(Luận văn) chéo hóa schmudgen các ma trận đa thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MINH THƯ lu an n va ie gh tn to p ă CHẫO HểA SCHMUDGEN d oa nl w CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG oi lm ul nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MINH THƯ lu an n va ie gh tn to p ă CHÉO HÓA SCHMUDGEN d oa nl w CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG va an lu Đại số lí thuyết số : oi lm Mã số ul nf Chuyên ngành : 46 01 04 z at nh z m co l gm @ TS LÊ THANH HIẾU an Lu Người hướng dẫn : n va ac th si Mục lục lu an n va Mở đầu Lời cảm ơn tn to Mục lục đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Một số định nghĩa Chéo hóa ma trận trường Chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị: Dạng chuẩn tắc Smith 6 12 p ie gh Vấn 1.1 1.2 1.3 oa nl w d Phng phỏp Schmă udgen chộo hóa ma trận đa thức 2.1 Sơ lược ∗-đại số 2.2 Phương phỏp Schmă udgen chộo húa ma trn trờn mt -i số giao đơn vị 2.3 Chéo húa Schmă udgen cho ma trn a thc thc i xứng 2.3.1 Phương pháp Schmă udgen 2.3.2 Thực thuật toán oi lm ul nf va an lu hốn có z at nh z Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức 3.1 Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho đa thức ma trận đa thức 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn 3.2.1 Mô hình tối ưu ma trận hạng 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối xứng ma trận Hermit 3.2.3 Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) 18 18 21 24 25 25 m co l gm @ 32 32 39 39 42 44 an Lu n va ac th si 3.2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức biến qua ma trận đồng hành 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an Ma trận công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều tốn khơng Đại số tuyến va tính mà cịn nhiều lĩnh vực khác Toán học đặc biệt ngành ứng dụng Toán học n tn to Nghiên cứu đại lý thuyết ma trận phát kĩ thuật gh Đại số tuyến tính mà cịn phục vụ cho lĩnh vực cần nhiều tính tốn ma trận như: Tốn p ie tổ hợp, lí thuyết số, lý thuyết đồ thị, lý thuyết toán tử lĩnh vực khác Một số toán w lĩnh vực kinh tế, kĩ thuật thường liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật oa nl chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hốn, đặc biệt cho ma trận đa thức d an lu Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa va ma trận trường khơng đủ mà phải chéo hóa ma trận vành nói chung, ul nf hay vành giao hốn có đơn vị nói riêng Do việc nghiên cứu phương pháp chéo hóa oi lm ma trận vành giao hốn thực có ý nghĩa Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu số phương pháp chéo hóa ma trận đa thức, ú ch yu l phng phỏp ca Schmă udgen z at nh chéo hóa ma trận vành giao hốn Từ tính tốn cụ thể phương pháp cho ma trận đa thức z gm @ Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận, nội dung Luận Văn trình bày thành ba chương sau l Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Trong m co chương chúng tơi trình bày lại phương pháp chéo hóa ma trận trường chéo an Lu hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị mà cụ thể dạng chuẩn tắc Smith Đây hai n va ac th si phương pháp chéo hóa ma trận kinh điển trường vành giao hoán, nhằm tạo cho người đọc có nhìn tổng quan hơn, dễ vic so sỏnh vi phng phỏp chộo húa Schmă udgen trình bày chương sau Chương Phương pháp Schmă udgen chộo húa ma trn a thc õy l nội dung Luận văn, trình bày phương pháp Schmă udgen chộo húa ma trn a thc trờn mt *-đại số giao hốn có đơn vị Để trình bày phương pháp này, mô tả lại vài kết quan trọng *-đại số với chứng minh chi tiết Tiếp đó, chúng tơi chi tiết hóa phng phỏp Schmă udgen mụ t bng lp trỡnh bi ngôn ngữ SageMath Python lu an Chương Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức Chương va trình bày ứng dụng chộo húa Schmă udgen vo vic biu din tng bỡnh phương n tn to Hermit ma trận đa thức Đồng thời chúng tơi trình bày ví dụ tính tốn ngơn p ie gh ngữ lập trình SageMath Python d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy giáo Tiến va sĩ Lê Thanh Hiếu, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện n tn to trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi gh xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống p ie kê-Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ w trình học tập trường Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ oa nl kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy cô d an lu bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện nf va Ngày tháng năm 2019 oi lm ul Học viên thực z at nh Trần Thị Minh Thư z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương lu Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị an n va tn to p ie gh Nội dung đây, chúng tơi trình bày lại phép chéo hóa ma trận trường, dạng chuẩn tắc Smith, phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Mục đích việc trình bày hai phép chéo hóa nhằm giúp ta có nhìn tổng quan việc so sánh với phép chéo húa Schmă udgen Chng Trong sut lun này, F hiểu trường số thực R hay trường số phức C R vành giao hốn có đơn vị Ta ký hiệu Mm×n (R) tập tất ma trận cỡ m × n với phần tử R; S m R tập tất ma trận đối xứng cấp m Mm×n (R) Các phép chéo hóa ma trận trường tham khảo từ tài liệu [4], phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị, tức dạng chuẩn tắc Smith, tham khảo từ [1] d oa nl w oi lm ul nf va an lu 1.1 Một số định nghĩa z at nh z Cho A = [aij ] ma trận cỡ m × n với phần tử F Nếu F = R (t ư, F = C A gọi ma trận thực (t phức) Trong luận văn ta đồng Fn×1 Fn , tức ta xem vectơ vectơ cột @ m co l gm Định nghĩa 1.1.1 (i) Ma trận AT = [aji ] có cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dịng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A an Lu (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij ] có cỡ m × n ma trận A∗ = [aji ] có cỡ n × m n va ac th si Định nghĩa 1.1.2 (i) Ma trận vng A = [aij ] cấp n có aij ∈ R, ∀i, j = 1, n (hay A ∈ Mn×n (R)) thỏa mãn A = AT gọi ma trận đối xứng thực (ii) Ma trận vuông A = [aij ] ∈ Mn×n (C) thỏa mãn A = A∗ gọi ma trận Hermit (iii) Ma trận Q ∈ Mn×n (R) gọi ma trận trực giao QT Q = In , In ma trận đơn vị cấp n Ma trận P ∈ Mn×n (C) gọi ma trận unita P ∗ P = In     Ví dụ 1.1.3 (i) Ma trận A = 2 4 ∈ R3×3 ma trận đối xứng thực lu an  n va p ie gh tn to  3+i   (ii) Ma trận B = 3 − i −6 − i ∈ C3×3 ma trận Hermit 1+i     3+i 3−i     B ∗ = 3 + i −6 + i = 3 − i −6 − i = B 1+i 1−i nl w Chéo hóa ma trận trường d oa 1.2 ul nf va an lu Định nghĩa 1.2.1 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A oi lm Ví dụ 1.2.2 Ma trận khơng O ma trân đơn vị In ma trận chéo hóa z at nh Định lý 1.2.3 Cho A = [aij ] ∈ Mn×n (F) mà trận vng cấp n A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính z Chứng minh Giả sử A chéo hóa được, tức tồn ma trận khả nghịch T  t1n  t2n   ∈ Mn×n (F),   tnn m co l gm t11 t12   t21 t22 T =   tn1 tn2 @  an Lu n va ac th si cho T −1 AT = B với  λ1   B=   0 λ2   0  .  λn lu an n va At1 , At2 , , Atn  λn t1n  λn t2n     λn tnn gh tn to Ta suy AT = T B Gọi t1 , t2 , , tn vectơ cột T , cột liên tiếp AT     t11 t12 t1n λ1 λ1 t11 λ2 t12      t21 t22 t2n   λ2   λ1 t21 λ2 t22    TB =     . =      tn1 tn2 tnn 0 λn λ1 tn1 λ2 tn2 p ie Từ phương trình AT = T B suy oa nl w At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn d Vì T khả nghịch nên vectơ cột ti 6= 0, λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A t1 , t2 , , tn vectơ riêng tương ứng Vì T khả nghịch nên det(T ) 6= vectơ t1 , t2 , , tn độc lập tuyến tính Vậy A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính t1 , t2 , , tn với giá trị riêng tương ứng λ1 , λ2 , , λn Tức At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Giả sử   t11 t12 t1n    t21 t22 t2n    T =    tn1 tn2 tnn oi lm ul nf va an lu z at nh z l gm @ m co với cột ma trận t1 , t2 , , tn Khi cột tích AT At1 , At2 , , Atn an Lu n va ac th si Vì F11 = t2 ≥ det F = t2 (t + 1)2 − (t2 + t)2 = t4 + 2t3 + t2 − (t4 + 2t3 + t2 ) =0 nên F nửa xác định dương R lu 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn an n va p ie gh tn to Chúng chọn phần mềm SageMath, thư viện Sympy Python cơng cụ để minh họa lý thuyết luận văn Ngoài MATLAB, hai công cụ tương đối mạnh thời điểm Trọng tâm mục đưa ví dụ chéo hóa ma trận đối xứng trường số thực ma trận Hermit trường số phức Đồng thời dùng thư viện Sympy để minh họa lại thuật tốn chéo hóa ma trận đa thức biến cấp × Mơ hình tối ưu ma trận hạng nl w 3.2.1 d oa Trong phép tốn tìm biểu diễn tổng bình phương ma trận đa thức, thực hai bước an lu ul nf va Bước : Chéo húa Schmă udgen ma trn a thc F nhn ma trận đường chéo D = diag(d1 , , dn ) oi lm Bước : Tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ cho d1 , , dn Từ thay vào b2 F = X+ DX+T ta biểu diễn tổng bình phương Hermit cho F z at nh z Ở Bước 2, việc tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ đa thức dj D quy việc giải hệ phương trình tuyến tính tập ma trận nửa xác định P dương Cụ thể hơn, cho trước đa thức f ∈ R[x], f = ri=1 fi2 , fi ∈ R[x] hệ số phải phụ thuộc tuyến tính vào phần tử ma trận Gram tương ứng: G = F F + , cột F vectơ hệ số đa thức fi , i = 1, r Thông thường hạng G số hạng tử tổng bình phương r Do việc tìm đa thức fj , j = 1, n tương đương với việc tìm ma trận G ≥ thỏa mãn hệ phương trình thích hợp m co l gm @ an Lu n va 39 ac th si Từ chúng tối đề xuất phương pháp giải tốn tối ưu hạng ma trận: Tìm ma trận X ∈ Rm×p với hạng rank(X) = 1, 2, , min(m, p) cho φ(X) = u, φ hàm khả vi Việc tìm X dựa vào thuật tốn Levenberg-Marquardt Thuật tốn Levenberg-Marquardt phương pháp tiếng sử dụng để giải vấn đề bình phương nhỏ Để tiện cho người đọc, chúng tơi tóm lược phương pháp sau Một tốn bình phương tối thiểu tốn giải phương trình f (x) = 0, với f (x) = ||F (x)||22 , F (x) = [F1 (x) Fl (x)]T ∈ Rl , ∀x ∈ Rn , lu hàm Fj khả vi liên tục Bắt đầu với điểm khởi tạo x0 ∈ Rn , tìm dãy xk hội tụ đến điểm cực tiểu f Tại bước k, điểm xk+1 xác định miền "hyperlipsoid" thích hợp với tâm xk Cụ thể hơn, xấp xỉ f (xk + p) an n va to gh tn F (xk + p) ' F (xk ) + JacF (xk )p, p ∈ Rn p ie Tối ưu hàm xấp xỉ F (xk ) + JacF (xk )p hyperellipsoild w Ek = {p = (p1 , , pn ) : n X (k) (di )2 p2i ≤ ∆k } oa nl i=1 (k) d để tìm hướng xuống p∗ (một cực tiểu hàm xấp xỉ) Hoặc ∆ tham số di cập nhật sau bước k, phụ thuộc vào khác f (xk + p) f (xk ) Điểm xk+1 định xk hay xk + p∗ Phương pháp kết hợp hai phương pháp tối ưu: Gradient-descent Gauss-Newton Trong trường hợp, φ hàm khả vi liên tuc, ta xét hàm mục tiêu F : Rm×p −→ Rl , có hàm tọa độ định nghĩa sau oi lm ul nf va an lu z at nh Fi (X) = φi (X) − ui , ∀i = , l, ∀X ∈ Rm×p z gm @ Ma trận Jacobian hàm F sau    ∂φi ∂Fi = , JacF = ∂xi ∂xi  m co l ∂Fi đạo hàm theo hướng xi ∂xi Ta cần hai dung sai đủ nhỏ vòng lặp Levenberg-Marquardt: an Lu n va 40 ac th si ∧ • Bước dung sai τ : Tại bước LM thứ k, ta phản hồi nghiệm X[k] cho hệ thống tồn ||F (X[k] ||22 − ||F (X[k−1] ||22 ∧ ≤ τ ||F (X[k−1] ||22 • Dung sai phần dư τ : Bài tốn bình phương nhỏ có nghiệm ||F (X[k] || < τ Thuật toán 3.2.1 Giải toán tối ưu hạng ma trận Input: Vectơ u = (u1 , , ul ) ∈ Rl hàm φ Output: Một nghiệm X ∈ Mm×p R lu an Bước Đặt r = n va gh tn to Bước Giải hệ thống φ(X) = u sử dụng phương pháp gLM Lấy X[k] nghiệm ∧ xác định dung sai τ vòng lặp LM thứ k Tính F (X[k] ) Bước Nếu F (||X[k] )|| < τ X = X[k] nghiệm dừng vòng lặp ie p Ngược lại, đặt r = r + 1, quay lại Bước w d oa nl Việc giải hệ phương trình tuyến tính nhóm ma trận nửa xác định dương ứng với hàm φ hàm tuyến tính Ta phát biểu lại toán sau va an lu  rank(X)|X ∈ S+m R, l(X) = b , ul nf (3.2.7) oi lm l : S m R hàm tuyến tính b ∈ Rl cho trước Bất kì ma trận nửa xác định dương X định nghĩa nhân tử Cholesky Y ∈ S m R : X = Y Y T Vì vậy, diễn tả hàm tuyến tính l thơng qua ma trận Ai ∈ S m R: z at nh T  φ = l(X) = T r(AT1 X) T r(ATl X) , ∀X ∈ S m R, z (3.2.8) @ m co l gm ta định nghĩa hàm mục tiêu F : S m R −→ R, ta áp dụng phương thức LM sau Fi (X) = T r(ATi Y Y T ) − bi , i = 1, , l (3.2.9) an Lu n va 41 ac th si Hơn nữa, để tìm X có hạng r, ta tìm Y ∈ Rm×r Bài tốn (3.2.7) viết lại sau minimize rank(Y ) suject to Y ∈ Rn×r ,  T T r(AT1 Y Y T ) T r(AT1 Y Y T ) = l(Y Y T ) = b Trong trường hợp này, ma trận Jacobian tính tốn trực tiếp sau lu an  ∂F  ∂Y va n       ∂vecF ∂F l×rn  Jac(F ) = , = =  ∈R ∂Y ∂vecY     tn to p ie gh ∂F1 ∂Y w d oa nl ∂Fi ∂Tr(ATi Y Y T ) = = 2[vec(Ai Y ]T ∂Y ∂Y lu Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối an 3.2.2 nf va xứng ma trận Hermit oi lm ul Trong mục này, tìm hiểu cơng cụ tính tốn SageMath đưa ví dụ tính tốn chéo hóa ma trận đối xứng ma trận Hermit Cách khai báo ma trận đa thức cấp SageMath sau: z at nh z sage: R. = PolynomialRing(QQ, 2) sage: M = matrix(R,[[x-y,2*x^2+1],[x*y,0]]) sage: N = matrix(R,[[y,x^2+1],[x*y,x]]) sage: M [ x - y 2*x^2 + 1] [ x*y 0] sage: N [ y x^2 + 1] m co l gm @ an Lu n va 42 ac th si [ x*y x] Tính định thức ma trận M sage: M.determinant() -2*x^3*y - x*y Các phép toán cộng nhân ma trận lu an n va 2] x] - y^2 3*x^3 - x^2*y + 2*x - y] x*y^2 x^3*y + x*y] tn to sage: M+N [ x 3*x^2 + [ 2*x*y sage: M*N [ 2*x^3*y + 2*x*y [ p ie gh Ví dụ 3.2.2 Cho A ma trận đối xứng Tìm ma trận tam giác L cho A = LDLT , D ma trận chéo d oa nl w sage: A = matrix(QQ, [[ 3, -6, 9, 6, -9], : [-6, 11, -16, -11, 17], : [ 9, -16, 28, 16, -40], : [ 6, -11, 16, 9, -19], : [-9, 17, -40, -19, 68]]) sage: A.is_symmetric() True sage: L, d = A.indefinite_factorization() sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0 0] [-2 0 0] [ -2 0] [ -1 0] [-3 -3 1] sage: D [ 0 0] [ -1 0 0] oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va 43 ac th si [ 0 [ 0 [ 0 sage: A True 0] -2 0] 0 -1] == L*D*L.transpose() Ví dụ 3.2.3 Cho B ma trận Hermit Tìm ma trận tam giác L cho B = LDL∗ , D ma trận chéo lu an n va p ie gh tn to sage: C. = QuadraticField(-1) sage: B = matrix(C, [[ 2, - 2*I, + 2*I], : [4 + 2*I, 8, 10*I], : [2 - 2*I, -10*I, -3]]) sage: B.is_hermitian() True sage: L, d = B.indefinite_factorization(algorithm=’hermitian’) sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0] [ I + 0] [ -I + 2*I + 1] sage: D [ 0] [ -2 0] [ 0 3] sage: B == L*D*L.conjugate_transpose() True d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) z 3.2.3 @ l gm Trong mục này, sử dụng thư viện Sympy Python m co Hệ 3.2.4 Từ Thuật tốn 2.3.4, chúng tơi viết lại mã minh họa để chéo hóa ma trận đa thức cấp (2, 2) biến an Lu import sympy as sy n va 44 ac th si lu an n va p ie gh tn to def decomposition(M): ’’’ input: Polynomial symetric matrix (2,2) return: X,D,b suct that: b^2*M = X*D*X^T algorithm: Schmă udgen if M.is_symmetric(): #iteration alpha_0 = M[0,0] b_0 = alpha_0**2 C_0 = M[1:,1:] beta_0 = M[0,1:] X_0 = sy.Matrix([[sy.Matrix([[alpha_0]]), sy.ZeroMatrix(1,1)], [beta_0.T, alpha_0*sy.Identity(1)]]) B_0= (alpha_0**2)*C_0 - alpha_0*beta_0.T*beta_0 F_0 = sy.Matrix([[alpha_0**3, 0],[0, B_0[0,0]]]) D_0 = F_0 d oa nl w lu ul nf va an X_0_ = sy.Matrix([[X_0[0,0][0,0],X_0[0,1][0,0]], [X_0[1,0][0,0],X_0[1,1][0,0]]]) oi lm if B_0 == sy.Matrix([[0]]): return X_0_, D_0 ,b_0 #iteration else: F_1 = B_0 alpha_1 = F_1[0,0] b_1 = b_0*alpha_1**2 # C_1 =0 # beta_1 =0 #>>>>>B_1 =0 X_1 = sy.Matrix([[alpha_1]]) z at nh z m co l gm @ an Lu n va 45 ac th si