CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ A Kiến thức Có mười chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Khi viết số tự nhiên, ta sử dụng mười chữ số Chữ số kể từ bên trái số tự nhiên phải khác Phân tích cấu tạo số tự nhiên: ab 10a b abc 100a 10b c Quy tắc so sánh hai số tự nhiên: a) Trong hai số tự nhiên, số có nhiều chữ số lớn b) Nếu hai số có số chữ số số có chữ số kể từ trái sang phải lớn lớn Số tự nhiên có chữ số tận 0; 2; 4; số chẵn Số chẵn có chữ số tận 0; 2; 4; Số tự nhiên có chữ số tận 1; 3; 5; số lẻ Số lẻ có chữ số tận 1; 3; 5; Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Hai số tự nhiên (kém) đơn vị hai số tự nhiên liên tiếp Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Hai số chẵn (kém) đơn vị hai số chẵn liên tiếp Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Hai số lẻ (kém) đơn vị hai số lẻ liên tiếp B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho năm chữ số 0; 1; 2; 3; Hỏi từ năm chữ số cho: a) Có thể viết số có bốn chữ số b) Có thể viết số chẵn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm 2? Giải: a) Có cách chọn chữ số hàng nghìn số thỏa mãn điều kiện đề (vì chữ số khơng thể đứng hàng nghìn) Mỗi chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị có cách chọn Vậy số số có bốn chữ số viết từ năm chữ số cho là: 4.5.5.5 = 500 (số) b) Số cần tìm có chữ số hàng trăm Vậy ta phải xác định chữ số hàng nghìn, hàng chục hàng đơn vị - Có cách chọn chữ số hàng nghìn - Có cách chọn chữ số hàng chục - Số cần tìm số chẵn nên có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số số thỏa mãn điều kiện đề là: 4.5.3 = 60 (số) Ví dụ 2: Cho bốn chữ số: 0, 1, 2, a Viết tất số có bốn chữ số khác từ bốn chữ số cho? b Tìm số lớn nhất, số bé có bốn chữ số khác viết từ bốn chữ số cho c Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn lớn có bốn chữ số khác viết từ bốn chữ số cho Giải: a * Cách 1: Dùng sơ đồ Chọn chữ số hàng nghìn 1, ta được: Nhìn sơ đồ trên, ta thấy: Từ bốn chữ số cho, ta viết số có chữ số hàng nghìn thỏa mãn điều kiện đề Tương tự, ta viết số có chữ số hàng nghìn số có chữ số hàng nghìn Chữ số khơng thể đứng hàng nghìn Vậy số số thỏa mãn điều kiện đề là: 6.3 = 18 (số) * Cách 2: Lần lượt chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị sau: - Có cách chọn chữ số hàng nghìn số thỏa mãn điều kiện đề (vì số khơng thể đứng hàng nghìn) - Có cách chọn chữ số hàng trăm (đó chữ số cịn lại khác chữ số hàng nghìn chọn) - Có cách chọn chữ số hàng chục - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số số viết thỏa mãn yêu cầu đề là: 3.3.2.1 = 18 (số) b Số lớn có bốn chữ số khác viết từ bốn chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn số lớn số cho Vậy chữ số hàng nghìn số cần tìm Chữ số hàng trăm phải số lớn ba chữ số lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục phải số lớn hai số lại Vậy chữ số hàng chục Vậy số lớn cần tìm 3210 Tương tự, ta tìm số bé thỏa mãn điều kiện đề 1023 c Số lẻ lớn thỏa mãn điều kiện đề phải có chữ số hàng nghìn số lớn bốn chữ số cho Vậy chữ số hàng nghìn số cần tìm Số cần tìm có chữ số hàng nghìn số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải Chữ số hàng trăm số lớn hai chữ số lại nên chữ số hàng trăm Vậy số lẻ lớn cần tìm 3201 Tương tự, số chẵn bé cần tìm 1032 Ví dụ 3: Khi viết thêm chữ số 12 vào bên trái số tự nhiên có hai chữ số số gấp lên 26 lần Tìm số có hai chữ số Giải: Gọi số cần tìm ab Viết thêm số 12 vào bên trái ta số 12ab Cách Theo đề bài, ta có: 12ab ab.26 1200 ab 26.ab 25ab 1200 ab 1200 : 25 ab 48 Thử lại: 1248=46.26 (đúng) Vậy số cần tìm 48 Cách Sau phân tích đến bước (*) cách 1, ta có sơ đồ sau: Dựa vào sơ đồ, ta có số cần tìm là: Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tổng chữ số Giải: Cách Gọi số cần tìm ab Theo đề bài, ta có: ab 5(a b) 10a b 5a 5b 5a 4b Do a, b chữ số nên a = 4, b = ta có số phải tìm 45 Cách Gọi số cần tìm ab Theo đề bài, ta có: ab 5(a b) Vì 5(a b) có tận nên b - Nếu b = 0, thay vào ta có: a0 5a 10a 5a a (loại) - Nếu b = 5, thay vào ta có: a5 5(a 5) 10a 5a 25 5a 20 a (loại) Thử lại: 45=5(4+5) (đúng) Vậy số cần tìm 45 Ví dụ 5: Tìm số có hai chữ số, biết số chia cho hiệu chữ số thương 28 dư Giải: Gọi số cần tìm ab hiệu chữ số c Theo đề bài, ta có: ab c.28 Vì ab 100 c.28 99 Vậy c 1; - Nếu c=1 ab 29 Thử lại: - = 29 = 7.4 + (loại) - Nếu c=2 ab 57 Thử lại: - = 57 = 2.28 + (thỏa mãn) - Nếu c= ab 85 Thử lại: - = 85 = 3.28 + (thảo mãn) Vậy số cần tìm 57 85 Ví dụ 6: Biết hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị số lẻ có hai chữ số Nếu thêm vào số đơn vị ta số có hai chữ số giống Tìm số Giải: Cách Gọi số cần tìm ab Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu chữ số là: 41; 25; 63; 47; 85 69 Ta có bảng sau: Kết luận 41 41+3=44 Chọn 25 25+3=28 Loại 63 63+3=66 Chọn 47 47+3=41 Loại 85 85+3=88 Chọn 69 69+3=72 Loại Vậy số cần tìm 41; 63 85 Cách Những số có hai chữ số giống là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99 Bớt số đơn vị, ta số: 8; 19; 30; 41; 52; 63; 74; 85; 96 Vì theo đề bài, số cần tìm số lẻ hiệu hai chữ số số nên ta tìm số thỏa mãn đề là: 41; 63; 85 Ví dụ 7: Khơng thực phép tính, cho biết chữ số hàng đơn vị kết sau: a) (2001+2002+ + 2009) - (21 + 22 + + 29); b) (12 + 23+ 34 + + 89 + 91).91.73.55.37.19; c) 123 235.347.459.561 - 71.73.75.77.79 Giải: a) Chữ số hàng đơn vị tổng 2001+2002+ + 2009 tổng 21 + 22 + + 29 chữ số hàng đơn vị tổng 1+2+ + Cho nên hiệu có chữ số hàng đơn vị b) Suy luận tương tự câu a, ta có tổng 12 + 23+ 34 + + 89 + 91 tích 91.73.55.37.19 có chữ số hàng đơn vị bẳng Suy chữ số hàng đơn vị kết dãy tính c) Tương tự, ta có chữ số hàng đơn vị hiệu Ví dụ 8: Tích 1.5.6.11.17 118.191 có hai chữ số tận chữ số nào? Giải: Ta có: 6=5+1; 11=6+5; 17=11+6; Vậy tích theo đề viết đầy đủ sau: 1.5.6.11.17.28.45.73.118.191 Tích có 6.5 28.45 có kết số trịn chục Vậy tích có tận hai chữ số Ví dụ 9: Viết liên tiếp 15 số lẻ để số tự nhiên Hãy xóa 15 chữ số số tự nhiên vừa nhận mà giữ nguyên chữ số lại để a Số lớn b Số bé Giải: a Viết 15 số lẻ liên tiếp ta số tự nhiên: 1357911131517192123252729 Để sau xóa 15 chữ số ta nhận số lớn chữ số giữ lại kể từ bên trái phải chữ số Vậy trước hết phải xóa chữ số số 1, 3, 5, Số cịn lại là: 911131517192123252729 Ta phải xóa tiếp 15-4 =11 chữ số lại để số lớn Để sau xóa ta nhận số lớn chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải chữ số Vậy ta xóa chữ số 11, 13, 15, 17 chữ số 19 Số lại là: 992123252729 Ta phải xóa tiếp 11-9=2 chữ số cịn lại để số lớn Chữ số thứ ba lại kể từ bên trái phải Để số lớn sau xóa hai chữ số, ta phải xóa hai chữ số (hai chữ số sau hai chữ số 9) Vậy số lớn cần tìm là: 9923252729 b Tương tự câu a, ta số cần tìm là: 1111111122 Ví dụ 10: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Giải: * Cách 1: Gọi số cần tìm abc Theo đề ta có: abc 5.a.b.c Vì 5.a.b.c chia hết abc chia hết cho Vậy c Nhưng c 0, c = Số cần tìm có dạng ab5 Thay vào ta có: ab5 5.a.b.5 100a 10b 25a.b 20a 2b 5a.b Vì 25a.b chia hết 2b + chia hết cho Suy ra, 2b có tận Vì 2.b số chẵn nên có tận Suy b - Nếu b = a25 5.a.2.5 Vế trái số lẻ, mà vế phải số chẵn Vậy trường hợp không xảy - Nếu b = ta có a.20+15=35.a Tính ta a=1 Thử lại: 175=5.1.7.5 C Bài tập tự luyện Bài Có thể viết chữ số có ba chữ số khác nhau, biết rằng: a) Các chữ số chúng số lẻ? b) Các chữ số chúng số chẵn? Bài Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, a Có thể viết số có bốn chữ số khác từ năm chữ số cho? Trong số viết được, có số chẵn? b Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ bé có bốn chữ số khác viết từ năm chữ số cho Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số đó, ta số gấp 31 lần số cần tìm Bài Khi xóa chữ số hàng nghìn số tự nhiên có bốn chữ số số giảm lần Tìm số có bốn chữ số Bài Viết liên tiếp 10 số chẵn khác ta số tự nhiên Hãy xóa 10 chữ số số vừa nhận mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để được: a Số lớn b Số lẻ bé Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Bài Các chữ số hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị số chẵn có ba chữ số theo thứ tự ba số tự nhiên liên tiếp Tổng chữ số Tìm số Bài Tìm số có bốn chữ số, biết số cộng với số có hai chữ số tạo chữ số hàng nghìn, hàng trăm số có hai chữ số tạo chữ số hàng chục, hàng đơn vị số ta tổng 7968 Bài Tích có tận chữ số 0? Bài 10 Hỏi: a Tổng tất số có chữ số tận chữ số nào? b Tích tất số có chữ số, khác khác có tận chữ số nào? Bài 11 Tìm số có chữ số khác biết rằng: a Số số lẻ bé có tổng chữ số 16 b Số số chẵn lớn có tích chữ số 124 Bài 12 Tổng n số tự nhiên liên tiếp kể từ tận chữ số nào?