(Luận văn) một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ lu an MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN n va p ie gh tn to nl w d oa LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ lu MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN an n va tn to gh Chun ngành: Tốn Giải tích p ie Mã số: 46 01 02 oa nl w d Phản biện 1: GS TS Đặng Đức Trọng an lu Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Thanh Diệu nf va Phản biện 3: TS Đào Văn Dương z at nh oi lm ul Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước TM Tập thể hướng dẫn Tác giả lu an n va Nguyễn Ngọc Huề p ie gh tn to PGS TS Đinh Thanh Đức d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn đầy nhiệt tâm nghiêm khắc PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận Lời đầu tiên, cho tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, tạo điều kiện thuận lợi mặt, hướng dẫn bảo tơi suốt q trình làm việc, nghiên cứu hồn thành Luận án Tơi xin gửi lời cám ơn đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn, em Dương Quốc Huy Nguyễn Dư Vi Nhân, có giúp đỡ, đóng góp quan trọng cho tơi việc nghiên cứu khoa học hồn thành luận án lu an Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại va học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê tất n quý thầy, cô giáo động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho gh tn to suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Trường Đại học Tây ie p Nguyên, gia đình, anh em bạn bè, người ln chia sẻ, động viên giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hồn thành Luận án d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Mục lục Lời cam đoan lu Lời cảm ơn i an iv n va Danh mục kí hiệu tn to Mở đầu ie gh p Chương Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa nl w trung bình số học áp dụng Đặt vấn đề 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm (Mφ , Mψ )-lồi 1.3 Áp dụng vào bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma d oa 1.1 nf va an lu 13 z at nh oi lm ul trung bình đặc biệt Chương Bất đẳng thức kiểu Jensen áp dụng 33 38 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân 2.2 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy 2.3 Áp dụng z 2.1 l gm @ Áp dụng bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân 2.3.2 Áp dụng bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy m co 2.3.1 an Lu 38 45 50 50 53 n va ac th ii si Chương Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi khơng gian đo áp dụng 55 3.1 Đặt vấn đề 55 3.2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi không gian đo 57 3.3 Áp dụng vào tích phân bậc khơng ngun 60 3.3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen tích phân bậc khơng ngun 3.3.2 61 Bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard tích phân bậc không nguyên 65 lu an 69 Trung bỡnh cú trng kiu Hăolder 69 4.2 Hàm lồi suy rng kiu Hăolder 74 Các đặc trưng hàm li suy rng kiu Hăolder dng 79 gh tn to 4.1 ie n va Chng Hm li suy rng kiu Hă older v áp dụng p 4.3 Các bất đẳng thức cho hm li suy rng kiu Hăolder nl w 4.4 Các bất đẳng thức kiểu Jensen 87 d oa 4.4.1 86 88 92 4.5.1 Tớnh li Hăolder ca hm Gamma áp dụng 92 4.5.2 Áp dụng vào chuỗi lũy thừa 93 4.5.3 Áp dụng vào trung bình lũy thừa 96 98 nf va Một số áp dụng z an 4.5 Các bất đẳng thức kiểu Popoviciu Rado lu 4.4.2 z at nh oi lm ul gm @ Kết luận 100 m co l Danh mục cơng trình liên quan 100 an Lu Tài liệu tham khảo 110 n va Chỉ mục ac th iii si Danh mục kí hiệu lu an n va : không gian Euclide n-chiều Rn+ : tập hợp {(x1 , , xn ) : x1 ≥ 0, , xn ≥ 0} R2+ : tập tất (w1 , w2 ) ∈ R2+ cho w1 + w2 = x : (x1 , , xn ) xα : (xα1 , , xαn ) An (x) : A(a, b) : Trung bình số học a b Bnf : Đa thức Bernstein bậc n hàm f epi(f ) Gn (x) : {(x, α) ∈ C × R | f (x) α} √ : n x1 xn Mφ (a, b; α) : Tựa trung bình φ−1 (αφ(a) + (1 − α)φ(b)) tn to Rn n (x1 + · · · + xn ) : Mφ (a, b; 12 ) L(t) : Mφ (a, Mφ (a, b; α); t) : Mψ (f ◦ L(t), f ◦ R(t); α) G(t) oa nl w F(t) : Mφ (b, Mφ (a, b; α); t) R(t) p ie gh Mφ (a, b) : Mψ (F(1), F(0); t) d : lim+ Mn (r, x, w) = lim− Mn (r, x, w) r→0 r→0 
  w1 f s (x1 ) + · · · + wn f s (xn ) 1/s s 6= 0, Wn Wn :  [f (x1 )]w1 /Wn [f (xn )]wn /Wn s = Pn : i=1 wi > z Mn (s, f x, w) z at nh oi Mn (0, x, w) lm ul Mn (r, x, w) : Trung bỡnh cú trng kiu Hăolder bc r  ( w1 xr + · · · + wn xr )1/r x1 > 0, , xn > 0, Wn Wn n :  −( w1 (−x1 )r + · · · + wn (−xn )r )1/r x1 > 0, , xn > Wn Wn nf va M(r, x, w) an lu M[r] (x1 , x2 ; w1 , w2 ) : Trung bỡnh Hăolder cú trng bc r m co l gm @ Wn an Lu n va ac th iv si ∆k f (0) : Sai phân cấp k hàm f x = Xcp (a, b) : Không gian hàm giá trị phức f thỏa mãn R 1/p b c dt p   a |t f (t)| t < ∞ ≤ p < ∞, kf kXcp =  ess sup |tc f (t)| < ∞ p = ∞ a≤t≤b r s lu an : {(x , α ) | (x, α) ∈ epi(f )} x∗ : (x∗1 , , x∗n ) f (k) (x) : đạo hàm bậc k f x f k (x) : lũy thừa bậc k giá trị f (x) f (x) : đạo hàm cấp f x f 00 (x) : đạo hàm cấp hai f x t.ư : tương ứng n va Λ p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th v si Mở đầu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH), Hermite [41] nêu lần vào năm 1883 phát lại mười năm sau Hadamard [37], cho ta ước lượng chặn chặn giá trị trung bình tích phân hàm lồi khoảng đóng, liên quan đến trung điểm điểm cuối miền xác định Chính xác hơn, f : [a, b] → R hàm lồi liên tục ta có  f a+b  ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (HH) lu an Phiên có trọng bất đẳng thức (HH) phát triển Fejér [32] vào n va năm 1906 Cụ thể, f : [a, b] → R hàm lồi w : [a, b] → R hàm mật độ a+b gh tn to đối xứng qua f a + b b Z f (x)w(x)dx ≤ a f (a) + f (b) (FI) p ie ≤ b−a Các bất đẳng thức (HH), (FI) công cụ mạnh để ta ước lượng giá trị trung w oa nl bình tích phân hàm lồi đoạn d Một điểm thú vị khái niệm hàm lồi lại đề xuất cách lu nf va an thức muộn Jensen [53] vào cuối năm 1906 Ông sử dụng hạng tử đầu hạng tử cuối (HH) để định nghĩa hàm lồi thông qua bất đẳng thức hàm lm ul Cụ thể hơn, I ⊂ R khoảng f : I → R hàm f gọi z at nh oi hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi I   x+y f (x) + f (y) f ≤ 2 (JC) z gm @ với x, y ∈ I Nếu bất đẳng thức (JC) đổi chiều f gọi hàm lõm theo nghĩa Jensen hay J-lõm I Ý tưởng bất đẳng thức hàm (JC) l co dựa đánh giá giá trị hàm thơng qua trung bình số học Đây m đóng góp to lớn Jensen cho phát triển toán học mà ngày an Lu dường bao phủ rộng khắp lĩnh vực khác toán học [30] n va ac th si Ngày nay, người ta thường định nghĩa hàm lồi thơng qua trung bình số học có trọng Cụ thể hơn, I ⊂ R khoảng f : I → R hàm ta nói f hàm lồi I f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (CF) với λ ∈ [0, 1] x, y ∈ I Nếu bất đẳng thức (CF) đổi chiều f gọi hàm lõm I (xem [75, Chương 1]) Từ định nghĩa hàm lồi J-lồi trên, dễ thấy f hàm lồi khoảng I hàm J-lồi I Tuy nhiên, để hàm J-lồi I trở thành hàm lồi I phải có thêm tính chất liên tục lu an Bất đẳng thức kép (HH) khơng hệ tính lồi mà cịn đặc va n trưng cho tính lồi Tức là, hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức bên trái tn to bên phải khoảng miền xác định hàm hàm lồi [85, Định ie gh lý 1] Bất đẳng thức Hermite-Hadamard thu hút quan tâm nhiều nhà toán p học trở thành viên đá móng quan trọng giải tích tốn học tối ưu Nhiều kết cổ điển liên quan đến bất đẳng thức tìm thấy w oa nl chuyên khảo Peˇcari´c, Proschan Tong [75] Đặc biệt, hai thập d kỷ gần đây, nhận nhiều ý Thực tế, có tăng lên đáng kể lu an tài liệu cung cấp chứng minh mới, làm mịn, tổng quát hóa, nội nf va suy khác áp dụng lý thuyết trung bình Chuyên khảo lm ul Dragomir Pearce [25] cho nhìn tồn diện lĩnh vực Sự diện áp dụng động lực thúc đẩy việc mở rộng z at nh oi đến trường hợp tổng quát Để tổng qt hóa khái niệm tính lồi, vấn đề tự nhiên thay z trung bình số học có trọng bất đẳng thức (CF) cặp trung bình tổng @ gm quát Dựa vào ý tưởng này, trước hết, xây dựng khái niệm co l suy rộng trung bình định nghĩa khoảng thực Sau đó, dựa vào trung bình suy rộng vậy, khái niệm hàm lồi suy rộng m an Lu giới thiệu nghiên cứu Điều có nghĩa hàm lồi suy rộng hàm n va ac th si − f (t)dt b−a b−a a với x ∈ [a, b] Năm 2015, Dragomir [22] thiết lập bất đẳng thức hình z thang suy rộng sau @ gm Định lý 3.1.2 ([22]) Cho f : [a, b] → R hàm khả tích Lebesgue [a, b] l Nếu Φ : R → R lồi R m co ! Z b (x − a)f (a) + (b − x)f (b) Φ − f (t)dt b−a b−a a Z b Z b x−a b−x ≤ Φ[f (a) − f (t)]dt + Φ[f (b) − f (t)]dt (b − a)2 a (b − a)2 a an Lu (3.4) n va ac th 56 si với x ∈ [a, b] Để nhận bất đẳng thức (3.2) (3.4), Dragomir sử dụng đồng thức Montgomery [73] tính chất hàm lồi Một kết hợp khéo léo ước lượng cho vế trái vế phải (1.1) dẫn tới bất đẳng thức kiểu Simpson Trong [46], tác giả nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Simpson suy rộng, họ đưa chặn cho đại lượng    Z b f (x) + f (y)  a+b + (1 − α)f − f (t)dt , α