(LUẬN văn THẠC sĩ) chéo hóa schmudgen các ma trận đa thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN TRN TH MINH TH ă CHẫO HểA SCHMUDGEN CC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN TRN TH MINH TH ă CHẫO HểA SCHMUDGEN CÁC MA TRẬN ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn : TS LÊ THANH HIẾU download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Vấn 1.1 1.2 1.3 đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Một số định nghĩa Chéo hóa ma trận trường Chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị: Dạng chuẩn tắc Smith Phương phỏp Schmă udgen chộo húa ma trn a thc 2.1 Sơ lược ∗-đại số 2.2 Phng phỏp Schmă udgen chộo húa ma trận ∗-đại số giao đơn vị 2.3 Chộo húa Schmă udgen cho ma trn đa thức thực đối xứng 2.3.1 Phng phỏp Schmă udgen 2.3.2 Thực thuật toán hốn có Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức 3.1 Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho đa thức ma trận đa thức 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn 3.2.1 Mơ hình tối ưu ma trận hạng 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối xứng ma trận Hermit 3.2.3 Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) download by : skknchat@gmail.com 6 12 18 18 21 24 25 25 32 32 39 39 42 44 3.2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức biến qua ma trận đồng hành 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Ma trận công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều tốn khơng Đại số tuyến tính mà cịn nhiều lĩnh vực khác Toán học đặc biệt ngành ứng dụng Toán học Nghiên cứu đại lý thuyết ma trận phát kĩ thuật Đại số tuyến tính mà cịn phục vụ cho lĩnh vực cần nhiều tính tốn ma trận như: Tốn tổ hợp, lí thuyết số, lý thuyết đồ thị, lý thuyết toán tử lĩnh vực khác Một số toán lĩnh vực kinh tế, kĩ thuật thường liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hốn, đặc biệt cho ma trận đa thức Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa ma trận trường khơng đủ mà phải chéo hóa ma trận vành nói chung, hay vành giao hốn có đơn vị nói riêng Do việc nghiên cứu phương pháp chéo hóa ma trận vành giao hốn thực có ý nghĩa Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu số phương pháp chéo hóa ma trận đa thức, chủ yếu phương pháp Schmă udgen v chộo húa ma trn trờn vnh giao hốn Từ tính tốn cụ thể phương pháp cho ma trận đa thức Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận, nội dung Luận Văn trình bày thành ba chương sau Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Trong chương chúng tơi trình bày lại phương pháp chéo hóa ma trận trường chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị mà cụ thể dạng chuẩn tắc Smith Đây hai download by : skknchat@gmail.com phương pháp chéo hóa ma trận kinh điển trường vành giao hoán, nhằm tạo cho người đọc có nhìn tổng quan hơn, dễ vic so sỏnh vi phng phỏp chộo húa Schmă udgen trình bày chương sau Chương Phương pháp Schmă udgen chộo húa ma trn a thc õy l nội dung Luận văn, trình bày phương pháp Schmă udgen chộo húa ma trn a thc trờn mt *-đại số giao hốn có đơn vị Để trình bày phương pháp này, mô tả lại vài kết quan trọng *-đại số với chứng minh chi tiết Tiếp đó, chúng tơi chi tiết hóa phng phỏp Schmă udgen mụ t bng lp trỡnh bi ngôn ngữ SageMath Python Chương Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức Chương ny trỡnh by mt ng dng ca chộo húa Schmă udgen vào việc biểu diễn tổng bình phương Hermit ma trận đa thức Đồng thời chúng tơi trình bày ví dụ tính tốn ngơn ngữ lập trình SageMath Python download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy giáo Tiến sĩ Lê Thanh Hiếu, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê-Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2019 Học viên thực Trần Thị Minh Thư download by : skknchat@gmail.com Chương Vấn đề chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Nội dung đây, chúng tơi trình bày lại phép chéo hóa ma trận trường, dạng chuẩn tắc Smith, phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị Mục đích việc trình bày hai phép chéo hóa nhằm giúp ta có nhìn tổng quan việc so sánh vi phộp chộo húa Schmă udgen Chng Trong suốt luận văn này, F hiểu trường số thực R hay trường số phức C R vành giao hốn có đơn vị Ta ký hiệu Mm×n (R) tập tất ma trận cỡ m × n với phần tử R; S m R tập tất ma trận đối xứng cấp m Mm×n (R) Các phép chéo hóa ma trận trường tham khảo từ tài liệu [4], cịn phép chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị, tức dạng chuẩn tắc Smith, tham khảo từ [1] 1.1 Một số định nghĩa Cho A = [aij ] ma trận cỡ m × n với phần tử F Nếu F = R (t ư, F = C A gọi ma trận thực (t phức) Trong luận văn ta đồng Fn×1 Fn , tức ta xem vectơ vectơ cột Định nghĩa 1.1.1 (i) Ma trận AT = [aji ] có cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dịng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij ] có cỡ m × n ma trận A∗ = [aji ] có cỡ n × m download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.1.2 (i) Ma trận vuông A = [aij ] cấp n có aij ∈ R, ∀i, j = 1, n (hay A ∈ Mn×n (R)) thỏa mãn A = AT gọi ma trận đối xứng thực (ii) Ma trận vuông A = [aij ] ∈ Mn×n (C) thỏa mãn A = A∗ gọi ma trận Hermit (iii) Ma trận Q ∈ Mn×n (R) gọi ma trận trực giao QT Q = In , In ma trận đơn vị cấp n Ma trận P ∈ Mn×n (C) gọi ma trận unita P ∗ P = In     Ví dụ 1.1.3 (i) Ma trận A = 2 4 ∈ R3×3 ma trận đối xứng thực   3+i   (ii) Ma trận B = 3 − i −6 − i ∈ C3×3 ma trận Hermit 1+i     3+i 3−i     B ∗ = 3 + i −6 + i = 3 − i −6 − i = B 1+i 1−i 1.2 Chéo hóa ma trận trường Định nghĩa 1.2.1 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A Ví dụ 1.2.2 Ma trận không O ma trân đơn vị In ma trận chéo hóa Định lý 1.2.3 Cho A = [aij ] ∈ Mn×n (F) mà trận vng cấp n A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử A chéo hóa được, tức tồn ma trận khả nghịch T  t11 t12   t21 t22 T =   tn1 tn2  t1n  t2n   ∈ Mn×n (F),   tnn download by : skknchat@gmail.com cho T −1 AT = B với  λ1   B=   0 λ2   0  .  λn Ta suy AT = T B Gọi t1 , t2 , , tn vectơ cột T , cột liên tiếp AT     t11 t12 t1n λ1 λ1 t11 λ2 t12      t21 t22 t2n   λ2   λ1 t21 λ2 t22    TB =     . =      tn1 tn2 tnn 0 λn λ1 tn1 λ2 tn2 At1 , At2 , , Atn  λn t1n  λn t2n     λn tnn Từ phương trình AT = T B suy At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Vì T khả nghịch nên vectơ cột ti = 0, λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A t1 , t2 , , tn vectơ riêng tương ứng Vì T khả nghịch nên det(T ) = vectơ t1 , t2 , , tn độc lập tuyến tính Vậy A chéo hóa có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính t1 , t2 , , tn với giá trị riêng tương ứng λ1 , λ2 , , λn Tức At1 = λ1 t1 , At2 = λ2 t2 , , Atn = λn tn Giả sử   t11 t12 t1n    t21 t22 t2n    T =    tn1 tn2 tnn với cột ma trận t1 , t2 , , tn Khi cột tích AT At1 , At2 , , Atn download by : skknchat@gmail.com Vì F11 = t2 ≥ det F = t2 (t + 1)2 − (t2 + t)2 = t4 + 2t3 + t2 − (t4 + 2t3 + t2 ) =0 nên F nửa xác định dương R 3.2 Minh họa với phần mềm tính tốn Chúng tơi chọn phần mềm SageMath, thư viện Sympy Python công cụ để minh họa lý thuyết luận văn Ngồi MATLAB, hai cơng cụ tương đối mạnh thời điểm Trọng tâm mục đưa ví dụ chéo hóa ma trận đối xứng trường số thực ma trận Hermit trường số phức Đồng thời dùng thư viện Sympy để minh họa lại thuật tốn chéo hóa ma trận đa thức biến cấp × 3.2.1 Mơ hình tối ưu ma trận hạng Trong phép tốn tìm biểu diễn tổng bình phương ma trận đa thức, thực hai bước Bước : Chộo húa Schmă udgen ma trn a thc F nhận ma trận đường chéo D = diag(d1 , , dn ) Bước : Tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ cho d1 , , dn Từ thay vào b2 F = X+ DX+T ta biểu diễn tổng bình phương Hermit cho F Ở Bước 2, việc tìm biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỉ đa thức dj D quy việc giải hệ phương trình tuyến tính tập ma trận nửa xác định dương Cụ thể hơn, cho trước đa thức f ∈ R[x], f = ri=1 fi2 , fi ∈ R[x] hệ số phải phụ thuộc tuyến tính vào phần tử ma trận Gram tương ứng: G = F F + , cột F vectơ hệ số đa thức fi , i = 1, r Thông thường hạng G số hạng tử tổng bình phương r Do việc tìm đa thức fj , j = 1, n tương đương với việc tìm ma trận G ≥ thỏa mãn hệ phương trình thích hợp 39 download by : skknchat@gmail.com Từ chúng tối đề xuất phương pháp giải toán tối ưu hạng ma trận: Tìm ma trận X ∈ Rm×p với hạng rank(X) = 1, 2, , min(m, p) cho φ(X) = u, φ hàm khả vi Việc tìm X dựa vào thuật toán Levenberg-Marquardt Thuật toán Levenberg-Marquardt phương pháp tiếng sử dụng để giải vấn đề bình phương nhỏ Để tiện cho người đọc, tóm lược phương pháp sau Một tốn bình phương tối thiểu tốn giải phương trình f (x) = 0, với f (x) = ||F (x)||22 , F (x) = [F1 (x) Fl (x)]T ∈ Rl , ∀x ∈ Rn , hàm Fj khả vi liên tục Bắt đầu với điểm khởi tạo x0 ∈ Rn , tìm dãy xk hội tụ đến điểm cực tiểu f Tại bước k, điểm xk+1 xác định miền "hyperlipsoid" thích hợp với tâm xk Cụ thể hơn, xấp xỉ f (xk + p) F (xk + p) F (xk ) + JacF (xk )p, p ∈ Rn Tối ưu hàm xấp xỉ F (xk ) + JacF (xk )p hyperellipsoild n (k) (di )2 p2i ≤ ∆k } Ek = {p = (p1 , , pn ) : i=1 (k) để tìm hướng xuống p∗ (một cực tiểu hàm xấp xỉ) Hoặc ∆ tham số di cập nhật sau bước k, phụ thuộc vào khác f (xk + p) f (xk ) Điểm xk+1 định xk hay xk + p∗ Phương pháp kết hợp hai phương pháp tối ưu: Gradient-descent Gauss-Newton Trong trường hợp, φ hàm khả vi liên tuc, ta xét hàm mục tiêu F : Rm×p −→ Rl , có hàm tọa độ định nghĩa sau Fi (X) = φi (X) − ui , ∀i = , l, ∀X ∈ Rm×p Ma trận Jacobian hàm F sau JacF = ∂φi ∂Fi = , ∂xi ∂xi ∂Fi đạo hàm theo hướng xi ∂xi Ta cần hai dung sai đủ nhỏ vịng lặp Levenberg-Marquardt: 40 download by : skknchat@gmail.com ∧ • Bước dung sai τ : Tại bước LM thứ k, ta phản hồi nghiệm X[k] cho hệ thống tồn ||F (X[k] ||22 − ||F (X[k−1] ||22 ∧ ≤ τ ||F (X[k−1] ||2 • Dung sai phần dư τ : Bài tốn bình phương nhỏ có nghiệm ||F (X[k] || < τ Thuật toán 3.2.1 Giải toán tối ưu hạng ma trận Input: Vectơ u = (u1 , , ul ) ∈ Rl hàm φ Output: Một nghiệm X ∈ Mm×p R Bước Đặt r = Bước Giải hệ thống φ(X) = u sử dụng phương pháp gLM Lấy X[k] nghiệm ∧ xác định dung sai τ vịng lặp LM thứ k Tính F (X[k] ) Bước Nếu F (||X[k] )|| < τ X = X[k] nghiệm dừng vòng lặp Ngược lại, đặt r = r + 1, quay lại Bước Việc giải hệ phương trình tuyến tính nhóm ma trận nửa xác định dương ứng với hàm φ hàm tuyến tính Ta phát biểu lại toán sau rank(X)|X ∈ S+m R, l(X) = b , (3.2.7) l : S m R hàm tuyến tính b ∈ Rl cho trước Bất kì ma trận nửa xác định dương X định nghĩa nhân tử Cholesky Y ∈ S m R : X = Y Y T Vì vậy, diễn tả hàm tuyến tính l thơng qua ma trận Ai ∈ S m R: φ = l(X) = T r(AT1 X) T r(ATl X) T , ∀X ∈ S m R, (3.2.8) ta định nghĩa hàm mục tiêu F : S m R −→ R, ta áp dụng phương thức LM sau Fi (X) = T r(ATi Y Y T ) − bi , i = 1, , l 41 download by : skknchat@gmail.com (3.2.9) Hơn nữa, để tìm X có hạng r, ta tìm Y ∈ Rm×r Bài tốn (3.2.7) viết lại sau minimize rank(Y ) suject to Y ∈ Rn×r , T r(AT1 Y Y T ) T r(AT1 Y Y T ) T = l(Y Y T ) = b Trong trường hợp này, ma trận Jacobian tính tốn trực tiếp sau  ∂F  ∂Y       ∂vecF ∂F l×rn  Jac(F ) = , = =  ∈R ∂Y ∂vecY     ∂F1 ∂Y ∂Fi ∂Tr(ATi Y Y T ) = = 2[vec(Ai Y ]T ∂Y ∂Y 3.2.2 Một số ví dụ minh họa Định lý Schur cho ma trận đối xứng ma trận Hermit Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu cơng cụ tính tốn SageMath đưa ví dụ tính tốn chéo hóa ma trận đối xứng ma trận Hermit Cách khai báo ma trận đa thức cấp SageMath sau: sage: R. = PolynomialRing(QQ, 2) sage: M = matrix(R,[[x-y,2*x^2+1],[x*y,0]]) sage: N = matrix(R,[[y,x^2+1],[x*y,x]]) sage: M [ x - y 2*x^2 + 1] [ x*y 0] sage: N [ y x^2 + 1] 42 download by : skknchat@gmail.com [ x*y x] Tính định thức ma trận M sage: M.determinant() -2*x^3*y - x*y Các phép toán cộng nhân ma trận sage: M+N [ x 3*x^2 + [ 2*x*y sage: M*N [ 2*x^3*y + 2*x*y [ 2] x] - y^2 3*x^3 - x^2*y + 2*x - y] x*y^2 x^3*y + x*y] Ví dụ 3.2.2 Cho A ma trận đối xứng Tìm ma trận tam giác L cho A = LDLT , D ma trận chéo sage: A = matrix(QQ, [[ 3, -6, 9, 6, -9], : [-6, 11, -16, -11, 17], : [ 9, -16, 28, 16, -40], : [ 6, -11, 16, 9, -19], : [-9, 17, -40, -19, 68]]) sage: A.is_symmetric() True sage: L, d = A.indefinite_factorization() sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0 0] [-2 0 0] [ -2 0] [ -1 0] [-3 -3 1] sage: D [ 0 0] [ -1 0 0] 43 download by : skknchat@gmail.com [ 0 [ 0 [ 0 sage: A True 0] -2 0] 0 -1] == L*D*L.transpose() Ví dụ 3.2.3 Cho B ma trận Hermit Tìm ma trận tam giác L cho B = LDL∗ , D ma trận chéo sage: C. = QuadraticField(-1) sage: B = matrix(C, [[ 2, - 2*I, + 2*I], : [4 + 2*I, 8, 10*I], : [2 - 2*I, -10*I, -3]]) sage: B.is_hermitian() True sage: L, d = B.indefinite_factorization(algorithm=’hermitian’) sage: D = diagonal_matrix(d) sage: L [ 0] [ I + 0] [ -I + 2*I + 1] sage: D [ 0] [ -2 0] [ 0 3] sage: B == L*D*L.conjugate_transpose() True 3.2.3 Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.3.1) Trong mục này, sử dụng thư viện Sympy Python Hệ 3.2.4 Từ Thuật tốn 2.3.4, chúng tơi viết lại mã minh họa để chéo hóa ma trận đa thức cấp (2, 2) biến import sympy as sy 44 download by : skknchat@gmail.com def decomposition(M): ’’’ input: Polynomial symetric matrix (2,2) return: X,D,b suct that: b^2*M = X*D*X^T algorithm: Schmă udgen if M.is_symmetric(): #iteration alpha_0 = M[0,0] b_0 = alpha_0**2 C_0 = M[1:,1:] beta_0 = M[0,1:] X_0 = sy.Matrix([[sy.Matrix([[alpha_0]]), sy.ZeroMatrix(1,1)], [beta_0.T, alpha_0*sy.Identity(1)]]) B_0= (alpha_0**2)*C_0 - alpha_0*beta_0.T*beta_0 F_0 = sy.Matrix([[alpha_0**3, 0],[0, B_0[0,0]]]) D_0 = F_0 X_0_ = sy.Matrix([[X_0[0,0][0,0],X_0[0,1][0,0]], [X_0[1,0][0,0],X_0[1,1][0,0]]]) if B_0 == sy.Matrix([[0]]): return X_0_, D_0 ,b_0 #iteration else: F_1 = B_0 alpha_1 = F_1[0,0] b_1 = b_0*alpha_1**2 # C_1 =0 # beta_1 =0 #>>>>>B_1 =0 X_1 = sy.Matrix([[alpha_1]]) 45 download by : skknchat@gmail.com X_1_update = X_0*sy.Matrix([[sy.Matrix([[alpha_1]]), sy.ZeroMatrix(1,1)],[sy.ZeroMatrix(1,1),X_1 ]]) F_1 = sy.Matrix([[alpha_1**3]]) D_1 = sy.Matrix([[alpha_0**3*alpha_1**2,0],[0, F_1[0,0]]]) X_1_update[0,0] =X_1_update[0,0][0,0] X_1_update[0,1] =X_1_update[0,1][0,0] X_1_update[1,0] =X_1_update[1,0][0,0] X_1_update[1,1] =X_1_update[1,1][0,0] return X_1_update, D_1 ,b_1 else: return "input is not symetric" Nhận xét: có thời gian nhiều hơn, hồn tồn triển khai thuật toán cho ma trận cấp cao Sau ví dụ áp dụng hàm chúng tơi viết cho tốn cụ thể Ví dụ 3.2.5 Chéo hóa ma trận đa thức biến F = t2 t2 + t t2 + t (t + 1)2 #Khai báo biến ma trận đa thức >>>t= sy.Symbol(’t’) >>>F = sy.Matrix([[t**2,t*(t+1)],[t*(t+1),(t+1)**2]]) #Tính tốn >>>X, D, b = decomposition(F) # Hàm trả ma trận đa thức X, ma trận đường chéo D đa thức b thỏa # X*D*X^T = b^2F #kết >>>X Matrix([[ t**2, 0], [t*(t + 1), t**2]]) >>>D Matrix([[t**6, 0], 46 download by : skknchat@gmail.com [ 0, 0]]) >>>b t**4 #Kiểm tra kết >>>X*D*X.T == b**2*F True Vậy ta có X= t2 t6 , D = , b = t4 , t(t + 1) t2 0 XDX T = b2 F Ví dụ 3.2.6 Chéo hóa ma trận đa thức biến F = t t #Khai báo biến ma trận đa thức >>>t= sy.Symbol(’t’) >>>F = sy.Matrix([[t,1],[1,t]]) #Tính tốn >>>X, D, b = decomposition(F) # Hàm trả ma trận đa thức X, ma trận đường chéo D đa thức b thỏa # X*D*X^T = b^2F #kết >>>X Matrix([[t*(t**3 - t), 0], [ t**3 - t, t*(t**3 - t)]]) >>>D Matrix([[t**3*(t**3 - t)**2, 0], [ 0, (t**3 - t)**3]]) 47 download by : skknchat@gmail.com >>>b t**2*(t**3 - t)**2 #Kiểm tra kết >>>X*D*X.T - b**2*T Matrix([[0, 0], [0, -t**5*(t**3 - t)**4 + t**3*(t**3 - t)**4 + t**2*(t**3 - t)**5]]) Nhận xét: Đa thức ma trận đánh giá kết Nhưng bị giới hạn tính tốn nên kết hiển thị khác 3.2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức biến qua ma trận đồng hành Thuật toán 3.2.7 Thuật tốn cho tốn tổng bình phương đa thức biến không âm Input: Một đa thức biến không âm p(x) = x2d + p2d−1 x2d−1 + · · · + p1 x + p0 Output: Một phân tích tổng bình phương p(x) Bước Xác định ma trận companition Cp định nghĩa sau  0  1   Cp =   0  0 0 −p0 −p1        −p2d−2   −p2d−1 Bước Tìm phân tích Schur Cp sau Cp = U ΛU ∗ , U = U11 U12 , U21 U22 U ma trận unita, Λ ma trận tam giác 48 download by : skknchat@gmail.com Bước Phân tích thành phần thực ảo −1 a) Tính q = vU12 , v véctơ hàng U22 b) Lấy qr , qi phần thực, phần ảo q, q = qr + qi Bước Xác định q1 (x), p2 (x) sau q1 (x) −qr = p2 (x) −qi     x        xd Bước Trả q1 (x), q1 (x), p(x) = q1 (x)2 + q2 (x)2 Hệ 3.2.8 Từ Thuật toán 3.2.7, viết lại mã minh họa ngôn ngữ Python, sử dụng thư viện sympy, numpy, mpmath from mpmath import mp import numpy as np import sympy as sy def sos_linear(polynomial): ’’’ input: non-negative polynomial output: two square polynomials algorithm: linear algebra technical SoS decomposion a non-negative univariate polynomial to two square polynomials p = q**2 + r**2 example: f = sy.Poly(10+t**2+t,t) a,b = sos_linear(f) a = t+0.5 b = 3.12249899919920 49 download by : skknchat@gmail.com ’’’ n = sy.degree(polynomial) d = int(n/2) def create_companion(polynomial): ’’’ create companion matrix correspond to the polynomial ’’’ list_coeffs = polynomial.all_coeffs()[::-1][:-1] companion = sy.zeros(n,n) companion[:,n-1] = -mp.matrix(list_coeffs) for i in range(n-1): companion[i+1,i]=1 return companion companion_matrix = create_companion(polynomial) companion_matrix = mp.matrix(companion_matrix) # using Schur decomposion: companion_matrix= UVU^* U, V = mp.schur(mp.matrix(companion_matrix)) U12 = U[0:d,d:n] U22 = U[d:n,d:n] v = U22[0,:] q = v*U12**-1 qr = sy.Matrix([float(q[i].real) for i in range(d)]) qi = sy.Matrix([float(q[i].imag) for i in range(d)]) #create vecto [1, ,x^d] gen = sy.Matrix([t**i for i in range(d+1)]) Q = sy.zeros(2,d+1) Q[0,d]=1 Q[1,d]=0 Q[0,0:d] = -1*qr.T Q[1,0:d] = -1*qi.T result = Q*gen return result[0,0], result[1,0] Ví dụ 3.2.9 Phân tích tổng bình phương đa thức không âm f1 = t2 +2t+10, f2 = t6 +1 50 download by : skknchat@gmail.com Tính tốn phân tích cho đa thức f1 = t2 + 2t + 10 >>>f = sy.Poly(t**2+2*t+10,t) >>>a,b = sos_linear(f) >>>g = a**2 + b**2 >>>a t + 1.0 >>>b 3.00000000000000 >>>loss = f-g >>>loss Poly(0.0, t, domain=’RR’) Tính tốn phân tích cho đa thức f1 = t6 + t + >>>f = sy.Poly(t**6+t+5,t) >>>a,b = sos_linear(f) >>>a t**3 + 2.26496493835894*t**2 + 1.70490607969194*t + 0.0895841024566335 >>>b 1.31136910895865*t**2 + 2.89583669931422*t + 2.07153691689648 >>>g = a**2 + b**2 >>>loss = f-g >>>loss Poly(-4.52992987671788*t**5 - 10.2595672713102*t**4 15.4972947764466*t**3 - 17.1314836736338*t**2 11.3031302177102*t + 0.70070949052208, t, domain=’RR’) Nhận xét: Khi bậc input cao, sai số thuật toán lớn 51 download by : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN Trong luận văn đạt số kết sau đây: Tìm hiểu trình bày lại số kết liên quan đến việc chéo hóa ma trận vành giao hốn có đơn vị: Chéo hóa trường vành giao hốn có đơn vị tổng qt mà cụ thể dạng chuẩn tắc Smith Các vấn đề trình bày Chương Trình bày cách cụ thể thuật tốn chéo hóa, viết mã tương ứng trờn SageMath, Python cho thut toỏn chộo húa Schmă udgen với ma trận đa thức đối xứng Đây phương pháp khác chéo hóa ma trận *-đại số giao hốn có đơn vị Các kết lý thuyết trình bày Chương Các minh họa tính tốn SageMath, Python trình bày Chương 52 download by : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] W.C.Brown, Matrices over commutative rings, Marcel Dekker, 1993 [2] F.R.Gantmacher, Matrizentheorie, DVW, Berlin, 1986 [3] T.-H Le and N.-T Pham, Sum-of-square-of rational-function based representations of positive semidefinite polynomial matrices, Preprint, 2018 [4] K.Schmă udgen, Noncomutative real algebraic geometry-some basic concept and first ideas, In M.Putinar and S.Sullivant, editor, Emerging Applications of Algebraic Geometry, The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, volumes 149, pages 325-350, Springer New York, 2009 [5] K Schmă udgen, Unbounded operator algebras and representation theory, In I.Gohberg, editor, Operator Theory: Advances and Applications, Vol 37, Springer Basel AG, 1990 [6] L.Sorber, M.Van Barel, and L.De Lathauwer, Unconstrained optimization of real functions in complex variables, SIAM Journal on Optimization, 22(3):879–898, 2012 [7] J.-L.Krivine, Anneaux preodonnes, Journal d’Analyse Mathematique, 12:307–326, 1964 [8] B.Recht, M.Fazel, and P.A.Parrilo, Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization SIAM Review, 52(3):471–501, 2010 [9] E.Artin, Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadra, Quadrate, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der University at Hamburg, 5:100–115, 1927 [10] L.Brickman, On nonnegative polynomials, The American Mathematical Monthly, 69(3):218–221, 1962 [11] M.-D Choi, T Y Lam, and B Reznick,Sums of squares of real polynomials, In Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, volume 58, pages 103–126, 1995 53 download by : skknchat@gmail.com ... 1+i 1−i 1.2 Chéo hóa ma trận trường Định nghĩa 1.2.1 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT ma trận đường chéo ta nói ma trận A chéo hóa ma trận T làm chéo hóa ma trận A Ví... cỡ n × m gọi ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ] có cỡ m × n Các dịng ma trận AT cột tương ứng ma trận A cột ma trận AT dòng tương ứng ma trận A (ii) Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = [aij... đề chéo hóa ma trận Kỹ thuật chéo hóa ma trận trường nói chung khơng cho vành giao hốn, đặc biệt cho ma trận đa thức Sự phát triển ngày cao số ngành có ứng dụng Tốn cho thấy việc chéo hóa ma trận