(Luận văn) chéo hóa schmudgen các ma trận đa thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MINH THƯ lu an va n tn to p ie gh ă CHẫO HểA SCHMUDGEN d oa nl w CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG nv a lu ll fu an m tz a nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ om l.c an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MINH THƯ lu an va n tn to p ie gh ă CHÉO HÓA SCHMUDGEN d oa nl w CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG nv a lu an Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 ll fu Chuyên ngành : m : tz a nh oi z gm @ om l.c TS LÊ THANH HIẾU an Lu Người hướng dẫn : n va ac th si Mục lục lu an va n Mở đầu Lời cảm ơn tn to Mục lục đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Một số định nghĩa Chéo hóa ma trận trường Chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị: Dạng chuẩn tắc Smith 6 12 p ie gh Vấn 1.1 1.2 1.3 oa nl w d Phng phỏp Schmă udgen chộo hóa ma trận đa thức 2.1 Sơ lược ∗-đại số 2.2 Phương phỏp Schmă udgen chộo húa ma trn trờn mt -i số giao đơn vị 2.3 Chéo húa Schmă udgen cho ma trn a thc thc i xứng 2.3.1 Phương pháp Schmă udgen 2.3.2 Thực thuật toán nv a lu ll fu an m a nh oi hốn có tz Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức 3.1 Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho đa thức ma trận đa thức 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn 3.2.1 Mô hình tối ưu ma trận hạng 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối xứng ma trận Hermit 3.2.3 Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) 18 18 21 24 25 25 z gm @ 32 32 39 39 om l.c 42 44 an Lu n va ac th si 3.2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức biến qua ma trận đồng hành 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 lu an va n tn to p ie gh d oa nl w nv a lu ll fu an m tz a nh oi z gm @ om l.c an Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu lu an Ma trận công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều tốn khơng Đại số tuyến va tính mà cịn nhiều lĩnh vực khác Tốn học đặc biệt ngành ứng dụng Toán học n tn to Nghiên cứu đại lý thuyết ma trận phát kĩ thuật gh Đại số tuyến tính mà cịn phục vụ cho lĩnh vực cần nhiều tính tốn ma trận như: Tốn p ie tổ hợp, lí thuyết số, lý thuyết đồ thị, lý thuyết toán tử lĩnh vực khác Một số toán oa nl w lĩnh vực kinh tế, kĩ thuật thường liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hoán, đặc biệt cho ma trận đa thức d a lu Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa nv ma trận trường khơng đủ mà phải chéo hóa ma trận vành nói chung, an fu hay vành giao hốn có đơn vị nói riêng Do việc nghiên cứu phương pháp chéo hóa ll ma trận vành giao hốn thực có ý nghĩa Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu số m a nh oi phương pháp chéo hóa ma trận đa thức, ch yu l phng phỏp ca Schmă udgen v chộo hóa ma trận vành giao hốn Từ tính toán cụ thể phương pháp cho ma tz trận đa thức z gm @ Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận, nội dung Luận Văn trình bày thành ba chương sau om l.c Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Trong chương chúng tơi trình bày lại phương pháp chéo hóa ma trận trường chéo an Lu hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị mà cụ thể dạng chuẩn tắc Smith Đây hai n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an phương pháp chéo hóa ma trận kinh điển trường vành giao hoán, nhằm tạo cho người đọc có nhìn tổng quan hơn, dễ việc so sánh với phương pháp chộo húa Schmă udgen c trỡnh by chng sau Chng Phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trn đa thức Đây nội dung Luận văn, trỡnh by phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trn đa thức *-đại số giao hốn có đơn vị Để trình bày phương pháp này, chúng tơi mơ tả lại vài kết quan trọng *-đại số với chứng minh chi tiết Tiếp đó, chúng tụi chi tit húa phng phỏp Schmă udgen mụ t lập trình ngơn ngữ SageMath Python lu an Chương Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức Chương va trình bày mt ng dng ca chộo húa Schmă udgen vo vic biểu diễn tổng bình phương n tn to Hermit ma trận đa thức Đồng thời chúng tơi trình bày ví dụ tính tốn ngơn p ie gh ngữ lập trình SageMath Python d oa nl w nv a lu ll fu an m tz a nh oi z gm @ om l.c an Lu n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời cảm ơn lu an Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy giáo Tiến va sĩ Lê Thanh Hiếu, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện n tn to trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi gh xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống p ie kê-Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi oa nl w q trình học tập trường Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô d nv a lu bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện an Ngày tháng năm 2019 ll fu Học viên thực m a nh oi Trần Thị Minh Thư tz z gm @ om l.c an Lu n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương lu Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị an va n tn to p ie gh Nội dung đây, chúng tơi trình bày lại phép chéo hóa ma trận trường, dạng chuẩn tắc Smith, phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Mục đích việc trình bày hai phép chéo hóa nhằm giúp ta có nhìn tổng quan việc so sánh với phép chéo húa Schmă udgen Chng Trong sut lun này, F hiểu trường số thực R hay trường số phức C R vành giao hốn có đơn vị Ta ký hiệu Mm×n (R) tập tất ma trận cỡ m × n với phần tử R; S m R tập tất ma trận đối xứng cấp m Mm×n (R) Các phép chéo hóa ma trận trường tham khảo từ tài liệu [4], phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị, tức dạng chuẩn tắc Smith, tham khảo từ [1] d oa nl w nv a lu ll fu an Một số định nghĩa m a nh oi 1.1 tz Cho A = [aij ] ma trận cỡ m × n với phần tử F Nếu F = R (t ư, F = C A gọi ma trận thực (t phức) Trong luận văn ta đồng Fn×1 Fn , tức ta xem vectơ vectơ cột z @ gm Định nghĩa 1.1.1 (i) Ma trận AT = [aji ] có cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dòng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A om l.c an Lu (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij ] có cỡ m × n ma trận A∗ = [aji ] có cỡ n × m n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.1.2 (i) Ma trận vuông A = [aij ] cấp n có aij ∈ R, ∀i, j = 1, n (hay A ∈ Mn×n (R)) thỏa mãn A = AT gọi ma trận đối xứng thực (ii) Ma trận vuông A = [aij ] ∈ Mn×n (C) thỏa mãn A = A∗ gọi ma trận Hermit (iii) Ma trận Q ∈ Mn×n (R) gọi ma trận trực giao QT Q = In , In ma trận đơn vị cấp n Ma trận P ∈ Mn×n (C) gọi ma trận unita P ∗ P = In     Ví dụ 1.1.3 (i) Ma trận A = 2 4 ∈ R3×3 ma trận đối xứng thực lu an  va n tn to  3+i   (ii) Ma trận B = 3 − i −6 − i ∈ C3×3 ma trận Hermit 1+i     3+i 3−i     B ∗ = 3 + i −6 + i = 3 − i −6 − i = B 1+i 1−i p ie gh oa nl w 1.2 Chéo hóa ma trận trường d nv a lu Định nghĩa 1.2.1 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A fu an ll Ví dụ 1.2.2 Ma trận không O ma trân đơn vị In ma trận chéo hóa m a nh oi Định lý 1.2.3 Cho A = [aij ] ∈ Mn×n (F) mà trận vng cấp n A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính tz z Chứng minh Giả sử A chéo hóa được, tức tồn ma trận khả nghịch T  t1n  t2n   ∈ Mn×n (F),   tnn gm om l.c t11 t12   t21 t22 T =   tn1 tn2 @  an Lu n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an cho T −1 AT = B với  λ1   B=   0 λ2   0  .  λn lu an va n At1 , At2 , , Atn tn to Ta suy AT = T B Gọi t1 , t2 , , tn vectơ cột T , cột liên tiếp AT     t11 t12 t1n λ1 λ1 t11 λ2 t12      t21 t22 t2n   λ2   λ1 t21 λ2 t22    TB =     . =      tn1 tn2 tnn 0 λn λ1 tn1 λ2 tn2  λn t1n  λn t2n     λn tnn gh p ie Từ phương trình AT = T B suy oa nl w At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn d Vì T khả nghịch nên vectơ cột ti 6= 0, λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A t1 , t2 , , tn vectơ riêng tương ứng Vì T khả nghịch nên det(T ) 6= vectơ t1 , t2 , , tn độc lập tuyến tính Vậy A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính t1 , t2 , , tn với giá trị riêng tương ứng λ1 , λ2 , , λn Tức At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Giả sử   t11 t12 t1n    t21 t22 t2n    T =    tn1 tn2 tnn nv a lu ll fu an m tz a nh oi z gm @ l.c với cột ma trận t1 , t2 , , tn Khi cột tích AT At1 , At2 , , Atn om an Lu n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vì F11 = t2 ≥ det F = t2 (t + 1)2 − (t2 + t)2 = t4 + 2t3 + t2 − (t4 + 2t3 + t2 ) =0 nên F nửa xác định dương R lu 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn an va n tn to Chúng chọn phần mềm SageMath, thư viện Sympy Python cơng cụ để minh họa lý thuyết luận văn Ngoài MATLAB, hai công cụ tương đối mạnh thời điểm Trọng tâm mục đưa ví dụ chéo hóa ma trận đối xứng trường số thực ma trận Hermit trường số phức Đồng thời dùng thư viện Sympy để minh họa lại thuật tốn chéo hóa ma trận đa thức biến cấp × p ie gh Mơ hình tối ưu ma trận hạng oa nl w 3.2.1 d Trong phép tốn tìm biểu diễn tổng bình phương ma trận đa thức, chúng tơi thực hai bước a lu nv Bước : Chộo húa Schmă udgen ma trn a thc F nhận ma trận đường chéo D = diag(d1 , , dn ) ll fu an m Bước : Tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ cho d1 , , dn Từ thay vào b2 F = X+ DX+T ta biểu diễn tổng bình phương Hermit cho F a nh oi tz Ở Bước 2, việc tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ đa thức dj D quy việc giải hệ phương trình tuyến tính tập ma trận nửa xác định P dương Cụ thể hơn, cho trước đa thức f ∈ R[x], f = ri=1 fi2 , fi ∈ R[x] hệ số phải phụ thuộc tuyến tính vào phần tử ma trận Gram tương ứng: G = F F + , cột F vectơ hệ số đa thức fi , i = 1, r Thông thường hạng G số hạng tử tổng bình phương r Do việc tìm đa thức fj , j = 1, n tương đương với việc tìm ma trận G ≥ thỏa mãn hệ phương trình thích hợp z gm @ om l.c an Lu n va 39 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ chúng tối đề xuất phương pháp giải tốn tối ưu hạng ma trận: Tìm ma trận X ∈ Rm×p với hạng rank(X) = 1, 2, , min(m, p) cho φ(X) = u, φ hàm khả vi Việc tìm X dựa vào thuật tốn Levenberg-Marquardt Thuật toán Levenberg-Marquardt phương pháp tiếng sử dụng để giải vấn đề bình phương nhỏ Để tiện cho người đọc, chúng tơi tóm lược phương pháp sau Một tốn bình phương tối thiểu tốn giải phương trình f (x) = 0, với f (x) = ||F (x)||22 , F (x) = [F1 (x) Fl (x)]T ∈ Rl , ∀x ∈ Rn , lu hàm Fj khả vi liên tục Bắt đầu với điểm khởi tạo x0 ∈ Rn , tìm dãy xk hội tụ đến điểm cực tiểu f Tại bước k, điểm xk+1 xác định miền "hyperlipsoid" thích hợp với tâm xk Cụ thể hơn, xấp xỉ f (xk + p) an va n to tn F (xk + p) ' F (xk ) + JacF (xk )p, p ∈ Rn gh p ie Tối ưu hàm xấp xỉ F (xk ) + JacF (xk )p hyperellipsoild oa nl w Ek = {p = (p1 , , pn ) : n X (k) (di )2 p2i ≤ ∆k } i=1 (k) d để tìm hướng xuống p∗ (một cực tiểu hàm xấp xỉ) Hoặc ∆ tham số di cập nhật sau bước k, phụ thuộc vào khác f (xk + p) f (xk ) Điểm xk+1 định xk hay xk + p∗ Phương pháp kết hợp hai phương pháp tối ưu: Gradient-descent Gauss-Newton Trong trường hợp, φ hàm khả vi liên tuc, ta xét hàm mục tiêu F : Rm×p −→ Rl , có hàm tọa độ định nghĩa sau nv a lu ll fu an m a nh oi Fi (X) = φi (X) − ui , ∀i = , l, ∀X ∈ Rm×p tz z gm @ Ma trận Jacobian hàm F sau    ∂φi ∂Fi = , JacF = ∂xi ∂xi  om l.c ∂Fi đạo hàm theo hướng xi ∂xi Ta cần hai dung sai đủ nhỏ vòng lặp Levenberg-Marquardt: an Lu n va 40 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ∧ • Bước dung sai τ : Tại bước LM thứ k, ta phản hồi nghiệm X[k] cho hệ thống tồn ||F (X[k] ||22 − ||F (X[k−1] ||22 ∧ ≤ τ ||F (X[k−1] ||22 • Dung sai phần dư τ : Bài tốn bình phương nhỏ có nghiệm ||F (X[k] || < τ Thuật toán 3.2.1 Giải toán tối ưu hạng ma trận Input: Vectơ u = (u1 , , ul ) ∈ Rl hàm φ Output: Một nghiệm X ∈ Mm×p R lu an Bước Đặt r = va n tn to Bước Giải hệ thống φ(X) = u sử dụng phương pháp gLM Lấy X[k] nghiệm ∧ xác định dung sai τ vòng lặp LM thứ k Tính F (X[k] ) gh Bước Nếu F (||X[k] )|| < τ X = X[k] nghiệm dừng vòng lặp p ie Ngược lại, đặt r = r + 1, quay lại Bước oa nl w Việc giải hệ phương trình tuyến tính nhóm ma trận nửa xác định dương ứng với hàm φ hàm tuyến tính Ta phát biểu lại toán sau d nv a lu  rank(X)|X ∈ S+m R, l(X) = b , ll fu an (3.2.7) m l : S m R hàm tuyến tính b ∈ Rl cho trước Bất kì ma trận nửa xác định dương X định nghĩa nhân tử Cholesky Y ∈ S m R : X = Y Y T Vì vậy, diễn tả hàm tuyến tính l thơng qua ma trận Ai ∈ S m R: tz a nh oi T  φ = l(X) = T r(AT1 X) T r(ATl X) , ∀X ∈ S m R, z (3.2.8) @ gm ta định nghĩa hàm mục tiêu F : S m R −→ R, ta áp dụng phương thức LM sau om l.c Fi (X) = T r(ATi Y Y T ) − bi , i = 1, , l (3.2.9) an Lu n va 41 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hơn nữa, để tìm X có hạng r, ta tìm Y ∈ Rm×r Bài tốn (3.2.7) viết lại sau rank(Y ) minimize suject to Y ∈ Rn×r ,  T T r(AT1 Y Y T ) T r(AT1 Y Y T ) = l(Y Y T ) = b Trong trường hợp này, ma trận Jacobian tính tốn trực tiếp sau lu an  ∂F  ∂Y va n       ∂vecF ∂F l×rn  Jac(F ) = , = =  ∈R ∂Y ∂vecY     tn to p ie gh ∂F1 ∂Y oa nl w ∂Fi ∂Tr(ATi Y Y T ) = = 2[vec(Ai Y ]T ∂Y ∂Y d a lu 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối nv fu an xứng ma trận Hermit ll Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu cơng cụ tính tốn SageMath đưa ví dụ tính tốn chéo hóa ma trận đối xứng ma trận Hermit Cách khai báo ma trận đa thức cấp SageMath sau: m a nh oi tz sage: R. = PolynomialRing(QQ, 2) sage: M = matrix(R,[[x-y,2*x^2+1],[x*y,0]]) sage: N = matrix(R,[[y,x^2+1],[x*y,x]]) sage: M [ x - y 2*x^2 + 1] [ x*y 0] sage: N [ y x^2 + 1] z gm @ om l.c an Lu n va 42 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [ x*y x] Tính định thức ma trận M sage: M.determinant() -2*x^3*y - x*y Các phép toán cộng nhân ma trận lu an va n 2] x] - y^2 3*x^3 - x^2*y + 2*x - y] x*y^2 x^3*y + x*y] tn to sage: M+N [ x 3*x^2 + [ 2*x*y sage: M*N [ 2*x^3*y + 2*x*y [ p ie gh Ví dụ 3.2.2 Cho A ma trận đối xứng Tìm ma trận tam giác L cho A = LDLT , D ma trận chéo d oa nl w sage: A = matrix(QQ, [[ 3, -6, 9, 6, -9], : [-6, 11, -16, -11, 17], : [ 9, -16, 28, 16, -40], : [ 6, -11, 16, 9, -19], : [-9, 17, -40, -19, 68]]) sage: A.is_symmetric() True sage: L, d = A.indefinite_factorization() sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0 0] [-2 0 0] [ -2 0] [ -1 0] [-3 -3 1] sage: D [ 0 0] [ -1 0 0] nv a lu ll fu an m tz a nh oi z gm @ om l.c an Lu n va 43 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [ 0 [ 0 [ 0 sage: A True 0] -2 0] 0 -1] == L*D*L.transpose() Ví dụ 3.2.3 Cho B ma trận Hermit Tìm ma trận tam giác L cho B = LDL∗ , D ma trận chéo lu an va n tn to sage: C. = QuadraticField(-1) sage: B = matrix(C, [[ 2, - 2*I, + 2*I], : [4 + 2*I, 8, 10*I], : [2 - 2*I, -10*I, -3]]) sage: B.is_hermitian() True sage: L, d = B.indefinite_factorization(algorithm=’hermitian’) sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0] [ I + 0] [ -I + 2*I + 1] sage: D [ 0] [ -2 0] [ 0 3] sage: B == L*D*L.conjugate_transpose() True p ie gh d oa nl w nv a lu ll fu an m tz a nh oi Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) z 3.2.3 @ gm Trong mục này, sử dụng thư viện Sympy Python om l.c Hệ 3.2.4 Từ Thuật toán 2.3.4, viết lại mã minh họa để chéo hóa ma trận đa thức cấp (2, 2) biến Lu an import sympy as sy n va 44 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an va n tn to def decomposition(M): ’’’ input: Polynomial symetric matrix (2,2) return: X,D,b suct that: b^2*M = X*D*X^T algorithm: Schmă udgen if M.is_symmetric(): #iteration alpha_0 = M[0,0] b_0 = alpha_0**2 C_0 = M[1:,1:] beta_0 = M[0,1:] X_0 = sy.Matrix([[sy.Matrix([[alpha_0]]), sy.ZeroMatrix(1,1)], [beta_0.T, alpha_0*sy.Identity(1)]]) B_0= (alpha_0**2)*C_0 - alpha_0*beta_0.T*beta_0 F_0 = sy.Matrix([[alpha_0**3, 0],[0, B_0[0,0]]]) D_0 = F_0 p ie gh d oa nl w a lu nv X_0_ = sy.Matrix([[X_0[0,0][0,0],X_0[0,1][0,0]], [X_0[1,0][0,0],X_0[1,1][0,0]]]) ll fu an m if B_0 == sy.Matrix([[0]]): return X_0_, D_0 ,b_0 #iteration else: F_1 = B_0 alpha_1 = F_1[0,0] b_1 = b_0*alpha_1**2 # C_1 =0 # beta_1 =0 #>>>>>B_1 =0 X_1 = sy.Matrix([[alpha_1]]) tz a nh oi z gm @ om l.c an Lu n va 45 ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn