Nghiên cứu độ linh động của lỗ trống trong giếng lượng tử gaasalgaas pha tạp carbon đối xứng hai phía

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC TRẦN QUỐC CƢỜNG NGHIÊN CỨU ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA LỖ TRỐNG TRONG GIẾNG LƢỢNG TỬ GaAs/AlGaAs PHA TẠP CARBON ĐỐI XỨNG HAI PHÍA LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ THANH HĨA - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐỨC Danh sách Hội đồng chấm luậnĐẠI văn HỌC Thạc sĩHỒNG khoa học theo Quyết định số…… ngày tháng năm 201 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh Hội đồng TRẦN QUỐC CƢỜNG Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thƣ ký NGHIÊN CỨU ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA LỖ TRỐNG TRONG GIẾNG LƢỢNG TỬ GaAs/AlGaAs PHA TẠP CARBON ĐỐI XỨNG HAI PHÍA Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 201 LÍ LUẬN VĂNtháng THẠCnăm SĨ VẬT (Ký ghi rõ họ tên ) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 8.44.01.03 GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Thị Hải THANH HÓA - 2021 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số…… ngày tháng năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh Hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thƣ ký Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm 2021 (Ký ghi rõ họ tên ) PGS.TS Trần Thị Hải LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Trần Quốc Cƣờng i LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Hồng Đức, thầy cô giáo Bộ môn Vật lý - Trƣờng Đại học Hồng Đức, thầy cô giáo Trƣờng THPT Lê Hoàn Tác giả xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc giáo PGS - TS Trần Thị Hải, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian nghiên cứu hoàn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tham gia giảng dạy tận tình, truyền đạt kiến thức quý báu giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, ngƣời thân yêu động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Do thời gian không nhiều, luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đƣợc ý kiến đóng góp độc giả Thanh Hóa, tháng năm 2021 Tác giả Trần Quốc Cƣờng ii MỤC LỤC M Đ U CHƢƠNG 1: MƠ HÌNH GIẾNG LƢỢNG TỬ GaAs/AlGaAs CĨ PHA TẠP ĐỐI XỨNG HAI PHÍA BẰNG CARBON 1.1 Mơ hình giếng lƣợng tử GsAs/AlGaAs pha tạp đối xứng hai phía 1.2 Hàm sóng biến phân 1.3 Thế Hartree 1.4 Năng lƣợng tổng cộng hạt 10 1.5 Thời gian sống vận chuyển hạt tải nhiệt độ thấp 12 1.6 Th a số dạng chắn 14 CHƢƠNG X C ĐỊNH C C CƠ CHẾ TÁN XẠ VÀ ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA MƠ HÌNH GIẾNG LƢỢNG TỬ GaAs/AlGaAs CĨ PHA TẠP ĐỐI XỨNG HAI PHÍA BẰNG CARBON 28 2.1 Tạp chất bị ion hóa 28 2.2 Độ nhám bề mặt 30 CHƢƠNG KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 35 3.1 Tham số uốn cong vùng c 35 3.2 Hàm sóng 37 3.3 Thế Hartree 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 PHỤ LỤC P1 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT EF Năng lƣợng Fermi kF Số sóng Fermi L Bề rộng giếng lƣợng tử m∗ Khối lƣợng hiệu dụng hạt tải PZ Thế điện áp tích điện ps Nồng độ hạt tải SR Độ nhám bề mặt QWs Giếng lƣợng tử RI Tán xạ tạp chất µ Độ linh động hạt tải Σ Độ dẫn điện Ζ Hàm sóng bao Τ Thời gian hồi phục hạt tải iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Cấu trúc giếng lượng tử GaAs/AlGaAs Hình Cấu trúc vùng lượng bán dẫn GaAs/AlGaAs Hình 1.1 Vật liệu giếng lượng tử [8] Hình 1.2 Độ linh động tổng cộng giếng lượng tử GaAs phụ thuộc vào bề rộng giếng lượng tử [8] Hình 1.3: Mơ hình giếng lượng tử pha tạp đối xứng hai phía Hình 3.1 c phụ thuộc ps 35 Hình 3.2 c phụ thuộc L 36 Hình 3.3 Hàm sóng ζ(z) giếng lượng tử pha tạp đối xứng hai bên với giá trị khác nồng độ hạt tải ps 37 Hình 3.4 Hàm sóng ζ(z) giếng lượng tử pha tạp đối xứng hai bên với giá trị khác bề rộng giếng lượng tử L 38 Hình 3.5 Thế Hartree pha tạp đối xứng hai phía 39 Hình 3.6 Độ linh động tổng cộng phụ thuộc vào bề rộng giếng lượng tử L so sánh với giá trị thực nghiệm [23] 40 v MỞ ĐẦU 1.1 Lịch sử phát triển vai trò giếng lƣợng tử GaAs Trong lịch sử phát triển, nhân loại chứng kiến ba cách mạng công nghiệp nhƣ: cách mạng công nghiệp (CMCN) lần thứ gắn liền với phát minh động nƣớc, CMCN lần thứ hai gắn với lƣợng điện, CMCN lần thứ ba gắn với vai trị điện tử, cơng nghệ thơng tin sản xuất tự động hóa Giờ giới nói đến khởi đầu CMCN lần thứ tƣ với công nghệ nhƣ in 3D, robot, trí tuệ nhân tạo, kết nối vạn vật (Internet of Things), công nghệ nano, công nghệ sinh học, vật liệu mới, CMCN liên quan chặt chẽ đến thành tựu khoa học bản, nói chung vật lý nói riêng Ví dụ, Vật lý bán dẫn sản phẩm học lƣợng tử công nghệ Nhờ có chất bán dẫn ngƣời ta làm máy tính, siêu máy tính, internet số hóa …tạo thành tảng CMCN lần thứ ba Tiếp sau thành tựu lớn t CMCN lần thứ để lại, đƣợc hình thành tảng cải tiến cách mạng số với thành tựu Vật lý bán dẫn hệ thấp chiều hình thành CMCN lần thứ tƣ Giới khoa học dự báo, tƣơng lai không xa, công nghệ nano mở triển vọng việc ứng dụng dụng cụ thơng tin kỹ thuật có chức mà trƣớc chƣa t ng có Các dịng máy tính điện tử ngày đƣợc nâng cấp nhờ tăng đƣợc mật độ tốc độ xử lý thông tin cách thu nhỏ kích thƣớc thành tố Cơng trình thực nghiệm tiên phong Esaki Tsu (1970) giếng lƣợng tử khởi đầu cho hƣớng vật lý nghiên cứu tính chất hệ điện tử hai chiều Các nghiên cứu đóng vai trị quan trọng việc hình thành phát triển vật lý công nghệ cấu trúc nano Năm 1980 hiệu ứng Hall lƣợng tử đƣợc V Klitzing phát cấu trúc giếng lƣợng tử dựa vật liệu Si cho phép ta đo đƣợc xác e2 / Những nghiên cứu mở ngành vật lý mới, vật lý hệ có cấu trúc bán dẫn: hệ hai chiều (giếng lƣợng tử), hệ chiều (dây lƣợng tử) hệ không chiều (chấm lƣợng tử) Đồng thời mở ngành cơng nghệ mới, cơng nghệ chế tạo vật liệu nhân tạo linh kiện điện tử dựa hệ lƣợng tử thấp chiều Trong năm trở lại đây, việc tìm kiếm nghiên cứu vật liệu cho linh kiện điện tử ngày nhỏ kích thƣớc, tiêu hao lƣợng có tốc độ chuyển mạch lớn ngày trở thành vấn đề cấp bách Trong đó, việc nâng cao độ linh động hạt tải vật liệu trở thành mục tiêu hàng đầu thách thức nhà vật lý bán dẫn, lý thuyết nhƣ thực nghiệm Ngành công nghệ vật liệu tập trung nghiên cứu bán dẫn thuộc nhóm III, IV, V hầu hết tƣợng điện quang hệ thấp chiều đƣợc phát cấu trúc bán dẫn chế tạo t bán dẫn Ta biết rằng, nhiều tinh thể bán dẫn có cấu trúc mạng lập phƣơng tâm mặt, hai chất bán dẫn thƣờng gặp Si GaAs có cấu trúc Cấu trúc GaAs hai mạng lập phƣơng tâm mặt lồng vào nhƣng mạng chứa Ga mặt chứa As Cấu trúc cịn có tên đặc trƣng cấu trúc giã kẽm Cấu trúc giếng lƣợng tử GaAs/AlGaAs (hình 1.1) hệ gồm vật liệu GaAs (gallium arsenide) đƣợc nuôi cấy lớp vật liệu AlGaAs (Aluminium gallium arsenide) Trong đó, vật liệu GaAs (vùng cấm nhỏ hơn) đƣợc ghép với vật liệu AlGaAs vùng cấm rộng tạo kênh dẫn GaAs có vùng lƣợng thấp hơn, tất điện tử lỗ trống bị giới hạn vùng GaAs Hình Cấu trúc giếng lượng tử GaAs/AlGaAs (nguồn https://vi.nipponkaigi.net/wiki/Quantum_well) 3.2 Hàm sóng Để thấy rõ đƣợc ảnh hƣởng hiệu ứng uốn cong vùng pha tạp lên phân bố hạt tải giếng, chúng tơi tiến hành khảo sát hàm sóng ζ(z) Hình 3.3 Hàm sóng ζ(z) giếng lượng tử pha tạp đối xứng hai bên với giá trị khác nồng độ hạt tải ps Trên hình vẽ 3.3, đƣờng chấm nhỏ (dot line) hàm sóng mơ hình flat-band (mơ hình vùng phẳng-khơng có pha tạp), đƣờng liền nét hàm sóng mơ hình pha tạp đối xứng hai bên với bề rộng giếng lƣợng tử L=150Å giá trị khác nồng độ hạt tải ps với ps  1012 ,1013 cm2 Khi tăng nồng độ hạt tải ps , hàm sóng trƣờng hợp Flat-band khơng thay đổi, chứng tỏ hàm sóng trƣờng hợp khơng phụ thuộc vào nồng độ hạt tải ps Tuy nhiên, tăng nồng độ hạt tải ps , hàm sóng pha tạp đối xứng hai bên biến dạng: giá trị ps lớn hàm sóng biến dạng mạnh, nhƣng có dạng đối xứng 37 Hình 3.4 Hàm sóng ζ(z) giếng lượng tử pha tạp đối xứng hai bên với giá trị khác bề rộng giếng lượng tử L Tƣơng tự, quan sát hình 3.4 ta thấy với nồng độ hạt tải ps  1012 cm2 giá trị khác bề rộng giếng lƣợng tử L ( L  150Å, L  300Å) Trên hình 3.4 đƣờng chấm nhỏ hàm sóng mơ hình flat-band, đƣờng liền nét hàm sóng mơ hình pha tạp đối xứng hai phía Ta nhận thấy, ta thay đổi giá trị bề rộng giếng lƣợng tử L hàm sóng mơ hình flatband có dạng đối xứng không phụ thuộc vào bề rộng giếng nhƣ nồng độ hạt tải giếng Tuy nhiên, tăng bề rộng giếng L , hàm sóng pha tạp đối xứng hai bên biến dạng, L lớn biến dạng mạnh nhƣng giữ đƣợc dạng đối xứng 3.3 Thế Hartree Dƣới ảnh hƣởng hiệu ứng uốn cong vùng lƣợng band bending, nguồn giam cầm có mặt hệ gây ra, làm cho Hartree biến đổi Hình 3.5 vẽ Hartree với giá trị khác nồng độ hạt tải ps  1012 ,2.5.1012 cm2 Ta thấy, với giá trị ps lớn, Hartree thay đổi nhiều Thế Hartree bị uốn cong bên thành giếng có dạng đối xứng, giống nhƣ giếng lƣợng tử tam giác móc nối với 38 Hình 3.5 Thế Hartree pha tạp đối xứng hai phía Dạng Hartree tham số uốn cong vùng c gây Chính dạng dẫn tới phân bố hạt tải giếng (thể qua hàm sóng) Đối với tốn giếng lƣợng tử pha tạp hai phía, có dạng đối xứng, hạt tải có xu hƣớng tập trung hai bên thành giếng lƣợng tử, có dạng đối xứng Sự phân bố hạt tải dẫn đến trình vận chuyển hạt tải giếng trƣờng hợp toán khác so với trƣờng hợp pha tạp khác 3.4 So sánh độ linh động tổng cộng với đo đạc thực nghiệm Để so sánh với thực nghiệm, tác giả sử dụng kết thực nghiệm [23] để nghiên cứu tƣợng vận chuyển khí lỗ trống hai chiều (2DHG) giếng lƣợng tử pha tạp đối xứng (hình 3.6), tác giả xét đến thay đổi bề rộng giếng lƣợng tử Đối với khí 2DHG giếng lƣợng tử Al0.3Ga0.7Al/GaAs/Al0.3Ga0.7Al có bề rộng giếng (tính đơn vị Å) nồng độ hạt tải (tính theo đơn vị 1011 cm-2), độ linh động tổng cộng (tính theo đơn vị cm2/Vs) nhƣ sau: (L, μ)={{100,0.7975∗106},{120,0.811∗106}, 150,0.9055∗106},{160,0.8177∗106}, {180,0.58822∗106}}; 39 Trong trƣờng hợp ta sử dụng Ld=100 Å, Ls=80 Å Các điểm tròn đen, ứng với giá trị độ linh động tổng cộng thực nghiệm [23] Đƣờng liền nét đƣờng lý thuyết tính tốn tác giả Hình 3.6 Độ linh động tổng cộng tot phụ thuộc vào bề rộng giếng lượng tử L so sánh với giá trị thực nghiệm [23] Kết tính tốn cho thấy có tồn peak độ linh động phụ thuộc vào bề rộng kênh dẫn Lý thuyết tính tốn phản ánh phù hợp kết thực nghiệm nhóm tác giả Gerl [23] 40 KẾT LUẬN Tiến hành nghiên cứu độ linh động hạt tải giếng lƣợng tử GaAs / Al0.33Ga0.67 As pha tạp đối xứng hai phía carbon 1/ Luận văn chứng minh pha tạp điều biến đối xứng làm vùng lƣợng bị uốn cong, ảnh hƣởng lên chế giam hãm Tác giả tính số Hartree, lƣợng tổng cộng hạt để rõ biến đổi lƣợng Sự uốn cong vùng lƣợng dẫn tới phân bố hạt tải giếng lƣợng tử thay đổi, điều làm thay đổi tính chất điện vật liệu Theo đó, pha tạp hai phía làm hệ hạt tải phân bố hai phía pha tạp, có dạng đối xứng 2/ Đã thu đƣợc biểu thức giải tích chế tán xạ gây độ nhám bề mặt, biến dạng khớp sai, tạp chất bị ion hóa việc sử dụng hàm sóng biến phân mơ hình pha tạp đối xứng hai phía, điều mà tác giả trƣớc chƣa làm đƣợc phức tạp q trình tính tốn Nhóm chúng tơi việc xây dựng hệ thống hàm phụ giúp cho việc tính tốn dễ dàng tìm đƣợc biểu thức giải tích tán xạ chủ đạo ảnh hƣởng đến trình vận chuyển hạt tải giếng 3/ Đã so sánh kết tính tốn lý thuyết với thực nghiệm, t chứng tỏ tồn peak độ linh động tổng cộng phụ thuộc vào bề rộng kênh dẫn Tính tốn lý thuyết cho kết phù hợp với thực nghiệm 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thị Hải (2017) Vận chuyển hạt tải điện vật lí bán dẫn hệ thấp chiều, NXB Giáo dục, Việt Nam Tiếng Anh [1] Ando T (1982) Self-Consistent Results for a GaAs=Al As Heterojunction I Subband Structure and Light-Scattering Spectra", J Phys Soc Jpn Vol 51, 3893; Self-Consistent Results for aGaAs=AlxGaAs Heterojunciton II Low Temperature Mobility, J Phys Soc Jpn Vol 1, 3900 [2] Belford R E., Guo B P., Xu Q., Sood S., Thrift A A., Teren A., Acosta A., Bosworth L A and Zell J S (2006), “Strain enhanced p-type metal oxide semiconductor field effect transistors", J Appl Phys Vol 100, 064903 [3] Dingle R., Stăormer H L., Gossard A C and Wiegmann W (1978), “Electron mobilities in modulation-doped semiconductor heterojunction superlattices", Appl Phys Lett Vol 33, 665 [4] Enderlein R and Horing N J M (1997), Fundamentals of Semiconductor Physics and Devices, World Scientific, Singapore Van de [5] Fischetti M V and Gamiz S E (1996), “Band structure, deformation potentials, and carrier mobility in strained Si, Ge, and SiGe alloys", J Appl Phys Vol 80, 2234 [6] Fischetti M V., F Gámiz, and W Hänsch, “On the enhanced electron mobility in strained-silicon inversion layers,” J Appl Phys., vol 92, no 12, pp 7320–7324, 2002, doi: 10.1063/1.1521796 [7] Gold A (1987) Electronic transport properties of two dimensional electron gas in a silicon quantum well structure at low temperature, Phys Rev B 35, 723 [8] Gerl C., S Schmult, H P Tranitz, C Mitzkus, and W Wegscheider, “Carbon-doped symmetric GaAs/AlGaAs quantum wells with hole 42 mobilities beyond 106 cm2/V s,” Appl Phys Lett., vol 86, no 25, pp 1–3, 2005, doi: 10.1063/1.1949292 [9] Hải Trần Thị, Nguyễn Thị Dung, Nguyễn Thị Thảo (2020) Temperaturedependent transport properties of two-dimensional hole gas in Ge channel modulation-doped square quantum wells, Journal of Physics: Conf Series, Vol.1506 [10] Hai Tran Thi, Ho Khac Hieu (2017) Mobility of carrier in the single-side and double-side doped square quantum wells, The European Physical Journal B 90 (6) [11] Jonson M.(1976),”Electron correlations in inversion layers”, J.Phys.C 9,3055 [12] Lima F M S, Qu Fanyao (2001) , Nunes O A C and Fonseca A L A, Electron Mobility in One (Two)-Side Modulation-Doped GaAs/AlxGa1— xAs Asymmetric Quantum Wells phys stat.sol (b) 1, 43-61 [13] Lee M L., Leitz C W., Cheng Z., Pitera A J., Langdo T., Currie M T., Taraschi G., Fitzgerald E A., and Antoniadis D A (2001), “Strained Ge channel p-type metal–oxide–semiconductor field-effect transistors grown on Si1˘xGex/Si virtual substrates”, Appl Phys Lett 79, 3344 [14] Manfra M J., Pfeiffer L N., West K W., Stormer H L., Baldwin K W., Hsu J W P., Lang D V., and Molnar R J (2000), “High-mobility AlGaN/GaN heterostructures grown by molecularbeam epitaxy on GaN templates prepared by hydride vapor phase epitaxy”, Appl Phys Lett 77, 2888 [15] Myronov M., Irisawa T., Koh S., Mironov O A., Whall T E., Parker E H C and Shiraki Y (2005), “Temperature dependence of transport properties of high mobility holes in Ge quantum wells”, Appl Phys Lett 97, 083701 43 [16] Quang Doan Nhat, Nguyen Huyen Tung, Do Thi Hien, and Tran Thi Hai (2008) Key scattering mechanisms for holes in strained SiGe/Ge/SiGe square quantum wells, Journal of Applied physics, 104, 113711 [17] Quang D N., N H Tung, D T Hien and T T Hai (2008), “Key scattering mechanisms for holes in strained SiGe/Ge/SiGe square quantum wells”, J Applied Phys 104, 113711 [18] Quang D N., V N Tuoc, and T D Huan (2003), “Roughnessinduced piezoelectric scattering in lattice-mismatched semiconduc tor quantum wells”, Phys Rev B 68, 195316 [19] Schirbir J E., Fritz I J and Dawson L R (1985),“Light-hole conduction in InGaAs/GaAs strained-layer superlattices”, Appl Phys.Lett 46, 187 [20] Schaff.F (1997) ”High mobility Si and Ge structures”, Semmicond.Sci.Technol 12,1515 [21] Walle C G (1989), “Band lineups and deformation potentials in the model-solid theory’, Phys Rev B 39, 1871 44 PHỤ LỤC L Z 2 Z e ( sin    cos  )  e 2 ( sin 2   cos 2 ) L dz cos (  )  e  L L L 2(   ) (1) ( , , )   L Z (1’)  dz cos2 ( Z )  e2 L L L  ( , , )  (2)  e  e 2 2 L ( , , ) L Z 2 Z e ( cos    sin  )  e2 ( cos 2   sin 2 ) L dz sin(2  )  e  L L L 2(   ) L (2’)  dz sin(2 Z )  e2 L L Z  L ( , , ) L L Z 2 2 Z sinh   cos  sinh    sin  cosh   ( , )   dz cos ( )  e L     ( , )   ( ,  ) L L L    (3) L (3’)  dz cos ( L L (4)  ( , )  L  dz sin(2 L L (4’) ’  ( )  L (5 ) L  L  dz cos L dz cos ( L (6) ( , )  L L (6’)  dz sin(2 L Z 2 Z  cos  sinh    sin  cosh  ) )e L    (  , )   ( ,  ) L   Z 2 Z )  e L  L (n  , ) L  dz sin(n  L (5) Z 2 Z L )  e L   ( , ) L 2 ( Z  Z 2 )e L  sinh  L  (   ) Z  Z L )  e L   ( ) L L  L dz sin(2 Z 2 Z  e  e2 ( cos 2   sin 2 ) )e L   L 2(   ) Z 2 Z )  e L  L( , ) L P1 L Z 2 ZL  (7)  ( )   dz sin(2 )  e  sinh  L L L   2 L Z L (7’)  dz sin(2 )  e L 2 Z L  L ( )  2 e  e2  1  e  e [n sin(2 n )   cos(2 n )] (8) n ( , )   2 2(n    ) n L Z L (8’)  dz cos2 (n  )  e L 2 Z L  L  n ( , ) (1)n    n ( ) 2 2    n    1 (9)  n ( )  sinh    L Z L (10)  dz cos (n  )  e L 2 Z L  L  n ( ) Với n≠0,  n (0)    (11)  2  (  )  sinh    (   )   (0)  n 1  e  e2 [n sin(2 n )   cos(2 n )]  (12) n ( , )  2 2(n    ) L Z 2 ZL  Ln ( , ) (12 )  dz sin(2n )  e L L ’ L Z 2 Z n cos(n  )sinh    sin(n  ) cosh  (13) n ( )   dz sin(2n )  e L  L L L   n 2 2 L Z 2 ZL  Ln ( ) (13 )  dz sin(2n )  e L L ’ (14) n ( )  sinh  (1)n n  n ( )   n2 (15) n (0)  P2 CHƢƠNG TRÌNH TÍNH SỐ Hàm phụ Basics Initialization the "Global context" Clear the value of all quantities Clear["Global`*"] Using packages for Physics