(Luận văn) phương trình bậc ba và một số vấn đề liên quan trong hình học phẳng

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN BỊI TỈN NÚ THANH XU…N lu an n va tn to p ie gh PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN TRONG HœNH HÅC PHNG d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC m co l gm @ an Lu n va B¼nh ành - 2020 ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si BË GIO DÖC V O TO TRìNG I HC QUY NHèN BềI TặN NÚ THANH XU…N lu an n va p ie gh tn to PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN TRONG HœNH HÅC PHNG d oa nl w an lu oi lm ul nf va LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh Chuy¶n ng nh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 8.46.01.13 z gm @ TS L– THANH HI˜U m co l Ng÷íi hữợng dăn khoa hồc: an Lu n va Bẳnh nh - 2020 ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mưc lưc lu LÍI MÐ †U Mët số kỵ hiằu KIN THC CHUN B an n va iii v CC B‡T NG THÙC „I SÈ QUAN TRÅNG 1.2 CC CỈNG THÙC L×ĐNG GIC CC H› THÙC L×ĐNG CÌ BƒN TRONG TAM GIC TNH CH‡T NGHI›M CÕA PH×ÌNG TRœNH BŠC BA tn to 1.1 1.3 gh 1.4 ie MÈI LI–N H› GIÚA CC NGHI›M CÕA MËT SÈ PH×ÌNG TRœNH BŠC p 1.5 15 w BA PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ CC H› THÙC LI–N QUAN ˜N CC d 2.1 oa nl PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ H› THÙC L×ĐNG TRONG TAM GIC 19 19 2.1.1 Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo cÔnh tam giĂc 2.1.2 Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng cao tam giĂc 22 2.1.3 Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng trung tuyán 24 2.1.4 Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng phƠn giĂc 2.1.5 Hằ thống bi têp cĂc hằ thực và cĂc ữớng cõa tam gi¡c oi lm ul nf va 19 26 29 z at nh 2.2 an lu ×ÍNG CÕA TAM GIC PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ CC H› THÙC LI–N QUAN ˜N BN KNH CC ×ÍNG TRÁN NËI, NGO„I V€ B€NG TI˜P Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo bĂn kẵnh ữớng trỏn z 2.2.1 @ bng tiáp tam giĂc Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo bĂn kẵnh cĂc ữớng l trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc m co 2.2.3 38 gm 2.2.2 38 40 H» thèng b i tªp c¡c h» thùc v· b¡n kẵnh cĂc ữớng trỏn bng tiáp, an Lu nởi, ngoÔi tiáp cừa tam giĂc 41 n va i ac th si 2.3 PH×ÌNG TRœNH BŠC BA V€ CC H› THÙC V— CC GÂC CÕA TAM GIC 47 2.3.1 Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo h m sin c¡c gâc 47 2.3.2 Ph÷ìng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo hm cổsin cĂc gõc 49 2.3.3 Phữỡng trẳnh bêc ba câ nghi»m l  c¡c y¸u tè theo h m tang ho°c cætang c¡c gâc 2.3.4 52 H» thèng b i tªp mët sè h» thùc l÷đng gi¡c tam gi¡c 55 CC B‡T NG THÙC TRONG TAM GIC 3.1 lu an n va tn to B‡T NG THÙC V— CC ×ÍNG CÕA TAM GIC 67 3.1.1 BĐt ng thực và cĂc cÔnh cừa tam giĂc 67 3.1.2 BĐt ng thực hẳnh hồc chựa 81 3.1.3 B§t ¯ng thùc v· c¡c ÷íng cao 84 3.1.4 B§t ¯ng thùc v· ữớng trung tuyán 87 3.1.5 BĐt ng thực và cĂc ữớng phƠn gi¡c 90 3.1.6 BĐt ng thực và bĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp x = p − a, y = p − b, z = p − c 91 B‡T NG THÙC V— CC GÂC CÕA TAM GIC 95 3.2.1 B§t ¯ng thùc lữủng giĂc chựa p ie gh 3.2 67 3.2.2 BĐt ¯ng thùc l÷đng gi¡c chùa 3.2.4 95 100 BĐt ng thực lữủng giĂc chựa tang hoc cổtang c¡c gâc B§t ¯ng thùc chùa oa nl w 3.2.3 sin A, sin B, sin C cos A, cos B, cos C B C A sin , sin , sin 2 A B C cos , cos , cos 2 107 113 B§t ¯ng thùc chùa 117 3.2.6 B§t ¯ng thùc chùa tang ho°c cætang c¡c nûa gâc 120 3.2.7 B§t ¯ng thùc chựa bẳnh phữỡng cừa tang hay cổtang cĂc nỷa gõc 123 d 3.2.5 va an lu 126 127 oi lm ul nf K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o z at nh z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si LÍI MÐ †U Ôi số, GiÊi tẵch v Hẳnh hồc l nhỳng phƠn mổn cỡ bÊn cĐu thnh nản mổn ToĂn phờ thổng Chúng cõ mối liản hằ cht ch vợi v mối liản hằ ny l mởt vĐn à Ăng quan tƠm hiằn Phữỡng trẳnh bêc ba Ôi số v mởt số vĐn à liản quan án tam giĂc lu Hẳnh hồc phng, Ãu l nhỳng kián thực gƯn gụi ối vợi nhỳng hồc v nghiản cựu an ToĂn hồc Chúng cụng thữớng hay xuĐt hiằn c¡c ký thi chån håc sinh giäi c¡c c§p va Tuy nhi¶n, mèi li¶n h» giúa chóng, °c bi»t l phữỡng phĂp sỷ dửng phữỡng trẳnh bêc ba  n to chùng minh c¡c h» thùc tam gi¡c, ữớng trỏn lÔi chữa ữủc nhiÃu ngữới khĂm phĂ gh tn BÊn thƠn tĂc giÊ cho rơng Ơy l mởt chuyản à hay v tữỡng ối khõ ối vợi hồc sinh phê thỉng v  cơng phị hđp c¡c ký thi hồc sinh giọi cĂc cĐp ie p Luên vôn  nhơm mửc ẵch tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt cừa phữỡng trẳnh bêc ba, c biằt l tẵnh phng  Phữỡng trẳnh bêc ba v mởt số vĐn à liản quan hẳnh hồc nl w chĐt cừa cĂc nghiằm, tẳm tỏi mối quan hằ giỳa mởt ối tữủng Ôi số l phữỡng trẳnh bêc ba oa vợi hẳnh håc ph¯ng, v  ùng döng cõa nâ v o vi»c gi£i mởt số dÔng toĂn liản quan án hằ d thực lữủng tam giĂc v ữớng trỏn Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham lu khÊo, Luên vôn gỗm cõ chữỡng nhữ sau: va an Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực chuân b phửc ul nf vử cho cĂc chựng minh phƯn sau Nởi dung gỗm: cĂc bĐt ng thực cỡ bÊn, cĂc hằ thực lữủng cì b£n tam gi¡c v  ÷íng trán, ; c¡c tẵnh chĐt v cổng thực cỡ bÊn liản quan oi lm án nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba nhữ cổng thực nghiằm, nh lẵ Vite, cĂc tẵnh chĐt ối xựng, nh lẵ Sturm, sỹ xĂc nh phữỡng trẳnh bêc nhªn ba sè °c bi»t l m nghi»m, trẳnh by mởt số dÔng toĂn và cĂc z at nh Chữỡng 2: Phữỡng trẳnh bêc ba v hằ thực lữủng tam giĂc Chữỡng ny ng thực liản quan án cĂc ữớng v cĂc gõc cừa tam z giĂc bơng cĂch Ăp dửng cĂc tẵnh chĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba Nởi dung chừ yáu @ gm gỗm: cĂc ng thực liản quan án phữỡng trẳnh bêc ba v cĂc hằ thực và cĂc cÔnh, cĂc ữớng cao, trung tuyán, ữớng phƠn giĂc, bĂn kẵnh cừa cĂc ữớng trỏn nởi, ngoÔi v bng tiáp v Dỹa vo cĂc kát quÊ  biát bĐt ng thực tam giĂc an Lu cĂc chữỡng trữợc, chữỡng ny trẳnh by hằ thống cĂc m co Chữỡng 3: CĂc b§t ¯ng thùc tam gi¡c l c¡c gâc cừa tam giĂc n va iii ac th si Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi TS Lả Thanh Hiáu - ngữới  tên tẳnh hữợng dăn  em cõ th hon thnh luên vôn ny Em cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi ton th thƯy cổ giĂo khoa ToĂn v thống kả, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn  dÔy bÊo em suốt thới gian hồc têp tÔi Tr÷íng º em câ ÷đc n·n t£ng tri thùc cơng nhữ kinh nghiằm cuởc sống quỵ bĂu lm hnh trang cho tữỡng lai Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b  ởng viản, khẵch lằ v giúp ù em suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Cuối cũng, em xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi Quỵ thƯy cổ hởi ỗng chĐm luên vôn  dnh thới gian quỵ bĂu  xem xt v gõp ỵ cho nhỳng im cỏn thiáu sõt, giúp em rút ữủc kinh nghiằm cho luên vôn cụng nhữ quĂ trẳnh nghiản cựu sau ny RĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo tên lu tẳnh cừa Quỵ thƯy cổ cụng nhữ sỹ gõp ỵ cừa cĂc bÔn an Mc dũ hát sực cố gưng luên vôn khỉng tr¡nh khäi nhúng sai sât, t¡c gi£ r§t mong n va nhên ữủc sỹ gõp ỵ v nhỳng ỵ kián phÊn biằn cừa Quỵ thƯy cổ v bÔn ồc Xin ch¥n th nh c£m ìn! to tn Quy Nhìn, ng y 28 thĂng nôm 2020 gh Hồc viản p ie Bịi Tỉn Nú Thanh Xu¥n d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va iv ac th si Mởt số kỵ hiằu lu an n va ở di cĂc cÔnh BC, CA, AB cõa tam gi¡cABC nûa chu vi cõa tam gi¡c di»n tẵch tam giĂc ABC lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp cừa tam giĂc A cừa ABC bĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp ựng nh ữớng cao nối tứ nh A cừa tam giĂc ữớng trung tuyán nối tứ nh ữớng phƠn giĂc nối tứ nh A A tam gi¡c ABC ABC ABC cõa tam gi¡c cõa tam gi¡c p ie gh tn to a, b, c: a+b+c p= : S, S∆ABC : r, R: : : ma : la : d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va v ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si A B 3.2.4 B§t ¯ng thùc chùa sin , sin , sin B i 3.53 B C A + sin + sin ≤ 2 2 A B C 2R − r sin2 + sin2 + sin2 = ≥ 2 2R A B C r sin sin sin = ≤ 2 4R A B C A B C sin2 + sin2 + sin2 ≥ sin sin sin 2 2 2 2 B C 8R − p + r A p2 − 8Rr + r2 sin4 + sin4 + sin4 = ≥ 2 8R2 16R2 a) sin b) c) d) e) lu an Gi£i C (3.2.34) (3.2.35) (3.2.36) (3.2.37) (3.2.38) a) Ta câ n va p ie gh tn to C π C π + − B C π A+B A−B A cos cos + sin sin + sin + sin + sin = sin 2 4 2  π π π C + A + B + C + A + B − C − A+B  = sin cos ≤ sin + sin 4 8 π = sin π = d oa nl ≤ sin w A+B+C + sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 va b) Theo (2.3.58) ta câ an lu Do â 2R − r A B C + sin2 + sin2 = 2 2R p dưng b§t ¯ng thùc Euler oi lm ul nf sin2 R ≥ 2r ta câ z at nh 2R − r ≥ ⇔ 4R − 2r ≥ 3R ⇔ R ≥ 2r 2R @ A 2B C r2 A B C r sin sin2 = ⇔ sin sin sin = 2 2 16R 2 4R ta câ r r ≤ = 4R 8r d) Theo (2.3.58) v  (2.3.60) ta câ an Lu (3.2.37) ⇔ m co R ≥ 2r l p dưng b§t ¯ng thùc Euler gm sin2 z c) Theo (2.3.60) ta câ n 113 va 2R − r r ≥6 ⇔ 2R ≥ 4r ⇔ R ≥ 2r 2R 4R ac th si B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc Euler e) Theo (2.3.63) ta câ sin4 B C A 8R2 − p2 + r2 + sin4 + sin4 = 2 8R2 Khi â 8R2 − p2 + r2 p2 − 8Rr + r2 (3.2.38) ⇔ ≥ 8R2 16R2 2 ⇔ 16R + r + 8Rr ≥ 3p2 lu ⇔ 3p2 ≤ 12R2 + 12Rr + 9r2 + 4R2 − 4Rr − 8r2 ⇔ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 + (R − 2r)(R + r) B§t ¯ng thùc n y óng theo b§t ¯ng thùc Euler R ≥ 2r v  b§t ¯ng p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 thùc Gerretsen an n va Vêy cĂc bĐt ng thực ữủc chựng minh √ B C A a) sin A sin B sin C ≤ 18 sin sin sin ≤ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A 2   3 A B C b) sin A + sin B + sin C ≤ (sin A + sin B + sin C) sin + sin + sin 2 A B C c) cos A cos B cos C ≤ sin sin sin 2 p ie gh tn to B i 3.54 oa nl w a) Theo (2.3.43) v  (2.3.60) ta câ √ √ √ pr A B C r 3 sin A sin B sin C ≤ 18 sin sin sin ⇔ ≤ 18 ⇔p≤ R 2 2R 4R d Gi£i va an lu B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) oi lm ul nf Theo (2.3.42) v  (2.3.60) A B C sin sin ≤ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A 2 2 r p + r + 4Rr ⇔ 18 ⇔ 18Rr ≤ p2 + r2 + 4Rr ⇔ 14Rr ≤ p2 + r2 ≤ 4R 4R2 z at nh 18 sin z gm @ B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) b) Theo (2.3.41), (2.3.55), (2.3.58) ta câ  l A B C sin A + sin B + sin C ≤ (sin A + sin B + sin C) sin + sin2 + sin2 2 2 p(p − 3r − 6Rr) p 2R − r ⇔ ≤ ⇔ p2 − 3r2 − 6Rr ≤ 4R2 − 2Rr 4R R 2R ⇔ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 3  m co an Lu n va 114 ac th si B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc Gerretsen c) Theo (2.3.67) v  (2.3.60) ta câ cos A cos B cos C ≤ sin B C p2 − (2R + r)2 A r sin sin ⇔ ≤ 2 2 4R 4R 2 ⇔ p − (2R + r) ≤ Rr ⇔ p2 ≤ 4R2 + 5Rr + r2 B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ng thực (3.1.6) Vêy cĂc bĐt ng thực ữủc chựng minh B i 3.55 cot2 A + cot2 B + cot2 C + ≥ lu an A B C sin sin sin 2 (3.2.39) Theo (2.3.47) v  (2.3.86) ta câ n va Gi£i 1 1 + + 2 sin A sin B sin2 C v  p ie gh tn to cot2 A + cot2 B + cot2 C + = oa nl w = B C A sin sin sin 2 A B C cos cos 2 = sin A + sin B + sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin C cos d = an lu 1 1 1 + + + + ≥ 2 sin B sin C sin C sin A sin A sin B sin A sin B sin C 2 n y óng v¼ a + b + c ≥ ab + bc + ca vỵi måi a, b, c oi lm ul nf va (3.2.39) ⇔ B§t ¯ng thùc 1 + + sin B sin C sin C sin A sin A sin B B i 3.56 z at nh 1r r 3r r(2R − r) A B B C C A + ≤ ≤ ≤ sin sin + sin sin + sin sin R 8R 8R 4R2 2 2 2 2 2 p + r − 8Rr R + r − Rr r 5r ≤ ≤ = − ≤ − 2 16R 4R 16 4R 8R (3.2.40) z gm @ Gi£i Theo (2.3.59) ta câ l A 2B B C C A p2 + r2 − 8Rr sin + sin2 sin2 + sin2 sin2 = 2 2 2 16R2 m co sin2 v  an Lu C¡c b§t ¯ng thùc R2 + r2 − Rr r 5r ≤ − ≤ − 4R 16 4R 8R óng theo b§t 115 n va 1r r 3r r(2R − r) + ≤ ≤ R 8R 8R 4R2 ac th si ¯ng thùc Euler B§t ¯ng thùc r(2R − r) p2 + r2 − 8Rr R2 + r2 − Rr ≤ ≤ 4R2 16R2 4R2 ⇔4r(2R − r) ≤ p2 + r2 − 8Rr ≤ 4(R2 + r2 − Rr) ⇔ 16Rr − 5r2 ≤ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thực Gerretsen Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh Bi 3.57 18R 6R R ≤ 12 ≤ ≤8 −4≤ 2R − r r r + lu B C sin2 sin2 2  2  2 2 p − 8Rr + r R R R R = ≤5 −4 ≤8 − 10 r r r r r an n va (3.2.41) Theo (2.3.61) ta câ tn to Gi£i sin2 A + gh p ie sin2 A + sin2 B + sin2 C = p2 − 8Rr + r2 r2 w C¡c b§t ¯ng thùc d oa nl 18R ≤ 12 ⇔ 18R ≤ 24R − 12r ⇔ 2r ≤ R; 2R − r R 6R ≤ − ⇔ 12r ≤ 6R ≤ 8R − 4r ⇔ 2r ≤ R; 12 ≤ r r  2  2  2 R R R R R R R −4 ≤8 − 10 ⇔ ≤ ⇔2≤ r r r r r r r oi lm B§t ¯ng thùc ul nf va an lu óng theo b§t ¯ng thùc Euler z at nh p2 − 8Rr + r2 R −4≤ ≤5 r r2  2 R R −4 r r z ⇔8Rr − 4r2 ≤ p2 − 8Rr + r2 ≤ 5R2 − 4Rr @ B§t ¯ng thùc p2 ≥ 16Rr − 5r2 B§t ¯ng thùc p2 + r2 ≤ 5R2 + 4Rr l gm ⇔16Rr − 5r2 ≤ p2 ≤ 5R2 + 4Rr − r2 l  b§t ¯ng thùc Gerretsen m co l bĐt ng thực (3.1.6) an Lu Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh n va 116 ac th si A B 3.2.5 B§t ¯ng thùc chùa cos , cos , cos B i 3.58 B C A 4R + r p2 + cos2 + cos2 = ≤ ≤ 2 √ 2R 6Rr A B C 3 < cos + cos + cos ≤ 2 2 √ 1 + + ≥ A B C cos cos cos 2 √ B C p 3 A ≤ cos cos cos = 2 4R < cos2 a) b) c) d) lu Gi£i C (3.2.42) (3.2.43) (3.2.44) (3.2.45) an n va B C 4R + r A + cos2 + cos2 = B§t ¯ng thùc < 2 2R r 4R + r 4R + r 2+ = l hin nhiản Theo bĐt ng thùc Euler ta câ ≤ B§t ¯ng thùc 2R 2R 2R p2 27 ≤ ⇔ p2 ≥ Rr l  b§t ¯ng thùc (3.1.6) 6Rr cos2 a) Theo (2.3.78) ta câ tn to b) ie gh Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh p  2   B C 27 A B C A + cos + cos cos + cos + cos ≤ cos ≤ = 2 2 2 4 √ A B C 3 Khai côn hai vá ta ữủc cos + cos + cos ≤ 2 2 A B C A B C Do , , l  nhúng gâc nhån n¶n < cos , cos , cos < Suy 2 2 2 d oa nl w an lu A A B B C C > cos2 ; cos > cos2 ; cos > cos2 2 2 2 ul nf va cos A B C A B C 4R + r + cos + cos > cos2 + cos2 + cos2 = > 2 2 2 2R Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh cos B + cos C ≥ B cos +  ≥ C cos √ √ ≥ √ = A B C 3 3 cos + cos + cos ≤ 2 2 an Lu A 1 m co cos + + l A cos gm Tø (3.2.43) suy  @  √ ! A B C 3  cos + cos + cos ≤  2 2 z c) z at nh cos oi lm Vªy ta câ n va 117 ac th si DĐu bơng xÊy v ch tam giĂc ABC ·u d) Theo (2.3.80) ta câ cos2 Suy B C p2 A cos2 cos2 = 2 16R2 A B C p cos cos = 2 4R √ √ 3 3R p ≤ ⇔p≤ thùc 4R cos B§t ¯ng l bĐt ng thực (3.1.6) Vêy bĐt ng thực ữủc chùng minh B i 3.59 ab sin lu an Gi£i √ C A B + bc sin + ca sin ≥ 3S 2 (3.2.46) Theo (3.2.44) ta câ va √ abc C A B + bc sin + ca sin ≥ 2 4R C C B C A B √ √ sin sin sin ab sin + bc sin + ca sin 2 ≥ + + ≥ ⇔ ⇔ abc 2R c c b 2R C C B √ sin sin sin √ 1 2 ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ A B C 2R sin C 2R sin A 2R sin B 2R cos cos cos 2 n (3.2.46) ⇔ ab sin p ie gh tn to d oa nl w va an lu B i 3.60 nf sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ sin2 A + sin2 B + sin2 C A B C ≤ cos2 + cos2 + cos2 2 Theo (2.3.42), (2.3.46), (2.3.78) ta câ (3.2.47) ⇔ z at nh Gi£i oi lm ul (3.2.47) z 4R + r p2 − 4Rr − r2 p2 + r2 + 4Rr ≥ ≥ 2R 2R2 4R2 @ gm B§t ¯ng thùc m co l 4R + r p2 − 4Rr − r2 ≥ ⇔ 4R2 + Rr ≥ p2 − 4Rr − r2 ⇔ p2 ≤ 4R2 + 5Rr + r2 2R 2R2 l  b§t ¯ng thùc (3.1.6) an Lu n va 118 ac th si B§t ¯ng thùc p2 − 4Rr − r2 p2 + r2 + 4Rr ≥ 2R2 4R2 ⇔2(p2 − 4Rr − r2 ) ≥ p2 + r2 + 4Rr ⇔ p2 ≥ 3r(4R + r) l bĐt ng thực (3.1.6) Vêy bĐt ng thực ữủc chùng minh B i 3.61 lu 27r (1) 8R + 11r (2) 4R2 + 6Rr − r2 (3) A B B C C A ≤ ≤ ≤ cos cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 8R 8r 4R 2 2 2 2 (5) 2 (4) (6) 5R + 3Rr + r 10R + 7r 27 p + (4R + r) ≤ ≤ ≤ (3.2.48) = 2 16R 4R 8R 16 an Theo (2.3.79) ta câ n va Gi£i to A p2 + (4R + r)2 B B C C A cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 = 2 2 2 16R2 gh tn cos2 ie C¡c b§t ¯ng thùc 27r 8R + 11r ≤ ⇔ 27r ≤ 8R + 11r ⇔ 16r ≤ 8R ⇔ 2r ≤ R; 8R 8r 4R + 6Rr − r2 8R + 11r ≤ ⇔ 8R2 + 11Rr ≤ 8R2 + 12Rr − 2r2 ⇔ 2r ≤ R; 8r 4R2 5R2 + 3Rr + r2 10R + 7r ≤ ⇔ 10R2 + 6Rr + 2r2 ≤ 10R2 + 7Rr ⇔ 2r ≤ R; 4R 8R 10R + 7r 27 ≤ ⇔ 20R + 14r ≤ 27R ⇔ 14r ≤ 7R ⇔ 2r ≤ R 8R 16 p (1) d oa an lu (6) nl (5) w (2) C¡c b§t ¯ng thùc (3) v  (4) oi lm ul nf va óng theo b§t ¯ng thùc Euler z at nh p2 + (4R + r)2 5R2 + 3Rr + r2 4R2 + 6Rr − r2 ≤ ≤ 4R2 16R2 4R2 2 2 ⇔16R + 24Rr − 4r ≤ p (4R + r) ≤ 20R + 12Rr + 4r2 z ⇔16Rr − 5r2 ≤ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 @ gm óng theo b§t ¯ng thùc Gerretsen m co l Vêy bĐt dng thực ữủc chùng minh an Lu n va 119 ac th si 3.2.6 B§t ¯ng thùc chùa tang ho°c cỉtang c¡c nûa gâc B i 3.62 √ B C 4R + r 9Rr 9R2 A ≤ ≤ ≤ tan + tan + tan = 2 p 2S 4S A B C r tan tan tan = ≤ √ 2 p 3 B C A cot A + cot B + cot C ≥ tan + tan + tan 2 √ A B C A B C p cot + cot + cot = cot cot cot = ≥ 3 2 2 r 2  A B C A B C cot + cot + cot ≥ tan + tan + tan 2 2 2 a) b) c) d) e) lu Gi£i (3.2.49) (3.2.50) (3.2.51) (3.2.52) (3.2.53) an Theo (2.3.96) ta câ va tan n to tn √ B§t ¯ng thùc 4R + r p 3≤ A B C 4R + r + tan + tan = 2 p óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) ie gh p B§t ¯ng thùc oa nl w 9Rr 9R2 4R + r 9Rr 9R2 4R + r ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ 16Rr + 4r2 ≤ 18Rr ≤ 9R2 p 2S 4S p 2S 4pr óng theo b§t ¯ng thùc Euler d lu b) Theo (2.3.94) ta câ an A B C r tan tan = 2 p √ r ≤ √ ⇔ p ≥ 3r óng theo b§t ¯ng p 3 tan c) Theo (2.3.83), (2.3.92) ta câ p2 − 4Rr − r2 4R + r ≥ ⇔ p2 − 4Rr − r2 ≥ 2r(4R + r) ⇔ p2 ≥ 12Rr + 3r2 2pr p z at nh (3.2.51) ⇔ thùc (3.1.6) oi lm ul nf va B§t ¯ng thùc B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) z @ d) Theo (2.3.94) v  (2.3.96) ta câ gm A B C A B C p + cot + cot = cot cot cot = 2 2 2 r √ p ≥ 3 óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) R cot m co l B§t d¯ng thùc e) Theo (2.3.36) v  (2.3.94) ta câ an Lu (3.2.53) ⇔ p 4R + r ≥3 ⇔ p2 ≥ 3r(4R + r) r p n va 120 ac th si úng theo bĐt ng thực (3.1.6) Vêy cĂc bĐt d¯ng thùc ÷đc chùng minh B i 3.63 B C A cos2 cos2 + + ≥ 27r = 27 a b c 8S 8p cos2 Gi£i (3.2.54) Theo cổng thực hÔ bêc v nh lẵ hm số sin,ta câ B C A   cos2 cos2 + + = 1 + cos A + + cos B + + cos C a b c a b c    1 1 cos A cos B cos C = + + + + + a b c 2R sin A 2R sin B 2R sin C   1 1 + + + (cot A + cot B + cot C) = a b c 4R cos2 lu an va n Tø (2.1.40) v  (2.3.83) ta câ to p ie gh tn   1 1 + + (cot A + cot B + cot C) + a b c 4R p2 + 4Rr + r2 p2 − 4Rr − r2 + = 2pRr 2pr 2 2p p p 27r = = = ≥ 8pRr 4pRr 4RS 8S oa nl w d vẳ theo bĐt ng thực (3.1.6) ta cõ 27 Rr suy p2 27r ≥ R va an B B C C A 4R + r A cot + cot cot + cot cot = ≤ 2 2 2 r Theo (2.3.96) ta câ cot 9R ≤ A B C 2r sin sin sin 2 (3.2.55) z at nh Gi£i oi lm ul nf ≤ cot lu B i 3.64 p2 ≥ z A B B C C A 4R + r cot + cot cot + cot cot = 2 2 2 r gm @ Theo (2.3.60) ta câ 4R + r 9R ≤ = r r 2r 4R ⇔ 18r ≤ 8R + 2r ≤ 9R ⇔ 2r ≤ R m co l (3.2.55) Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh an Lu BĐt ng thực cuối óng theo b§t ¯ng thùc Euler n va 121 ac th si B i 3.65 (Romanian Mathematical Magazine) b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + + ≥ 24S A B C tan tan tan 2 Gi£i (3.2.56) Ta câ lu b + c c + a2 a2 + b + + A B C tan tan tan 2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 = + + + + + A A B B C C tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 (b + c + c + a + a + b) 16p =   =  A B C A B C tan + tan + tan tan + tan + tan 2 2 2 an n va tn to Tø (2.3.36) ta câ gh tan A B C 4R + r + tan + tan = , 2 p p ie suy 8p3 ≥ 24S ⇔ p2 ≥ 3r(4R + r) 4R + r nf va an lu B§t ¯ng thùc d oa nl w 16p2 b + c c + a2 a2 + b 16p2 8p3 = + + ≥  = A B C 4R + r A B C 4R + r tan tan tan 2 tan + tan + tan 2 p 2 óng theo bĐt ng thực (3.1.6) ul oi lm Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh Bi 3.66 Gồi I l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ABC, AI, BI, CI lƯn lữủt cưt ữớng z at nh trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc tÔi A1, B1, C1 Khi õ ta cõ 2R − r IA1 IB1 IC1 + + = ≥ IA IB IC r z (3.2.57) m co l gm @ an Lu n va 122 ac th si Gi£i Ta câ lu A+C A B AC1 sin 2R sin cos IC.CA1 sin ICA1 IA1 SIA1 C 2 = = = = C C IA SIAC IC.CA sin ICA AC sin 2R sin B sin 2 B B+C B+C cos cos 2R cos 2 = = B B C B C 2R.2 sin cos sin sin sin 2 2 B C B C cos cos − sin sin = C B sin sin 2  B C cot cot − = 2 an va n T÷ìng tü to     A C IC1 B A cot cot − ; = cot cot − 2 IC 2 ie gh tn IB1 = IB p Theo (3.2.55), b§t ¯ng thùc Euler v  c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n suy d oa nl w   B B C C A A IA1 IB1 IC1 + + = cot cot + cot cot + cot cot − IA IB IC 2 2 2   4R + r 2R − r = −3 = ≥ r r nf va an lu oi lm ul 3.2.7 BĐt ng thực chựa bẳnh phữỡng cừa tang hay cổtang c¡c nûa gâc a) z at nh B i 3.67  2 4R + r A (4R + r)2 − 2p2 B C tan + tan + tan = = − ≥ 2 p2 p A B C A B C tan2 + tan2 + tan2 ≥ − sin sin sin 2 2 2 z (3.2.58) (3.2.59) a) Theo (2.3.100) ta câ  4R + r p 2 − an Lu A B C (4R + r)2 − 2p2 tan + tan2 + tan2 = = 2 p2 m co l gm Gi£i @ b) n va 123 ac th si B§t ¯ng thùc √ (4R + r)2 − 2p2 ≥ ⇔ 4R + r ≥ p p2 óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) b) Theo (2.3.100) v  (2.3.58) ta câ (3.2.59) ⇔ (4R + r)2 − 2p2 r ≥2−8 p 4R ⇔ R(4R + r)2 ≥ 2p2 (2R − r) ⇔ p2 ≤ R(4R + r)2 2(2R − r) B§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6) Vêy cĂc bĐt ng thực ữủc chựng minh lu B i 3.68 an n va 2(cos A + cos B + cos C) + tan2 (3.2.60) Theo (2.3.21) v  (2.3.100) ta câ gh tn to Gi£i A B C + tan2 + tan2 ≥ 2 R + r (4R + r)2 − 2p2 2r (4R + r)2 + ≥ ⇔ + ≥4 R p2 R p2 R(4R + r)2 ⇔ 2rp2 + R(4R + r)2 ≥ 4p2 R ⇔ p2 ≤ 2(2R − r) (3.2.60) ⇔ p ie nl w oa B§t ¯ng thực cuối úng theo bĐt ng thực (3.1.6) d Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh lu va B C p2 − 8Rr − 2r2 4R2 − 4Rr + r2 A + cot2 + cot2 = ≤ 2 r2 r2 nf ≤ cot2 an B i 3.69 (3.2.61) oi lm ul Gi£i Theo (2.3.106) ta câ A B C p2 − 8Rr − 2r2 + cot2 + cot2 = 2 r2 z at nh cot2 z Ta câ @ B§t ¯ng thùc 8Rr + 11r2 ≤ p2 m co l gm p2 − 8Rr − 2r2 4R2 − 4Rr + r2 (3.2.61) ⇔ ≤ ≤ r2 r2 2 ⇔ 8Rr + 11r ≤ p ≤ 4R + 4Rr + 3r2 óng theo (3.1.6) v  b§t ¯ng thùc p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 an Lu l  b§t ¯ng thực Gerretsen Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh n va 124 ac th si B i 3.70 cot2 Gi£i A B C p2 R cot2 cot2 = ≥ 16 − ≥ 27 2 r r (3.2.62) Theo (2.3.105) ta câ cot2 B§t ¯ng thùc B C p2 A cot2 cot2 = 2 r R p2 ≥ 16 − ⇔ p2 ≥ 16Rr − 5r2 r r câ b§t ¯ng thùc ci óng theo b§t ¯ng thùc Gerretsen B§t ¯ng thùc 16 R − ≥ 27 r óng theo b§t ng thực Euler lu an Vêy bĐt ng thực ữủc chùng minh n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va 125 ac th si K˜T LUN Trong luên vôn ny chúng tổi  Ôt ữủc mët sè k¸t qu£ sau: (1) Chùng minh v  h» thống gƯn 100 phữỡng trẳnh bêc ba vợi cĂc hằ sè ch¿ chùa y¸u tè lu cì b£n l  nỷa chu vi v bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp cừa mởt tam giĂc (xem an cĂc mửc 2.1.1 - 2.1.4; 2.2.1; 2.2.2; 2.3.1 - 2.3.3) n va (2) PhƠn loÔi khoÊng 400 ng thực v bĐt ng thực theo tứng dÔng cõ lới giÊi chi tiát luên vôn ny, bÔn ồc cõ th chựng minh cĂc ng thực, bĐt ng thực bơng phữỡng gh tn to Tứ õ, bÔn ồc cõ th sĂng tÔo thảm nhiÃu hằ thực thú v khĂc Sỷ dửng ỵ tững ie phĂp Ôi số hõa qua phữỡng trẳnh bêc ba m khổng cƯn án cĂc bián ời lữủng giĂc p cỗng kÃnh hoc v hẳnh phực tÔp (xem cĂc mửc 2.1.5; 2.2.3; 2.3.4; 3.1; 3.2) nl w Luên vôn ny gõp phƯn giúp hồc sinh v giĂo viản phờ thổng cõ thảm mởt gõc nhẳn mợi d oa và mối quan hằ giỳa Ôi số v hẳnh hồc oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va 126 ac th si T i li»u tham kh£o T i li»u Ti¸ng Viằt [1] TrƯn Phữỡng, Nhỳng viản kim cữỡng bĐt ¯ng thùc to¡n håc, NXB tri thùc, 2009 lu an [2] TÔ Duy Phữủng, Phữỡng trẳnh bêc ba v cĂc h» thùc tam gi¡c, NXB Gi¡o döc Vi»t Nam, 2006 n va [3] PhÔm Vôn Thữ, vôn thÔc sắ, Trữớng Ôi hồc ThĂi Nguyản, 2012 Ti liằu Tiáng Anh p ie gh tn to Mởt số tẵnh chĐt cừa a thực ối xựng v ựng dửng Ôi số, Luªn [4] R B Manfrino, J A G Ortega, R V Delgato, d oa nl w Approach., Berlin, 2009 Inequalities: A mathematical Olympiad oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va 127 ac th si