(Luận văn) một số bất đẳng thức holder tổng quát và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN Lấ NHT DUY lu an ă MT S BT ĐẲNG THỨC HOLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NHẤT DUY lu an ¨ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to w Chun ngành: Tốn giải tích d oa nl Mã số: 60.46.01.02 nf va an lu z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU lu an Một số bất đẳng thc Hă older tng quỏt n va 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số bất đẳng thc Hăolder tng quỏt dng ri rc to tn 1.2.1 Mở rộng bt ng thc Hăolder tng quỏt thụng qua cỏc p ie gh bất đẳng thức loại Hu tổng quát 1.2.2 w Mở rộng bất đẳng thc Hăolder tng quỏt thụng qua tớnh cht n iu 19 Một số dạng mở rộng khác 34 oa nl 1.2.3 50 1.4 Bt ng thc Hăolder ngc 59 d 1.3 Mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt dạng liên tục nf va an lu Một vài ứng dụng 62 62 2.2 Mt s ng dng ca bt ng thc Hăolder ngược 67 z at nh oi 71 lm ul 2.1 Ứng dụng ca mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt KẾT LUẬN 72 z TÀI LIỆU THAM KHẢO @ m co l gm QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Bất đẳng thức ln đề tài hay, có ứng dụng rộng rãi đóng vai trị quan trọng tốn học Trong danh sách bất đẳng thức, bất đẳng thc Hăolder c ngi ta xem nh mt nhng bất đẳng thức lu nhất, có tính ứng dụng cao việc giải vấn đề tốn học an Để tìm hiểu chi tiết có cỏi nhỡn khỏi quỏt v bt ng thc Hăolder cng va ứng dụng chúng toán học, chọn đề tài “ Một số bất n Bất ng thc Hăolder c t theo tờn ca nh toỏn hc ngi c Ot- gh tn to ng thc Hăolder tng quỏt v ng dng p ie ter Hăolder Trong suốt chiều dài phát triển toán học, v bt ng thc Hăolder ó c nhiều nhà tốn học tìm hiểu mở rộng để nl w cho kết hay, với khả ứng dụng ngày rộng oa rãi bất đẳng thức toán học Cụ thể, R Bellman E F Beck- d enbach [2] vào năm 1961 đưa dạng tổng quát liờn tc ca bt ng lu an thc Hăolder, tip sau P M Vasi´c J E Peˇcari´c [17] vào năm 1979 nf va trình bày dạng tng quỏt ri rc ca bt ng thc Hăolder Tip nối lm ul kết trình bày [2] [17], kết nghiên cứu công bố sau cung cấp nhiều dạng mở rộng ci tin bt ng thc Hăolder z at nh oi Năm 2002, Xiao-Jing Yang [13] cách xây dựng hàm đơn điệu đưa dạng mở rng ca bt ng thc Hăolder v cng chớnh XiaoJing Yang(2012) [19], với mục đích mở rộng bất đẳng thức Hăolder ó a z @ mt kt qu mi với ý tưởng tương tự Trong khoảng năm trở lại đây, hàng gm loạt báo khác công bố với nội dung trọng tâm tiếp tục l mở rộng, cải tiến bất đẳng thức Hăolder bng nhiu phng phỏp khỏc nhau, m co nh phương pháp thông qua bất đẳng thức loại Hu tổng quát [11] vào an Lu năm 2017, thông qua tính chất đơn điệu [8, 10] vào năm 2015, 2016 Jing-Feng Tian, hay báo gần [7] vào năm 2018 nhóm tác giả n va ac th si Jing-Feng Tian, Ming-Hu Ha Chao Wang Qua số lượng báo kết qu i kốm v bt ng thc Hăolder, chỳng ta thể thấy tính đa dạng phong phú vấn đề liên quan đến bất đẳng thức tiếng Mục tiêu luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết dạng tổng quát rời rạc liên tục bất đẳng thc Hăolder c trỡnh by cỏc ti liu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19], trọng vào việc mở rộng cải tiến nó, từ có nhìn tổng quan q trình phát trin ca bt ng thc Hăolder Vic ỏnh giỏ cht chẽ bất đẳng thức đem lại nhiều kết kèm theo cho cách đánh giá rõ ràng đại lượng Cụ thể hơn, luận văn này, chúng tơi lu trình bày số ứng dụng cỏc bt ng thc Hăolder tng quỏt vic an va cải tiến mở rộng bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski n Hao Z-C Đồng thời, trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Radon, Bố cục luận văn bao gồm chương: gh tn to bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số p ie Chương 1: Trong chương này, hệ thống lại cỏc dng tng quỏt ca bt ng thc Hăolder hai dạng rời rạc liên tục Đưa đánh nl w giá so sánh phng phỏp m rng bt ng thc Hăolder d oa Chương 2: Áp dụng kết thu chương 1, chúng tơi lu trình bày số dạng mở rộng cải tiến bất đẳng thức Chung, bất nf va an đẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Hao Z-C Cùng với số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng lm ul thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS z at nh oi Thầy Đinh Thanh Đức Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy z giáo Khoa Tốn, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán học tập, nghiên cứu thực đề tài l gm @ K20 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, co m điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học an Lu cịn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý tận tình q thầy bạn bè để luận văn n va ac th si hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chng Mt s bt ng thc Hă older tổng quát lu an va Trong chương này, đề cập số dạng tổng quát bt n ng Hăolder hai dng ri rc v liên tục, việc mở rộng cải tiến tn to Các kết có áp dụng để đưa số dạng tổng quát ie gh cải tiến bất đẳng thức tiếng khác Nội dung phần p chúng tơi trình bày dựa tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19] w Giới thiệu d oa nl 1.1 lu Như ó bit, bt ng thc Hăolder c in núi rng nf va an ak ≥ 0, bk ≥ (k = 1, 2, · · · , n), p ≥ q > 1, p1 + k=1 ak b k ≤ X n lm ul n X apk q =  p1  X  1q n bqk k=1 (1.1) k=1 z at nh oi Dấu bất đẳng thức (1.1) ngược lại với p < Đối với dạng liên tục, bất đẳng thức Hăolder c phỏt biu nh sau: z Cho p, q > 0, p1 + 1q = f (x) ∈ Lp [a; b], g(x) ∈ Lq [a; b] Khi Z b Z b  1q  p1  Z b 43 = n Y m n X X Aij  Y m j=1 i=1 s=1 n n m XX Y + i=1 s=1 X m n Y = s  m n n X X Y  − Ast Aij i i=1 s=1 t=1  Y m Aij  Y m  Ast t=1 j=1  Ast t=1 j=1 2 (1.85) Aij i=1 j=1 Trường hợp 1: Nếu m số chẵn Áp dụng Bổ đề 1.2.2, ta có m n Y X lu s=1 j=1 i=1 an va = Aij X n Y m n X n Y m X n i=1 s=1 Aij to gh tn Aij p ie nl w i=1 s=1 d oa = Aij  Y m nf va  j=1 j=1 j Ast Pm j=1 β j Ast Ast = X n Y m t=1 i=1 2 Aij (1.86) j=1 Ast t=1  s=1 t 1
1− + i s  β1  t n va t=1 Aβstt  β1 an Lu Aij 1 1− + i s m s=1 t=1  Y m X n j co Ast 1 + i s l X n Y m 1− Pm j=1 β gm Aij  @ s=1 j=1 j=1 X n Y m z Aij j=1 n Y m X i=1 j ≥ 1, ta có βj n Y m X i=1 Pm j=1 β 1−Pm j=1 β z at nh oi Pm 1 + i s 1− Ast  Y m Aij i=1 ≤ j t=1 i=1 s=1 j=1   n n m m XX Y Y  n Y m X = Aij lm ul Hơn nữa, từ j t=1 j=1 X n X n Y m i=1 s=1 Pm j=1 β Ast t=1 Aij an = j t=1 lu × Pm j=1 β 1−Pm j=1 β  Y m j=1 i=1 s=1 1 1− + i s Ast  Y m j=1 n X n Y m X X m n X n Y 1 + i s  t=1 ≥ × 1− Ast t=1  Y m j=1 X m n X n Y i=1 s=1  ac th si 44 m =  n Y X n X i=1 s=1 β2j−1 Ai(2j−1) j=1  β2j−1 Ai(2j−1) × β2j As(2j) 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X  × n X β2j Ai(2j) 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) s=1 β − β1 2j−1 2j  β2j   β2j (1.87) , − β1m ) + β1m + β1m ≥ 1, đó, từ ( β11 − β12 ) + β12 + β12 + ( β13 − β14 ) + β14 + β14 + · · · + ( βm−1 áp dụng (1.5) cho vế phải (1.87), ta có X  n Y m m n Y P X 1 1
m j=1 β lu Aij an s=1 j=1 i=1 n va m j=1 × p β2j−1 Ai(2j−1) nl w β2j Ai(2j) n Y  X n X + 1
1− + i s 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X s=1 β2j−1 Ai(2j−1) β − β2 2j−1 2j j s 2j  β1  2j  X n X n an β β i=1 s=1 j=1 − n X i=1 2j Ai(2j) s=1 2j−1 As(2j−1) − s=1 n X β2j−1 A s s(2j−1) i=1 n X i=1 β2j A i i(2j)  β1  2j β2j A s s(2j)  s=1 n X s=1 β 2j−1 As(2j−1) an Lu s=1 β + β2j−1 Ai(2j−1) n X m i=1 s=1 n X β2j As(2j) n X β 2j As(2j) co β 2j Ai(2j) n X n X l i=1 n X β β2j−1 Ai(2j−1) i=1 β2j−1 A i i(2j−1) X n  X n gm + − β2 2j−1 2j 2j @ × β  z i=1 β2j−1 Ai(2j−1) 1
1− + i s  β1  z at nh oi n Y  X 1
1− + i s lm ul 2j 2j−1 Ai(2j) As(2j−1) m β2j−1 β2j Ai(2j−1) As(2j) i=1 s=1 nf va × i=1 X n X n − β1 2j−1 2j β  β1 lu j=1 = β 2j−1 As(2j−1) i β2j As(2j) d oa i=1 m = n X s=1 i=1 X n × β 2j−1 Ai(2j−1) t=1 i=1 X n ie gh tn to ≤ n Y  X 1− Ast n va ac th si 45 m =  X n Y  X n − β2 2j−1 2j × i=1 β2j−1 A i i(2j−1) m = β  X n i=1 j=1 − β2j−1 Ai(2j−1) n Y  X j=1   X n 2j−1 Ai(2j−1) i=1 Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) lu = β an Aijj − m  β2  Y  j i=1 β β2j
Ai(2j) i=1 i=1 X n  X n β2j−1 Ai(2j−1) i=1 X n  Pn Y n m X j=1 2j−1 i=1 × 1− − i=1 β β 2j Aβi(2j)  n X β2j−1
Ai(2j−1) 2 β2 j A i i(2j) i=1 2  β1  2j  β2 2j Ai(2j) 2j β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− j=1 − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) va n (1.88) gh tn to Kết hợp (1.88) (1.86), ta có  β1  Y n Y m m X n X β Aijj p ie Aij ≤ j=1 i=1 j=1 i=1 w m Y oa nl × j Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− j=1 β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) − (1.89) d an lu Từ β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) , Pn β2j−1 A i=1 i(2j−1) nf va 0< Pn Pn β2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) (1.90) ≤ 1, lm ul ta có z at nh oi Pn β2j Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) i=1 i Ai(2j) P < − Pn n β2j−1 β2j i=1 Ai(2j−1) (1.91) i=1 Ai(2j) z Từ (1.89) (1.91), Định lý chứng minh trường hợp m chẵn P Trường hợp 2: Nếu m lẻ m j=1 βj ≥ Tiến hành tương tự trường hợp Aij ≤ j i=1 Y 1− β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) Pn − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) (1.92) n va j=1  Pn an Lu m−1 ×  β1  m j=1 β Aijj co i=1 j=1 Y m X n l n Y m X gm @ 1, ta có ac th si 46 Định lý 1.2.11 chứng minh Nếu < < 1, từ Định lý 1.2.11 Bổ đề 1.2.1 có dạng 2β2j làm cht khỏc ca bt ng thc Hăolder tng quỏt (1.5) Hệ 1.2.12 ([9]) Cho Aij ≥ 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m), β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥    m m chẵn Pm ≥ 1, cho α(m) = βm > 0, j=1 Khi m−1 βj   m lẻ m n Y X Y n m X Aij ≤ lu an va ×  β1  j i=1 j=1 i=1 j=1 β Aijj  α(m) Y n j=1 1− 2β2j Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) − β2j 2  i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) (1.93) tn to Tiếp theo, đề cập đến số dạng mở rộng khác chặt chẽ hn gh ca cỏc bt ng thc Hăolder tng quỏt (1.6) (1.7) trình bày Định p ie lý sau oa nl w Định lý 1.2.12 ([9]) Cho Aij > 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m) P (a) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), < m j=1 βj ≤ Y m X n d n Y m X an lu Aij ≥ i=1 j=1 j=1  β1  j i=1 Y m  nf va × β Aijj β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 Y m X n Aij ≥ j=1  β1  j i=1 ∗ β1 A i=1 i i1 Pn β1∗ A i=1 i1 Pn i=1 n va j=1 (1.95) an Lu i=1 j=1 j − m β Aijj Aij ≥ βj 2  i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij co (c) Nếu βj < 0(j = 1, 2, · · · , m) Y  β1  n Y m m X n X Pn l 1− 2βj gm Y m  j=2 (1.94) < βj @ × j=1 − βj 2  i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij z i=1 j=1 β Aijj Pm z at nh oi (b) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), n Y m X Pn Pn lm ul j=2 1− 2βj ac th si 47 × Aij Ast s=1 t=1 m n n XXY Ast lu an n va s=1 i=1  Y m Ast to tn s=1 i=1 p ie gh = (1.96) Ast Ast nl w d oa t=1 j  j j  − Aij Ast Ast  m n n X X Y s=1 i=1 j=1  Y m i Ast  Y m t=1  Aij j=1 Pm j=1 β j Aij j=1  Y m t=1 1−Pm j=1 β j Aij j=1 Pm j=1 β Aij Aij = X n Y m z j=1 i=1 Aij j=1 Pm j=1 βj 1
β1j + i s n va i=1 j=1 Aij − 1
1− + i s an Lu Ast  m t=1 i=1 X n Y m j=1 co s=1 t=1  n m X Y (1.97) l Ast Aij gm Từ bất đẳng thức (1.6), ta có X n Y m n Y m X 2 @ t=1 j z at nh oi Ast  Y m Ast s=1 + i s Pm j=1 β Aij s=1 i=1 t=1 j=1   n n m m XX Y Y  = 1
1−Pm j=1 β t=1 X n X n Y m s=1 i=1 1− Aij lm ul s=1 i=1 j=1 βj Aij  Y m nf va an lu = × Ast Y m X n Y m n X Pm j=1 n X n X s j=1 βj 1−Pm j=1 β j=1  Y m s=1 i=1 s=1 i=1 1
+ i s Pm j=1 t=1 s=1 i=1 X n Y m n X + Aij  Y m t=1 X n Y m n X × 1−   Y m t=1 X n X n Y m × 1
+ i s j=1 X n X n Y m = − 1− j=1 i=1 t=1 s=1 i=1 ≤ βj 2  i=1 i Aij , Pn βj A i=1 ij Pm 1 = − j=2 β β1∗ j Chứng minh (a) Theo Bổ đề 1.2.2, ta có  X m n Y m n Y X = Pn Pn 1− 2βj j=2 ∗ β1 A i=1 i i1 Pn β1∗ i=1 Ai1 Y m  ac th si 48 ≥ n Y m X s=1 = Ast t=1 j=1 n  X n X Aβs11 s=1 × Y m  j=2 ×  Y m X n Y m  lu β1 m P − βj an j=2 1
1− + i s Aβi11 n X
+ β2 + β3 + ··· + βm j 1 1
1− + i s Aβi11  β1   β1 −Pm j=2 β 1
1− + i s i=1 j=2 Do đó, từ i=1 i=1 n X β β1 Aijj As1 i=1 β Asjj 1
1− + i s β Aijj  β1  j  β1  j (1.98) β2 + j + β3 + ··· + βm ≤ 1, áp dụng n va Ast tn to (1.5) cho vế phải bất đẳng thức (1.98), ta X  n Y m n Y m P X 1 1
m j=1 β s=1 t=1 ie gh p ≥ i=1 X n X n Aβs11 Aβi11 s=1 i=1 Y m X n X n oa nl w × j=1 1
1− + i s i 1 1
1− + i s β Asjj Aβi11 1
1− + i s Aβi11 j × i=1 β Asjj Aβi11 − s=1 i=1 = × i=1 Aβi11 − s=1 n X s=1 β Asjj i=1 n X i=1 i=1 β Aijj  n s=1 i=1 n β1 X βj X β1 A + A Ai1 i i1 s sj  β1  j an Lu β Asjj n X β Aijj m s=1 i=1 β1 A s s1 s=1 n X n X co X n βj A + i ij n X Aβs11 l Aβs11 n X j Y m  X n j=2 s=1 × j  gm i=1 n X 1 1
+ i s 1
1− + i s  β1  @ − Aβi11  β2 −Pm j=2 β β Aβs11 Aijj z X n j z at nh oi ×  β1  s=1 i=1 j=2 X n X n j Y m  X n X n lm ul =  β2 −Pm j=2 β  β1  nf va an lu s=1 i=1 j=2 X n j s j d × Y m X n X n +  β1 −Pm j=2 β β Aβs11 Aijj s=1 i=1 j=2 1− Aij n va ac th si 49 X n = Aβi11  β2 −Pm j=2 β j × Y n m  X i=1 − Aβi11  X n i=1 i=1 Y n m X = β Aijj − i=1  β2  Y m  j β1 A i i1 β Aijj 2  β1  j i=1 βj 2  β1  j i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij Pn β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 j=2 2 β Aijj i=1  X n Pn 1− i=1 j=1 X n  βj A i ij  X n i=1 j=2  X n Aβi11 − (1.99) Kết hợp (1.99) (1.97), ta  β1  Y n m X n Y m X j β Aijj Aij ≥ i=1 j=1 i=1 j=1 lu an × Y m  va 1− β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 Pn Pn j=2 n tn to Hơn nữa, ta có ie gh 0< − βj i=1 i Aij Pn βj i=1 Aij (1.100) (1.101) ≤ 1, p β1 i=1 i Ai1 , Pn β1 A i=1 i1 βj 2  2β1  j i=1 i Aij Pn βj A ij i=1 Pn Pn nl w