BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MINH THƯ CHÉO HÓA SCHMÜDGEN CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN TRN TH MINH TH ă CHẫO HểA SCHMUDGEN CC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN TH MINH TH ă CHẫO HểA SCHMUDGEN CC MA TRN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn : TS LÊ THANH HIẾU e Mục lục Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Vấn 1.1 1.2 1.3 đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Một số định nghĩa Chéo hóa ma trận trường Chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị: Dạng chuẩn tắc Smith Phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trận đa thức 2.1 Sơ lược ∗-đại số 2.2 Phng phỏp Schmă udgen chéo hóa ma trận ∗-đại số giao đơn vị 2.3 Chộo húa Schmă udgen cho ma trận đa thức thực đối xứng 2.3.1 Phng phỏp Schmă udgen 2.3.2 Thực thuật toán hốn có Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức 3.1 Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho đa thức ma trận đa thức 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn 3.2.1 Mơ hình tối ưu ma trận hạng 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối xứng ma trận Hermit 3.2.3 Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) e 6 12 18 18 21 24 25 25 32 32 39 39 42 44 3.2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức biến qua ma trận đồng hành 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 e Mở đầu Ma trận công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều tốn khơng Đại số tuyến tính mà cịn nhiều lĩnh vực khác Toán học đặc biệt ngành ứng dụng Toán học Nghiên cứu đại lý thuyết ma trận phát kĩ thuật Đại số tuyến tính mà cịn phục vụ cho lĩnh vực cần nhiều tính tốn ma trận như: Tốn tổ hợp, lí thuyết số, lý thuyết đồ thị, lý thuyết toán tử lĩnh vực khác Một số toán lĩnh vực kinh tế, kĩ thuật thường liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hoán, đặc biệt cho ma trận đa thức Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa ma trận trường khơng đủ mà phải chéo hóa ma trận vành nói chung, hay vành giao hốn có đơn vị nói riêng Do việc nghiên cứu phương pháp chéo hóa ma trận vành giao hốn thực có ý nghĩa Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu số phương pháp chéo hóa ma trận đa thức, ú ch yu l phng phỏp ca Schmă udgen chéo hóa ma trận vành giao hốn Từ tính tốn cụ thể phương pháp cho ma trận đa thức Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận, nội dung Luận Văn trình bày thành ba chương sau Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Trong chương chúng tơi trình bày lại phương pháp chéo hóa ma trận trường chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị mà cụ thể dạng chuẩn tắc Smith Đây hai e phương pháp chéo hóa ma trận kinh điển trường vành giao hốn, nhằm tạo cho người đọc có nhìn tổng quan hơn, dễ việc so sánh với phương phỏp chộo húa Schmă udgen c trỡnh by chng sau Chng Phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trận đa thức Đây nội dung Luận vn, trỡnh by phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trận đa thức *-đại số giao hốn có đơn vị Để trình bày phương pháp này, chúng tơi mô tả lại vài kết quan trọng *-đại số với chứng minh chi tiết Tiếp đó, chỳng tụi chi tit húa phng phỏp Schmă udgen mụ tả lập trình ngơn ngữ SageMath Python Chương Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức Chương trình bày ứng dng ca chộo húa Schmă udgen vo vic biu din tổng bình phương Hermit ma trận đa thức Đồng thời chúng tơi trình bày ví dụ tính tốn ngơn ngữ lập trình SageMath Python e Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy giáo Tiến sĩ Lê Thanh Hiếu, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê-Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trình học tập trường Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2019 Học viên thực Trần Thị Minh Thư e Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Nội dung đây, chúng tơi trình bày lại phép chéo hóa ma trận trường, dạng chuẩn tắc Smith, phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Mục đích việc trình bày hai phép chéo hóa nhằm giúp ta có nhìn tổng quan việc so sánh với phộp chộo húa Schmă udgen Chng Trong sut luận văn này, F hiểu trường số thực R hay trường số phức C R vành giao hốn có đơn vị Ta ký hiệu Mm×n (R) tập tất ma trận cỡ m × n với phần tử R; S m R tập tất ma trận đối xứng cấp m Mm×n (R) Các phép chéo hóa ma trận trường tham khảo từ tài liệu [4], cịn phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị, tức dạng chuẩn tắc Smith, tham khảo từ [1] 1.1 Một số định nghĩa Cho A = [aij ] ma trận cỡ m × n với phần tử F Nếu F = R (t ư, F = C A gọi ma trận thực (t phức) Trong luận văn ta đồng Fn×1 Fn , tức ta xem vectơ vectơ cột Định nghĩa 1.1.1 (i) Ma trận AT = [aji ] có cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dịng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij ] có cỡ m × n ma trận A∗ = [aji ] có cỡ n × m e Định nghĩa 1.1.2 (i) Ma trận vuông A = [aij ] cấp n có aij ∈ R, ∀i, j = 1, n (hay A ∈ Mn×n (R)) thỏa mãn A = AT gọi ma trận đối xứng thực (ii) Ma trận vng A = [aij ] ∈ Mn×n (C) thỏa mãn A = A∗ gọi ma trận Hermit (iii) Ma trận Q ∈ Mn×n (R) gọi ma trận trực giao QT Q = In , In ma trận đơn vị cấp n Ma trận P ∈ Mn×n (C) gọi ma trận unita P ∗ P = In Ví dụ 1.1.3 (i) Ma trận A = 2 4 ∈ R3×3 ma trận đối xứng thực 3+i (ii) Ma trận B = 3 − i −6 − i ∈ C3×3 ma trận Hermit 1+i 3+i 3−i B ∗ = 3 + i −6 + i = 3 − i −6 − i = B 1+i 1−i 1.2 Chéo hóa ma trận trường Định nghĩa 1.2.1 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A Ví dụ 1.2.2 Ma trận không O ma trân đơn vị In ma trận chéo hóa Định lý 1.2.3 Cho A = [aij ] ∈ Mn×n (F) mà trận vng cấp n A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử A chéo hóa được, tức tồn ma trận khả nghịch T t11 t12 t21 t22 T = tn1 tn2 t1n t2n ∈ Mn×n (F), tnn e cho T −1 AT = B với λ1 B= 0 λ2 0 . λn Ta suy AT = T B Gọi t1 , t2 , , tn vectơ cột T , cột liên tiếp AT t11 t12 t1n λ1 λ1 t11 λ2 t12 t21 t22 t2n λ2 λ1 t21 λ2 t22 TB = . = tn1 tn2 tnn 0 λn λ1 tn1 λ2 tn2 At1 , At2 , , Atn λn t1n λn t2n λn tnn Từ phương trình AT = T B suy At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Vì T khả nghịch nên vectơ cột ti 6= 0, λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A t1 , t2 , , tn vectơ riêng tương ứng Vì T khả nghịch nên det(T ) 6= vectơ t1 , t2 , , tn độc lập tuyến tính Vậy A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính t1 , t2 , , tn với giá trị riêng tương ứng λ1 , λ2 , , λn Tức At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Giả sử t11 t12 t1n t21 t22 t2n T = tn1 tn2 tnn với cột ma trận t1 , t2 , , tn Khi cột tích AT At1 , At2 , , Atn e ... Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A Ví dụ 1.2.2 Ma trận không O ma trân đơn vị In ma trận chéo. .. cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dịng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij... đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hốn, đặc biệt cho ma trận đa thức Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa ma trận