(Luận văn) không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình với hàm trọng loga lõm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN lu an n va p ie gh tn to KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN lu an n va p ie gh tn to KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM nl w d oa Chuyên ngành: Tốn giải tích nf va an lu Mã số: 8.46.01.02 lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z @ m co l gm Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG an Lu n va ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu iii 1 Kiến thức chuẩn bị lu Mở đầu an va n 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm ie gh tn to p 1.2 1.1.1 Không gian véctơ tôpô 1.1.2 Không gian Banach Một số vấn đề hàm lồi Rn Một số vấn đề giải tích phức nl w 1.3 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình 10 lu Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 1.4.1 nf va an 1.4 d 1.3.2 Hàm chỉnh hình khơng gian hàm chỉnh hình oa 1.3.1 Không gian trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng lm ul phẳng 1.4.3 12 Không gian Banach có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt z at nh oi 1.4.2 12 17 Phân loại đẳng cấu khơng gian có trọng hàm chỉnh z hình nửa mặt phẳng 19 gm @ Một số kết hàm lồi 24 l Các định nghĩa ký hiệu 24 2.2 Một số kết ví dụ 26 m co 2.1 an Lu n va ac th si ii Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình 44 3.1 Điều kiện để không gian trọng không tầm thường 44 3.2 Sự đẳng cấu không gian trọng 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU lu an n va : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực G : Nửa mặt phẳng mặt phẳng phức C D : Hình trịn đơn vị C tn to K Ω : Tập mở C gh : Đại số tất hàm chỉnh hình Ω τco p ie H(Ω) : Không gian với trọng v hàm chỉnh hình Ω d oa Hv (Ω) : Khơng gian Fréchet nl w (H(G), τco ) : Tôpô compact mở : Không gian Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} H∞ : Khơng gian tất hàm chỉnh hình bị chặn G nf va an lu Hv0 (Ω) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Ta ký hiệu G = {z = x + iy : x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞)} nửa mặt phẳng lu mặt phẳng phức C Một trọng G hàm v : G → (0, ∞) cho an v(z) = v(x + iy) = v(iy) với z = x + iy ∈ G n va ∀c > to inf v(iy) > 0, tn y∈[ 1c ,c] (A) với p ie gh Chú ý đặt ϕv (y) = (−1) log v(iy), y ∈ (0, +∞), (A) tương đương ∀c > w sup ϕv (y) < +∞, (A’) oa nl y∈[ 1c ,c] Ký hiệu H(G) đại số tất hàm chỉnh hình G τco tơpơ hội tụ d an lu tất tập compact G (thường gọi tôpô compact mở ) Không nf va gian (H(G), τco ) không gian Fréchet Ta xét khơng gian có trọng sau: lm ul Hv (G) := {f ∈ H(G) : kf kv = sup v(z)|f (z)| < +∞}; z at nh oi z∈G Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} z trang bị nửa chuẩn @ z∈G l gm kf kv := sup v(z)|f (z)| co Ở hàm v.|f | triệt tiêu vô hạn hiểu theo nghĩa sau: Với ε > tồn m tập compact Kε ⊂ G cho an Lu sup v(z)|f (z)| < ε n va z∈G\Kε ac th si Nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tốn phân loại đẳng cấu khơng gian trọng v thỏa mãn số điều kiện tăng trưởng (xem, chẳng hạn, [7, 14]) Nhiều cơng trình, chẳng hạn [10, 12] giải toán toán tử khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình trịn đơn vị mặt phẳng phức trọng liên kết sử dụng để đánh giá chuẩn toán tử trọng Dựa sở lý thuyết hàm lồi số tính chất đặc biệt khơng gian có trọng, mục đích luận văn nghiên cứu số tính chất trọng liên kết, từ tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v lu an Luận văn tập trung giải toán sau: va n Nghiên cứu số tính chất số lớp hàm lồi ϕ có liên quan đến giới hạn to ϕ(x) x nó, vấn đề liên quan hàm lồi liên hợp Young-Fenhel thứ hai ϕ∗∗ nó, ϕ∗∗ : (0, +∞) → R, p ie gh tn b aϕ = lim inf x→+∞ ϕ∗∗ (x) = sup (ax + b) nl w (a,b)∈Mϕ d oa với Mϕ = {(a, b) : a, b ∈ R, inf t∈(0,+∞) (ϕ(t) − at) > b} an lu Áp dụng kết tốn nói đưa điều kiện để khơng nf va gian có trọng Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) z at nh oi lm ul Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương z Chương dành cho việc tóm tắt sơ lược số kiến thức cần thiết khơng gian @ có trọng hàm chỉnh hình miền phẳng số kiến thức khơng gian gm có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng mặt phẳng phức l co Trong chương tập trung giải số toán lớp hàm lồi m có liên quan đến giới hạn chúng mối quan hệ hàm lồi với liên hợp an Lu Young - Fenhel thứ hai n va ac th si Chương trình bày số vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để khơng gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với khơng gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn lu giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi an cho trình học tập thực đề tài va n Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia gh tn to đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn p ie Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, nl w điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn d oa chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp an lu ý quý thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn nf va z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm an n va Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: ˆ Phần ảo z ∈ C ký hiệu Imz p ie gh tn to ˆ Phần thực z ∈ C ký hiệu Rez Không gian véctơ tôpô nl w 1.1.1 oa Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Giả sử E không gian véctơ trường K Một tơpơ d E gọi tương thích với cấu trúc đại số E phép toán an lu × : K × E −→ E + : E × E −→ E nf va (x, y) 7−→ x + y (λ, x) 7−→ λx lm ul liên tục theo tôpô Một không gian véctơ với tơpơ tương thích với cấu trúc z at nh oi đại số gọi khơng gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E z l gm với |t| < ε @ gọi bị chặn lân cận U ∈ E tồn ε > cho tA ⊂ U (ii) Bội vô hướng tập bị chặn bị chặn; an Lu (i) Bao đóng tập bị chặn bị chặn; m co Mệnh đề 1.1.3 ([3]) Giả sử E khơng gian véctơ tơpơ Khi n va ac th si (iii) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn bị chặn Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho M tập không gian véctơ tôpô E Tập M gọi đầy đủ lọc Cauchy tập M hội tụ đến điểm thuộc M Mệnh đề 1.1.5 ([3]) Các điều kiện sau tương đương: a) M tập đầy đủ; b) Mọi dãy suy rộng Cauchy phần tử M hội tụ tới phần tử thuộc M lu an Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E n va gọi compact A không gian compact với tôpô cảm sinh tôpô tn to E ie gh Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Trong không gian véctơ tôpô E p (i) Hợp số hữu hạn tập compact compact; w oa nl (ii) Tập đóng tập compact compact; d (iii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn tập compact compact an lu Không gian Banach nf va 1.1.2 z at nh oi mêtric sinh chuẩn) lm ul Định nghĩa 1.1.8 ([4]) Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với Định lý 1.1.9 ([3]) Không gian định chuẩn E Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ z @ gm Định lý 1.1.10 ([3]) Cho hai không gian tôpô E F Ánh xạ f : E → F gọi an Lu (ii) f −1 (U ) đóng với tập đóng U F ; m (i) f −1 (V ) mở với tập mở V F ; co l liên tục thỏa mãn khẳng định tương đương sau: n va ac th si 43 ˆ ψ không hàm lồi (0, +∞)    −1, ∗∗ ψ =   x2 + x − 7, x ∈ (0; 2] x ∈ (2, +∞) Khi đó, ta có inf (ϕ(x) − ψ(x)) = 6= = x∈(0,+∞) (ϕ∗∗ (x) − ψ ∗∗ (x)) inf x∈(0,+∞) Do đó, khơng có trường hợp tương tự Định lý 2.2.9 ϕ∗∗ ψ Hệ lu 2.2.15 Hệ 2.2.16 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 44 Chương Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình lu an va Ở chương luận văn chúng tơi trình bày số vận dụng kết hàm n lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với ie gh tn to không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v p 3.1 oa nl w Điều kiện để không gian trọng không tầm thường Trong phần ta áp dụng Định lý 2.2.9, 2.2.11, 2.2.13 cho lý thuyết không d nf va an lu gian Hvp (G) Hv0 (G) Chúng sử dụng ký hiệu sau: M f (y) = |f (x + iy)|, sup x∈(−∞,+∞) lm ul ψf (y) = ln M f (y), ∀y > 0, z at nh oi f hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G Chú ý (−1) ln kf kv = inf (ϕv (y) − ψf (y)) y>0 z Ta nhắc lại số kết [28] l gm @ v hàm trọng cho v(z) = p(Imz) với z ∈ G (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > an Lu Hv (G) 6= {0} có hai số thực a, b cho m co Định lý 3.1.1 ([28]) Giả sử p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (2.1.2) Khi n va ac th si 45 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Hv (G) 6= {0} có hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > Giả sử Hv (G) 6= {0} cho f ∈ Hv (G) \ {0} hàm tùy ý không thuộc vào Hv (G) Theo Bồ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Hơn nữa, f ∈ Hv (G) p(t)M f (t) ≤ kf kp với t > 0, ta có lu (−1) ln p(t) ≥ (−1) ln kf kp + ln M f (t) an ≥ (−1) ln kf kp + a0 t + b0 , ∀t > n va tn to Ta đặt a = a0 , b = b0 − ln kf kp có p ie gh (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > w Ngược lại, để chứng minh Hv (G) 6= {0}, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện oa nl (1.4.7) ngồi cịn tồn hai số a, b cho d (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > an lu nf va Do đó, cho số a, b ta đặt f (z) = e−iaz+b , z ∈ D Khi kf kp ≤ lm ul Vì f ∈ Hv (G) \ {0} Do định lý chứng minh xong z at nh oi Định lý 3.1.2 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (1.4.7) Khi khơng gian Hv0 (G) 6= {0} hai điều kiện sau hàm p thỏa mãn z gm @ (1) Có hai số thực a, b cho (2) limt→0+ p(t) = m co l (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > an Lu n va ac th si 46 Chứng minh Giả sử Hv0 (G) 6= {0} xét hàm f ∈ Hv0 (G) \ {0} Rõ ràng, từ định nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Vì vậy, Định lý 3.1.1 điều kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, dựa theo Định nghĩa 1.4.15 ta có lim p(t)M f (t) = t→0+ Hơn nữa, theo Bổ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Vì lu an ≤ lim+ inf p(t) ≤ lim+ sup p(t) va t→0 t→0 n ≤ lim+ sup p(t)eat+b e−(at+b) to t→0 tn gh ≤ lim+ sup p(t)M f (t) lim+ e−(at+b) = t→0 t→0 ie p Suy limt→0+ p(t) = Do đó, khẳng định Định lý 3.1.1, hai điều nl w kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện d oa (1.4.7) hai điều kiện sau thỏa mãn: nf va an lu (1) Tồn hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > 0; lm ul (2) limt→0+ p(t) = z at nh oi Ta cho Hv0 (G) 6= {0} Thật vậy, xét hàm f định nghĩa ei(a+1)z , ∀z ∈ G z+i z f (z) = gm @ Do f (z) ∈ Hv0 (G) \ {0} Vậy Định lý 3.1.2 chứng minh xong l m co Định lý 3.1.3 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) cho an Lu inf p(t) > 0, ∀c > 1, Hv0 (G) 6= {0} t∈[ 1c ] n va ac th si 47 Nếu hàm chỉnh hình f ∈ Hv0 (G) 6= {0} cho lim inf t→∞ ln M f (t) < ∞, t a = lim inf t→∞ ln M f (t) t Ta có a > −∞ lim (ln M f (t) − at) = −∞ t→∞ ln M f (t) t Chứng minh Cho f ∈ Hv0 (G) \ {0} cho lim inf t→∞ < ∞ Rõ ràng, từ định lu nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Theo Bổ đề 1.4.17, tồn an hai số a0 , b0 cho va n ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > ln M f (t) t ≥ a0 Ta đặt gh tn to Vì lim inf t→∞ ie a = lim inf p t→∞ ln M f (t) t (3.1.1) oa nl w Vì a0 ≤ a < ∞ Rõ ràng, d F (z) = eiaz f (z), ∀z ∈ G, an lu hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G nf va Ta chứng minh hàm F có tính chất sau: lm ul ln M F (t) = ln M f (t) − at với t > Đó điều hiển nhiên bỏ z at nh oi qua chi tiết ln M F lồi (0, ∞) Thật vậy, ln M f lồi (0, ∞) theo Bổ đề 1.4.17 z t→∞ ln M f (t) = t m co lim inf l gm @ theo mục trước ln M F lồi an Lu Điều xảy phương trình (3.1.1) mục xảy n va ac th si 48 ln M F hàm giảm dần (0, ∞) Ta suy điều từ mục thứ hai mục thứ ba, tức cho tùy ý t1 t2 cho < t1 < t2 < ∞ cho t > t2 Từ mục thứ hai ta có ln M F (t2 ) ≤ t − t2 t2 − t1 ln M F (t1 ) + ln M F (t), t − t1 t − t1 từ mục thứ ba ta có ln M F (t2 ) ≤ ln M F (t1 ), tức ln M F giảm (0, ∞) ln M F bị chặn [ 21 , ∞) Nó suy từ mục 4, tức ln M F (t) ≤ ln M F ( 12 ) với t ≥ 12 Hơn nửa, f ∈ Hv0 (G) suy ln M f ( 21 ) hữu hạn lu mục ln M F ( 12 ) hữu hạn Khi đó, ta có ln M F bị chặn an [ 12 , ∞) va n F (x + iy) dần đến |x| → ∞, với y ∈ [ 1c , c], c ≥ Ta to f (x + iy) có tính chất p ie gh tn có điều tính chất hàm f ∈ Hv0 (G), cụ thể theo Định nghĩa 1.4.15, Ta đặt A = supz,Imz≥1 |F (z)| Theo mục A < ∞ Hơn nữa, A 6= oa nl w F ∈ Hv (G) 6= {0} Chú ý rằng, theo mục 5, khẳng định Định lý 3.1.3 nêu dạng hàm F sau: d lu an lim M F (t) = (3.1.2) t→∞ nf va Để chứng minh phương trình (3.1.2), ta có với ε > 0, tồn số lm ul yε > cho M F (t) ≤ ε với t > yε z at nh oi Cho ε ∈ (0, A) tùy ý Theo mục tính chất liệt kê hàm F tồn số x1 > cho z ε sup |F (x + i)| ≤ |x|≥x1 gm @ m an Lu Ta cần chứng minh M F (t) ≤ ε với t > yε co l Hơn nữa, ta đặt yε > Vì vậy, ta có s x1 + ε ≤ sup 2 x1 + (y + 1) 2A y≥yε n va ac th si 49 Cho z0 ∈ D cho Imz0 > yε Lấy η > bất kỳ, ta đặt n 2A o yη = + max Imz0 , ln η ε Khi từ mục 5, tồn xη với xη > max{|Rez0 |, x1 } cho ε |F (z)| ≤ z,|Rez|≥xη ,Imz∈[1,yη ] sup Ta xây dựng hình chữ nhật R R = {z| |Rez| ≤ xη , Imz ∈ [1, yη ]}, lu an định nghĩa hàm chỉnh hình G nửa mặt phẳng G va n G(z) = eiηz ∀z ∈ G Bằng cách chọn xη , yη , yε ta có mơđun hàm G, |G| ≤ gh tn to z F (z), z + iyη ε đường biên p ie hình chữ nhật R Thật vậy, oa nl w ˆ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có ηyη d |G(z)| = e z ε |F (z)| ≤ e−ηyη A ≤ z + iyε an lu nf va ˆ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có z z