(Luận văn) lí thuyết nevanlinna và phương trình vi phân p adic

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  lu NGUY™N THÀ LI–N an n va ie gh tn to p L THUY˜T NEVANLINNA V€ PH×ÌNG TRœNH VI PH…N P-ADIC d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n  2016 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  lu NGUY™N THÀ LI–N an n va p ie gh tn to L THUY˜T NEVANLINNA V€ PH×ÌNG TRœNH VI PH…N P-ADIC d oa nl w an lu oi lm ul nf va Chuyản ngnh: GII TCH M số: 60.46.01.02 z at nh LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z @ m co l gm Ngữới hữợng dăn khoa håc GS.TSKH H€ HUY KHOI an Lu n va Th¡i Nguy¶n  2016 ac th si Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc, khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc lu ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 an n va Ngữới viát luên vôn gh tn to p ie Nguyạn Th Liản d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn nhiằt tẳnh cừa GS.TSKH H Huy KhoĂi ThƯy ¢ d nh nhi·u thíi gian, cỉng sùc ch¿ b£o tỉi quĂ trẳnh thỹc hiằn à ti v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi hon thnh luên vôn ny NhƠn dp ny tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy lu Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn ban lÂnh Ôo trữớng HSP ThĂi Nguyản, lÂnh an Ôo khoa ToĂn, lÂnh Ôo khoa Sau Ôi Hồc cừa trữớng  tÔo mồi iÃu kiằn n va thuên lủi cho tổi hon thnh tốt nhiằm vử hồc têp cừa mẳnh tn to Ci cịng, tỉi xin ch¥n th nh c£m sð GiĂo Dửc v o TÔo tnh QuÊng gh Ninh, Ban giĂm hiằu trữớng THPT Lả ChƠn, c biằt l cĂc ỗng nghiằp v p ie gia ẳnh  ởng viản, tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi và mồi mt suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn nl w Trong quĂ trẳnh viát luên vôn cụng nhữ viằc xỷ lẵ vôn bÊn chưc d oa chưn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt RĐt mong nhên ữủc sỹ nf va an lu gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ, cĂc bÔn ỗng nghiằp  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn oi lm ul ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 Ngữới viát luên vôn z at nh z m co l gm @ Nguy¹n Thà Li¶n an Lu n va ac th ii si Mưc lưc lu an i Líi c£m ìn ii Mưc lưc iii n va Líi cam oan gh tn to p ie Mð ¦u nl w Cỡ s lẵ thuyát Nevanlinna 1.2 Quan hằ số khuyát cho mửc tiảu di ởng 1.3 X¡c nh nhĐt cĂc hm phƠn hẳnh p-adic 1.4 ìợc lữủng cĐp tông cừa hm phƠn hẳnh p-adic 12 d oa 1.1 L½ thuyát Nevanlinna cừa hm phƠn hẳnh p-adic oi lm ul nf va an lu Phữỡng trẳnh vi phƠn p-adic 19 19 2.2 ành l½ Malmquist kiºu (I) 23 2.3 nh lỵ Malmquist kiu (II) 27 2.4 Nghiằm chĐp nhên ữủc cừa mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn 29 z at nh 2.1 Phữỡng trẳnh vi phƠn Ôi số p-adic z l gm @ 36 m co Kát luên chung 37 an Lu T i li»u tham kh£o n va ac th iii si Mé U GƯn Ơy, lẵ thuyát Nevanlinna p-adic  tr thnh mởt lẵnh vỹc ToĂn hồc nông ởng Chng hÔn, KhoĂi [6], KhoĂi-Quang [7] v Boutabaa [2]  chựng minh tữỡng tỹ p-adic cừa hai "nh lẵ cỡ bÊn" v quan hằ số khuyát cừa lẵ thuyát Nevanlinna cờ in H Huy KhoĂi, Mai vôn Tữ v Cherry-Ye  nghiản cựu lẵ thuyát Nevanlinna p-adic nhiÃu bián v chựng minh quan hằ số khuyát cừa cĂc siảu phng trữớng hủp tờng quĂt Hu-Yang  chựng lu minh tữỡng tỹ p-adic và quan hằ số khuyát cho mửc tiảu di ởng, nh lẵ an cỡ bÊn thự hai cho a thực vi phƠn v têp xĂc nh nhĐt vợi số phƯn n va tỷ hỳu hÔn Cherry-Yang [4]  mổ tÊ mởt số têp xĂc nh nhĐt vợi số Luên vôn ny nhơm trẳnh by mởt cĂch ngưn gồn và lẵ thuyát Nevanlinna gh tn to phƯn tỷ hỳu hÔn cừa cĂc hm nguyản p-adic p ie v  ùng dưng cõa nâ èi vỵi phữỡng trẳnh vi phƠn p-adic w Nởi dung luên vôn gỗm chữỡng: oa nl Chữỡng I: Trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và lẵ thuyát Nevanlinna v  d mët sè k¸t qu£ v· quan h» sè khuyát, bi toĂn xĂc nh têp nhĐt cừa an lu hm phƠn hẳnh p-adic v ữợc lữủng cĐp tông cừa hm phƠn hẳnh p-adic nf va Chữỡng II: Giợi thiằu nh nghắa, cĂc tẵnh chĐt v mởt số kát quÊ và oi lm ul phữỡng trẳnh vi phƠn p-adic, bao gỗm nh lẵ Malmquist kiu (I), nh lẵ Malmquist kiu (II) v ch mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn Ôi số p-adic z at nh khổng cõ nghiằm phƠn hẳnh siảu viằt chĐp nhên ữủc z gm @ m co l ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 an Lu n va ac th si Ch÷ìng Cỡ s lẵ thuyát Nevanlinna lu an va n 1.1 Lẵ thuyát Nevanlinna cừa hm phƠn hẳnh p-adic gh tn to Cho p l số nguyản tố, Qp l trữớng c¡c sè p-adic v  Cp l  bê sung ¦y õ p ie p-adic cừa bao õng Ôi số cừa Qp GiĂ tr tuyằt ối |.|p Cp  ữủc chu©n hâa cho |p|p = p−1 Ta tiáp tửc sỷ dửng kẵ hiằu ordp l nh giĂ nl w cởng tẵnh trản Cp d oa Nhưc lÔi rơng nhỳng khổng gian metric Ưy ừ m metric c£m sinh an lu bði chu©n khỉng Acsimet, têng vổ hÔn hởi tử náu v ch náu số hÔng tờng ul nf va quĂt dƯn án Khi õ biu thực cõ dÔng dữợi Ơy: oi lm f (z) = ∞ X an z n n=0 z at nh x¡c ành óng ­n |an z n |p → z nh nghắa bĂn kẵnh hởi tử bi 1 = lim sup |an |pn ρ n→∞ l gm @ m co Khi â, chuéi hëi tử náu |z|p < v phƠn kẳ náu |z|p > ρ Ngo i ra, h m n ac th va B (ρ) = {z ∈ Cp | |z|p < ρ} an Lu f (z) ữủc gồi l giÊi tẵch p-adic trản B () náu chuội hởi tử trản si Náu ρ = ∞, h m f (z) ÷đc gåi l  h m nguy¶n p-adic tr¶n Cp Cho f l  h m gi£i tẵch p-adic khĂc hơng trản B () (0 < ) BÊn chĐt cừa phữỡng phĂp Wiman-Valiron l phƠn tẵch dĂng iằu cừa hm bơng số hÔng cỹc Ôi : (r, f ) = max |an |p rn (0 < r < ρ) , n≥0 cịng vỵi ch¿ sè trung t¥m : lu ν (r, f ) = max{n| |an |p rn = µ (r, f )} an n≥0 va ành ngh¾a ν (0, f ) = lim ν (r, f ) Hìn núa, chóng ta ỵ rơng náu h l n r0 gh tn to mởt hm giÊi tẵch p-adic khĂc trản B () thẳ (r, f h) = (r, f ) µ (r, h) (1) ie p Bê · 1.1.1 Ch số trung tƠm (r, f ) tông r → ρ v  thäa m¢n cỉng nl w thùc: d oa Zr ν (t, f ) − ν (0, f ) dt+ν (0, f ) log r log (r, f ) = log úng cho tĐt cÊ r > bi tẵnh liản tửc cừa cĂc h m µ Do â ta câ m(r, A) ≤ km(r, w) + max m(r, aj ) (10) 0≤j≤k L§y z Cp vợi w(z) 6= 0, ; v nh nghắa aj (z) 6= 0, ∞ (0 ≤ j ≤ k), lu  |a (z)|  k−j j p A(z) = max {1, } 0≤j≤k |ak (z)|p an N¸u |w(z)|p > A(z), ta th§y va n |aj (z)|p |w(z)|jp ≤ |ak (z)|p A(z)k−j |w(z)|jp < |ak (z)|p |w(z)|kp tn to gh Do â p ie |A(z, w(z))|p = |ak (z)|p |w(z)|kp w °t r = |z|p , ta ữủc à(r, A) à(r, ak ) d oa nl à(r, w)k = an lu Náu |w(z)|p A(z), ta câ ul nf va k  µ(r, a )  k−j j µ(r, w) ≤ max {1, } 0≤j