(Luận văn) vấn đề phân loại các nhóm con đại số của nhóm sl(2,c)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ CỦA NHÓM SL(2, C) d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ CỦA NHÓM SL(2, C) d oa nl w Đại số lí thuyết số 8460104 nf va an lu Chuyên ngành : Mã số : z at nh oi lm ul z gm @ Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU m co l an Lu n va ac th si Mục lục lu Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị an Cơ sở lý thuyết nhóm 1.2 Tác động nhóm Định lý Sylow 1.3 Đa tạp affine 11 n va 1.1 gh tn to Nhóm đại số ie p 2.1 16 Nhóm đại số 16 Đại số Lie nhóm đại số Lie 23 2.3 Nhóm đại số giải 30 d oa nl w 2.2 lu 33 an Các nhóm đại số nhóm SL(2, C) Nhóm tuyến tính đặc biệt cấp 33 3.2 Phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) 35 nf va 3.1 lm ul 39 z at nh oi Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 4.1 Phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 39 4.2 Mơ tả nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 44 z @ 52 l gm Kết luận 53 m co Tài liệu tham khảo an Lu n va ac th i si MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm đại số phát triển từ năm 1950, với cơng trình nhà toán học Chevalley, Kolchin, Borel, Một kết quan trọng nhóm đại số Định lý Lie-Kolchin khẳng định lu an nhóm đại số liên thơng giải nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, C) n va liên hợp với nhóm nhóm ma trận tam giác tn to Nhóm SL(2, C) gồm ma trận vng cấp hai có định thức đóng vai trị quan trọng lý thuyết nhóm đại số nói chung đặc biệt lý gh p ie thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Người ta chứng minh rằng, nhóm Galois vi phân phương trình vi phân tuyến tính cấp hai oa nl w nhóm đại số nhóm SL(2, C) Việc nghiên cứu nhóm đại số nhóm SL(2, C) cho phép ta nghiên cứu tính giải Liouville d an lu phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Xuất phát từ nhận định trên, nf va định chọn đề tài “Vấn đề phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C)” để tìm hiểu lm ul Mục đích luận văn tìm hiểu làm rõ phân loại nhóm z at nh oi đại số nhóm SL(2, C) Bên cạnh đó, luận văn cịn làm rõ nhóm hữu hạn SL(2, C) Luận văn tập trung làm rõ kết [2] Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận z gm @ văn chia thành bốn chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày l kiến thức sở nhóm, tác động nhóm lên tập hợp định nghĩa co m đa tạp affine để làm sở cho lập luận chương sau an Lu luận văn Chương Nhóm đại số Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa n va ac th si đưa tính chất nhóm đại số Đồng thời, mơ tả cấu trúc nhóm đại số thơng qua nhóm tuyến tính tổng quát Chương Các nhóm đại số nhóm SL(2, C) Trong chương này, chúng tơi trình bày lại làm rõ phép chứng minh định lý phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) [2] Chương Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Trong chương này, nhóm đại số SL(2, C) hữu hạn Hơn chúng tơi cịn xác định cụ thể nhóm hữu hạn thơng qua đẳng cấu tới nhóm cổ điển nhóm đối xứng nhóm thay phiên lu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến thầy giáo TS an Ngô Lâm Xuân Châu, thầy trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn tạo va n điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu để tơi hồn thành tn to luận văn cách tốt Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban ie gh lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán p Thống kê quý thầy cô giảng dạy, giúp đỡ trình học tập nl w trường Đồng thời, xin cảm ơn anh chị, bạn học viên lớp Đại số oa lí thuyết số khóa 20, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt d thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn lu nf va an Mặc dù cố gắng hạn chế trình độ kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn lm ul tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý z at nh oi thẳng thắn chân thành tinh thần học thuật quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Ngày tháng năm 2020 z co l gm @ Học viên thực m Nguyễn Võ Thành Khang an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở lý thuyết an nhóm tác động nhóm lên tập hợp Bên cạnh chúng tơi trình va n bày định nghĩa số tính chất tôpô đa tạp affine, làm sở cho gh tn to lập luận phần sau luận văn Cơ sở lý thuyết nhóm p ie 1.1 nl w Định nghĩa 1.1.1 Cho G tập hợp khác rỗng trang bị phép an lu điều kiện sau: d oa toán hai ngơi ký hiệu “ ” Khi (G, ) gọi nhóm thỏa mãn nf va (i) Phép toán kết hợp, tức g.(h.k) = (g.h).k với g, h, k ∈ G lm ul (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho e.g = g.e = g với g ∈ G z at nh oi Phần tử e gọi phần tử đơn vị nhóm (iii) Mỗi phần tử có nghịch đảo, tức là, với g ∈ G, tồn g −1 ∈ G cho g.g −1 = g −1 g = e z @ ta nói G nhóm giao hốn (hay nhóm abel) co l gm Nếu phép tốn nhóm giao hốn, tức g.h = h.g với g, h ∈ G m Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm H tập khác rỗng G an Lu Khi H gọi nhóm G H với phép toán cảm sinh từ G lập thành nhóm n va ac th si Định nghĩa 1.1.3 Cho G G0 hai nhóm Một đồng cấu nhóm G G0 ánh xạ f : G → G0 cho f (gh) = f (g).f (h) với g, h ∈ G Giả sử f : G → G0 đồng cấu nhóm Khi hạt nhân ker f = {g ∈ G : f (g) = eG0 } ảnh Im f = {f (g) : g ∈ G} nhóm G G0 Sau ta xét số ví dụ nhóm nhóm Ví dụ 1.1.4 (i) Cho k trường n số nguyên dương Tập hợp GL(n, k) ma trận vuông cấp n với hệ số k có định thức khác khơng lu an nhóm với phép nhân ma trận Phần tử đơn vị nhóm ma trận đơn va vị; phần tử nghịch đảo ma trận ma trận nghịch đảo Nhóm n (ii) Cho X tập hợp gồm n phần tử x1 , x2 , , xn Mỗi song ánh σ : X → gh tn to gọi nhóm tuyến tính tổng qt p ie X gọi phép X (hoặc phép n phần tử) Ký hiệu w (xi1 xi2 xir ) phép biến xik thành xik+1 với k = 1, 2, , r − giữ oa nl nguyên phần tử lại, phép gọi r-xích Ký hiệu S(X) tập hợp tất phép X Khi S(X) với phép d an lu hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm phép n phần tử (hoặc nf va nhóm đối xứng) Nhóm đối xứng cịn ký hiệu Sn Cấp Sn n! (iii) Xét nhóm đối xứng Sn Mỗi 2-xích gọi chuyển trí Khi lm ul phép phân tích thành hợp thành chuyển trí z at nh oi Một phép gọi chẵn (tương ứng, lẻ) hợp thành số chẵn (tương ứng, lẻ) chuyển trí Ký hiệu An tập hợp tất phép chẵn Sn Khi An nhóm nhóm đối xứng gọi nhóm z n! gm @ thay phiên Cấp An m co cấp G cấp nhóm l Trong trường hợp G nhóm hữu hạn, định lý sau cho ta mối liên hệ an Lu Định lý 1.1.5 (Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi |H| | |G| n va ac th si Ở phần tiếp theo, ta xét chiều ngược lại Định lý Lagrange để thấy chiều ngược lại số trường hợp đặc biệt Định nghĩa 1.1.6 Cho G nhóm H nhóm G Khi tập hợp gH = {gh : h ∈ H} gọi lớp ghép trái H G Tương tự ta có lớp ghép phải H G Số lớp ghép trái H G gọi số H G ký hiệu [G : H] Nhóm H gọi chuẩn tắc G gH = Hg với g ∈ G Một cách tương đương, ghg −1 ∈ H với g ∈ G với h ∈ H lu Định nghĩa 1.1.7 Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc an G Khi tập hợp G/H = {gH : g ∈ G} nhóm với phép tốn định va n nghĩa sau to gh tn (g1 H).(g2 H) = (g1 g2 )H với g1 , g2 ∈ G Nhóm G/H gọi nhóm thương G theo nhóm H p ie ZG (H) = {g ∈ G : gh = hg với h ∈ H} d oa nl w Ví dụ 1.1.8 (i) Cho G nhóm H nhóm G Xét tập hợp nf va G an lu Khi ZG (H) nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm tâm hóa H (ii) Cho G nhóm S tập G Xét tập hợp lm ul z at nh oi NG (S) = {g ∈ G : gSg −1 = S} Khi NG (H) nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm chuẩn tắc hóa S G z gm @ (iii) Mọi nhóm số chuẩn tắc Thật vậy, giả sử H nhóm số G Lấy g ∈ G Nếu g ∈ H ta có gH = H = Hg Giả l sử g ∈ / H Vì có hai lớp ghép trái H G nên ta suy hai lớp ghép co m trái H gH Vì lớp ghép trái rời nên gH = G \ H Tương tự, an Lu lớp ghép phải rời nên Hg = G \ H = gH Do gH = Hg Điều với g ∈ G nên ta suy H chuẩn tắc G n va ac th si (iv) Nhóm An chuẩn tắc Sn Thật vậy, lấy τ ∈ An σ ∈ Sn Khi τ phép chẵn Ta có σ σ −1 chẵn lẻ Ta suy στ σ −1 phép chẵn Do στ σ −1 ∈ An Vậy An chuẩn tắc Sn Khi Sn /An có hai phần tử nên Sn /An ∼ = Z2 1.2 Tác động nhóm Định lý Sylow Cho G nhóm X tập hợp Trong mục này, ta xem xét tác động nhóm G lên tập hợp X Đồng thời, ta nghiên cứu trường hợp G nhóm hữu hạn có cấp lũy thừa số nguyên tố Đây lu an kết cần thiết cho lập luận chương cuối luận văn va n Định nghĩa 1.2.1 Một tác động nhóm G lên tập hợp X ánh xạ gh tn to G × X → X thỏa mãn điều kiện sau p ie (i) e.x = x với x ∈ X , e phần tử đơn vị nhóm G, nl w (ii) (gh).x = g.(h.x) với g, h ∈ G, với x ∈ X oa Tập hợp X với tác động nhóm G gọi G-tập Một tác động d gọi tầm thường g.x = x với g ∈ G Một tác động gọi bắc cầu lu nf va an với x, y ∈ X , tồn g ∈ G cho g.x = y Định nghĩa 1.2.2 Cho tác động nhóm G lên tập hợp X x ∈ X Khi lm ul (i) Gx = {g ∈ G : g.x = x} nhóm G, gọi nhóm ổn định z at nh oi x G (ii) Tập G.x = {g.x : g ∈ G} gọi quỹ đạo phần tử x Phần tử x gọi z gm @ phần tử cố định tác động |G.x| = Ta kiểm tra nhóm ổn định Gx phần tử x ∈ X nhóm l n ac th va Ta suy gh ∈ Gx Do Gx đóng với phép tốn G an Lu (gh).x = g.(h.x) = g.x = x m co G Giả sử g, h ∈ Gx Khi si Lấy g ∈ Gx Khi g.x = x Ta suy g −1 (g.x) = g −1 x Hơn g −1 (g.x) = (g −1 g).x = x Ta suy g −1 x = x g −1 ∈ Gx Tiếp theo ta xét số tính chất quỹ đạo (i) Nếu y ∈ G.x G.x = G.y Thật vậy, giả sử y = h.x với h ∈ G Khi g.y = g.(h.x) = (gh).x với g ∈ G Ta suy phần tử G.y thuộc G.x Mặt khác, y = h.x nên x = h−1 y Suy x ∈ G.y G.x ⊆ G.y (ii) Nếu z ∈ S thuộc vào quỹ đạo x y G.z = G.x = G.y Như lu hai quỹ đạo xác định hai phần tử khác không giao an n va tn to trùng Trong trường hợp X tập hữu hạn, giả sử X = {x1 , x2 , , xn }, ta S có X = ni=1 G.xi Từ suy gh |X| = n X |G.xi | p ie i=1 w Ví dụ 1.2.3 (i) Cho G nhóm Với X tập hợp tất nhóm g.H = gHg −1 với g ∈ G, với H ∈ X d oa nl G, xét tác động nhóm G lên tập X xác định an lu lm ul G nf va Tác động gọi tác động liên hợp nhóm G lên tập hợp tất nhóm (ii) Cho G nhóm H nhóm G Khi G tác động bắc z at nh oi cầu lên G/H Trong trường hợp |G| > tác động G lên khơng tác động bắc cầu z @ Một kết quan trọng lý thuyết tác động nhóm Định lý quỹ đạo, l gm phát biểu số phần tử quỹ đạo số nhóm ổn định nhóm ổn định phần tử x, tức an Lu |G.x| = [G : Gx ] với x ∈ X m co Mệnh đề 1.2.4 (Định lý quỹ đạo) Số phần tử quỹ đạo G.x số n va ac th si Chương Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) lu an va Ta phân loại tất nhóm đại số nhóm tuyến tính đặc biệt n SL(2, C) Trong chương này, ta xác định nhóm nhóm gh tn to liệt kê Định lý 3.2.5 nhóm hữu hạn Các kết chương trình bày theo tài liệu [2] p ie Phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) d oa nl w 4.1 nf va an lu Mệnh đề 4.1.1 Mọi ma trận M ∈ SL(2, C) có cấp hữu hạn chéo hóa Chứng minh Giả sử ord(M ) = m, tức M n = I2 Khi đa thức tối tiểu lm ul M ước đa thức xn − ∈ C[x] Vì đa thức xn − có n nghiệm đơn z at nh oi C nên đa thức tối tiểu A có nghiệm đơn Điều chứng tỏ A chéo hóa Mệnh đề 4.1.2 Giả sử M ma trận đường chéo cấp không z gm @ ma trận vô hướng Khi tâm hóa SL(2, C) ma trận M ma trận đường chéo  λ  a b , λ 6= µ Giả sử A =  m µ  co Chứng minh Giả sử M =  l   ∈ Z(M ) c d an Lu n va ac th 39 si SL(2, C) Tính tốn trực tiếp ta có      λ aλ bµ a b  =  AM =  µ cλ dµ c d      λ a b aλ bλ  =  MA =  µ c d cµ dµ Vì AM = M A nên ta suy b(µ − λ) = c(µ − λ) = Theo giả thiết λ 6= µ ta suy b = c = Vậy A ma trận đường chéo lu Mệnh đề 4.1.3 Giả sử M ma trận SL(2, C) N ma trận an đường chéo khác ma trận vơ hướng Khi M N M −1 ma trận đường chéo va n M ∈ D† , to tn   p ie gh  · D, D† = D ∪  −1 nl w với D nhóm ma trận đường chéo   oa a b d Chứng minh Lấy M =    x  ∈ SL(2, C) N =  c d y , x 6= y 6= lu nf va an Tính tốn trực tiếp ta có  adx − bcy −abx + aby cdx − cdy −bcx + acy  z at nh oi lm ul M N M −1 =   Ma trận N M N −1 ma trận đường chéo −abx + aby = cdx − cdy = Vì x 6= y 6= nên ta có ab = cd = Như xảy z trường hợp sau a = d = 0, b = c = 0, a = c = b = d = Vì  detM = @ gm b nên ta suy a = d = b = c = Do ma trận M có dạng  c co  a  Điều chứng tỏ M ∈ D† Ta có điều phải chứng minh m  l   an Lu d Mệnh đề 4.1.4 Cho nhóm G x, g ∈ G Khi gZ(x)g −1 = Z(gxg −1 ) n va ac th 40 si Chứng minh Giả sử gag −1 ∈ gZ(x)g −1 , a ∈ Z(x) Khi (gag −1 )(gxg −1 )(gag −1 )−1 = gag −1 gxg −1 ga−1 g −1 Vì a ∈ Z(x) nên axa−1 = x Do (gag −1 )(gxg −1 )(gag −1 )−1 = gxg −1 Điều chứng tỏ gag −1 ∈ Z(gxg −1 ) Ngược lại, lấy a ∈ Z(gxg −1 ) Khi agxg −1 a−1 = gxg −1 Ta suy g −1 agxg −1 a−1 g = x, tức là, (g −1 ag)x(g −1 ag)−1 ) = x Từ suy g −1 ag ∈ Z(x) a ∈ gZ(x)g −1 Ta có điều phải chứng minh lu Định lý 4.1.5 ([2]) Giả sử G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) an Khi xảy trường hợp sau: n va D† = D ∪   −1  · D, p ie gh tn to (i) G liên hợp với nhóm nhóm  nl w D nhóm ma trận chéo d oa (ii) G nhóm cấp 24 (hay nhóm tứ diện) lu nf va an (iii) G nhóm cấp 48 (hay nhóm bát diện) (iv) G nhóm cấp 120 (hay nhóm nhị thập diện) lm ul Trong ba trường hợp cuối cùng, G chứa ma trận vô hướng −I2 z at nh oi Chứng minh Giả sử G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) G khơng liên hợp với nhóm nhóm D† Ký hiệu H tập ma trận vô hướng z @ G Giả sử λI2 ∈ H Vì λI2 ∈ SL(2, C) nên det(λI2 ) = Ta suy λ2 = H = {I2 , −I2 } Ta suy cấp H co l gm Do λ = ±1, tức H chứa ma trận I2 −I2 Khi H = {I2 } m Lấy x ∈ G \ H Vì G nhóm hữu hạn nên x có cấp hữu hạn Bởi Mệnh đề an Lu 4.1.1, ma trận x chéo hóa Bởi Mệnh đề 4.1.2, tâm hóa ma trận đường chéo khác ma trận vô hướng D Ta suy Z(x) giao G lớp n va ac th 41 si liên hợp D Do Z(x) = Z(y) y ∈ Z(x) Với x, y, g, g ∈ G ta có gZ(x)g −1 ∩ g Z(y)g 0−1 = H gZ(x)g −1 = g Z(y)g 0−1 Thật vậy, theo Mệnh đề 4.1.4 ta có Z(gxg −1 ) = gZ(x)g −1 Z(g yg 0−1 ) = g Z(y)g 0−1 Giả sử gZ(x)g −1 ∩ g Z(y)g 0−1 6= H Khi Z(gxg −1 ) ∩ Z(g yg 0−1 ) 6= H Lấy z ∈ Z(gxg −1 ) ∩ Z(g yg 0−1 ) \ H , ta có gxg −1 ∈ Z(z), g yg 0−1 ∈ Z(z) Z(z) nhóm giao hốn Do Z(gxg −1 ) = Z(z) = Z(g yg 0−1 ) Điều tương đương với gZ(x)g −1 = g Z(y)g 0−1 Trong trường hợp gZ(x)g −1 = g Z(y)g 0−1 , ta có y ∈ g 0−1 gZ(x)g −1 g Hơn lu gZ(x)g −1 = g Z(y)g 0−1 g 0−1 g ∈ N (x) Do ta biểu diễn G an G = tsi=1 ∪ (gZ(xi )g −1 − H) ∪ H, n va sau (4.1) tn to tổng lấy tất lớp ghép gN (xi ) nhóm thương gh p ie G/N (xi ) x1 , x2 , , xs ∈ G \ H Tiếp theo ta mô tả nhóm chuẩn hóa N (xi ) Bởi Mệnh đề 4.1.3, nl w ma trận SL(2, C) mà liên hợp ma trận đường chéo khác vô hướng để d oa tạo thành ma trận đường chéo thuộc nhóm D† Ta suy N (xi ) giao an lu G lớp liên hợp D† nf va Tiếp theo ta chứng minh [N (x) : Z(x)] ≤ với x ∈ G \ H Lấy g ∈ G cho gxg −1 ma trận đường chéo Khi nhóm gZ(x)g −1 = Z(gxg −1 ) chứa lm ul ma trận đường chéo N (gxg −1 ) = gN (x)g −1 Bằng cách thay x gxg −1 λ Bây giả sử x =  µ z at nh oi ta giả sử nhóm  Z(x) chứa  ma trận đường chéo , với λ, µ ∈ C λ 6= µ Khi với   a b ∈ c d z  µ   λ  c d µ c d −1 a b  adλ − bcµ ab(µ − λ)  = cd(λ − µ) −bcλ + adµ  an Lu a b  m c d a b   co  λ   l a b  −1  gm  @ SL(2, C) ta có Ma trận   ma trận đường chéo ab = c d n va ac th 42 si   a b cd = Ta suy ma trận    a  có dạng  c d d   b    Xét nhóm c H0 = {y ∈ SL(2, C) : yxy −2 ∈ D} ta có [H0 : D] = Vì N (x) ⊆ G ∩ H0 nên ta có [N (x) : Z(x)] = [N (x) : G ∩ D] ≤ [G ∩ H0 : G ∩ D] = [(G ∩ H0 )D : D] ≤ [H0 : D] = lu Vì xi ∈ G \ H với i = 1, 2, , s nên ta có [N (xi ) : Z(xi )] = [N (xi ) : an Z(xi )] = va n Ký hiệu M = ord(G/H) ei = ord(Z(xi )/H) Từ biểu diễn (4.1) ta suy to gh tn M ord H = s X [G : N (xi )](ei ord H − ord H) + ord H, i=1 p ie hay M= w i=1 d oa nl Do s X M (ei − 1) + [N (xi ) : Z(xi )].ei s  i=1  −1 ei + nf va an lu X 1 = M [N (xi ) : Z(xi )] Vì G 6= H nên s 6= Giả sử s = Khi z at nh oi lm ul 1 ≥ = , M [N (x1 ) : Z(x1 )]e1 ord(N (xi ))/H G = N (x1 ) Nhắc lại N (x1 ) giao G lớp liên hợp D† Ta suy G liên hợp với nhóm nhóm D† Điều cho ta mâu z thuẫn Do s ≥ s gm @ Vì ei ≥ với i = 1, 2, , s nên i=1 m s X (4.2) ac th 43 n va i=1 < [N (xi ) : Z(xi )] an Lu co l 1X 1 ≤1− 0< M [N (xi ) : Z(xi )] si Nhắc lại [N (xi ) : Z(xi )] = nên ta có trường hợp sau (i) s = 2, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = 2, (ii) s = 2, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = 2, (iii) s = 3, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = [N (x3 ) : Z(x3 )] = Nhận xét rằng, tất trường hợp ta có [N (x2 ) : Z(x2 )]  = Do c −c−1 G chứa ma trận liên hợp với ma trận có dạng M =   lu D† \ D Vì M = −I2 nên ta suy ord H = an Ta xem xét trường hợp cụ thể va n Trường hợp (i) Ta có 1 1 = + − Ta suy e1 = 3, e2 = M = 12 M e1 2e2 Trường hợp (ii) Ta có gh tn to Do ord G = 24 1 = + Trường hợp xảy M 2e1 2e2 p ie M > 2e2 w Trường hợp (iii) Ta có d oa nl 1 = + + − M e1 e2 e3 lu nf va an Giả sử e1 ≤ e2 ≤ e3 Khi e1 < Ta suy e1 = lm ul 1 = + − M e2 e3 Vì e2 = nên M > 2e3 Khi ta có trường hợp sau: z at nh oi Với e1 = 2, e2 = e3 = 3, M = 12 ord G = 24 Với e3 = 4, M = 24 ord G = 48 z Với e3 = 5, M = 60 ord G = 120 @ l Mô tả nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) m co 4.2 gm Định lý chứng minh xong an Lu Ở phần trước ta liệt kê tất nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt cấp Giả sử G nhóm hữu hạn SL(2, C) không liên n va ac th 44 si hợp với nhóm D† Khi ta chứng minh cấp G 24 48 120 (Định lý 4.1.5) Bây cách lấy thương với tập ma trận vô hướng H = {−I2 , I2 } G ta mơ tả chi tiết nhóm G Bổ đề 4.2.1 ([2]) Cho G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H khơng chứa nhóm xiclic chuẩn tắc Chứng minh Giả sử phản chứng, K/H nhóm xiclic chuẩn tắc G/H , K nhóm G chứa H Vì K/H nhóm xiclic nên lu ta giả sử lớp xH phần tử sinh K/H (xH)r = I2 H Khi an ta có xr = I2 xr = −I2 Xét nhóm G sinh phần tử x −x va n Vì phần tử x −x có cấp hữu hạn nên nhóm sinh x −x chéo tn to hóa Hơn nữa, nhóm chuẩn tắc G nên ta suy G liên hợp ie gh với nhóm nhóm D† Điều mâu thuẫn với giả thiết G khơng liên p hợp với nhóm nhóm D† nl w Định lý 4.2.2 ([2]) Cho G nhóm cấp 24 nhóm SL(2, C) khơng d oa liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với A4 , trận   nf va an lu nhóm thay phiên phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma ξ lm ul  ξ −1   1  φ  , −1 z at nh oi ξ nguyên thủy bậc đơn vị 3φ = 2ξ − Chứng minh Vì |G| = 24 |H| = nên G/H có cấp 12 Theo Mệnh đề 4.2.1, z G/H khơng có nhóm xiclic chuẩn tắc Gọi r số 3-nhóm Sylow @ gm G/H ta có r | r ≡ (mod 3) Ta suy r = Do G/H có bốn 3-nhóm l Sylow ta giả sử nhóm S1 , S2 , S3 S4 m co Xét tác động liên hợp nhóm G/H lên tập hợp S = {S1 , S2 , S3 , S4 } Theo an Lu Mệnh đề 1.2.6, tác động cảm sinh đồng cấu nhóm ϕ từ G/H đến nhóm S4 , với lớp ghép gH ∈ G/H ta có phép ký hiệu σg Hơn n va ac th 45 si nữa, theo Định lý Sylow, nhóm S1 , S2 , S3 , S4 liên hợp với Do tác động G/H bắc cầu Xét nhóm K Im ϕ cho K = {σg : σg (Si ) = Si với i = 1, 2, 3, 4} Theo Mệnh đề 1.2.4 ta suy [Im ϕ : K] = |G/H.Si | = Ta suy ord(Im ϕ) chia hết cho cấp ker ϕ 1, Giả sử cấp ker ϕ Khi ker ϕ nhóm xiclic chuẩn tắc G/H Điều mâu thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Do ord(ker ϕ) = Điều chứng tỏ G/H đẳng lu cấu với nhóm nhóm S4 an sign va Xét hợp thành G/H → S4 −−→ {−1; 1}, sign : S4 → {−1; 1} ánh xạ n dấu cho sign(σ) = σ phép chẵn sign(σ) = −1 σ gh tn to phép lẻ Ta chứng minh G/H nhóm có cấp Giả sử phản chứng ie p L nhóm cấp G/H giả sử phần tử khác đơn vị nl w L có cấp Khi L nhóm giao hốn (vì gh = (gh)−1 = h−1 g −1 = hg oa với g, h ∈ L) Lấy a b hai phần tử có cấp L xét nhóm d sinh a b, nhóm {e, a, b, ab} có cấp Điều xảy lu nf va an L có cấp Do L chứa phần tử có cấp Khi nhóm sinh phần tử có cấp nhóm nhóm xiclic chuẩn tắc Điều mâu lm ul thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Như G/H không chứa nhóm chuẩn tắc có cấp với nhóm thay phiên A4 z at nh oi Từ suy (sign ◦ϕ)(gH) = {1} với gH ∈ G/H G/H đẳng cấu Xét tồn cấu nhóm τ : G → A4 với ker τ = H = {−I2 ; I2 } Vì nhóm thay phiên z A4 sinh phần tử tích hai 2-xích Do ta xét tạo ảnh @ gm phần tử sinh qua đồng cấu τ chéo, tức  an Lu ξ  A= ξ −1 m  co l Lấy A ∈ τ −1 (123) Ta lấy liên hợp nhóm G cho A có dạng đường n va ac th 46 si Ta có τ (A3 ) = τ (A) ◦ τ (A) ◦ τ (A) = (123) ◦ (123) ◦ (123) = (1) Ta suy A3 ∈ H Tuy nhiên τ (A) = (123) 6= (1) τ (A2 ) = (132) 6= (1) nên A ∈ / H A2 ∈ / H Do đó, cách thay A −A (nếu cần thiết) ta giả sử ξ nguyên thủy bậc đơn vị Lấy B ∈ τ −1 (12)(34) Ta có τ (AB) = (134) = (243) = τ(BA) Do B không b11 b12 phải ma trận đường chéo Giả sử B =  b21 b22 , b12 6= lu b21 6= (vì trái lại B có cấp vơ hạn)   c  , c2 = b21 d2 = 2b12 Xét lớp liên hợp G ma trận  d an Phép liên hợp không làm thay đổi dạng ma trận A Tính tốn trực tiếp va n ta ma trận B có dạng tn to  φ ψ  2ψ −χ ie gh B=  p Ta có τ (B ) = (1) Ta suy B ∈ H Tính tốn trực tiếp ta   w φ2 + 2ψ ψ(φ − χ) 2ψ(φ − χ) 2ψ + χ2  ∈ {−I2 ; I2 } d oa nl B = an lu Từ suy φ = χ nf va Ta có τ (BA2 ) = (143) = τ ((AB)2 ) Ta suy BA2 = ±(AB)2 Tính tốn trực tiếp ta có φξ ψ(ξ −1 )2 lm ul    φ2 ξ + 2ψ  φψ(ξ z at nh oi − 1)  (AB)2 =   BA2 =  −1 −1 2 −1 2φψ(1 − (ξ ) ) 2ψ + φ (ξ ) 2ψξ −φ(ξ ) Chú ý ψ 6= Ta suy φ(ξ − 1) = ±(ξ −1 )2 = ±ξ Bằng cách thay B z −B ta giả sử φ(ξ − 1) = ξ Vì ξ nguyên thủy bậc đơn @ 3 ξ4 = = = 2 =3 = 3φ −2ξ + ξ − 3ξ + (ξ − 1)(ξ − 2) ξ (ξ − 1) ξ −1 co l 2ξ − = gm vị nên ξ = ξ − Do 4ξ − 4ξ + = −3 hay (2ξ − 1)2 = −3 Từ suy m 2 Bây giờ, det(B) =  nên ta  có φ + 2ψ = −1 hay 3ψ = ±(2ξ − 1) Bằng cách an Lu liên hợp G với ma trận   ta giả sử 3ψ = 2ξ − = 3φ Do ψ = φ −1 n va ac th 47 si Vì τ (A) τ (B) phần tử sinh nhóm A4 , nhóm sinh A B chứa H nên ta suy G sinh ma trận có dạng     ξ  ξ −1 1  φ  , −1 ξ nguyên thủy bậc đơn vị 3φ = 2ξ − Định lý 4.2.3 ([2]) Cho G nhóm cấp 48 nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với S4 , nhóm đối xứng phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma lu an trận   va ξ 0 ξ −1 n    1  φ  , tn to −1 ie gh ξ nguyên thủy bậc đơn vị 2φ = ξ(ξ + 1) p Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Định lý 4.2.2 Ta có nl w |G/H| = 24 Gọi r số 3-nhóm Sylow G/H Khi r ≡ (mod 3) oa r | Suy r = Do G/H có bốn 3-nhóm Sylow d Xét tác động liên hợp G/H lên tập hợp 3-nhóm Sylow G/H lu nf va an Tác động cảm sinh đồng cấu nhóm từ G/H vào nhóm đối xứng S4 Ảnh đồng cấu chứa nhóm số Ta suy cấp ảnh chia hết lm ul cho Do cấp hạt nhân 1, 2, Giả sử cấp hạt nhân Khi hạt nhân chứa nhóm chuẩn tắc cấp Nhóm z at nh oi chuẩn tắc G Điều mâu thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Do cấp hạt nhân ta suy G/H đẳng cấu với nhóm S4 z Trong nhóm S4 xét phép σ = (1234) ta có gm @ σ ◦ (12) ◦ σ −1 = (σ(1) ◦ σ(2)) = (23) m co l Trong trường hợp tổng quát, với k = 1, ta có an Lu σ k ◦ (12) ◦ σ −k = (k + k + 2) n va ac th 48 si Điều chứng tỏ xích (1234) (12) sinh nhóm S4 Ta xét tạo ảnh xích qua đồng cấu τ : G → S4 Lấy A ∈ τ −1 (1234) Ta lấy liên hợp nhóm G cho A có dạng đường chéo, tức  A=  ξ 0 ξ −1  Vì τ (A4 ) = (1) nên ξ = ±1 Nếu ξ = ξ = ±1 A2 ∈ H Tuy nhiên ta có τ (A2 ) = (13) ◦ (24) 6= (1) nên ta suy ξ = −1 Do ξ nguyên thủy bậc đơn vị lu Lấy B ∈ τ −1 (12) Ta có τ (AB) = (134) τ (BA) = (234) Do đó τ (AB) 6= an n va τ (BA) Ta suy B ma trận đường chéo Giả sử B =  b11 b12 b21 b22 , gh tn to b12 6= b21 6= (vì trái lại B  có cấp vơ hạn) p ie Xét lớp liên hợp G ma trận  c 0 d  , c2 = b21 d2 = b12 Phép liên hợp khơng làm thay đổi dạng ma trận A Tính toán trực tiếp w oa nl ta ma trận B có dạng   d φ ψ  B= ψ −χ nf va an lu lm ul Ta có τ (B ) = (1) Ta suy B ∈ H Tính tốn trực tiếp ta   z at nh oi φ2 + ψ ψ(φ − χ)  ∈ {−I2 ; I2 } B2 =  ψ(φ − χ) ψ + χ2 Từ suy φ = χ z Ta có τ (BA3 ) = (143) = τ ((AB)2 ) Suy BA3 = ±(AB)2 Tính tốn trực tiếp φξ ψ(ξ −1 )3   φ2 ξ l  gm @ ta có + ψ2  φψ(ξ m co − 1)  (AB)2 =   BA3 =  ψξ −φ(ξ −1 )3 φψ(1 − (ξ −1 )2 ) ψ + φ2 (ξ −1 )2 an Lu Từ suy φ(ξ − 1) = ±(ξ − 3) = ±(ξ ) = ±ξ Ta giả sử φ(ξ − 1) = ξ n va ac th 49 si Khi ξ(ξ + 1) = ξ ξ ξ ξ4 − = (ξ − 1) = 2 = 2φ ξ −1 ξ −1 ξ −1 Như ta suy 2φ = −1 Vì det(B) = 1nên ta có = −φ − ψ Từ suy 2ψ = −1 Lấy liên hợp G ma trận   (nếu cần), ta giả sử −1 φ = ψ Ta thấy τ (A) τ (B) sinh nhóm S4 , nhóm sinh A B chứa H nên ta suy G sinh A B Định lý chứng minh xong Định lý 4.2.4 ([2]) Cho G nhóm cấp 120 nhóm SL(2, C) khơng lu an liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với A5 , n va nhóm thay phiên phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma   gh tn to trận  0 ξ −1    φ ψ , ψ −φ p ie ξ  ξ nguyên thủy bậc 10 đơn vị, 5φ = 3ξ − ξ + 4ξ − oa nl w 5ψ = ξ + 3ξ − 2ξ + d Chứng minh Vì |G/H| = 60 G/H khơng chứa nhóm chuẩn tắc thực lu an nên G/H đẳng cấu với nhóm thay phiên A5 Vì nhóm A5 sinh xích (12345) lm ul với hạt nhân H nf va (12)(34) nên ta xét tạo ảnh phần tử sinh qua đồng cấu τ : G → A5 Lấy A ∈ τ −1 (12345) Ta lấy liên hợp nhóm G cho ma trận A có z at nh oi dạng   0 ξ −1  z ξ  @ gm Vì τ (A5 ) = (1) nên ξ = ±1 Ta giả sử ξ = −1 cách thay A −A l cần thiết Do ξ nguyên thủy bậc 10 đơn vị m co Lấy B ∈ τ −1 (12)(34) Ta lấy liên hợp nhóm G cho B có dạng   ψ  ψ −φ an Lu φ  n va ac th 50 si Vì τ (A4 B) = (254) = τ ((BA)2 ) nên A4 B = ±(BA)2 Tính tốn trực tiếp ta có     A B= φξ ψξ ψ(ξ −1 )4 −φ(ξ −1 )4  (BA)2 =  φ2 ξ + ψ φψ(1 − (ξ −1 )2 ) φψ(ξ ψ2 − 1) + φ2 (ξ −1 )2  Từ suy φ(1 − (ξ −1 )2 ) = ±ξ Ta có (ξ −1 )2 = ξ = ξ ξ = −ξ Do φ(1 + ξ ) = ±ξ Từ suy 5φ = ±(3ξ − ξ + 4ξ − 2) Ta giả sử 5φ = 3ξ − ξ + 4ξ − Vì det(B) = nên ta suy −φ2 − ψ = 5ψ = ξ + 3ξ − 2ξ + Nhóm sinh τ (A) τ (B) chứa phần tử cấp 5, cấp cấp Do lu cấp nhóm chia hết cho 30 Vì A5 nhóm đơn nên ta suy nhóm an va A5 Hơn nữa, nhóm sinh A B chứa H Do A, B sinh nhóm G Ta n có điều phải chứng minh gh tn to Hơn nữa, người ta chứng minh nhóm cấp 24, 48, 120 p ie nhóm SL(2, C) đẳng cấu với nhóm phép quay hình tứ diện, bát diện, nhị thập diện khơng gian Tên gọi hình học nhóm hữu d oa nl w hạn đề cập Định lý 4.1.5 xuất phát từ lý nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 51 si Kết luận Luận văn “Vấn đề phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C)” hệ thống trình bày chi tiết số kết phân loại nhóm đại số nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, C) Cụ thể, luận văn đạt lu kết sau an va Trình bày lại số kiến thức chuẩn bị nhóm, tác động nhóm lên n affine ie gh tn to tập hợp, định nghĩa đa tạp affine số tính chất tơpơ đa tạp p Trình bày định nghĩa tính chất nhóm đại số, xây dựng đại số nl w Lie liên kết với nhóm đại số đưa đặc trưng nhóm đại số d oa liên thơng giải an lu Trình bày lại cách phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) nf va xác đến phép liên hợp lm ul Trình bày chi tiết phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) xác đến đẳng cấu đến nhóm đối xứng nhóm thay phiên z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th 52 si Tài liệu tham khảo [1] I Kaplansky, An introduction to differential algebra, Paris: Hermann(1957) [2] J J Kovacic, An algorithm for solving second order linear homogenous lu differential equations, Journal of Symbolic Computation (1986) (2), 3-43 an n va [3] M van der Put, M F Singer, Galois Theory of Linear Differential Equa- tn to tions, Comprehensive Studies in Mathematics, vol 328, Springer-Verlag, Berlin (2003) ie gh p [4] A Borel, Linear Algebraic Groups, Second Enlarged Edition, Springer- Verlag, New York (1991) nl w d oa [5] J E Humphreys, Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, nf va an lu 21, Springer-Verlag, New York (1991); 5th printing (1998) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 53 si