ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC. + Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng. + Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ. + Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Talét để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 4: Sử dụng định lý Talét đảo để chứng minh các đường thẳng song song. + Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Talét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC. + Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hai đường thẳng song song. + Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh tứ giác hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vuông. + Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đường trung bình tam giác. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC. + Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chững minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song.
PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 1/13 Hình học phẳng A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1.Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN PQ có tỉ lệ thức AB MN CD PQ Định lí Thales Định lí: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định ta hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Trong hình vẽ, MN // BC AM = AN MB NC MB AM + MB AB Do AM Suy AM = AN ; = = = AN NC AN + NC AC AB AC Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác Trong hình vẽ, có hai tỉ lệ thức : AM AN MB NC , = = AB AC AB AC ta có MN // BC; Hệ định lí Thales đảo Hệ quả: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh BC cắt cạnh AB; AC M N Khi , ta có : AM AN MN = = AB AC BC ; PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/13 Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng d song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Viết tỉ số cặp đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ Ví dụ Đoạn thẳng AB gấp lần đoạn thẳng CD , đoạn thẳng A′B′ gấp lần đoạn thẳng CD a) Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB A′B′ ĐS: b) Cho biết đoạn thẳng MN = 55 cm M ′N ′ = 77 cm; hỏi hai đoạn thẳng AB A′B′ có tỉ lệ với đoạn thẳng MN M ′N ′ không? ĐS: Có tỉ lệ Lời giải AB 5CD a) = = A′B′ 7CD b) MN = 55= 5= AB= MN Vậy hai đoạn thẳng AB A′B′ tỉ lệ với đoạn thẳng MN M ′N ′ M ′N ′ 77 A′B′ M ′N ′ Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có nhờ định lí Ta-lét Bước 2: Sử đụng độ dài đoạn thẳng có vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng PHIẾU BÀI TẬP TỐN Ví dụ Tính x trường hợp sau Trang 3/13 a) b) c) ĐS: x = ĐS: x = 6,8 ĐS: x = 2,8 Lời giải a) AM AN = MB NC x = 10 x=2 b) KN KO = KL KM = x + 3,5 x = 6,8 c) PS PT = SQ TR = x 8,5 − x = 2,8 Ví dụ Cho hình thang ABCD có ( AB CD) AB < CD Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD , BC theo thứ tự M , N Chứng minh a) MA = NB ; AD BC b) MA = NB ; MD Lời giải Gọi giao điểm AD BC E NC c) MD = NC DA CB PHIẾU BÀI TẬP TỐN a) Vì AB CD nên EA EB = AM BN Trang 4/13 EA EB = AD BC AB MN nên Từ điều suy MA = NB AD BC AD EA AM b) Theo ý a) ta có MA nên theo tính = = = tỉ lệ thức NB BC EB BN − AM MD suy MA AD = = NB BC − BN NC Vậy MA = NB MD NC DA MA c) Theo ý b) ta có MD nên theo tính chất tỉ lệ thức suy = = NC CB NB MD MD + MA AD = = NC NC + NB BC Vậy MD = NC DA CB Dạng 3: Sử dụng hệ định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ định lý Ta-lét Bước 2: Sử dụng độ dài đoạn thẳng có vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm Ví dụ Tính x trường hợp sau a) b) Lời giải a) MN =AM = ⇒ MN − BC =2 ⋅ 6,5 =2, (đvđd) BC b) AB 3+ 5 chất PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/13 OP PQ = ON MN x 5, = 52 x= (dv dd) 15 Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , MN BC ( M ∈ AB, N ∈ AC ) , AB = 24 cm, AM = 16 cm, AN = 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng NC NB Lời giải Theo định lí Ta-lét AM = AN AB AC AB ⋅ AN 24 ⋅12 = = 18(cm) , AM 16 ⇒ AC= ⇒ NC = AC − AN = cm Lại có tam giác ANB vng A Tính NB = AN + AB = 12 Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác Bước 2: Sử dụng định lý đảo định lý Ta-lét để chứng minh đoạn thẳng song song Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB CD) Gọi trung điểm đường chéo AC BD M , N Chứng minh MN , AB CD song song với Lời giải Gọi giao điểm hai đường chéo O Vì AB CD nên OC = OD OA ⇒ OB OC + OA OD + OB = OA OB Suy AC = BD OA OB Từ AC = AM BD = BN Suy AM = BN ⇒ AM = BN OA OB OA OB Theo tính chất tỉ lệ thức ta có AM − OA = BN − OB hay OM = ON OA OB OA OB Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy MN AB mà AB CD (do ABCD hình thang) nên MN AB CD PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 6/13 Dạng 5: Sử dụng hệ định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng Ví dụ Cho tam giác ABC có BC = 15 cm Trên đường cao AH lấy điểm I , K cho AK = KI = IH Qua I , K vẽ đường thẳng EF BC , MN BC a) Tính độ dài đoạn thẳng EF MN b) Tính diện tích tứ giác MNEF , biết diện tích tam giác ABC 270 cm Lời giải AE AK a) Ta có EF = = = BC AB AH Suy = EF = BC (cm) AM AI Ta có MN = = = BC AB AH Suy = MN = BC 10 (cm) 540 b) Vì S ABC = 270 nên AH ⋅ BC = Suy AH = 36 nên IK = 12 ( EF + MN ) Suy S ABCD IK = = 90(cm ) Ví dụ Cho hình thang ABCD( AB CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC đường chéo BD, AC M , N , P, Q Chứng minh PHIẾU BÀI TẬP TOÁN a) MD = CQ AD Trang 7/13 b) MN = PQ BC Lời giải DN CQ a) Ta có MD = = AD DB CB MD CQ PQ b) Ta có MN = = = AB AD CB AB C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho biết độ dài MN gấp lần độ dài PQ độ dài đoạn thẳng M ′N ′ gấp 12 lần độ dài PQ a) Tính tỉ số hai đoạn thẳng MN M ′N ′ ĐS: 12 b) Cho biết đoạn thẳng DE = cm D′E ′ = 10,8 dm, hỏi hai đoạn thẳng MN M ′N ′ có tỉ lệ với đoạn thẳng DE D′E ′ không? ĐS: Không tỉ lệ Lời giải MN M ′N ′ PQ 12 PQ a) = = 12 b) DE = = ≠ = MN D′E ′ 108 12 12 M ′N ′ Vậy hai đoạn thẳng MN M ′N ′ không tỉ lệ với đoạn thẳng DE D′E ′ Bài Tính x trường hợp sau a) b) ĐS: x = 3, 25 ĐS: x = 6,3 Lời giải a) PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/13 AF AE = FB EC 6,5 = x x = 3, 25 b) DI DK = IE KF x = 10,5 24 − x = 6,3 Bài Cho góc xAy khác góc bẹt Trên tia Ax lấy điểm B , C Qua B C vẽ hai đường thẳng song song, cắt Ay D E Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax F ĐS: AB = AD ; AC = AD a) So sánh AB AD ; AC AD AC AE AF AC AE b) Chứng minh AC= AB ⋅ AF Lời giải a) Theo định lí Ta-lét ta có AB = AD ; AC = AD AC AE AF AE b) Từ a) ta có AB = AC suy AC= AB ⋅ AF AC AF Bài Tính x trường hợp sau a) b) ĐS: x = 15,3 ĐS: x = 28 Lời giải a) AD = AE ⇔ 17 = x ⇔ x = 15,3 DB EC 10 b) MI= MK ⇔ 16= MN MP x 20 ⇔= x 28 20 + 15 AE AF AE PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 9/13 ′ ′ Bài Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt AB , AC B′ , C ′ cho AB = AC AB Chứng minh ′ ′ a) AB = AC ; B′B C ′C AC ′ ′ b) BB = CC AB AC Lời giải ′ ′ Từ AB = AC suy d BC (theo định lí Ta-lét đảo) B′B AC ′ ′ a) Vì B′C ′ BC nên theo định lí Ta-lét ta có AB = AC ; B′B C ′C ′ ′ b) Vì B′C ′ BC nên theo định lí Ta-lét ta có BB = CC AB AC Bài 6: Cho góc xOy Trên tia Ox , lấy theo thứ tự điểm A, B cho = OA 2cm, = AB 3cm Trên tia Oy , lấy điểm C với OC = 3cm Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy D Tính độ dài CD Lời giải Xét ∆OBD có: AC / /BD (gt) AO OC (định lí Ta-let tam giác) AB CD CD 3.3 AB.OC 4, 5(cm ) OA Bài 7: Tìm x hình Biết MN //PQ Hình Lời giải Hình Hình Hình Trong tam giác ABC, ∆OPQ, MN / / PQ ta có: OP = PQ ( hệ định lí Ta-let) x 5, 5, 2.2 52 ⇔ = ⇔ x= = ( cm ) 3 15 Hình Ta có: EF ⊥ AB; EF ⊥ QD Suy AB / /QD ON MN PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 10/13 Trong ∆OQF , QF / / EB suy ra: OF = FQ ( hệ định lí Ta-let) OE EB 3.3,5 x 3,5 ⇔ = ⇔ x= = 5, 25 ( cm ) 2 Hình 3.Áp dụng định lí Pytago ∆AMN , A = 900 ta có: MN = AM + AN = 162 + 122 ⇒ MN = 400 = 20 ( cm ) Trong ∆AMN , MN / / BC suy ra: AM = AN ( hệ định lí Ta-let) AB ⇔ AC 16 12 24.12 = ⇔ AC = = 18 ( cm ) ; NC = 18 − 12 = ( cm ) 24 AC 16 Trong ∆AMN , MN / / BC suy ra: AM = MN ( hệ định lí Ta-let) AB ⇔ BC 16 20 24.20 = ⇔ BC = = 30 ( cm ) 24 BC 16 Bài Cho tam giác ABC có cạnh BC = a Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = DE = EB Từ D, E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự M , N Tính theo a độ dài đoạn thẳng DM EN Lời giải Áp dụng định lý Ta-lét ta có Tương tự ta có AD DM a DM AB BC 3 AD DM EN 2DM a AE EN Bài Cho hình thang cân ABCD( AB CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi M , N trung điểm BD AC Biết MD = MO , đáy lớn CD = 5, cm b) Chứng minh MN = CD − AB a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Lời giải a) Vì AB CD nên OD = OC ⇒ OD = OC ⇒ OD = OC DB AC MD NC MD NC PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 9/15 b) Xét AND có OM đường trung bình nên OM DN Xét MBC có DN đường trung bình nên DN BM (1) (2) Từ (1) (2) suy OM BM Bài Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến BM CN cắt G Gọi D E trung điểm GB GC Chứng minh a) MN DE b) ND ME Lời giải a) Vì BM , CN đường trung tuyến ABC nên MA MC , NA NB Do MN đường trung bình ABC , suy MN BC (1) Ta có DE đường trung bình GBC nên (2) DE BC Từ (1) (2) suy MN DE b) Xét ABG , ta có ND đường trung bình Xét ACG , ta có ME đường trung bình Do ND AG , ME AG Suy ND ME Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi D , E , F trung điểm AB , AC AM Chứng minh a) Ba điểm D , E , F thẳng hàng b) F trung điểm DE Lời giải a) Xét ABM có DF đường trung bình nên DF BM (1) DF BC hay Xét ABC có DE đường trung bình nên DE BC , (2) Từ (1) (2) suy D , E , F thẳng hàng b) Chứng minh DE FE (bằng nhau) hai đoạn thẳng Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi M N trung điểm HA HC Chứng minh BM AN PHIẾU BÀI TẬP TỐN Lời giải Trang 10/15 Xét HAC có MN đường trung bình nên MN AC MN AB Xét BAN có AH NM hai đường cao cắt M Do BM AN Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E , F , G , H trung điểm AB , BC , CD , DA Chứng minh: a) EFGH hình thoi b) AC , BD , EG , FH đồng quy Lời giải a) ABC có EF đường trung bình nên EF AC EF = AC ACD có GH đường trung bình nên GH AC AC GH = Suy EF GH EF = GH Do EFGH hình bình hành Hơn nữa, ABD có EH đường trung bình nên EH = BD Mà AC = BD (hình chữ nhật ABCD ) nên EF = EH , suy EFGH hình thoi b) Vì ABCD hình chữ nhật nên AE CG AE = CG Do tứ giác AECG hình bình hành Mà O trung điểm đường chéo AC (trong hình chữ nhật ABCD ) Nên O trung điểm đường chéo EG Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh AHCF hình bình hành Và suy O trung điểm đường chéo HF Vậy AC , BD , CD , DA đồng quy O PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Bài Trang 11/15 Để làm thông noel, người thợ dùng khung sắt hình tam giác cân hình vẽ bên, sau gắn mơ hình thơng lên Cho biết BC = 120cm Tính độ dài GF; HE; ID Bài Để thiết kế mặt tiền cho nhà cấp bốn mái thái, sau xác định chiều dài mái PQ = 1,5m Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q trung điểm EC, P trung điểm DC Em tính giúp thợ xem chiều dài mái DE (xem hình vẽ minh họa) ? Lời giải Vì Q trung điểm EC, P trung điểm DC nên PQ đường trung bình tam giác CDE DE ⇒ DE = 2QP = 2.1,5 = 3m QP = Vậy chiều dài mái DE 3m PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Bài 10 Trang 12/15 a/ Giữa điểm A B hồ nước Biết A, B trung điểm MC MD (như hình vẽ) Bạn Mai từ C đến D hết 120 bước chân, trung bình bước chân Mai 4dm Hỏi khoảng cách từ A đến B mét? Lời giải AB đường trung bình ΔMCD AB = CD = > AB = 60 (bước chân) Khoảng cách từ A đến B là: 60 = 240 ( dm) = 24m b/ Để đo khoảng cách hai điểm B C bị chắn hồ sâu, người ta thực đo hình Biết khoảng cách hai điểm D E đo 53m Hỏi B C cách m ? Hình Hình c/ Để đo khoảng cách hai điểm A B bị ngăn cách hồ nước người ta đóng cọc vị trí A, B, M, N, O hình đo MN = 45m Tính khoảng cách AB biết M, N điểm OA OB Bài 11 PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 13/15 Tốn thực tế đường trung bình: Nhà tâm lý học Abraham Maslow (1908 – 1970) xem người tiên phong trường phái Tâm lý học nhân văn Năm 1943, ông phát triển Lý thuyết Thang bậc nhu cầu người (như hình vẽ bên) Trong đó, BK = 6cm Hãy tính đoạn thẳng CJ; EH? Bài 12 Để đo khoảng cách hai điểm A B bị ngăn cách hồ nước người ta đóng cọc vị trí A, B, C , D, E hình vẽ Người ta đo DE = 350 m Tính khoảng cách hai điểm A B C D Lời giải E * C/m: DE đường trung bình ∆ABC * DE = AB ⇒ AB= 2.DE= 2.350= 700 (m) A B PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 14/15 Bài 13 Một cáp treo di chuyển hai địa điểm A B hồ nước (hình bên) Biết M, N trung điểm OA, OB MN = 85m Hỏi quãng đường di chuyển cáp treo từ A sang B dài mét? Lời giải Vì M, N trung điểm OA OB Nên MN đường trung bình tam giác OAB MN = AB Suya AB = MN = 85 = 170m Bài 14 Giữa điểm A N một hồ nước sâu Để tính khoảng cách điểm A N, học sinh lấy M làm mốc lấy H, G trung điểm MA, MN A N H a)Chứng minh HG đường trung bình b)Hỏi A N cách mét Biết khoảng cách điểm H G 62m G M Lời giải Xét ∆ AMN ta có: H trung điểm AM(gt) G trung điểm MN(gt) ⇒ HG đường trung bình ∆ AMN ⇒ HG = AN ⇒ AN = HG = 2.62 = 124m Vậy AN=124m Bài 15 Người ta xây dựng mơ hình để đo bề rộng MN hồ nước mà không cần phải đo trực tiếp Em tính xem độ rộng hồ nước hình vẽ bao nhiêu? A B M 40m C N PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Lời giải Xét ∆AMN, Ta có: B trung điểm AM C trung điểm AN ⇒ BC đường trung bình ∆AMN MN ⇒ BC = ⇒ MN = 80m Vậy độ rộng hồ nước 80 (m) Trang 15/15 PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 1/8 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Hình học phẳng A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lí Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng Ta có GT ( D ∈ BC ) ∆ABC ; AD tia phân giác BAC KL DB AB = DC AC Chứng minh định lý Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng � =𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � AD E Ta có 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � =𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � (hai góc so le trong) Suy (gt) Vì BE // AC nên 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � =𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � Do tam giác ABE cân B, suy BE = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 AB (1) Áp dụng hệ định lí Thales tam giác ACD, ta có DB BE = (2) DC AC Từ (1); (2) suy DB AB = (dpcm) DC AC B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết Ví dụ Tính x hình làm trịn kết đến hàng phần mười a) b) PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 2/8 Lời giải Hình a: Do AD đường phân giác góc A nên ta có DC AC AC = ⇒ DC = ⋅ DB DB AB AB Thay số ta có DC= 8,5 ⋅ 3= 5,1 Khi x =DB + DC =3 + 5,1 = 8,1 Hình b: Với = KL 12, − x IL đường phân giác góc I nên theo tính chất đường phân giác ta có Theo tính chất đường phân giác ta có KL IK 12,5 − x 6, 2175 = ⇒ = ⇔ x= ≈ 7,3 LJ IJ x 8, 298 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chững minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nến cần) định lí đảo định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức Từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song = BC = a , AC = b Đường phân giác góc A cắt BC M , Ví dụ Cho tam giác cân ABC , có BA đường phân giác góc C cắt BA N a) Chứng minh MN AC ĐS: MN = b) Tính MN theo a , b Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A góc C ta có BM AB a = = ; CM AC b (1) BN CB a = = AN CA b (2) Từ (1) (2) suy MN //AC BM BN = Theo định lý Thales đảo ta CM AN b) Tính MN theo a , b Theo (2) có BN a AB a + b AN b BN a =⇒ = ⇔ = ⇒ = AN b AN b AB a + b AB a + b Do MN AC nên BN MN BN a ab = ⇔ MN= ⋅ AC= ⋅ b= BA AC BA a+b a+b ab a+b PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 3/8 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ DE //AB ( E ∈ AC ) ĐS: DB = 10,5 ; DC = 17,5 ; DE = 7,5 a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC DE b) Cho biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích tam giác ABD , ADE , DCE theo S 15 25 S , S DCE = S ĐS: S ABD = S , S ADE = 64 64 Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB AB DB 3 = ⇒ = ⇔ DB = DC ; DC AC DC 5 Mặt khác DB + DC = BC = 28 (1) (2) Từ (1) (2) ta tính DB = 10,5 cm DC = 17,5 cm Vì DE AB nên ta có DE DC DC 17,5 = ⇒ DE = ⋅ AB = ⋅12= 7,5 cm AB BC BC 28 b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC Ta có S ABC = ⋅ AH ⋅ BC ; S ABD = ⋅ AH ⋅ BD S ADC = ⋅ AH ⋅ CD Suy S ABD= BD CD ⋅ S= S S ADC = ⋅S = ⋅S 8 BC BC Chứng minh tương tự cách ADC ta kẻ đường cao DF ta S ADC = ⋅ DF ⋅ AC ; S ADE = ⋅ DF ⋅ AE S DCE = ⋅ DF ⋅ EC Suy AE BD 15 S ADE = ⋅ S ADC = ⋅ S ADC = ⋅ S AC BC 64 EC DC 25 S DCE = ⋅ S ADC = ⋅ S ADC = ⋅ S AC BC 64 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/8 C BÀI TẬP VẬN DỤNG (với D ∈ BC ), biết DB = 15 cm, Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ phân giác AD BAC DC = 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB , AC ĐS: AB ≈ 3, cm; AC ≈ 4, cm Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có AB DB 3 = = ⇒ AB = AC AC DC 4 (1) Mặt khác, tam giác ABC vuông A nên theo định lý Pyta có ta-go AB + AC = BC = ( BD + DC ) ⇔ AB + AC =1225 (2) Từ (1) (2) ta có hệ AB ≈ 3,5 cm AB = AC ⇔ AC ≈ 4, cm AB + AC = 1225 AMC cắt AC Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D , phân giác E a) Chứng minh DE song song với BC b) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh I trung điểm DE Lời giải PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/8 a) Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA = = EC MC DB MB Mặt khác MB = MC nên DE //BC DA EA = Theo định lý Ta-lét đảo DB EC b) Theo câu a) ta có DE BC nên ta AD AE = AB AC Xét định lý Ta-lét cho ABM ACM ta có AD DI AE IE = = AC CM AB BM Từ đó, suy DI IE = mà MB = CM nên DI = IE hay I trung điểm DE BM CM Bài Cho tam giác ABC vuông A AB = 12 cm, AC = 16 cm Đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính BC , BD CD ĐS: BC = 20 cm; BD ≈ 8, cm; DC ≈ 11, cm b) Vẽ đường cao AH Tính AH , HD AD ĐS: AH ≈ 9, cm, HD ≈ 1, cm, AD ≈ 9, cm Lời giải a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có BC = AB + AC = 20 cm Theo tính chất đường phân giác góc A ta có DB AB 3 = = ⇒ DB = DC DC AC 4 Mặt khác ta lại có BD + DC =BC =20 ⇒ DC + DC =20 ⇔ DC ≈ 11, cm Do BD =BC − DC =20 − 11, =8, cm b) Ta có S ABC = ⋅ AB ⋅ AC =96 cm 2⋅S Mặt khác S ABC = ⋅ AH ⋅ BC ⇒ AH = ABC ≈ 9, cm BC Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHC ta có CH = AC − AH ≈ 12,8 cm Suy HD = HC − DC = 12,8 − 11, ≈ 1, cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHD ta có PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 6/8 AD = AH + HD ≈ 9, cm Bài Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), đường phân giác góc B cắt AC D cho biết AB = 15 cm, BC = 10 cm ĐS: AD = cm; DC = cm a) Tính AD , DC b) Đường vng góc với BD B cắt đường thẳng AC kéo dài E Tính EC ĐS: EC = 30 cm Lời giải a) Ta có AD + DC = AC = AB =15 cm AD AB 15 = = = DC BC 10 (1) (2) Từ (1) (2) suy 15 AD + DC = AD= ⋅ DC Từ suy AD = cm, DC = cm b) Vì BD ⊥ BE nên BE phân giác ngồi góc B tam giác ABC Khi ta có AE AB AE ⋅ BC AE ⋅10 AE ⋅ = = = Suy = EC EC BC AB 15 Suy ⋅ CE =⋅ ( AC + CE ) hay CE= ⋅ AC Do CE = 30 cm D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Tính x hình làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ a) b) Lời giải = 25 − x Hình a: Ta có BD Theo tính chất đường phân giác ta có DB AB 25 − x 20 75 = ⇒ = ⇔ x= ≈ 10, DC AC x 15 Hình b: Ta có LJ= 28 − x Theo tính chất phân giác ta có PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 7/8 LK IK x 20 35 = ⇒ = ⇔ x= = 17,5 LJ IJ 28 − x 12 Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt AB D , tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE BC Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA = = EC MC DB MB Mặt khác MB = MC nên DA EA = DB EC Theo định lý Ta-lét đảo ta DE BC Bài Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm Đường phân giác góc A cắt BC D ĐS: DB ≈ 10, cm; DC ≈ 14,3 cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , DC b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD Lời giải a) Áp dụng tính chất đường phân giác góc A Ta có DB AB DB 3 = ⇒ = ⇔ DB = DC ; DC AC DC Mặt khác DB + DC = BC = 25 (1) (2) Từ (1) (2) ta có tính DB ≈ 10, cm DC ≈ 14,3 cm b) Gọi AH đường cao kẻ từ A ABC S diện tích ABC Ta có S ABC = ⋅ AH ⋅ BC ; S ABD = ⋅ AH ⋅ BD S ADC = ⋅ AH ⋅ CD Suy S ABD= Do BD 107 CD 143 ⋅ S= ⋅ S S ADC= ⋅ S= ⋅S BC 250 250 BC S ABD 107 = S ADC 143 ĐS: 107 143 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/8