(Luận văn) liên phân số và đa thức trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH lu an va n LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO p ie gh tn to oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH lu an n va LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu nf va an Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z m co l gm @ GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si Mục lục MỞ ĐẦU Chương Liên phân số an 1.1.1 Liên phân số xuất phép chia 1.1.2 Liên phân số xuất giải phương trình 11 1.1.3 Các định nghĩa liên phân số 13 Một số công thức đẹp liên phân số 15 Phép biến đổi liên phân số 15 Hai chuỗi số đặc biệt đồng thức liên phân số 17 n va Liên phân số w lu 1.1 p ie gh tn to 1.2 1.2.2 d oa nl 1.2.1 Liên phân số arctan π 24 1.3.1 Liên phân số lịch 24 1.3.2 Piano z at nh oi lm ul Ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc 31 gm @ Xấp xỉ Diophantus 31 l 2.1.1 Xấp xỉ tốt xấp xỉ tốt 2.1.2 Sự xấp xỉ hội tụ 32 Liên phân số đa thức trực giao 39 m an Lu va Ma trận trực giao n 2.2.1 31 co 2.2 27 z Chương Đa thức trực giao 2.1 20 nf va 1.3 an lu 1.2.3 39 ac th si 2.2.2 Cầu phương Gauss 40 2.2.3 Phương pháp Sturm 42 2.2.4 Tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao 45 2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng 45 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lu lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, an va người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình n giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn gh tn to Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học p ie - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nl w d oa nghiên cứu an lu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học nf va Tốn khóa (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều lm ul suốt trình học tập z at nh oi Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THCS Trần z Phú, Quận Lê Chân, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả @ gm hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác co l Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố m mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả an Lu hồn thành tốt luận văn n va ac th si Mở đầu Liên phân số (hay phân số liên tục - continued fractions) dạng biểu diễn số thực dương, hữu tỷ vô tỷ, dạng phân số nhiều tầng Người ta tìm thấy nhiều ứng dụng đa dạng liên phân lu số, chẳng hạn ứng dụng toán giải phương trình Pell hay an n va xấp xỉ Diophantus tn to Trong Toán học, đa thức trực giao (orthogonal polynomials) đóng gh vai trị vơ quan trọng Đồng thời, cơng cụ hữu p ie ích cho ngành vật lý kỹ thuật nl w Luận văn có mục đích, thứ trình bày liên phân số d oa ứng dụng đơn giản chúng nhiều biểu diễn liên quan đến nf va đa thức trực giao an lu arctan số π, thứ hai, nghiên cứu ứng dụng liên phân số z at nh oi lm ul Nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Liên phân số Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở liên phân số, bao gồm định nghĩa, tính chất z gm @ Phần có mục tiêu giới thiệu số đồng thức đẹp liên phân số số hàm số thường gặp arctan l lịch âm nhạc m co π Sau chúng tơi thảo luận ứng dụng liên phân số an Lu • Chương Đa thức trực giao Trong chương chúng tơi trình bày n va ac th si xấp xỉ Diophantus, liên phân số đa thức trực giao, bao gồm cầu phương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao cuối đa thức trực giao quan trọng Mặc dù cố gắng nghiên cứu đề tài thực luận văn, nhiều lý khác nhau, chắn luận văn khiếm khuyết định Tác giả kính mong góp ý Thầy, Cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện lu an n va Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 p ie gh tn to Tác giả nl w d oa Trịnh Thị Phương Thanh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Liên phân số 1.1 Liên phân số lu an n va Hiện có nhiều cách để viết số Chúng ta sử dụng tn to hệ số khác nhau, phân số, số thập phân, logarithm, lũy thừa ie gh miêu tả lời, Mỗi cách thuận tiện phục vụ mục đích p người Để biểu biễn số, liên phân số công cụ nl w sáng đẹp d oa Đầu tiên, ta chi tiết chút vào khái niệm liên phân số hay an lu gọi phân số liên tục (continued fractions) Ta bắt đầu cách nf va liên phân số thường xuất cách tự nhiên phép lm ul chia dài thiết lập định nghĩa Ví dụ, π π có z at nh oi thể viết dạng liên phân số sau: 12 = 1+ π , 32 72 6+ 6+ m an Lu 2+ 6+ co 72 53 l 2+ 6+ gm 53 @ 2+ 2+ π = 3+ z 32 12 Liên phân số bên trái dựa theo Lord Brouncker (đồng thời liên phân n va ac th si số ghi chép lại), liên phân số bên phải thu Euler Ta có cơng thức cho số e sau: = 1+ e = 2+ 2+ 0+ 3+ 1+ 4+ 1+ 5+ 2+ lu an 1+ va n 1+ Các liên phân số thảo luận chi tiết sau, khía cạnh tốn ie gh tn to 4+ p học khía cạnh ứng dụng thực tiễn nl w Liên phân số xuất phép chia d oa 1.1.1 lu nf va an Một cách thông thường để liên phân số xuất từ “phép chia lặp” Ta xét ví dụ sau đây: lm ul Ví dụ 1.1.1 Xét phép chia số 157 cho 68 Ta viết z at nh oi 157 21 = 2+ 68 68 21 68 ta có z Nghịch đảo phân số m co ta viết n va 68 = 3+ = + 21 , 21 21 an Lu 68 21 , l Xét số gm @ 157 = + 68 68 21 ac th si 10 nên ta viết 157 68 cách đẹp hơn, 157 = 2+ 68 3+ 21 Do 21 = + 51 nên ta viết 157 = 2+ 68 (1.1) lu 3+ an n va 4+ gh tn to Vì số nguyên nên phép chia dừng lại p ie Biểu thức bên phải (1.1) gọi liên phân số hữu hạn oa nl kí hiệu w đơn giản Có nhiều cách để kí hiệu biểu thức này, luận văn ta dùng d h2; 3, 4, 5i an lu 2+ để biểu diễn cho nf va 3+ lm ul 4+ z at nh oi Như vậy, liên phân số xuất cách tự nhiên từ việc viết số hữu tỷ cách lặp lặp lại phép chia Tất nhiên, 157 68 hai số đặc biệt, cách lặp lại phép chia vậy, ta z @ biểu diễn số hữu tỷ a/b liên phân số hữu hạn đơn giản l gm m co Đây Thuận tốn Euclide Mỗi cặp x0 > x1 số nguyên an Lu n va ac th si p ξ − < ξ − a q b z Ví dụ 2.1.2 4/1 khơng phải xấp xỉ tốt đến π 3/1, có mẫu số @ m co l gm nhau, gần với π: