(Luận văn) một số lớp phương trình diophantine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊN lu an va n MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊN lu an n va MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE p ie gh tn to oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu nf va Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z m co l gm @ GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si Mục lục lu Danh sách kí hiệu Mở đầu Chương Phương trình Diophantine tuyến tính an n va Phương trình bậc hai ẩn 1.2 Phương trình bậc nhiều ẩn 15 tn to 1.1 23 ie gh Chương Một số phương trình Diophantine phi tuyến p 2.1 Phương trình Pell loại 23 Phương trình Pell loại 2.3 Phương trình Pythagoras 30 nl w 2.2 d oa 38 lu 45 an Chương Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine Liên phân số hữu hạn 45 3.2 Liên phân số vô hạn 49 3.3 Liên phân số vơ hạn tuần hồn 50 3.4 Áp dụng vào phương trình Diophante 56 3.4.1 Phương trình bậc hai ẩn Ax + By = C 56 3.4.2 Phương trình x2 − dy2 = ±1 nf va 3.1 z at nh oi lm ul gm @ 62 co l 63 m Tài liệu tham khảo z Kết luận 57 an Lu n va ac th si Danh sách kí hiệu lu an n va tập hợp số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỷ R trường số thực C trường số phức Fp trường có p phần tử K[X] vành đa thức với hệ số trường K dxe trần số x ie gh tn to N bậc đa thức P(X) p deg P(X) modulo p nl w mod p ước chung lớn hai đa thức P(X) Q(X) d oa gcd(P(X), Q(X)) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Phương trình Diophantine chủ đề lớn Lý thuyết số, chứa đựng nhiều lý thuyết toán học sâu sắc, gắn liền với nhiều tên tuổi nhiều nhà toán học xuất sắc Mục tiêu đề tài luận văn là: Tìm hiểu số lớp phương trình Diophantine lu như: phương trình Diophantine tuyến tính; số phương trình Diophantine phi an tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras va n Fermat) Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine Về mặt ứng gh tn to dụng, luận văn áp dụng lý thuyết để soi sáng toán số học phổ thơng, hệ thống hóa, tổng qt hóa sáng tác toán số học p ie Luận văn cố gắng trở thành tài liệu tham khảo tốt, thiết thực phục vụ oa nl w cho việc giảng dạy, việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Ngồi thơng qua việc viết luận văn, tác giả luận văn có hội mở rộng nâng cao hiểu biết d an lu tốn sơ cấp nói chung số học nói riêng, hình thành kỹ chứng minh nf va định lí số học giải tốn số học, phục vụ tốt cho việc giảng dạy môn lm ul Tốn trường phổ thơng z at nh oi Nội dung luận văn trình bày ba chương sau: • Chương Phương trình Diophantine tuyến tính Trong chương chúng z tơi trình bày phương trình bậc hai ẩn, nhiều ẩn, số tốn l gm @ chọn lọc • Chương Một số phương trình Diophantine phi tuyến Trong chương co m chúng tơi trình bày nội dung phương trình Pell loại 1, phương an Lu trình Pell loại , phương trình Pythagoras n va • Chương Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine Trong ac th si chương chúng tơi trình bày cách ngắn gọn kiện liên phân số, đặc biệt ứng dụng chúng để giải phương trình Pell Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng (Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn lu an Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại n va học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Toán ie gh tn to gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu p khóa (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình nl w học tập d oa Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải an lu Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Thái Phiên tạo điều nf va kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác lm ul Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến đại gia đình động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành luận văn z at nh oi z Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 m co l gm @ Tác giả an Lu Bùi Hữu Mên n va ac th si Chương Phương trình Diophantine tuyến tính Phương trình Diophantine chủ đề sâu sắc rộng Lý lu thuyết số Mục đích chương nghiên cứu phương trình Diophantine an bậc hai nhiều ẩn Như minh họa cho lý thuyết, ví dụ va n tốn trích từ đề thi trình bày gh tn to Đặc tính phương trình Diophantine chúng có hay nhiều ẩn số mà p ie hệ số số nguyên yêu cầu tìm nghiệm nguyên (hoặc nguyên w dương) Nhà toán học tiếng thời cổ đại Diophantine có cơng lớn oa nl nghiên cứu tiên phong chúng d Với phương trình Diophantine cho trước ta đặt câu hỏi sau lu nf va an (xếp theo thứ tự từ dễ đến khó): lm ul Câu hỏi Nó có nghiệm ngun hay khơng ? z at nh oi Câu hỏi Nó có số hữu hạn nghiệm hay có vơ số nghiệm? Câu hỏi Hãy tìm tất nghiệm z @ Chẳng hạn, ta xét phương trình Diophantine m co l gm xn + yn = zn n số nguyên dương lớn hay Với n = phương trình an Lu có vơ số nghiệm ta tìm tường minh tất nghiệm Với n va n > 2, nhà toán học thiên tài kỷ 17 Pierre de Fermat khẳng định ac th si phương trình khơng có nghiệm ngun dương Kết luận ngày mang tên Định lí lớn Fermat hay Định lí cuối Fermat Người ta khơng tìm thấy dấu vết chứng minh khẳng định Fermat mà thấy ghi Fermat bên lề sách “Số học” Diophantine: “Tơi tìm chứng minh thật tuyệt vời lề sách hẹp nên khơng thể viết ra” Năm 1983, nhà tốn học 29 tuổi người Đức Faltings chứng minh thành công giả thuyết Mordell lĩnh vực Hình học đại số từ suy phương trình xn + yn = zn với n > có số hữu hạn nghiệm nguyên lu an Với thành tựu Faltings nhận Giải thưởng Fields (giải thưởng quốc tế va cao dành cho nhà tốn học khơng q 40 tuổi) n gh tn to Năm 1993 nhà toán học người Anh Andrew Wiles cơng bố phép chứng minh Định lí lớn Fermat Đây câu chuyện lớn Toán học, tham ie p khảo Amir D Aczel [1] w oa nl Với đời máy tính, người ta đặt câu hỏi: Có tồn thuật toán để với phương trình Diophantine cho trước nhờ khẳng d an lu định phương trình có nghiệm nguyên hay không Tiếc thay câu trả nf va lời lại là: khơng có thuật tốn (Định lí Machiakevich) lm ul Phương trình bậc hai ẩn z at nh oi 1.1 Phương trình Diophantine đơn giản phương trình bậc hai ẩn z (1.1) l gm @ ax + by = c a, b, c số nguyên cho trước khác Vấn đề đặt với điều kiện co m a, b, c phương trình (1.1) có nghiệm có cách tìm nghiệm an Lu n va Định lí 1.1.1 Điều kiện cần đủ để phương trình (1.1) có nghiệm nguyên ac th si (a, b) ước c Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (x0 , y0 ) nghiệm nguyên (1.1) Khi ax0 + by0 = c Nếu d = (a, b) rõ ràng d | c Điều kiện đủ Giả sử d = (a, b) d | c Ta có a = da1 , b = db1 , c = dc1 (a1 , b1 ) = Phương trình (1.1) tương đương với a1 x + b1 y = c1 Xét a1 số {b1 k} với k = 0, 1, 2, , a1 − Vì (a1 , b1 ) = nên số chia cho a1 cho ta số dư khác Vậy k0 , ≤ k0 ≤ a1 − cho lu b1 k0 = c1 (mod a1 ) Điều có nghĩa là: an n va c1 − b1 k0 = a1 l0 với l0 ∈ Z hay c1 = a1 l0 + b1 k0 gh tn to Vậy (l0 , k0 ) nghiệm phương trình (1.1) Phép chứng minh định lí hồn thành p ie Tiếp theo ta tìm tất nghiệm phương trình (1.1) nl w d oa Định lí 1.1.2 Nếu (x0 , y0 ) nghiệm ngun (1.1) có vơ số nghiệm nf va an lu nguyên nghiệm nguyên (x, y) cho cơng thức  b  x = x0 + t, d  y = y0 − a t, d t ∈ Z d = (a, b) z at nh oi lm ul (1.2) z Chứng minh Trước hết ta kiểm tra cặp số (x, y) cho công thức (1.2) @ ax + by = ax0 + by0 = c co l gm nghiệm Thật m Đảo lại, giả sử (x1 , y1 ) nghiệm (1.1) tức ax1 + by1 = c Trừ đẳng thức (1.3) n va a(x1 − x0 ) = b(y0 − y1 ) an Lu vào đẳng thức ax0 + by0 = c ta thu ac th si 10 Vì d = (a, b) nên a = a1 d, b = b1 d với (a1 , b1 ) = Thay vào (1.3) ta a1 (x1 − x0 ) = b1 (y0 − y1 ) Vì (a1 , b1 ) = nên y0 − y1 = ta1 x1 − x0 = tb1 Vậy y1 = y0 − ta1 = y0 − at d x1 = x0 + tb1 = x0 + bt d Phép chứng minh kết thúc Thuật tốn tìm nghiệm phương trình Diophantine bậc Từ Định lí 1.1.2 ta thấy để tìm tất nghiệm (1.1) ta cần tìm nghiệm (x0 , y0 ) Ta gọi nghiệm cụ thể nghiệm riêng lu an công thức (1.2) gọi nghiệm tổng quát Sau ta trình bày thuật n va tốn cho phép xác định nhanh nghiệm riêng (1.1) tn to Giả sử q0 , q1 , dãy số nguyên dương Với i ≥ ta kí hiệu p ie gh [q0 , q1 , , qi ] phân số sau nl w [q0 , q1 , , qi ] = q0 + d oa q1 + lu q2 + · · · + an nf va qi−1 + qi lm ul Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh bổ đề sau: z at nh oi Bổ đề 1.1.3 Giả sử {hn }, {kn } hai dãy số nguyên xác định sau: z h−2 = 0, h−1 = 1, h1 = qi hi−1 + hi−2 , @ m co Khi với i ≥ ta có: i ≥ l gm k0 = 1, k1 = q1 , ki = qi hki−1 + ki−2 , i ≥ 0, n va (b) [q0 , q1 , , qi ] = hkii an Lu (a) hi ki−1 − hi−1 ki = (−1)i−1 ; ac th si phải chứng minh |A| = ∞ Giả sử trái lại |A| < ∞ Khi tồn ε cho α − h > ε với (h, k) ∈ A Chọn q ∈ N∗ cho k lu < ε q (2.2) an n va p ie gh tn to Theo nhận xét tồn cặp số nguyên (h0 , k0 ) với ≤ q cho α − h0 < ≤ (2.3) k0