(Luận văn) một số đa tạp trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH lu an va n MỘT SỐ ĐA TẠP to p ie gh tn TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH lu MỘT SỐ ĐA TẠP an n va TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ie gh tn to p Chuyên ngành: Toán ứng dụng oa nl w Mã số: 62 46 01 12 d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul Người hướng dẫn khoa học: z at nh oi TS NGUYỄN THANH SƠN z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si Mục lục ii Mở đầu 1 Nhắc lại số kiến thức hình học vi phân 1.1 Khái niệm đa tạp 1.1.1 Đa tạp tô pô 1.1.2 Đa tạp khả vi 1.1.3 Đa tạp w Hàm, ánh xạ đa tạp lu Bảng ký hiệu an n va p ie gh tn to oa nl 1.1.4 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc nf va an 10 1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm 1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc đa tạp 12 1.2.3 Đạo hàm ánh xạ 13 1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt 14 Phân thớ tiếp xúc 15 z at nh oi lm ul z 1.3 lu 1.2 Nhóm Lie d 1.1.5 10 @ Phân thớ tiếp xúc đa tạp tô pô 16 1.3.2 Phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi 18 1.3.3 Móc Lie 21 1.3.4 Đại số Lie 22 1.3.5 Trường véc tơ bất biến nhóm Lie 24 m co l gm 1.3.1 an Lu n va ac th si 1.4 1.5 lu an n va p ie gh tn to 1.6 24 1.4.1 Khái niệm 24 1.4.2 Khoảng cách 26 1.4.3 Nhóm đẳng cự 27 1.4.4 Không gian Riemann 27 1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc 29 Liên thông Levi- Civita 30 1.5.1 Liên thông Rm 30 1.5.2 Liên thông Levi- Civita 30 1.5.3 Trường chuẩn tắc 32 1.5.4 Dạng thứ hai liên thông Levi- Civita đa tạp 33 Đường trắc địa 34 1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc 34 1.6.2 Cung trắc địa 35 1.6.3 Ánh xạ mũ 37 Một số đa tạp đại số tuyến tính 39 Đa tạp Grassmann an 39 2.1.1 Cấu trúc tô pô G(k, n) 40 2.1.2 Cấu trúc vi phân G(k, n) 2.1.3 Cấu trúc Riemann đa tạp Grassmann 44 2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ ánh xạ logarith 45 Đa tạp ma trận đối xứng nửa xác định dương 48 2.2.1 Định nghĩa đặc trưng 48 2.2.2 Không gian tiếp xúc 2.2.3 Mêtríc Riemann 2.2.4 Không gian pháp phép chiếu 51 2.2.5 Liên thông Riemann 52 d lu oa nl w Đa tạp Riemann z at nh oi lm ul z m co l gm @ 2.2 nf va 2.1 41 49 50 an Lu n va ac th si i 2.2.6 Đường trắc địa 53 Kết luận Đề nghị 56 Tài liệu tham khảo 57 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Bảng ký hiệu dimM Số chiều đa tạp M C ∞ (M ) tập tất hàm trơn M C ∞ (E) tập lát cắt trơn (E, M, π) lu an C ∞ (T M ) tập trường vectơ trơn X : M → T M mặt cầu đơn vị Rm Tp Rm tập tốn tử vi phân tuyến tính p Tp M không gian tiếp xúc M p n va Sm ie gh tn to đại số Lie G p G hạn chế đa tuyến tính A tích tenxơ Tp M ⊗ ⊗ d oa Ap tích tenxơ khơng gian vectơ nl w ⊗ an lu Tp M tập tất không gian k chiều R O(k, n) tập ma trận có cột trực chuẩn Rn nf va G(k, n) lm ul ST (k, n) tập ma trận hạng đủ n hàng, k cột z at nh oi colsp(Y ) không gian Rn sinh cột Y Ink tập tất đa số J với J = (j1 , , jk ) ∈ Nk với gm ma trận cỡ k × k chứa hàng j1 , , jk A với m co ma trận bù AJ A l A ∈ Rk×n an Lu AC J @ AJ z ≤ j1 < < jk ≤ n n va ac th si iii chuẩn Euclid ||x|| E J := [ej1 ejk ] ma trận chứa vectơ đơn vị tương ứng Rn với J ∈ Ink J phần bù số J Ink S+ (k, n) tập ma trận thực cỡ n × n đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định k , k ≤ n lu Rn×n sym tập ma trận đối xứng cỡ n × n trace(A) vết ma trận A rank(A) hạng ma trận an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đa tạp đối tượng hình học giải tích Nó cấu trúc phong phú khơng tính chất mà ta cịn xây dựng nhiều khái niệm khác Thơng thường, làm quen với đa tạp Rn hay lu an đa tạp trừu tượng không gian tôpô bậc đại học Trên thực tế, nhiều vấn đề n va tính tốn, tối ưu có ràng buộc quy toán tập đối tượng tn to đại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn tập khơng gian k chiều ie gh Rn , hay tập ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định Ta khơng p thể tính tốn tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ khơng gian lớn lên nl w khơng có hiểu biết đầy đủ chúng Hóa ra, tập có cấu trúc phong d oa phú lập lên đa tạp khả vi Luận văn trình bày số đa tạp mà an lu phần tử lại đối tượng đại số tuyến tính Chúng tơi trình bày cấu nf va trúc hình học chúng, khía cạnh tính tốn đối tượng liên quan đến lm ul đa tạp Những kiến thức vô quan trọng tảng thiếu z at nh oi cho việc tính tốn đại số tuyến tính số ứng dụng thuật toán tối ưu đa tạp Nội dung luận văn dự kiến sau Chương I trình bày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp nghiên cứu z gm @ bậc đại học Tài liệu vấn đề tiếng Việt, chí tiếng Anh tương đối phong phú Tuy nhiên, khơng thể tìm sách có đầy đủ l m co nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann, an Lu đường trắc địa phương trình xác định nó, Do vậy, chúng tơi dựa vào tập giảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết khái niệm cách hệ thống Nội dung n va ac th si luận văn nằm chương II Cụ thể, chúng tơi trình bày cấu trúc hình học phong phú đa tạp Grassmann - tập khơng gian có số chiều cố định Rn đa tạp ma trận đối xứng nửa xác định dương Còn nhiều chủ đề hay khơng trình bày giới hạn thời gian khuôn khổ luận văn thạc sĩ Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên lu hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày an tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người va n đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm gh tn to để tác giả hoàn thành luận văn ie Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác p nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới oa nl w Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y; Nhà trường d phịng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học an lu Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường nf va Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng lm ul hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập học Thái Nguyên z at nh oi Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại z Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 m co l gm @ Tác giả luận văn an Lu n va Nguyễn Thị Tuyết Thanh ac th si Chương Nhắc lại số kiến thức hình học vi phân lu an Trong chương này, chúng tơi trình bày cách chi tiết khái niệm, tính n va chất quan trọng hình học vi phân Trong phần lớn kiến thức tìm thấy tn to tài liệu tiếng Việt [2–4] nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, số ie gh công cụ cho chương II lại không trình bày tài liệu nêu Vì thế, p viết chương này, chủ yếu dựa vào tài liệu [7] Người đọc tham an lu Đa tạp tô pô nf va 1.1.1 Khái niệm đa tạp d 1.1 oa nl w khảo tài liệu [1] lm ul Định nghĩa 1.1.1 Cho (M, τ ) không gian tô pô Hausdorff với sở đếm z at nh oi Khi M gọi đa tạp tơ pơ có số ngun khơng âm m cho với điểm p ∈ M , tồn lân cận U p tập mở V ⊂ Rm z phép đồng phôi x : U → V @ gm Cặp (U, x) gọi đồ hay tọa độ địa phương M m chiều co l Số nguyên m gọi chiều M Ta viết M m để thể đa tạp M có m n va tơ pơ m chiều mặt địa phương, đồng phơi với Rm an Lu Như vậy, không gian tô pô Hausdorff với sở đếm đa tạp ac th si 44 Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.7 ta suy phần tử SE J xác định phân biệt với dựa (n − k)k phần tử ma trận chọn cách tự nhiên Theo đó, ta đồng SE J với R(n−k)×k Ngồi ra, kết Mệnh đề 2.1.6 nên σE J σE−1J tồn Hơn chúng ánh xạ liên tục Cuối ta giả sử E J1 , E J2 mà IN E J1 ∩ IN E J2 6= ∅ Khi ánh xạ −1 (n−k)×k σE J1 ◦ σE J2 : σE J2 (SE J1 ∩ SE J2 ) → σE J1 (SE J1 ∩ SE J2 ) ⊂ R lu khả vi tích hai ánh xạ AJ  AJ −1 AJ = X an AJ = Ik va n Số chiều cấu trúc khả vi số chiều SE J (n − k)k tn to gh Định nghĩa 2.1.10 Tập G(k, n) với cấu trúc vi phân nêu Định lý 2.1.9 p ie gọi đa tạp Grassmann không gian k chiều Rn Cấu trúc Riemann đa tạp Grassmann oa nl w 2.1.3 d Cho điểm W ∈ G(k, n) Bây ta xác định không gian tiếp xúc TW G(k, n) an lu nf va W Cho W ∈ ST (k, n) sinh W , không gian dọc VW không gian ngang HW lm ul định nghĩa tập ma trận z at nh oi VW := W Rk×k , HW := W⊥ R(n−k)×k ⊂ Rn×k , z gm @ W⊥ ma trận bù trực giao W Tức phần tử tập ST (n − k, n) cho W⊥ T W = Tên gọi chúng xuất phát từ việc phần tử l co VW không làm thay đổi ảnh W phần tử HW dịch chuyển m ảnh W , tức điểm W Do đó, chúng biểu thị phần tử không gian tiếp an Lu xúc W G(k, n) Ngược lại, người ta với vectơ tiếp xúc ξ W , n va tồn vectơ ngang ξ♦W ∈ HW biểu thị ξ Vectơ ξ♦W gọi ac th si 45 nâng ngang ξ ∈ TW G(k, n) Khi ta thay đổi ma trận W biểu thị W thành W M M ∈ GL(k, n) nâng ngang thay đổi ξ♦W M = ξ♦W M Bây giờ, ta xây dựng mêtríc Riemann không gian tiếp xúc Cho ξ, ζ ∈ TW G(k, n), tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa hξ, ζiW := trace((W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W ) Ta có lu an n va trace(((W M )T W M )−1 ξ♦TM W ζ♦M W = trace(M −1 (W T W )−1 M −T M T ξ♦TW ζ♦W M tn to = trace(M −1 (W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W M p ie gh = trace(W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W Điều chứng tỏ tích vơ hướng định nghĩa không phụ thuộc vào biểu diễn Đường trắc địa, ánh xạ mũ ánh xạ logarith an lu 2.1.4 d oa nl w W W Khi đó, đa tạp G(k, n) với tích vơ hướng lập thành đa tạp Riemann z at nh oi lm ul sau nf va Đường trắc địa đa tạp Riemann Grassmann xây dựng phát biểu Mệnh đề 2.1.11 Cho Y(t) đường trắc địa G(k, n) xuất phát từ Y0 với hướng ban đầu Y˙ ∈ TY0 G(k, n) Giả sử Y0 ∈ ST (k, n) sinh Y0 , Y˙ 0♦Y0 nâng gm −1 phân tích giá trị kỳ dị Khi @ V cos(Σt) + U sin(Σt)) n va ξ 7→ Y(1), an Lu ExpW : TW G(k, n) → G(k, n) m Từ kết biểu diễn đường trắc địa, ta định nghĩa co l Y(t) = π(Y0 (Y0T Y0 ) −1 z ngang Y˙ Đặt U ΣV T = Y˙ 0♦Y0 (Y0T Yo ) ac th si 46 ˙ Y(t) đường trắc địa xác định điều kiện ban đầu Y(0) = W Y(0) = ξ Từ Mệnh đề 2.1.11, ta tính ánh xạ mũ sau Giả sử W ∈ G(k, n) sinh W ∈ ST (k, n) ξ ∈ TW G(k, n) Giả sử thêm phân tích giá trị kỳ dị ma trận ξ♦W (W T W ) −1 = U ΣV T Khi ExpW (ξ) phân tử G(k, n) sinh ma trận (W(WT W) −1 (2.1) V cos(Σ) + U sin(Σ)) Ánh xạ logarith LogW ánh xạ cho tương ứng điểm lân cận W với vectơ không gian tiếp xúc W theo quy tắc, ánh xạ ngược lu ánh xạ ExpW Theo đó, ánh xạ LogW xác định sau Giả sử W, Z ∈ G(k, n) an sinh W, Z ∈ O(k, n) cho det(W T Z) 6= Ký hiệu phân tích giá trị kỳ dị va n tích ma trận to gh tn (I − W W T )Z(W T Z)−1 = U ΣV T p ie Khi đó, nâng ngang ξ = LogW (z) (2.2) oa nl w ξ♦W = U arctan(Σ)V T d Ví dụ 2.1.12 Xét G(1, 2) Ta sử dụng O(1, 2) để biểu diễn phần tử G(1, 2) Về lu nf va an mặt hình học, ta xem O(1, 2) S ⊂ R2 ≡ C Xét phần tử z ∈ G(1, 2) biểu diễn Z = [1, 0]T Khi đó, khơng gian ngang Z có dạng HZ = {[0 a]T |a ∈ R} lm ul Không gian biểu thị đường thẳng song song với tiếp tuyến S (1, 0) Bây z at nh oi ta lấy vectơ θ ∈ Tz G(1, 2) có nâng ngang [0 θ]T cho Ký hiệu phân tích giá trị kỳ dị =  [1 0]  1/2    [θ] [1] m an Lu −π co =