(Luận văn) bài toán tựa cân bằng đối với ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐÌNH NGOAN lu an n va BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Bùi Thế Hùng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2021 n va ac th si Lời cam đoan lu Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc an va n Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn p ie gh tn to Nguyễn Đình Ngoan oa nl w Xác nhận người hướng dẫn d Xác nhận khoa chuyên môn nf va an lu lm ul z at nh oi TS Bùi Thế Hùng z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, tồn thể thầy giáo khoa Toán- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! nl w oa Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 d Người viết luận văn nf va an lu lm ul Nguyễn Đình Ngoan z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục lu an n va i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu tn to Lời cam đoan nửa liên tục 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi p ie gh Chương Bài toán cân ánh xạ nửa liên tục w 1.3 Tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị d oa nl 1.2 Ánh xạ đa trị an lu 1.4 Sự tồn nghiệm toán cân 11 nf va Chương Bài toán tựa cân ánh xạ nửa liên tục lm ul nửa liên tục tách biến 18 z at nh oi 18 2.2 Sự tồn nghiệm toán tựa cân 19 2.3 Một số áp dụng 29 z 2.1 Bài toán tựa cân @ l gm Kết luận Tài liệu tham khảo 37 38 m co an Lu n va ac th iii si Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt lu an tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn n va R p ie gh tn to tập véctơ không dương Rn 2X tập tất tập X d oa nl w Rn− f :X→Y F : X → 2Y gph F ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y miền định nghĩa ánh xạ đa trị F lm ul dom F nf va an lu ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y đồ thị ánh xạ đa trị F z at nh oi A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊆B A tập B A 6⊆ B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B z A := B m co l gm @ an Lu n va ac th iv si lu an n va tích Descartes hai tập hợp A B A bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A conv A bao lồi tập hợp A cone A nón sinh tập A (EP ) tốn cân véctơ (QEP ) toán tựa cân véctơ (GQEP ) toán tựa cân tổng quát (M GQEP ) toán tựa cân tổng quát hỗn hợp usc nửa liên tục lsc nửa liên tục kết thúc chứng minh p ie gh tn to A×B d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th v si Mở đầu Bài tốn cân vơ hướng E Blum W Oettli [3] nghiên cứu vào năm 1994 Từ tốn ta suy toán khác lu lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến an phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, va n tốn điểm bất động, Sau toán mở rộng cho trường hợp tn to tập ràng buộc ánh xạ mục tiêu ánh xạ đa trị Bài toán cân ie gh trường hợp thường gọi với tên khác toán tựa p cân vectơ đa trị, tốn đóng vai trị trung tâm lý thuyết cân vectơ hay gọi lý thuyết cân đa mục tiêu Lý thuyết w oa nl hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá d trị Edgeworth, gắn liền với tên tuổi số nhà tốn học lớn, ta lu nf va an kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Nhưng phải năm 1954 với cơng trình Deubreu giá lm ul trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết cân vectơ cơng z at nh oi nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Khi nghiên cứu toán cân người ta thường quan tâm đến tồn z @ nghiệm Hầu hết kết tồn nghiệm toán l gm tựa cân thiết lập cho hàm mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục nặng liên tục (xem [3]-[11]) Năm 2018, co m phương pháp sử dụng định lý phân hoạch đơn vị kết hợp với định lý điểm an Lu bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, N X Tan [13] thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân với hàm mục tiêu n va ac th si nửa liên tục nửa liên tục tách biến Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kết Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn dành cho việc trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, giải tích đa trị khái niệm ánh xạ đa trị, tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân ánh xạ nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục lu Chương trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán an tựa cân ánh xạ mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục va n tách biến Một số áp dụng vào toán tựa cân tổng quát p ie gh tn to toán tựa cân tổng quát hỗn hợp trình bày d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài toán cân ánh xạ lu nửa liên tục nửa liên tục an n va gh tn to p ie Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn w nghiệm toán cân ánh xạ đa trị nửa liên tục oa nl ánh xạ nửa liên tục Ngồi ra, chúng tơi trình bày số kiến thức d kết quen biết giải tích đa trị chúng tơi trích từ lu nf va an sách chuyên khảo giải tích đa trị [1] [2] z at nh oi lm ul 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tuyến tính Tập A ⊆ X gọi lồi với x1 , x2 ∈ A ta ln có z gm @ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với λ ∈ [0, 1] m α∈I co tập số Khi tập A = ∩ Aα lồi l Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X tập lồi với α ∈ I , với I an Lu Chứng minh Lấy x, y ∈ A Khi x, y ∈ Aα , với α ∈ I Do Aα lồi ac th n va với α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với λ ∈ [0, 1], α ∈ I Do si λx + (1 − λ)y ∈ A với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 Giả sử Ai ⊆ X tập lồi λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am tập lồi Chứng minh Đặt A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am Lấy x, y ∈ A λ ∈ [0, 1] Khi tồn xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, , m cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym lu Ta có an n va λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) gh tn to = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ] Do Ai tập lồi nên p ie nl w λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2, , m} d oa Suy λx + (1 − λ)y ∈ A, với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi lu an Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X khơng gian tuyến tính, A tập nf va X Khi giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi lm ul tập A kí hiệu conv A z at nh oi Định lí 1.1.5 Giả sử A tập không gian tuyến tính X Khi z conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi tập A, tức ( n ) n X X conv A = αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = @ gm i=1 i=1 co l Chứng minh Ta có conv A tập lồi Vì A ⊆ conv A nên conv A chứa tất m tổ hợp lồi A Hơn tập tất tổ hợp lồi A lồi conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi A an Lu chứa A, chứa conv A (vì conv A tập lồi nhỏ chứa A) Vậy n va ac th si Chứng minh Giả sử G(x, y) 6= ∅ với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) Áp dụng Hệ 2.2.4, tồn (¯ x, y¯) ∈ D ×K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) Điều mâu thuẫn với giả thiết Hệ chứng minh Định lí 2.2.7 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi lu an đóng; va n (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi đóng; ie gh tn to (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ usc lsc tách biến; p (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng w d oa nl F (x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) 6= ∅ nf va Chứng minh Đặt an lu Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm lm ul B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} z at nh oi Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập khơng rỗng compact Giả sử tốn tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , z ta có @ l gm θX×Z 6∈ F (x, y) Từ F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn co m p ∈ (X × Z)∗ cho an Lu sup p(w) < ac th 25 n va w∈F (x,y) si Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{+∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{−∞} c1p (x0 , y) = c2p (x, y ) = sup p(u), u∈F (x0 ,y) inf w∈F (x,y ) p(w) Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hoàn toàn tương tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh Định lí 2.2.8 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: lu an (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; va n (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khơng rỗng, lồi to gh tn đóng; p ie (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi đóng; oa nl w (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ usc tách biến; d (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng an lu nf va F (x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) 6= ∅ lm ul Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm z at nh oi Chứng minh Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} z @ gm Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập không rỗng compact Giả sử ta có an Lu θX×Z 6∈ F (x, y) m co l toán tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , n va ac th 26 si Từ F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn p ∈ (X × Z)∗ cho sup p(w) < w∈F (x,y) Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{+∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{+∞} c1p (x0 , y) = c2p (x, y ) = sup p(u), u∈F (x0 ,y) sup p(w) w∈F (x,y ) lu an Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm n va usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hoàn tồn tương tn to tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh p ie gh Hệ 2.2.9 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: w (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; d oa nl (ii) F : D × K → 2D×K ánh xạ usc tách biến; an lu Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ F (¯ x, y¯) nf va Định lí 2.2.10 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: lm ul (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; z at nh oi (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi đóng; z (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi đóng; gm @ co l (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ lsc tách biến; m (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng F (x, y) ⊆ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) an Lu n va ac th 27 si Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm Chứng minh Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập khơng rỗng compact Giả sử tốn tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , ta có θX×Z 6∈ F (x, y) Từ F (x, y) không rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn lu p ∈ (X × Z)∗ cho an va n sup p(w) < tn to w∈F (x,y) gh Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{−∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{−∞} p ie nl w c1p (x0 , y) = p(u), inf p(w) w∈F (x,y ) d oa c2p (x, y ) = inf u∈F (x0 ,y) an lu Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm nf va usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hoàn toàn tương lm ul tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh z at nh oi Hệ 2.2.11 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; z (ii) G : D × K → 2D×K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng, @ l gm lồi đóng; m co Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) an Lu Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : D × K → 2X×Z ac th 28 n va F (x, y) = G(x, y) − (x, y) với (x, y) ∈ D × K si Khi F lsc tách biến với giá trị khơng rỗng, lồi đóng Hơn nữa, với (x, y) ∈ D × K , ta có F (x, y) = G(x, y) − (x, y) ⊆ D × K − (x, y) ⊆ TD×K (x, y) Áp dụng Định lí 2.2.10, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho θX×Z ∈ F (¯ x, y¯) Điều kéo theo (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) lu 2.3 Một số áp dụng an va n Giả sử X, Z, Y, Y1 , Y2 không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Giả tn to sử D ⊆ X, K ⊆ Z tập không rỗng Cho ánh xạ đa trị gh P, P0 : D × K → 2D , Q, T : D × K → 2K , N : K × D × D → 2K , F : K × p ie K ×K ×D → 2Y , F1 : K ×K ×K ×D → 2Y1 F2 : K ×K ×D×D → 2Y2 Xét toán sau: w oa nl Bài toán tựa cân tổng qt, kí hiệu (GQEP ), tìm d (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) an lu nf va ∈ F (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ Q(¯ x, y¯) lm ul Bài toán (GQEP ) nghiên cứu [4], [6] (¯ x, y¯) ∈ D × K cho z at nh oi Bài toán tựa cân tổng quát hỗn hợp, kí hiệu (M GQEP ), tìm z x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯); @ co l gm ∈ F1 (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ T (¯ x, y¯) m an Lu ∈ F2 (¯ y , v, x¯, t), với t ∈ P0 (¯ x, y¯) v ∈ N (¯ y , x¯, t) n va ac th 29 si Bài toán (M GQEP ) nghiên cứu [7] Định lí cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm tốn tựa cân tổng qt (GQEP ) Định lí 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục tách biến với giá trị khơng rỗng, lồi đóng; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc tách biến với giá trị khơng rỗng, lồi lu an đóng; va n (iv) Ánh xạ đa trị F : K × K × D × D → 2Y thỏa mãn to ie gh tn (iv)0 Với (x, y) ∈ D × K , tập p A0 := {z ∈ P (x, y) : ∈ F (y, x, z, t) với t ∈ P (x, y)} oa nl w không rỗng lồi; d (iv)1 Với y ∈ K , tập lu nf va an A1 := {(x, z, t) ∈ K × D × D : ∈ F (y, x, z, t)} lm ul đóng K × D × D; z at nh oi (iv)2 Với x ∈ D, tập A2 := {(y, z, t) ∈ K × D × D : ∈ F (y, x, z, t)} z gm @ đóng K × D × D; co l Khi tốn tựa cân tổng quát (GQEP ) có nghiệm m Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D × K → 2D an Lu H(x, y) = {z ∈ P (x, y) : ∈ F (y, x, z, t), với t ∈ P (x, y)}, n va ac th 30 si với (x, y) ∈ D × K Từ giả thiết (v), ta suy H có giá trị khơng rỗng lồi Với y ∈ K , dãy xα → x wα ∈ Q(xα , y), wα → w Ta w ∈ H(x, y) Thật vậy, ta có w ∈ P (x, y) ∈ F (y, xα , wα , t) với t ∈ P (xα , y) Với t ∈ P (x, y), P (., y) lsc nên tồn tα ∈ P (xα , y) cho tα → t Do ∈ F (y, xα , wα , tα , ) với α Vì tập A đóng nên kéo theo ∈ F (y, w, v, x) với t ∈ P (x, y) Vậy w ∈ Q(x, y) Điều chứng tỏ ánh xạ H(., y) đóng Từ suy H(., y) usc D Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta H(x, ) usc K Vậy H usc tách biến D × K Ta định lu nghĩa ánh xạ đa trị G : D × K → 2D×K an n va G(x, y) = H(x, y) × Q(x, y), (x, y) ∈ D × K tn to Khi tất giả thiết Hệ 2.2.9 thỏa mãn Áp dụng Hệ ie gh 2.2.9, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) Điều kéo p theo x ¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) oa nl w ∈ F (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ Q(¯ x, y¯) d Vậy định lí chứng minh an lu nf va Định nghĩa 2.3.2 Cho ánh xạ đa trị F : K × K × D × D → 2Y lm ul N : K × D × D → 2K Ta nói F N - KKM với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xn }, tồn số z at nh oi j ∈ {1, 2, , n} cho ∈ F (y, v, x, xj ) với y ∈ K, v ∈ N (y, x, xj ) z @ gm Tiếp theo, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm Định lí 2.3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: m co l toán tựa cân tổng quát hỗn hợp (M GQEP ) an Lu (i) D K tập không rỗng, lồi compact; n va ac th 31 si (ii) P : D × K → 2D ánh xạ usc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iii) P0 : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng conv P0 (x, y) ⊆ P (x, y) với (x, y) ∈ D × K ; (iv) T : D × K → 2K ánh xạ usc lsc tách biến với giá trị không rỗng; (v) Ánh xạ đa trị F1 : K × K × K × D → 2Y1 cho (v)1 Tập A := {(y, w, v, x) ∈ K × K × K × D|0 ∈ F1 (y, w, v, x)} đóng; lu an (v)2 Với (y, x) ∈ K × D, tập va n B := {w ∈ T (x, y) : ∈ F1 (y, w, v, x) với v ∈ T (x, y)} ie gh tn to không rỗng lồi; p (vi) Ánh xạ đa trị F2 : K × K × D × D → 2Y2 cho oa nl w (vi)1 Với (t, y) ∈ D × K , tập d A1 := {x ∈ ×D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho 6∈ F2 (y, v, x, t)} nf va an lu mở D; lm ul (vi)2 Với (t, x) ∈ D × D, tập mở K ; z at nh oi A2 := {y ∈ K : tồn v ∈ N (y, x, t) cho 6∈ F2 (y, v, x, t)} z gm @ (vii) Ánh xạ F2 N - KKM co l Khi tốn tựa cân tổng qt hỗn hợp (M GQEP ) có nghiệm m Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Q : D × K → 2K an Lu Q(x, y) = {w ∈ T (x, y) : ∈ F1 (y, w, v, x), với v ∈ T (x, y)}, n va ac th 32 si với (x, y) ∈ D×K Từ giả thiết (v), ta suy Q có giá trị không rỗng lồi Với y ∈ K , dãy xα → x wα ∈ Q(xα , y), wα → w Ta chứng minh w ∈ Q(x, y) Thật vậy, ta có ∈ F1 (y, wα , u, xα ) với u ∈ T (xα , y) α Với v ∈ T (x, y), T (., y) lsc nên tồn vα ∈ T (xα , y) cho vα → v Do ∈ F1 (y, wα , vα , xα ) với α Vì tập A đóng nên kéo theo ∈ F1 (y, w, v, x) với v ∈ T (x, y) Vậy w ∈ Q(x, y) Điều chứng tỏ ánh xạ Q(., y) đóng Từ suy Q(., y) usc D Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta Q(x, ) usc K Vậy Q usc tách biến Đặt lu an B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} va n Bởi Hệ 2.2.9, B 6= ∅ Tiếp theo xét ánh xạ đa trị M : D × K → 2D gh tn to xác định p ie M (x, y) := {t ∈ D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho 6∈ F2 (y, v, x, t)} w Nếu tồn (¯ x, y¯) ∈ B cho M (¯ x, y¯) ∩ P0 (¯ x, y¯) = ∅ (¯ x, y¯) nghiệm oa nl toán (M GQEP ) Bây ta giả sử M (x, y) ∩ P0 (x, y) 6= ∅ với d (x, y) ∈ B Với y ∈ K , tập M (., y)−1 (t) = A1 mở D với lu an x ∈ D, tập M (x, )−1 (t) = A1 mở K Vậy M lsc tách biến nf va D × K Vì P0 có ảnh ngược mở M lsc tách biến nên ánh xạ lm ul conv(M ∩ P0 ) lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi Ta định nghĩa z at nh oi ánh xạ đa trị H : D × K → 2D×K  conv(M (x, y) ∩ P0 (x, y)) × {y}, x ∈ P (x, y), H(x, y) = conv P0 (x, y) × {y}, x 6∈ P (x, y) z gm @ Khi H lsc tách biến D × K Áp dụng Hệ 2.2.11, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ H(¯ x, y¯) Nếu x¯ ∈ P (¯ x, y¯), x¯ ∈ l m co conv(M (¯ x, y¯) ∩ P0 (¯ x, y¯)) Từ suy x¯ ∈ conv(M (¯ x, y¯)) Do tồn n P x1 , x2 , , xn ∈ M (¯ x, y¯) cho x¯ = αi xi với αi ≥ 0, i = 1, 2, , n i=1 an Lu n P αi = Bởi định nghĩa M , với i ∈ {1, 2, , n}, tồn ac th 33 n va i=1 si v ∈ N (¯ y , x¯, xi ) cho 6∈ F2 (¯ y , v, x¯, xi ) Vì F2 N - KKM nên tồn số j ∈ {1, 2, , n} cho ∈ F2 (¯ y , v, x¯, xj ) với v ∈ N (¯ y , x¯, xj ) Điều mâu thuẫn Vậy định lí chứng minh Hệ 2.3.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; lu an (ii) P : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; va n (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iv)1 Với (x, t, y) ∈ D×D×K , hàm φ(y, , , t) φ(., , x, t) p ie gh tn to (iv) Hàm φ : K × K × D × D → R cho w usc; oa nl (iv)2 Với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xk } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xk }, d tồn số j ∈ {1, 2, , k} cho φ(y, v, x, xj ) ≥ với nf va an lu y, v ∈ K Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho z at nh oi 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); lm ul 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); z 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) @ l gm Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị N : K × D × D → 2K F : K × K × D × D → 2R n va ac th 34 an Lu F (y, v, x, t) = φ(y, v, x, t) − R+ m co N (y, x, t) = Q(x, y), si Khi tập A1 = {x ∈ D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho 6∈ F (y, v, x, t)} = {x ∈ D : tồn v ∈ Q(x, y) cho φ(y, v, x, t) < 0} mở D Thật vậy, giả sử {xα } ⊆ D\A1 , xα → x Lấy v ∈ Q(x, y) tùy ý Bởi Q(., y) lsc nên tồn vα ∈ Q(xα , y) cho vα → v Từ xα ∈ D\A1 nên φ(y, vα , xα , t) ≥ với α Do φ(y, , , t) usc nên φ(y, v, x, t) ≥ Điều chứng tỏ x ∈ D\A1 Vậy A1 mở Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta tập lu an A2 = {y ∈ K : tồn v ∈ N (y, x, t) cho 6∈ F (y, v, x, t)} va = {y ∈ K : tồn v ∈ Q(x, y) cho φ(y, v, x, t) < 0} n gh tn to mở K Áp dụng Định lí 2.3.3 với P0 = P, N F2 = F , tồn p ie (¯ x, y¯) ∈ D × K cho nl w 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); d oa 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); nf va an lu 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) Vậy hệ chứng minh lm ul Hệ 2.3.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: z at nh oi (i) D K tập không rỗng, lồi compact; z (ii) P : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; @ m co (iv) Hàm φ : K × K × D × D → R cho l gm (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; an Lu (iv)1 Với (x, t, y) ∈ D×D×K , hàm φ(y, , , t) φ(., , x, t) usc; n va ac th 35 si (iv)2 Với (x, y) ∈ D×K , tồn z ∈ P (x, y) cho φ(y, x, z, t) ≥ với t ∈ P (x, y); (iv)3 Với y, v ∈ K , φ(y, v, x, x) = với x ∈ D hàm φ(y, v, x, ) tựa lồi Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); lu 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) an n va Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị N : K × D × D → 2K tn to F : K × K × D × D → 2R p ie gh N (y, x, t) = Q(x, y), w F (y, v, x, t) = φ(y, v, x, t) − R+ oa nl Với họ hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xn }, giả d thiết (iv)2 (iv)3 nên tồn số j ∈ {1, 2, , n} cho φ(y, v, x, xj ) ≥ 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); z at nh oi lm ul 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); nf va an lu với y, v ∈ K Áp dụng Hệ 2.3.4, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) z Vậy hệ chứng minh m co l gm @ an Lu n va ac th 36 si Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Trình bày số định lí tồn nghiệm toán cân lu (EP ) cho ánh xạ nửa liên tục (Định lí 1.4.6) ánh xạ nửa liên an n va tục (Định lí 1.4.8) (QEP ) ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.3), ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục p ie gh tn to Trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân w tách biến (Định lí 2.2.7), ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí d oa nl 2.2.8) ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.10) an lu Trình bày số ứng dụng vào toán tựa cân tổng quát (GQEP ) (Định lí 2.3.1) tốn tựa cân tổng quát hỗn hợp nf va (M GQEP ) (Định lí 2.3.3) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 37 si Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý lu thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất ĐHQG Hà Nội an va [2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất khoa học n tự nhiên công nghệ gh tn to p ie Tiếng Anh w [3] E Blum and W Oettli (1993), "From Optimization and Variational d 1-23 oa nl Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, an lu [4] T T T Duong and N X Tan (2010), "On the existence of solu- nf va tions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related lm ul Problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, No 1, z at nh oi 29-47 [5] T T T Duong and N X Tan, "On the existence of solutions to gen- z eralized quasi-equilibrium problems of type II and Related Problems", @ l gm Acta Mathematic Vietnamica, 36, No 2, 231 - 248 [6] T T T Duong and N X Tan (2012), "On the existence of solutions co m to generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 52, No an Lu 4, 711-728 n va ac th 38 si [7] T T T Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 56, 647- 667 [8] A Gurraggio and N X Tan (2002), "On General Vector QuasiOptimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55, 347-358 [9] B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, 1-16 lu [10] X B Li and S J Li (2010), ”Existence of solutions for generalized an n va vector quasi-equilibrium problems", Optimization Letters, 4, 17 -28 problems", J Math Anal Appl, 224, 167-181 ie gh tn to [11] L J Lin and S Park (1998), "On some generalized quasi-equilibrium p [12] L J Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclu- nl w sion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion d oa problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49 an lu [13] N X Tan (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point the- nf va orems of separately l.s.c and u.s.c mappings Numer Funct Anal lm ul Optim 39, 233–255 z at nh oi [14] Tian G Q, and Zhou J X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J Math Anal Appl 172, 289299 z @ gm [15] W Rudin (2000), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, m co l McGraw-hill an Lu n va ac th 39 si