(Luận văn) một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THƯỢNG THỦY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THƯỢNG THỦY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 ul nf va an lu oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC @ m co l gm PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG an Lu n va THÁI NGUYÊN, 2019 ac th si Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn Khoa học PGS TS Hà Trần Phương lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Bảng kí hiệu Chương Không gian metric riêng gh Định nghĩa ví dụ khơng gian metric riêng Sự hội tụ không gian metric riêng lu Lời mở đầu an n va tn to 1.1 p ie w 1.2 Metric riêng Hausdorff 12 1.4 Một số tính chất không gian metric riêng 16 d oa nl 1.3 an lu 20 oi lm ul riêng nf va Chương Một số định lí điểm bất động khơng gian metric Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị 28 2.3 Sự tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu z at nh 2.1 z Kết luận 41 m co 41 an Lu Tài liệu tham khảo l gm @ Volterra 37 n va ac th si Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng lu an nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm n va 1994, S Matthews (xem [8]) người đưa giới thiệu khái niệm không tn to gian metric riêng Đây lớp không gian mở rộng tự nhiên từ khơng gian metric gh thơng thường, có vai trị quan trọng có số ứng dụng việc phát p ie triển toán lý thuyết, đặc biệt định lý điểm bất động Trong số năm w trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu không gian metric riêng S Matthews d oa nl tính chất nó, đồng thời tổng quát hóa mở rộng số kết lu an Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái nf va niệm, tính chất số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, oi lm ul thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng ứng dụng" z at nh Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Không gian metric riêng: Trong chương này, trình bày lại z gm @ số kiến thức cần phải nắm vững nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Đây hầu hết những định nghĩa, tính chất bản, chẳng hạn như: l m co không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, hội tụ không gian metric riêng Ngồi ra, tơi cịn nghiên cứu metric riêng Hausdorff đưa an Lu số ví dụ minh họa Trong phần cuối chương, tơi có trình bày số tính ac th Chương n va chất không gian metric riêng để phục vụ cho nội dung có si • Chương 2: Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng Đây phần trọng tâm luận văn, tơi có trình bày chủ yếu kiến thức xoay quanh khái niệm điểm bất động không gian metric riêng cho số ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị Ngồi việc trình bày cách có hệ thống kiến thức, tơi đưa ví dụ tập nhằm giảm bớt tính trừu tượng khái niệm định lí, mệnh đề đề cập Phần cuối chương, tơi có trình bày ứng dụng định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, tồn nghiệm chung lu phương trình tích phân kiểu Volterra an Tôi cố gắng chọn lọc, xếp để nội dung luận văn ngắn gọn va n phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn Thạc sĩ, nên tn to q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót định ie gh Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy cô p giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn nl w hoàn thiện d oa Trong q trình thực luận văn này, tơi ln nhận hướng dẫn, an lu giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm va ul nf khoa Toán - Tin, thầy cô giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A oi lm trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn z at nh Tôi xin chân thành cảm ơn! z gm @ m co l Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2019 Học viên Cao học an Lu n va Ngô Thượng Thủy ac th si Bảng kí hiệu Trong tồn luận văn này, ta dùng số kí hiệu sau lu an n va tập hợp số tự nhiên R tập hợp số số thực R+ tập hợp số thực không âm ∪ phép hợp gh tn to N ∩ p ie phép giao tích Descartes tập hợp rỗng ánh xạ đồng d id oa nl ∅ w × lu bao đóng tập hợp A Bp (x, ε) hình cầu mở tâm x, bán kính ε [a, b] đoạn đóng tập số thực với đầu mút a, b a < b oi lm ul nf va an A z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Không gian metric riêng lu an n va Trong chương này, nhắc lại định nghĩa, đưa số ví dụ riêng Đây kiến thức tảng, sở cho việc trình bày nội dung gh tn to cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất không gian metric p ie trọng tâm Chương luận văn Nội dung chương trích dẫn 1.1 oa nl w chủ yếu từ nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] [8] Định nghĩa ví dụ khơng gian metric riêng d an lu Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng, metric riêng X ul nf va hàm số oi lm p : X × X −→ R+ cho với x, y, z ∈ X ta có z at nh p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) x = y; (P2) p(x, x) p(x, y); (P3) p(x, y) = p(y, x); (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) z (P1) m co l gm @ an Lu Khi đó, cặp (X, p) gọi khơng gian metric riêng n va Ví dụ 1.1.2 Cho X = R+ p : X × X −→ R+ hàm số xác định ac th p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian metric si riêng Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 nên ta cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4) Rõ ràng vai trò x, z nên khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử x z Ta có đánh giá p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ max {x, z} max {x, y} + max {y, z} − max {y, y} ⇔z max {x, y} + max {y, z} − y ⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z) > lu an Bất đẳng thức cuối thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4) Do (X, p) n va không gian metric riêng tn to Ví dụ 1.1.3 Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a b} p : X × X −→ R+ hàm số gh cho p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − {a, c} Dễ thấy p thỏa mãn Điều p ie kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g] oa nl hợp sau: w Vì vai trị x, z nên khơng giảm tính tổng quát, ta xét trường d Trường hợp 1: a b < e g Ta có đánh giá lu va an p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) nf ⇔ g − a max {b, d} − {a, c} + max {d, g} − {c, e} − d + c oi lm ul ⇔ (max {d, g} − g) + (a − {a, c}) + (max {b, d} − d) + (c − {c, e}) > Bất đẳng thức cuối thỏa mãn z at nh Trường hợp 2: a e < b g z Tương tự trường hợp 1, ta có p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) m co l p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) gm @ Trường hợp 3: a e g b Ta có đánh giá ⇔ b − a max {b, d} − {a, c} + max {d, g} − {c, e} − d + c an Lu ⇔ (max {b, d} − b) + (a − {a, c}) + (max {d, g} − d) + (c − {c, e}) > ac th metric riêng X, hay (X, p) không gian metric riêng n va Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p si Nhận xét 1.1.4 Một không gian metric không gian metric riêng Thật vậy, giả sử (X, p) khơng gian metric Khi đó, rõ ràng (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 Theo tiên đề tam giác ta có p(x, z) p(x, y) + p(y, z) = p(x, y) + p(y, z) − p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) lu Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên không gian metric riêng an n va Từ Định nghĩa 1.1.1, ta nhận thấy p(x, y) = từ Điều kiện tn to (P1), (P2), ta suy x = y Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung khơng cịn đúng; nghĩa x = y p(x, y) chưa Thật vậy, chẳng gh p ie hạn Ví dụ 1.1.2 ta thấy p(x, x) = x không thiết phải w Cho (X, p) khơng gian metric riêng Khi hàm ps : X×X −→ R+ d oa nl xác định ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) lu va an với x, y ∈ X metric X Thật vậy, ta kiểm tra oi lm ul nf • ps (x, y) = ⇔ 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = ⇔ x = y • ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x) = ps (y, x) z at nh Mặt khác, ta có đánh giá z ps (x, y) + ps (y, z) = [2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)] + [2p(y, z) − p(y, y) − p(z, z)] @ l gm = [p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)] − p(x, x) − p(z, z) > 2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z) = ps (x, z) m co Vậy ps thỏa mãn tiên đề metric nên ps metric X an Lu Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, p) không gian metric riêng, x ∈ X ε > ac th tâm x, bán kính ε n va Ta gọi tập hợp Bp (x, ε) = {y ∈ X | p(x, y) < p(x, x) + ε} p-hình cầu mở si 29 Định nghĩa 2.2.2 Cho (X, p) không gian metric riêng, ánh xạ T : X −→ X gọi quy tiệm cận điểm x ∈ X lim p(T n x, T n+1 x) = 0, n→∞ T n = T.T T | {z } Nếu T quy tiệm cận điểm x ∈ X ta n lần nói T quy tiệm cận X Ví dụ 2.2.3 Cho X tập hợp khác rỗng, p : X × X −→ R+ metric lu an n va gh tn to riêng cho p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không x gian metric riêng Xét ánh xạ T : X −→ X cho T x = Với x ∈ X, ta có giới hạn sau x x  x n n+1 lim p(T x, T x) = lim p n , n+1 = lim n = n→∞ n→∞ n→∞ 2 Vậy theo định nghĩa, T ánh xạ quy tiệm cận x ∈ X nên T quy tiệm cận X p ie oa nl sau: w Ta mở rộng Định nghĩa 2.2.2 cho ba ánh xạ không gian metric riêng d Định nghĩa 2.2.4 Cho (X, p) không gian metric riêng ánh xạ an lu S, T, f : X −→ X Cặp ánh xạ (S, T ) gọi quy tiệm cận theo ánh f x2n+1 = Sx2n , oi lm ul nf va xạ f điểm x0 ∈ X tồn dãy {xn } X cho f x2n+2 = T x2n+1 , z at nh với n ∈ N ∪ {0} lim p(f xn , f xn+1 ) = n→∞ z Ta mở rộng định nghĩa cho ánh xạ không gian metric riêng gm @ sau: m co l Định nghĩa 2.2.5 Cho (X, p) không gian metric riêng ánh xạ A, B, S, T : X −→ X Các ánh xạ A, B, S T gọi quy tiệm cận y2n = T x2n+1 = Ax2n , n va y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 , an Lu điểm x0 ∈ X tồn dãy {xn } {yn } X cho ac th si 30 với n ∈ N ∪ {0} lim p(yn , yn+1 ) = n→∞ Định lý 2.2.6 (xem [4]) Cho (X, p) không gian metric riêng ánh xạ A, B, S, T : X −→ X thỏa mãn AX ⊆ T X, BX ⊆ SX, đồng thời p(Ax, By) φ (M (x, y)) , với x, y ∈ X φ ∈ Φ Nếu AX, BX, T X SX tập đóng khơng gian metric riêng (X, p) (i) A S có điểm trùng; lu an (ii) B T có điểm trùng va n Hơn nữa, cặp (A, S) (B, T ) tương thích yếu A, B, S T có ie gh tn to điểm bất động chung p Sau đây, ta đưa kết tổng quát cho Định lí 2.2.6 nl w Định lý 2.2.7 (xem [4]) Cho (X, p) không gian metric riêng ánh d oa xạ A, B, S, T : X −→ X thỏa mãn lu va an (i) AX ⊆ T X BX ⊆ SX; ul nf (ii) A, B, S T quy tiệm cận x0 ∈ X; p(Ax, By) ψ(α(x, y)), oi lm (2.10) z at nh với x, y ∈ X ψ ∈ Ψ z Nếu AX, BX, T X SX không gian 0-đầy đủ X @ m co (b) B T có điểm trùng; l gm (a) A S có điểm trùng; an Lu (c) A S có điểm bất động chung cho cặp (A, S) giao hoán với n va điểm trùng đó; ac th si 31 (d) B T có điểm bất động chung cho cặp (B, T ) giao hốn với điểm trùng Hơn nữa, ánh xạ A, B, S T có điểm bất động chung (c) (d) Chứng minh Lấy x0 ∈ X cho A, B, S T quy tiệm cận x0 Vì AX ⊆ T X nên tồn x1 ∈ X cho T x1 = Ax0 Tương tự, BX ⊆ SX nên tồn x2 ∈ X cho Sx2 = Bx1 Cứ tiếp tục trình trên, ta nhận hai dãy {xn } {yn } X xác định lu an va y2n = T x2n+1 = Ax2n , n y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 , tn to gh n ∈ N ∪ {0} Vì A, B, S T ánh xạ quy tiệm cận x0 p ie nên ta có lim p(yn , yn+1 ) = n→∞ nl w oa Bây giờ, ta {yn } dãy 0-Cauchy Thật vậy, giả sử ngược lại, d tồn β > hai dãy tăng số nguyên dương {mk } , {nk } cho nf va an lu p(y2mk , y2nk +1 ) > β, oi lm ul p(y2mk , y2nk ) < β, với n 2mk < 2nk + Ta có đánh giá z at nh p(y2mk , y2nk +1 ) p(y2mk , y2nk ) + p(y2nk , y2nk +1 ) − p(y2nk , y2nk ) z p(y2mk , y2nk ) + p(y2nk , y2nk +1 ) k→∞ m co an Lu ψ (α(x2mk , x2nk +1 )) l p(y2mk , y2nk +1 ) = p(Ax2mk , Bx2nk +1 ) gm @ Do lim p(y2mk , y2nk +1 ) = β Từ (2.10) ta có = ψ (p(Sx2mk , T x2nk +1 ) + p(Ax2mk , Sx2mk ) + p(Bx2nk +1 , T x2nk +1 )) va n = ψ (p(y2mk −1 , y2nk ) + p(y2mk , y2mk −1 ) + p(y2nk +1 , y2nk )) ac th si 32 Vì ψ hàm nửa liên tục bên phải nên suy β lim sup ψ (α(x2mk , x2nk +1 )) ψ(β), k→∞ mâu thuẫn Do lim p(yn , ym ) = m,n→∞ Giả sử SX không gian 0-đầy đủ X Khi đó, dãy {y2n } chứa SX có giới hạn SX, giả sử z Đặt u = S −1 z, Su = z Chú ý dãy {y2n+1 } hội tụ z nên theo (2.10) ta có p(Au, Bx2n+1 ) ψ (α(u, x2n+1 )) lu = ψ (p(Su, T x2n+1 ) + p(Au, Su) + p(Bx2n+1 , T x2n+1 )) an n va = ψ (p(Su, y2n ) + p(Au, Su) + p(y2n+1 , y2n )) tn to Vì ψ hàm nửa liên tục bên phải nên cho k → ∞ ta nhận p ie gh p(Au, Su) ψ (p(Au, Su)) < p(Au, Su) Các bất đẳng thức xảy p(Au, Su) = Do Au = Su = u nl w suy u điểm trùng A S Vì AX ⊆ T X, z = Au ∈ T X, suy tồn d oa v ∈ X cho Au = T v Theo (2.10) ta có an lu p(Au, Bv) ψ (α(u, v)) nf va = ψ (p(Su, T v) + p(Au, Su) + p(Bv, T v)) Suy oi lm ul = ψ (p(Bv, Au)) z at nh p(Au, Bv) ψ (p(Au, Bv)) < p(Au, Bv) z Các bất đẳng thức xảy p(Au, Bv) = Do T v = Au = gm @ Bv suy v điểm trùng B T Giả sử cặp (A, S) (B, T ) giao hốn u v, ta có BT v = T Bv, n va T T v = T Bv = BT v = BBv an Lu AAu = ASu = SAu = SSu, m co l ASu = SAu, ac th si 33 Theo (2.10), suy p(AAu, Au) = p(AAu, Bv) ψ (α(Au, v)) = ψ (p(SAu, T v) + p(AAu, SAu) + p(Bv, T v)) = ψ (p(AAu, Au)) Bất đẳng thức xảy AAu = Au = SAu, hay Au điểm bất động chung của A S Tương tự, Bv điểm bất động chung B T Chú ý Au = Bv nên ta nhận Au điểm bất động chung lu an A, B, S T va n Hoàn toàn tương tự, ta nhận điều cần chứng minh T X không tn to gian đầy đủ X Trong trường hợp AX BX không gian đầy p ie gh đủ X chứng minh tương AX ⊆ T X, BX ⊆ SX oa nl w sau Trong Định lí 2.2.7, A = B, S = T = id, ta nhận kết mở rộng d Hệ 2.2.8 (xem [4]) Cho (X, p) không gian metric riêng, ánh xạ lu va an A : X −→ X quy tiệm cận thỏa mãn ul nf p(Ax, Ay) ψ (µp (x, y)) , oi lm với x, y ∈ X, ψ ∈ Ψ Khi đó, A có điểm bất động z at nh Ta xét số ví dụ minh họa cho định lí Ví dụ 2.2.9 Cho tập X = {0, 1, 2} metric riêng p(x, y) = max {x, y} , với z gm @ x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh xạ A, B, S, T : X −→ X cho S = T, T = 1, T = n T = 0, va A2 = 2, an Lu A0 = A1 = 0, m co l A = B, ac th si 34 Xét hai dãy {xn } {yn } cho x0 = xn = 0, y2n = T x2n+1 = Ax2n , y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 , n ∈ N ∪ {0} Khi đó, ánh xạ A, B, S T quy tiệm cận Hơn nữa, ta có p(Ax, By) ψ (α(x, y)) , với x, y ∈ X α(x, y) = p(Sx, T y) + p(Ax, Sx) + p(By, Sy) lu 3t Do đó, giả thiết Định lí 2.2.7 thỏa mãn A, B, S, T có điểm bất động 0, Mặt khác, ta có an ϕ(t) = n va to gh tn p(A1, B2) > φ(M (1, 2)) p ie với φ Do đó, ánh xạ A, B, S T không thỏa mãn điều kiện w Định lí 2.2.6 oa nl Ví dụ 2.2.10 Cho X = [0, 1] với metric riêng p(x, y) = max {x, y} , với d x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh lu an xạ A, B, S, T : X −→ X cho Bx = x2 , Sx = x2 , T x = x2 oi lm ul nf va Ax = x2 , Khi AX ⊆ T X BX ⊆ SX Xét hàm ψ : R+ −→ R+ cho ψ(t) = z at nh Ta 3t p(Ax, By) ψ (α(x, y)) , z gm @ với x, y ∈ X, m co l α(x, y) = p(Sx, T y) + p(Ax, Sx) + p(By, Sy) an Lu Thật vậy, lấy x, y ∈ X cho x > y, ta có   2 p(Ax, By) = p x , y = x2 , n va ac th si 35 đồng thời α(x, y) = p(Sx, T y) + p(Ax, Sx) + p(By, Sy)       2 2 2 x ,y + p x , x +p y , y =p 6 1 > x2 + x2 = x2 Suy  ψ (α(x, y)) > ψ 2 x  = x2 = p(Ax, By) lu Tiếp theo, ta ánh xạ A, B, S, T quy tiệm cận Thật vậy, an theo Định nghĩa 2.2.5, với n ∈ N ∪ {0} ta có va (x2n ) , 1 2 = (x2n+2 ) = (x2n+1 ) n y2n = T x2n+1 = Ax2n = (x2n+1 ) = tn to ie gh y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 (2.11) p Giải hai phương trình ta nhận w x2n+2 = x2n (2.12) d oa nl x2n+1 r = √ x2n , an lu Do vậy, với x0 ∈ X cho trước, ta lập dãy {xn } xác định (2.12) dãy {yn } xác định (2.11) Ta lim p(yn , yn+1 ) = Mặt khác, n→∞ ul nf va với y = x > ta có  oi lm p(Ax, B0) = p x ,0 = x2 , z at nh đồng thời  z   M (x, y) = max p(Sx, T 0), p(Ax, Sx), p(B0, T 0), [p(Sx, B0) + p(Ax, T 0)]           2 1 2 = max p x ,0 ,p x , x , p(0, 0), p x ,0 + p x ,0 6 = x2 Do đó, p(Ax, B0) = x2 = M (x, y) > φ(M (x, y)), với φ Vậy, ánh xạ A, B, S, T khơng thỏa mãn điều kiện Định lí 2.2.6 m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Ví dụ 2.2.11 Cho X = [0, 1] metric riêng p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi (X, p) không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh xạ T cho    0  lu  x ∈ 0,  2 Tx =   ,1 1 x ∈ Xét hàm ϕ : R+ −→ R+ cho ϕ(t) = t Dễ thấy T ánh xạ quy tiệm   cận điểm thuộc đoạn 0, , khơng quy tiệm cận bất   kì điểm nửa đoạn , Ta an va n p(Ax, By) ϕ(α(x, y)), gh tn to với x, y ∈ X, p ie α(x, y) = p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y) d oa nl w Thật vậy, ta xét trường hợp sau:   với x y, ta có Trường hợp 1: Nếu x, y ∈ 0, ul nf va an lu p(T x, T y) = ϕ(α(x, y))     1 Trường hợp 2: Nếu x ∈ 0, y ∈ , , ta có 2 oi lm ϕ(α(x, y)) = ϕ(p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y))   3 +1 = >1 = (y + x + 1) > 4 z at nh z = p(T x, T y)   Trường hợp 3: Nếu x, y ∈ , x y, ta có l gm @ m co ϕ(α(x, y)) = ϕ(p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y)) 3 = (y + + 1) > > = p(T x, T y) an Lu n va ac th Vậy T thỏa mãn điều kiện (2.10) Định lí 2.2.7 si 37 2.3 Sự tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra Cho I = [0, K] ⊂ R đoạn đóng bị chặn với K > Xét phương trình tích phân kiểu Volterra xác định sau Zt u(t) = g(t) + K1 (t, s, u(s)) ds, Zt lu u(t) = g(t) + K2 (t, s, u(s)) ds, an (2.13) va Zt n u(t) = g(t) + K3 (t, s, u(s)) ds, to tn gh Zt p ie u(t) = g(t) + K4 (t, s, u(s)) ds, w oa nl t ∈ [0, K] Ki : [0, K] × [0, K] × R −→ R (i ∈ {1, 2, 3, 4}) d g : R −→ R hàm liên tục lu an Kí hiệu C(I, R) tập hợp tất các hàm thực liên tục xác định oi lm ul Zt nf va I Ti : C(I, R) −→ C(I, R) ánh xạ xác định bởi: Ki (t, s, u(s)) ds ∀u ∈ C(I, R), t ∈ I, i ∈ {1, 2, 3, 4} Ti u(t) = g(t) + z at nh Dễ thấy, u nghiệm (2.13) u điểm bất động chung z Ti , với i ∈ {1, 2, 3, 4} Bây giờ, ta phát biểu chứng minh định lí @ m co l chắn gm tồn điểm bất động chung Ti , với i ∈ {1, 2, 3, 4} theo điều kiện Định lý 2.3.1 (xem [4]) Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: an Lu (H1): Với u ∈ C(I, R) tồn k1 , k2 ∈ C(I, R) cho n va T1 u = T3 k1 , T2 u = T4 k2 ac th si 38 (H2): Với t ∈ I, u ∈ C(I, R) T1 T4 u(t) = T4 T1 u(t) T1 u(t) = T4 u(t) với t ∈ I, u ∈ C(I, R), T2 T3 u(t) = T3 T2 u(t) T2 u(t) = T3 u(t) (H3): Tồn hàm liên tục h : I × I −→ R+ cho với t, s ∈ I u, v ∈ C(I, R) |K1 (t, s, u(s)) − K2 (t, s, v(s))| h(t, s).[|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] (H4): Với dãy {hn } {kn } C(I, R) cho lu an k2n = T3 h2n = T1 h2n , va n k2n+1 = T4 hn = T2 h2n+1 , n→∞ Zt p ie gh tn to ta có lim |kn (t) − kn+1 t| = 0, ∀t ∈ I, n ∈ N ∪ {0} (H5): sup t∈I h(t, s)ds nl w d oa Thế thì, phương trình tích phân (2.13) có nghiệm u∗ ∈ C(I, R) lu va an Chứng minh Với x ∈ X = C(I, R), ta định nghĩa  |x(t)| e−τ t , t∈[0,K] oi lm ul nf ||x||τ = max τ > tùy ý Chú ý (||.||τ ) tương đương với chuẩn maximum z at nh (X, ||.||τ ) không gian Banach Metric sinh chuẩn xác định gm @ t∈[0,K]  |x(t) − y(t)| e−τ t , z dτ (x, y) = max m co l với x, y ∈ X Bây giờ, ta X đóng kín với metric riêng cho  dτ (x, y) ||x||τ , ||y||τ pτ (x, y) = d (x, y) + τ trường hợp lại τ an Lu n va ac th si 39 Rõ ràng, (X, pτ ) không gian metric riêng 0-đầy đủ không không gian đầy đủ Thực tế, metric liên kết psτ = 2pτ (x, y) − pτ (x, x) − pτ (y, y) cho  2dτ (x, y) (||x||τ , ||y||τ 1) (||x||τ , ||y||τ > 1) psτ (x, y) = 2d (x, y) + τ trường hợp cịn lại τ khơng đầy đủ Rõ ràng x∗ ∈ X nghiệm (2.13) x∗ điểm bất động chung Ti s Theo Điều kiện (H1), suy T1 (C(I, R)) ⊂ T3 (C(I, R)); lu an T2 (C(I, R)) ⊂ T4 (C(I, R)) va n Theo Điều kiện (H2), cặp (T1 , T4 ) (T2 , T3 ) giao hoán Sử dụng Điều kiện tn to (H3) chuẩn maximum, ánh xạ Ti (i = 1, 2, 3, 4) quy tiệm cận ie gh (X, pτ ) p Tiếp theo, ta Điều kiện (2.10) thỏa mãn Rõ ràng, điều kiện w trường hợp u = v ∈ X Với u, v ∈ X cho ||u||τ , ||v||τ 1, d oa nl theo Điều kiện (H3) (H5) ta có |T1 u(t) − T2 v(t)| |K1 (t, s, u(t)) − K2 (t, s, v(t))| ds an lu Zt oi lm ul nf va   t Z 3τ [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] ds 6 0t  Z 3τ = [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] e−τ s eτ s ds  t  Z 3τ  = eτ s ds [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] e−τ s  0τ t  3τ e − [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] = τ τ 3τ eτ t = [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] τ z at nh z m co l gm @ an Lu va n Vì ||u||τ , ||v||τ nên suy với u, v ∈ X vài giá trị t ∈ [0, K] ac th si 40 đó, ta có |T1 x(t) − T2 y(t)| e−τ t [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] Bây giờ, ta xét hàm ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định ψ(t) = 3t , với t > Ta có pτ (T1 u, T2 v) ψ(pτ (T4 u(s), T3 v(s)) + pτ (T1 u(s), T4 u(s)) + pτ (T2 v(s), T3 v(s))) lu an Đặt A = T1 , B = T2 , T = T3 S = T4 giả thiết Định lí 2.2.7 va n thỏa mãn Do A, B, S T có điểm bất động chung u∗ ∈ C(I, R); hay p ie gh tn to u∗ nghiệm (2.10) Định lí chứng minh d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 Kết luận Trong luận văn này, thu kết sau • Giới thiệu số kiến thức không gian metric riêng: định nghĩa metric riêng, khơng gian metric riêng đưa số ví dụ minh họa; hội tụ không gian metric riêng thơng qua định lí, mệnh đề, hệ Giới thiệu số tính chất metric riêng Hausdorff số tính chất khơng gian metric riêng lu an • Nhắc lại số khái niệm: ánh xạ giãn, ánh xạ có tính chất giao hoán, va n điểm trùng, giá trị trùng, điểm bất động chung ánh xạ giãn Phát biểu bất động cho ánh xạ giãn không gian metric riêng số định lí gh tn to trình bày lại cách chứng minh số định lí, hệ định lí điểm p ie điểm bất động ánh xạ co đơn trị không gian metric riêng nl w • Phát biểu trình bày lại cách chứng minh ứng dụng định lí điểm oa bất động khơng gian metric riêng: tồn nghiệm chung d phương trình tích phân kiểu Volterra an lu nf va Trong thời gian tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu số dạng khác ul định lí điểm bất động trường hợp: ánh xạ không giãn, ánh xạ đa oi lm trị để mở rộng số kết cho luận văn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Hà Trần Phương (2012), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam va n [2] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại Học Quốc gh tn to Gia Hà Nội p ie Tiếng Anh nl w [3] Aydi H., Abbas M., Vetro C (2012), “Partial Hausdorff metric and Nadler’s oa fixed point theorem on partial metric spaces”, Topology and its Applications, d 159(14), pp 3234–3242 an lu ´ c L., Samet B., Aydi H., Vetro C (2011), “Common fixed points of gen[4] Ciri´ va ul nf eralized contractions on partial metric spaces and an application”, Applied oi lm Mathematics and Computation, 218(6), pp 2398–2406 735 z at nh [5] Daffer P Z (1992), “On expansive mappings”, Math Japonica, 37, pp 733– z [6] Haghi R., Rezapour Sh., Shahzad N (2013), “Be careful on partial metric @ l gm fixed point results”, Topology and its Applications 160(3), pp 450–454 [7] Huang X., Zhu C., Wen X (2012), “Fixed point theorems for expanding m co mappings in partial metric spaces”, Analele Universitatii Ovidius Constanta- an Lu Seria Matematica, 20(1), pp 213–224 ac th Academy of Sciences, 728(1), pp 183–197 n va [8] Matthews S G (1994), “Partial metric topology”, Annals of the New York si 43 [9] Pant R., Shukla R., Nashine H.K., Panicker R (2017), “Some new fixed point theorems in partial metric space with applicatons”, Journal of Function Spaces, Article ID 1072750, 13 pages [10] Wang S Z (1984), “Some fixed point theorems on expansion mappings”, Math Japon, 29, pp 631–636 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si