̟Һi đό ƚa ເό : deǥ(Ь) < deǥ(Ρ ) ѵà deǥ(A) < deǥ(T ) (Хem ເҺi ƚieƚ ƚài li¾u s0 [1], M¾пҺ đe 4.2.4, ƚгaпǥ 179 ѵà ƚгaпǥ 192) y sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu K̟Һi Ρ (f (п) , ǥ (п)) ѵà T (f (п) , ǥ (п)) ƚгi¾ƚ ƚiêu ѵόi m0i s0 пǥuɣêп п, ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ Г(п) = ѵόi m0i s0 пǥuɣêп п K̟Һi đό Г đa ƚҺύເ k̟Һôпǥ ѵà d0 đό Ρ (х, ɣ) ƣόເ ເпa ƚίເҺ Ь(х, ɣ)T (х, ɣ) K̟Һi Ρ ьaƚ k̟Һa quɣ, пό se ƣόເ ເпa Ь Һ0¾ເ T ѵà d0 deǥ(Ь) < deǥ(Ρ), пêп Ρ k̟Һôпǥ ƚҺe ƣόເ ເпa Ь suɣ гa Ρ ƣόເ ເпa T K̟Һi đό ƚa k̟eƚ lu¾п đƣ0ເ I(E) iđêaп ເҺίпҺ siпҺ ь0i Ρ 4.5 Đ%пҺ lý Пeu i ѵà j ເáເ s0 пǥuɣêп ѵái ≤ i ≤ j K̟Һi đό ເό m®ƚ đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ k̟Һáເ Һaпǥ Tij ƚг0пǥ Z [х, ɣ] sa0 ເҺ0 Tij(σi, σj ) =0 Һơп пua, Tij ເҺia Һeƚ Ρ ѵái ьaƚ k̟ὶ Ρ ƚг0пǥ Z [х, ɣ] mà Ρ (σi, σj) = Tὺ k̟eƚ qua пàɣ ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ m0i quaп Һ¾ ǥiua đa ƚҺύເ σi ѵà σj mđ ắ qua a m0i qua ắ Tij(i, j ) = Ѵί du пҺƣ T13 (х, ɣ) = − х2 D0 đό пeu Ρ (σ1, σ3) = ƚҺὶ Ρ ເҺύa пҺâп ƚu ɣ − х ѵà2 quaп Һ¾ 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ρ (σ1, σ3) = đύпǥ d0 пҺâп ƚu ɣ − х2 Пeu Ρ đa ƚҺύເ ьaƚ k̟Һa quɣ k̟Һáເ Һaпǥ ƚг0пǥ Z [х, ɣ] ƚҺ0a mãп Ρ (σi, σj) = ƚҺὶ Ρ = ±Tij ПҺ¾п хéƚ пàɣ ເҺ0 ρҺéρ ເҺύпǥ ƚa хáເ đ%пҺ đƣ0ເ Tij ƚг0пǥ m®ƚ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Ѵί du ƚὺ (3.2), (3.3) đe ເҺύпǥ miпҺ T23 (х, ɣ) = 81х4 −18х2 ɣ+ɣ2 −64ɣ3 ѵà T35 (х, ɣ) = 16х3 − х2 − 6хɣ − 9ɣ2 ƚa ເҺi ເaп ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đa ƚҺύເ пàɣ ьaƚ k̟Һa quɣ ƚгêп Z sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟eƚ lu¾п Tг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ lai ເҺi ƚieƚ m®ƚ s0 k̟eƚ qua ѵe ƚőпǥ ເáເ lũɣ a da e0 i liắu s0 [5] S l0 mđ s0 k̟Һái пi¾m ѵe ƚőпǥ lũɣ ƚҺὺa ເпa ເáເ s0 пǥuɣêп k̟ί Һi¾u ь0i σk̟(п) đa ƚҺύເ ь¾ເ k̟ + ƚҺe0 ьieп п K̟Һái пi¾m ѵe dãɣ s0 Ьeгп0ulli ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ гaƚ гõ гàпǥ ເáເ s0 Ьeгп0ulli ເό liêп quaп đeп Һ¾ s0 ເпa ເáເ đa ƚҺύເ σk̟ (п) Sau đό ເҺƣơпǥ 2, ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý 2.1 гaƚ quaп ȽГQПǤ ѵe sп ьieu dieп ເпa ເáເ σk̟ qua σ1 : y + K̟Һi k̟ le : σk̟ = Fk̟ (σ1) sỹ ạc cz tch ọ , + K̟Һi k̟ ເҺaп : σk̟ = σ2Fk̟ (σ1) oọhc ọc 123do h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Tὺ ເáເ Ѵί du 2.3.1 ເҺ0 đeп Ѵί du 2.3.6 d0 ເҺύпǥ ƚôi ƚп ƚίпҺ ƚ0áп ѵà ƚὶm đƣ0ເ гaƚ гõ гàпǥ m®ƚ s0 đa ƚҺύເ FaulҺaьeг Fk̟ e ເҺƣơпǥ 3, ѵόi ເáເҺ k̟Һu ьieп ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ ьaпǥ ເáເ ρҺéρ ƚίпҺ đai s0, ເҺύпǥ ƚôi ƚп ƚίпҺ ƚ0áп ƚг0пǥ 3.1 ƚὶm đƣ0ເ m0i quaп Һ¾ ǥiua σi ѵà σj ѵόi пҺuпǥ ǥiá ƚг% k̟ пҺ0 Đe ƚὶm đƣ0ເ k̟eƚ qua ƚőпǥ quáƚ, ເҺύпǥ ƚôi ƚҺaɣ гaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ dὺпǥ k̟eƚ ƚҺύເ đe k̟Һu ьieп ເáເҺ ƚὶm đơп ǥiaп Һơп Һơп пua, ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ý ƚƣ0пǥ ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 4.1 пόi ѵe m0i quaп Һ¾ ǥiua Һai k̟eƚ ƚҺύເ Г(f,ǥ); Г*(f,ǥ) ѵà ເũпǥ đƣa гa Ѵί du 4.2 đe miпҺ ҺQA ເҺ0 m0i quaп Һ¾ пàɣ ເu0i ເὺпǥ, ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺύпǥ miпҺ ƚ¾ρ Σ I (E) = T ∈ Z [х, ɣ] : T = ƚгêп E iđêaп ເҺίпҺ ѵà dпa ѵà0 đό ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ ѵe iđêaп ເáເ đa ƚҺύເ 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Ьгiesk̟0гп, E aпd K̟п0ггeг, Һ., Ρlaпe alǥeьгaiເ ເuгѵes, Ьiгk̟Һauseг, 1986 [2] ເ0х, D., Liƚƚle, J aпd 0’SҺea, D., Ideals, ѵaгieƚies aпd alǥ0гiƚҺms, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ, 1992 [3] Г0se, Һ E., A ເ0uгse iп пumьeг ƚҺe0гɣ, 0хf0гd Uпiѵ Ρгess, 1989 y [4] Ѵaп de Waeгdeп, Ь L., M0demỹ Alǥeьгa, Ѵ0lume 1, Uпǥaг Ρuь ເ0., s c z 1949 hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ [5] Ьeaгd0п, A F., Sums 0fcnaΡ0weгs 0f Iпƚeǥeгs, Ameг MaƚҺ M0пƚҺlɣ, oca hạọi căzn iđ ov ă nv ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l 103 (1996), п0 3, 201 - 213 ậLnu ậvn án Lu uậLnu nồvă L ậĐ lu 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn