Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phươngToán tử tích phân cực đại trên trường địa phương
Viện khoa học công nghệ việt nam viện toán học Hà Duy Hng TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG Luận án tiến sĩ toán học Hà Nội - 2012 Viện khoa học công nghệ việt nam viện toán học Hà Duy Hng TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phơng trình vi phân tích phân Mà số 62 46 01 05 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi hớng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Minh Chơng Hà Néi - 2012 Lài cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna tơi Các ket qua viet chung vói tác gia khác đưoc sn nhat trí cna đong tác gia đưa vào lu¾n án Các ket qua cna lu¾n án mói chưa tùng đưoc công bo bat kỳ công trình khác Tác gia Hà Duy Hưng TĨM TAT Trong lu¾n án này, chúng tơi nghiên cúu bat thúc TRQNG chuan loai yeu, manh, trưịng đ%a phương, cho tốn tu cnc đai Hardy- ∫ |f (y)|dy f ∈ Littlewood M , Mf (x) = sup dγ L1 γ∈Z q Các l γ ket qua nghiên cúu cna lu¾n án nam o chương chương Trong chương 2, chúng tơi chúng minh m®t so bo đe phn quan TRQNG trưòng đ%a phương; xây dnng lai lý thuyet ve hàm TRQNG Muckenhoupt AA trưòng đ%a phương úng dung vào giai quyet m®t tốn TRQNG noi tieng ve tốn tu M , là: vói đieu ki¾n cna TRQNG ω M b% ch¾n tù LA (ω) vào LA (ω) Các ket qua đưoc mo r®ng cho tốn tu cnc đai vói giá tr% véctơ, tù nh¾n đưoc bat thúc TRQNG chuan Fefferman-Stein Chúng đưa đưoc mđt ieu kiắn can v mđt ieu kiắn n gan tng ng nhau, cho mđt cắp hm TRQNG e cú đưoc bat thúc ngưoc loai yeu cho toán tu cnc đai Hardy-Littlewood M ; áp dung ket qua cho lóp hàm L log+ L vói TRQNG cna Zygmund Cũng chương 2, chúng tơi giói thi¾u m®t lóp tốn tu tích phân cnc đai mói chúng minh đưoc m®t ưóc lưong loai yeu cho Trong chương 3, chúng tơi giai quyet m®t tốn TRQNG Muckenhoupt trưịng đ%a phương: tìm đieu ki¾n can đn cna hàm TRQNG v đe ton tai m®t hàm TRQNG u huu han hau khap nơi cho tốn tu M b% ch¾n tù LA (u) vào LA (v) ABSTRACT In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M , in which Mf (x) = sup ∫ |f (y)|dy, here f ∈ dγ L1 γ∈Z q Our main results are given l γ in chapter and chapter In chapter 2, we prove some necessary covering lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is systematically introduced and we use it to solve a famous problem of characterizing all weight functions ω for which the operator M is bounded from LA (ω) to LA (ω) Then, we prove the Fefferman-Stein weighted inequalities for vector- valued maximal operator over local fields We go on to obtain a sufficient and an almost similar necessary condition on a pair of weight functions for which a reverse weak type norm inequality holds for the Hardy-Littlewood maximal operator M ; we apply our result to the weighted Zygmund class L log+ L Also in this chapter, we prove a weak type estimate for a new maximal integral operator In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight functions v such that the Hardy-Littlewood maximal operator M is bounded from LA (u) to LA (v) for some finite a.e function u This characterization answers completely to a local field version of a similar question posed by Muckenhoupt Lài cam ơn Lu¾n án đưoc thnc hi¾n hồn thành tai Vi¾n Tốn Vi¾n Khoa HQ c HQ c thuđc v Cụng nghắ Viắt Nam, dưói sn hưóng dan t¾n tình nghiêm khac cna GS.TSKH Nguyen Minh Chương Thay hưóng dan truyen thu cho tác gia nhung kinh nghi¾m khoa HQ c HQ c t¾p, nghiên cúu Tác gia xin bày to lịng biet ơn chân thành kính TRQNG sâu sac đoi vói Thay Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n án, tác gia ln nhân đưoc sn giúp đõ, góp ý cna GS.TSKH Hà Huy Khối, GS.TSKH Nguyen Manh Hùng, PGS.TSKH Nguyen Minh Trí, PGS.TS Hà Tien Ngoan, TS Nguyen Văn NGQc, TS Cung The Anh Tác gia xin chân thành cam ơn sn quan tâm giúp đõ cna Thay Tác gia xin chân thành cam ơn thay, cô giáo anh ch% em nghiên cúu sinh, cao HQ c xemina "Toán tu gia vi phân, sóng nhó trưàng thnc, p−adic", xemina cna Phịng Phương trình vi phân tao mđt mụi trũng HQ c v nghiờn cỳu thuắn loi giúp tác gia hồn thành lu¾n án Tai tác gia nh¾n đưoc nhieu chi dan, góp ý mơi trưịng nghiên cúu sơi noi thân thi¾n, đieu khơng the thieu q trình nghiên cúu, hồn thành lu¾n án cna tác gia Tác gia xin chân thành cam ơn Ban lãnh đao Vi¾n Tốn HQ c, Trung tâm Đào tao sau đai HQ c Vi¾n Tốn đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia HQ c tao MQI toàn the cỏn bđ, cụng nhõn viờn trỡnh thnc hiắn luắn án Tác gia xin trân TRQNG cam ơn Trưòng THPT Chuyên Đai HQc Sư pham tao đieu ki¾n giúp đõ, đ®ng viên tác gia suot thịi gian làm nghiên cúu sinh thnc hi¾n Lu¾n án Tác gia xin chân thành cam ơn ban bè, đong nghi¾p, đ¾c bi¾t cha me, vo trai nhung ngưịi thân gia đình, giúp đõ đ®ng viên tác gia suot thịi gian thnc hi¾n Lu¾n án Hà N®i, tháng 12 năm 2011 Tác gia Hà Duy Hưng BANG KÝ HIfiU Ký hi¾u Dien giai |x| : chuan cna m®t phan tu x Kd, |x|p : chuan p − adic cna so p − adic x K/k : mo r®ng đai so trưịng k, (K : k) : so chieu cna mo r®ng đai so K/k, Kd : không gian véc tơ d chieu trưòng K, Qp : trưòng so p−adic Fq((t)) : trưòng chuoi so Laurent trưòng huu han Fq, O : vành so nguyên cna K, P : ideal nguyên to cna O, β : phan tu nguyên to cna P, p : so nguyên to đ¾c so cna trưịng O/P, q : so phan tu cna trưịng O/P, x + Bγ, Bγ : hình cau đóng tâm x, tâm bán kính q γ , x + Sγ, Sγ : m¾t cau tâm x, tâm bán kính qγ, NK/k(α), TrK/k(α) : đ%nh thúc, vet cna phan tu α ∈ K, M : toán tu Hardy-Littlewood, AA : Lóp hàm TRQNG Muckenhoupt, CSp : t¾p tat ca dãy Cauchy Q úng vói metric p−adic dp, Null p : t¾p tat ca dãy Q có giói han bang 0, dx : đ o Haar, LA : cỏc hm kha tích b¾c A Kd, A Llo c : t¾p hàm kha tích đ%a phương b¾c A Kd, LA (u) : t¾p hàm kha tích b¾c A trờn Kd ỳng vúi đ o dà = udx, D : t¾p hàm hang đ%a phương vói giá compact, DJ : t¾p phiem hàm tuyen tính liên tuc D, χ : hàm đ¾c trưng cna nhóm c®ng (K, +) vói hang bang 1, Σ ∞ |xk| r1/r < ∞ Ar : không gian dãy phúc x = (xk) Σ k cho =1 Mnc lnc Lài cam đoan Tóm tat Lài cam ơn Bang ký hi¾u Lài nói đau 10 22 M®T SO KHÁI NIfiM VÀ KET QUA CHUAN B± 1.1 Trưòng đ%a phương 22 1.2 Đ® đo tích phân trưòng đ%a phương .33 1.3 Bien đoi Fourier tích ch¾p .39 1.4 Đ%nh lý n®i suy Marcinkiewicz .41 TOÁN TU CUC ĐAI HARDY - LITTLEWOOD VÀ CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG CHUAN TRÊN TRƯèNG бA PHƯƠNG 46