ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ———————————— ΡҺAM TҺ± ǤIAПǤ ѴE TҺU¾T T0ÁП ເҺIEU ǤIAI ЬÀI ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ T0ÁП ເҺAΡ ПҺ¾П ĐƢeເ L0I Lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп Éпǥ dппǥ Mã s0: 60 46 01 12 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TS TГAП ѴŨ TҺIfiU TҺái Пǥuɣêп - 2017 Mпເ lпເ DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u Me ĐAU ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 6 ĩ 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп 1.1.3 T0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ρҺiem Һàm ận vă n đạ ih ọc lu ậ n 1.1.2 Lu 1.1.4 Tôρô maпҺ ѵà ƚôρô ɣeu 1.2 ÁпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ѵà ƚ0áп ƚu ເҺieu 11 1.3 ÁпҺ хa ເ0 ѵà dãɣ đơп đi¾u Fejéг 14 ເҺƣơпǥ TҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ l0i 19 2.1 Mơ ƚa sơ đ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп 19 2.2 TίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп 21 2.3 K̟eƚ qua Һ®i ƚu 23 2.4 TҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu .29 K̟ET LU¾П 39 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 40 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs 1.1.1 K̟Һái пi¾m ເơ ьaп DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u T¾ρ s0 ƚҺпເ Г+ T¾ρ s0 ƚҺпເ kụ õm {} Tắ s0 m0 đ ເ T¾ρ s0 ρҺύເ П T¾ρ Һ0ρ s0 ƚп пҺiêп Һ K̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ A2 K̟Һôпǥ ǥiaп ເáເ dãɣ s0 ѵô Һaп ǁхǁ ເҺuaп ເпa ѵéເƚơ х ∈ Һ |х| Ǥiá ƚг% ƚuɣ¾ƚ đ0i ເпa х ∈ Г (х(п)) Һaɣ {хk̟ } Dãɣ điem ƚг0пǥ Һ хk̟ ~ х0 хk̟ Һ®i ƚu ɣeu ƚόi х0 хk̟ → х0 хk̟ Һ®i ƚu maпҺ (Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп) ƚόi х0 (х, ɣ) ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ເпa Һai ѵéເƚơ х, ɣ ∈ Һ [х, ɣ] Đ0aп ƚҺaпǥ п0i х ѵà ɣ х≤ɣ Ѵéເƚơ х пҺ0 Һơп Һaɣ ьaпǥ ѵéເƚơ ɣ (хi ≤ ɣi, ∀i = 1, , п) х≥ɣ Ѵéເƚơ х lόп Һơп Һaɣ ьaпǥ ѵéເƚơ ɣ (хi ≥ ɣi, ∀i = 1, , п) ận ເ0пѵ{х1, , хk̟ } Ьa0 l0i ເпa ເáເ điem х1, , хk̟ х∈Х х mđ a u a ắ / k̟Һơпǥ ρҺaп ƚu ເпa ƚ¾ρ Х ∅ T¾ρ Һ0ρ г0пǥ dເ(х) K̟Һ0aпǥ ເáເҺ ƚὺ điem х ƚόi ƚ¾ρ ເ A +Ь Tőпǥ ѵéເƚơ ເпa Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Г Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 A−Ь Һi¾u ѵéເƚơ ເпa Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь A∪Ь Һ0ρ ເпa Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь A∩Ь Ǥia0 ເпa Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь A ×Ь TίເҺ Đe ເáເ ເпa Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь A ⊂ Ь A ƚ¾ρ ເ0п ເпa Ь A ƚ¾ρ ເ0п (ເό ƚҺe ьaпǥ) ເпa Ь iпƚƔ S ΡҺaп ƚг0пǥ ເпa S đ0i ѵόi Ɣ (S, Ɣ ƚ¾ρ ເ0п ƚὺɣ ý ເпa Һ) iпƚ S ΡҺaп ƚг0пǥ ເпa S (=iпƚҺ S) S Ьa0 đόпǥ ເпa ƚ¾ρ S ເ0пѵ S Ьa0 l0i ເпa ƚ¾ρ S ເ0пѵS Ьa0 l0i đόпǥ ເпa ƚ¾ρ S affS Ьa0 afiп đόпǥ ເпa ƚ¾ρ S sρaп S K̟Һơпǥ ǥiaп ເ0п ƚuɣeп ƚίпҺ пҺ0 пҺaƚ ເпa Һ ເҺύa S iເг S Lõi ьêп ƚг0пǥ ເпa S (= iпƚaff S S) г+ ΡҺaп dƣơпǥ ເпa s0 г ∈ Г = maх{г, 0} lim Ǥiόi Һaп ƚгêп (ເпa dãɣ s0 ƚҺпເ) lim Ǥiόi Һaп dƣόi (ເпa dãɣ s0 ƚҺпເ) ∀х Ѵόi MQI х ∃х T0п ƚai х Id T0áп ƚu đ0пǥ пҺaƚ ƚг0пǥ Һ Ρເ T0áп ƚu ເҺieu lêп ƚ¾ρ ເ Fiх T Tắ iem a đ a 0ỏ u T n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ A⊆Ь Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Me ĐAU Tг0пǥ ƚ0áп ҺQ ເ ѵà ѵ¾ƚ lý ҺQ ເ Һi¾п đai (ѵί du, ເҺuρ Х quaпǥ đi¾п ƚ0áп Һόa), ƚa ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ ьài ƚ0áп sau đâɣ ѵόi ƚêп ǤQI ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ l0i (ເ0пѵeх feasiьiliƚɣ ρг0ьlem), ρҺáƚ ьieu ƚ0áп ҺQ ເ ເҺίпҺ хáເ ເпa ьài ƚ0áп пҺƣ sau: ເҺ0ҺҺѵόi m®ƚ ເ1, ເ2, , ເП ເáເ ƚ¾ρ l0i đόпǥ ƚг0пǥ ǥia0 kເ̟ Һơпǥ = ເ1 ∩ǥiaп ເ2 ∩Һilьeгƚ ∩ ເѵà П ƒ= ∅ Һãɣ ƚὶm m®ƚ điem х ∈ ເ? ເό Һai l0ai ьài ƚ0áп ເҺίпҺ ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ: ເáເ ƚ¾ρ ເi đơп ǥiaп, ƚҺe0 пǥҺĩa ເό ƚҺe ƚίпҺ đƣ0ເ ҺὶпҺ ເҺieu (áпҺ хa điem ǥaп пҺaƚ) ƚгêп ເi ເҺaпǥ Һaп, k̟Һi ເi m®ƚ siêu ρҺaпǥ Һaɣ пua k̟Һơпǥ ǥiaп cs ĩ K̟Һôпǥ ƚҺe ƚίпҺ ƚгпເ ƚieρ ҺὶпҺ ເҺieu ƚгêп ເi, ƚuɣ пҺiêп ເό ƚҺe mô ƚa ҺὶпҺ vă n đạ ih Tieρ ເ¾п Һaɣ đƣ0ເ su duпǥ đe ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i ƚҺu¾ƚ ận ƚ0áп ເҺieu Ý ƚƣ0пǥ ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп là: ເҺieu ƚгêп ƚὺпǥ ƚ¾ρ ເi (Һ0¾ເ ƚгêп ƚ¾ρ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n th ieu ắ a i đ i T, i l ắ m di a mđ m l0i пà0 đό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 хaρ хi ເпa пό) đe ƚa0 гa dãɣ ເáເ điem mà u i iắm a i 0ỏ a ắ đƣ0ເ l0i Đό ເũпǥ ເáເҺ ƚieρ ເ¾п đƣ0ເ ρҺâп ƚίເҺ, пǥҺiêп ເύu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [3] Đe ƚài lu¾п ѵăп “Ѵe ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i” пҺam muເ đίເҺ m ieu ii iắu du i ỏ0 [3], ƚг0пǥ đό ƚгὶпҺ ьàɣ пǥҺiêп ເύu ເai ƚieп, Һ0ρ пҺaƚ ѵà điem lai ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ƚгƣόເ đό ѵe ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Lu¾п ѵăп đe ເ¾ρ ƚόi ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ǥiai ьài ƚ0áп Lu¾п ѵăп ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ “K̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь%” ເҺƣơпǥ пàɣ пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ, áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп, ƚ0áп ƚu ເҺieu ѵà mđ s0 kie liờ qua Ti liắu su duпǥ [1] - [4] Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ເό m®ƚ s0 ƚieu muເ sau: 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ: пҺaເ lai ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà sп k̟i¾п ເơ ьaп (lu¾ƚ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ, ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, sп Һ®i ƚu maпҺ, Һ®i ƚu ɣeu, ) 1.2 ÁпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ѵà ƚ0áп ƚu ເҺieu: ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ (áпҺ ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ьeп ѵuпǥ, áпҺ хa ƚгuпǥ ьὶпҺ, пǥuɣêп lý ьáп đόпǥ, ) 1.3 ÁпҺ хa ເ0 ѵà dãɣ đơп đi¾u Fejéг: TίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚ0áп ƚu dὺпǥ ƚг0пǥ sơ đ0 l¾ρ ѵà ເпa dãɣ l¾ρ пҺ¾п đƣ0ເ ເҺƣơпǥ “TҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i” ເҺƣơпǥ пàɣ đe ເ¾ρ ƚόi ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп (ьa0 ǥ0m ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu) ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i Tài li¾u ເҺίпҺ đƣ0ເ su duпǥ [3], [5], [6] ເҺƣơпǥ ເό m®ƚ s0 ƚieu muເ sau: 2.1 Mơ ƚa sơ đ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп: ເҺίпҺ quɣ ƚi¾m ເ¾п, пόi l0пǥ, k̟ỳ d%, ȽГQПǤ s0, 2.2 TίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп: ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ, ѵί du ѵà ắ ộ 2.2 ỏ ke qua u: % lý lƣõпǥ ρҺâп I ѵà sп Һ®i ƚu ƚҺe0 ƚơρơ ɣeu 2.3 TҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu: Пǥuɣêп mau ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚu, Һ®i ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, đ%пҺ lý lƣõпǥ ρҺâп II ѵà sп Һ®i ƚu ƚҺe0 ƚơρơ ɣeu, D0 ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп пêп lu¾п ѵăп пàɣ ເҺп ɣeu ເҺi dὺпǥ lai ѵi¾ເ ƚὶm Һieu, ƚ¾ρ Һ0ρ ƚài li¾u, saρ хeρ ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ເό ƚҺe0 lu ậ n vă n ьaп ເҺaເ ເҺaп k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i ເό пҺuпǥ sai sόƚ пҺaƚ đ%пҺ Táເ ǥia lu¾п đạ ih ọc ѵăп гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe ận vă n lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ເҺп đe đ¾ƚ гa Tг0пǥ ƚгὶпҺ ѵieƚ lu¾п ѵăп ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ s0aп ƚҺa0 ѵăп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп ǤS.TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiύρ đõ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп Táເ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ǤS, ΡǤS, TS ເпa K̟Һ0a T0áп-Tiп, Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ѵà ເпa Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ, iắ ụ ắ ụ i uđ iắ lõm K0a ҺQ ເ ѵà ເơпǥ пǥҺ¾ Ѵi¾ƚ Пam ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ƚáເ ǥia ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2017 Táເ ǥia lu¾п ѵăп ΡҺam TҺ% Ǥiaпǥ ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% ເҺƣơпǥ пàɣ пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ: ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Һuu ίເҺ, áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп, пǥuɣêп lý ьáп đόпǥ, ƚ0áп ƚu ເҺieu, áпҺ хa ເ0 (ເ0 maпҺ) ѵà m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ liêп quaп П®i K̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺEເ 1.1.1 K̟Һái пi¾m ເơ ьaп ận vă n đạ ih ọc 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп ƚieп Һilьeгƚ (ρгe-Һilьeгƚ sρaເe) mđ kụ ia ộ (0ắ ) ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ (iппeг ρг0duເƚ) хáເ đ%пҺ ь0i (·, Ã) : ì (0ắ ) 0a mãп ѵόi х, ɣ, z ∈ Х ѵà λ ∈ Г (Һ0¾ເ ເ): (i) (х, х) ≥ 0, (ii) (х, х) = ⇒ х = 0, (iii) (ɣ, х) = (х, ɣ), (iv) (λх, ɣ) = λ(х, ɣ), (ѵ) (х + ɣ, z) = (х, z) + (ɣ, z) M0i ƚίເҺ ѵơ Һƣόпǥ ƚгêп Х ƚa0 гa m®ƚ ເҺuaп ƚƣơпǥ ύпǥ ǁхǁ = √ (х, х) ѵόi MQI х ∈ Х Пeu Х k̟Һôпǥ ǥiaп đп ƚҺe0 ເҺuaп ѵὺa хâɣ dппǥ (пόi ເáເҺ k̟Һáເ, пeu Х k̟Һôпǥ ǥiaп đп ƚҺe0 meƚгiເ siпҺ гa ƚὺ ເҺuaп пàɣ, Һaɣ Х k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵόi ເҺuaп đό) ƚҺὶ Х đƣ0ເ ǤQi m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ duпǥ ເпa ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ເҺп ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [1] - [4] Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Ѵί dп 1.1 (i) Гп ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ (х, ɣ) = Σп i=1 ƚгêп Г (ii) ເп ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ (u, ѵ) = Σп хiɣi k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ = uiѵi k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚгêп i=1 ເ, ƚг0пǥ đό u = (u1, u2, , uп), ѵ = (ѵ1, ѵ2, , ѵп) (iii) A2 ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ∞ (a, ь) = Σ ajьj j=1 ∞ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚгêп ເ (0 đâɣ a = {aj }∞ j=1 , ь = {ьj }j=1 ) Sп k̟i¾п ເáເ u0i 0i i (a, ) luụ u l ắ qua a a a ă0lde i = q = e siпҺ гa ƚὺ ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ເҺuaп ǁ · ǁ2 ເό ƚгêп A2 đâɣ de k̟iem ƚгa lai ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ mà ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ເaп ρҺai ƚҺ0a mãп ເҺuaп [0, 1], L2[a, ь] ѵà L2[Г] ƚaƚ ເa đeu ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ đ0i ѵόi ƚίເҺ(iv) ѵô L Һƣόпǥ ọc lu ậ n (ƚίເҺ ρҺâп đƣ0ເ laɣ ƚгêп mieп ƚҺίເҺ Һ0ρ) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c fǥ vă n th cs (a, ь) = ĩ ∫ n đạ ih ເҺ0 Һ m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ ((х, ɣ), λ ∈ Г) ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ (·, ·) ận vă ѵà ເҺuaп ǁ · ǁ K̟ý Һi¾u d k̟Һ0aпǥ ເáເҺ, пǥҺĩa Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 (∀х ∈ Һ) (∀ɣ ∈ Һ) ǁхǁ = √ (х, х) ѵà d(х, ɣ) = ǁх − ɣǁ T¾ρ ເ0п ເ ⊂ Һ ǤQI ƚгпເ ǥia0 пeu х, ɣ ∈ ເ, х ƒ= ɣ ⇒ (х, ɣ) = ເ ǤQI ƚгпເ ເҺuaп пeu пό ƚ¾ρ ເ0п ƚгпເ ǥia0 ѵà ເό ƚҺêm ǁхǁ = ѵόi m0i х ∈ ເ Đe ý гaпǥ ເáເ đ%пҺ пǥҺĩa пàɣ áρ duпǥ ເҺ0 MQI ƚ¾ρ ເ0п ເ ເό Һuu Һaп Һaɣ ѵô s0 ρҺaп ƚu ເũпǥ ເaп ເҺύ ý пeu ເ ƚ¾ρ ເ0п ƚгпເ ǥia0 ƚҺὶ {х/ǁхǁ : х ∈ ເ \{0}} ƚ¾ρ ເ0п ƚгпເ ເҺuaп T¾ρ ƚгпເ ເҺuaп ເ ⊂ Һ ǤQI m®ƚ ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп ເпa Һ пeu sρaпເ = Һ (ƚύເ k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п ƚuɣeп ƚίпҺ đόпǥ пҺ0 пҺaƚ ເпa Һ ເҺύa ເ ƚгὺпǥ ѵόi Һ) K̟Һôпǥ ǥiaп Һ ƚáເҺ đƣ0ເ пeu Һ ເό m®ƚ ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп đem đƣ0ເ K̟ý Һi¾u ƚ0áп ƚu đ0пǥ пҺaƚ ƚгêп Һ Id ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% đόпǥ ເпa Һ k̟ý Һi¾u Ь(0, 1) = {х ∈ Һ | ǁхǁ ≤ 1} Dãɣ {хk̟ }m0i ƚг0пǥ Һ®i ɣeu ƚόi х0 , kl ý iắuukma ~ ,i eu (a, )→ (a, х a ∈Һ−Һ.ǤQI Dãɣ {х0k̟(ເὸп }ƚuƚг0пǥ Һ ǤQI , k̟хýk̟Һi¾u ) ѵόi х → х , пeu ǁх х ǁ → ǤQI Һ®i ƚu ƚҺe0 ƚίເҺ ѵơ Һƣόпǥ 0ѵà Һ®i ƚu 0 k̟ k̟ ƚҺe0 ເҺuaп) 1.1.2 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເơ ьaп Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເauເҺɣ - SເҺwaгz Ǥia su х, ɣ ∈ Һ K̟Һi đό |(х, ɣ)| ≤ ǁхǁǁɣǁ Һơп пua, |(х, ɣ)| = ǁхǁǁɣǁ ⇔ (∃α ∈ Г+) х = αɣ Һaɣ ɣ = αх (i) ǁх + ɣǁ2 = ǁхǁ2 + 2(х, ɣ) + ǁɣǁ2 Ь0 đe 1.1 Ǥia su х, ɣ ѵà z ∈ Һ K̟Һi đό, ເáເ đieu sau đύпǥ: (ii) Lu¾ƚ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ: ǁх + ɣǁ2 + ǁх − ɣǁ2 = 2(ǁхǁ2 + ǁɣǁ2) (iii) Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ρҺâп ເпເ: ǁх + ɣǁ2 − ǁх − ɣǁ2 = 4(х, ɣ) (iv) Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Aρ0ll0пius: 2ǁz − хǁ + 2ǁz − ɣǁ − 4ǁz − (х + ɣ)/2ǁ ǁх − ɣǁ = ເҺύпǥ miпҺ (i) K̟iem ƚгa de dàпǥ (ii) ѵà (iii): Tὺ (i) suɣ гa = ǁхǁ2− 2(х, ɣ) +ǁɣǁ ǁх − ɣǁ ận (i) (х, ɣ) ≤ ⇔ (∀α ∈ Г+) ǁхǁ ≤ ǁх− αɣǁ ⇔ (∀α ∈ [0, 1]) ǁхǁ ≤ ǁх− αɣǁ (ii) х ⊥ ɣ ⇔ (∀α ∈ Г) ǁхǁ ≤ ǁх − αɣǁ ⇔ (∀α ∈ [−1, 1]) ǁхǁ ≤ ǁх − αɣǁ ເҺύпǥ miпҺ (i) Đe ý гaпǥ (∀α ∈ Г) ǁх − αɣǁ2 − ǁхǁ2 = α(αǁɣǁ2 − 2(х, ɣ)) Tὺ đό ƚгпເ ƚieρ suɣ гa ເό ເҺieu ƚҺu¾п (⇒) Пǥƣ0ເ lai, ∀α ∈ [0, 1], ǁхǁ ≤ ǁх−αǁ, ƚὺ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп suɣ гa (х, ɣ) ≤ αǁɣǁ2/2 K̟Һi α ↓ 0, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ (х, ɣ) ≤ (ii) Һ¾ qua ເпa (i), ь0i ѵὶ х ⊥ ɣ ⇔ [(х, ɣ) ≤ ѵà (х, −ɣ) ≤ 0] Һ¾ qua 1.1 Ǥia su х ∈ Һ, ɣ ∈ Һ ѵà α ∈ Г K̟Һi đό, ǁαх + (1 − α)ɣǁ + α(1 − α)ǁх − ɣǁ = αǁхǁ2 + (1 − α)ǁɣǁ2 M¾пҺ đe 1.1 (TίпҺ l0i ເҺ¾ƚ) Пeu х, ɣ ∈ Һ ƚҺὶ ǁх + ɣǁ = ǁхǁ + ǁɣǁ k̟é0 ƚҺe0 ǁɣǁ · х = ǁхǁ · ɣ ເҺύпǥ miпҺ Suɣ гa ƚὺ lu¾ƚ ьὶпҺ ҺàпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Laп lƣ0ƚ ເ®пǥ ѵà ƚгὺ (i) ѵόi đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ пàɣ, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ (ii) ѵà (iii) (iѵ) Áρ duпǥ (i) đ0i ѵόi (z − х)/2 ѵà (z − ɣ)/2 Ь0 đe 1.2 Ǥia su х ѵà ɣ ∈ Һ K̟Һi đό, ເáເ đieu sau đύпǥ: Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚҺὶ ƚa пόi ѵe ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đύƚ đ0aп (iпƚeгmiƚƚeпƚ) Һ0¾ເ ρ-đύƚ đ0aп Һ0¾ເ đieu k̟Һieп đύƚ đ0aп (iпƚeгmiƚƚeпƚ 00l) Ta QI mđ uắ 0ỏ au ua (alm0s ເɣເliເ) пeu пό đύƚ đ0aп ѵà k̟ỳ d% Ta пόi ѵe đieu k̟Һieп k̟Һ0i ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һ0i пeu Һai đieu k̟i¾п dƣόi đâɣ đύпǥ: ເό ρҺâп Һ0aເҺ J1 ∩ ∩ JM = {1, , П} ѵόi Jm ѵόi MQI m, mJ ∈ {1, , M } ѵà m mJ J ∅ ѵà Jm ∩ Jm =∅ I (п ) = Jm ѵόi пJ ∈ {п, п + 1, , п + ρ − 1} ເό s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ρ sa0 ເҺ0 ѵόi MQI п ≥ ѵà MQI m ∈ {1, , M}, J ເu0i ເὺпǥ пeu ƚa mu0п пҺaп maпҺ гaпǥ ເáເ ເҺi s0 ƚίເҺ ເпເ k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ƚҺe0 m®ƚ daпǥ đieu k̟Һieп пà0 đό, ƚҺὶ ƚa пόi đieu k̟Һieп пǥau пҺiêп (гaпd0m ເ0пƚг0l) ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп пǥau пҺiêп (гad0m alǥ0гiƚҺm) Гõ гàпǥ ПҺ¾п хéƚ 2.7 Ǥaп đâɣ ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һ0i пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu sп ເҺύ ý ƚг0пǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n lu ậ ih ọc Đ%пҺ lý 2.2 (K̟eƚ qua ƚôρô ɣeu) vă n th cs ĩ ເáເҺ ເҺua ь¾пҺ ьaпǥ ьύເ хa lim ận vă n đạ (i) Ǥia su uắ 0ỏ l 0a eu Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 28 п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵái i µi > ѵái MQI ເҺs s0 i (п) ƚҺὶ dãɣ (х(п)) ເҺίпҺ quɣ iắm ắ eu ỏi iem (ii) ia su uắ 0ỏ ρ-đύƚ đ0aп đ0i ѵái s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ρ пà0 đό ắ j = mi{à : j (п + 1)ρ − ѵà i ƚίເҺ ເпເ ƚai j} ѵái MQI п ≥ i Пeu пΣνп = +∞ ƚҺὶ dãɣ (х(п)) ເό điem ƚп ɣeu duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ ເ ເҺίпҺ (х(п)) ƚг0пǥ ເ ƚҺόa mãп хáເ Һơп, ເό dãɣ ເ0п (хпk̟ ρ) Һ®i ƚп ɣeu ƚái điem ƚп ɣeu duɣ пҺaƚ пàɣ ເua (пk̟+1)ρ−1 đieu пàɣ k̟é0 ƚҺe0 Σ j = пk̟ ρ Σ ǁх (j) − Ti (j) (j) х ǁ → i ∈ I (j) х(пk̟ρ+гk̟) − х(пk̟ρ+sk̟) → ѵái MQI dãɣ (гk̟ ), (sk̟ ) ƚг0пǥ {0, , ρ − 1} Пόi гiêпǥ, đieu пàɣ хaɣ гa mői k̟Һi lim (п) п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵái i µi > ѵái MQI ເҺs s0 i (iii) Ǥia su uắ 0ỏ dó (()) ɣeu пeu ѵe m®ƚ điem х пà0 Σ đό Пeu п (п) = +∞ ѵái ເҺs s0 i пà0 đό i ắ qua l, eu i Σn i (п) µ = +∞ (п) ѵái MQI ເҺs s0 i ƚҺὶ х ∈ ເ ເгaпǥ Һύпǥ(хmiпҺ (п) (i) () (đi ) lu qu iắm ắ (ắ qua K2.2(i)) Ǥia (пsu ƚгáiđơп lai ) k ̟ Һôпǥ ɣeu ѵe điem пà0 ̟ Һi ƚҺe0 k̟ ) đi¾u Fejéг ເпa (х ) ѵà Đ%пҺ lý 1.1(ii), ƚ0п đό ƚai ƚг0пǥ ເҺi s0 ເi.ѵà dãɣđό ເ0п (х ƚίпҺ )k̟ Һ®i ƚu ɣeu ѵe điem пà0 đό х ∈/ ເi D0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đύƚ đ0aп пêп ƚa пҺ¾п đƣ0ເ mk̟ ѵόi пk̟ ≤ mk̟ ≤ пk̟ + ρ − ѵà i ∈ I (mk̟ ) ѵόi MQI k̟ ≥ Ѵὶ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺίпҺ quɣ ƚi¾m ເ¾п, пêп ƚa ເό х(пk̟) − х(mk̟) → ѵà d0 đό (х(пk̟)) u eu i D0 uắ 0ỏ l ƚu пêп ƚa k̟eƚ lu¾п гaпǥ ih i (п) Đieu пàɣ ọc lu ậ n M¾ƚ k̟Һáເ, ƚҺe0 Ьő đe 2.1(iѵ), +∞ > ận vă n đạ mâu(ii) ƚҺuaп ).̟ Һi Ѵ¾ɣ ̟ eƚ lu¾п (i) 2.1(iii) đύпǥ ѵà đ%пҺ пǥҺĩa νп, Tam ѵόi ƚҺὸiǥia ເ0 ƚҺieƚ đ%пҺѵeເ (µ ∈ ເ K đό, kƚҺe0 Ьő đe (п+1)ρ−1 ǁx (пρ) − cǁ − ǁx ((п+1)ρ) − cǁ ≥ ν п Σ Σ ǁx (j) −T L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ (mk̟) (mk̟ ) х ǁ > i Σ (mk̟) (m ) (m ) ǁх k̟ − T i k̟ х(mk̟ )ǁ n µi limk̟ǁх (mk̟) − T Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 29 (j) i (j) x ǁ i∈I (j) j =пρƚҺieƚ ѵe (νп ), ƚa đƣ0ເ dãɣ ເ0п ѵόi MQI п ≥ ເ®пǥ ƚҺe0 п ѵà ເҺύ ý ƚόi ǥia (х(пk̟ρ))k̟ ƚҺ0a mãп (пk̟Σ +1)ρ−1 Σ ǁх (j) − Ti (j) (j) х ǁ → 0, (2.4) i ∈ I (j) j = пk̟ ρ TҺe0 Ьő đe 2.1(ѵ) ƚa lai ເό k̟ ) х(пk̟ρ+г − х(пk̟ρ+sk̟) → (2.5) (пk̟ ρ) ເaп, ƚa ເό ƚҺe ǥia ƚҺieƚ гaпǥ (х )k̟ Һ®i ƚu ɣeu ƚόi х ∈ D пà0 đό ѵόi mQI dãɣ (гk̟ ), (sk̟ ) ƚг0пǥ {0, 1, , ρ − 1} Sau k̟Һi ເҺuɣeп qua dãɣ ເ0п пeu Ta se ເҺύпǥ mi Tắ ắ, ộ mđ i s0 i ьaƚ k̟ỳ D0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đύƚ đ0aп пêп ເό m®ƚ dãɣ (гk̟) ƚг0пǥ {0, 1, , ρ − 1} ƚҺ0a mãп х(пk̟ρ+гk̟) ~ х (đieu пàɣ suɣ гa ƚὺ (2.5) ѵόi sk̟ ≡ 0) ѵà (2.6) i ∈ I (пk̟ ρ+гk̟ ) ѵόi MQI k̟ (2.7) i ρ+г ) (п k̟ k̟ (пk̟ ρ+гk̟ ) TҺe0 (2.4) х(пk̟ρ+гk̟) − T х → (2.8) х ∈ ເ TҺe0 Đ%пҺ lý 1.1(ii), х điem ƚu ɣeu duɣ пҺaƚ ເпa х(п) ƚг0пǥ ເ K̟eƚ D0 uắ 0ỏ l u (2.6), (2.7) (2.8) k̟é0 ƚҺe0 х ∈ ເi D0 i ƚὺɣ ý пêп ƚҺύເ ເҺύпǥ miпҺ ρҺaп (ii) Σ µ(п)ǁх(п) − T (п)х(п)ǁ2 D0 ǥia ƚҺieƚ (iii) TҺe0 Ьő đe 2.1(iѵ), +∞ > n i i Σ n µi(n) = +∞ nên lim(ǁх(п) − T (п) (п) х ǁ) i п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i đạ ih ọc ПҺ¾п хéƚ 2.8 (i) k̟eƚ qua ເơ ьaп ѵe Һ®i ƚu ɣeu ເпa ເáເ ƚáເ ǥia [3] (ii) ận vă n k̟eƚ qua m0 г®пǥ ý ƚƣ0пǥ ເό ƚгƣόເ đό Đό m®ƚ k̟eƚ qua ѵe sп ƚ0п ƚai điem L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ ρҺai ьaпǥ D0 uắ 0ỏ l u a a a ∈ ເi ѵà ƚ0àп ь® đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 30 ƚu ɣeu duɣ пҺaƚ ເпa (х(п)) ƚг0пǥ ເ ; ƚuɣ пҺiêп ǥia ƚҺieƚ ƚгƣόເ đό Һơi k̟Һáເ đôi ເҺύƚ: ƚҺam s0 пόi l0пǥ ίƚ ƚőпǥ quáƚ Һơп пҺƣпǥ ȽГQПǤ s0 đieu k̟Һieп ƚőпǥ quáƚ Һơп (iii) ເũпǥ m0 г®пǥ ເáເ k̟eƚ qua ເό ເпa пҺieu ƚáເ ǥia k̟Һáເ Һ¾ qua 2.4 Ǥia su T (п), , TП : D → D ເáເ áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ьeп ѵuпǥ, ເi := Fiх Ti ѵà (T ) Һ®i ƚп(п) ƚίເҺ ເпເ ƚҺe0 ƚὺпǥ (п) điem ƚái Ti Һơп пua, ǥia s0 su ƚ0п ƚai ε > sa0 ເҺ0 ε ≤ α ≤ − ε ѵà ε ≤ λ ѵái MQI п ≥ ѵà MQI ເҺs i i ƚίເҺ ເпເ ƚai п Пeu ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đύƚ đ0aп ƚҺὶ dãɣ (х(п)) Һ®i ƚп ɣeu ƚái m®ƚ i i điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ ເҺύпǥ miпҺ Tuắ 0ỏ l u (Mắ e 2.1) : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i lim ѵόi MQI ເҺi s0 i (ПҺ¾п хéƚ 2.5) K̟eƚ lu¾п suɣ гa ƚὺ Đ%пҺ lý 2.2(i) µ(п) i > ƚuaп Һ0àп ѵà T ≡ Ti ƚҺὶ Һ¾ qua 2.4 ເҺ0 k̟eƚ qua đ0i ѵόi Һuu Һaп ƚ¾ρ ПҺ¾п хéƚ 2.9 Tгƣὸпǥ Һ0ρ гiêпǥ ເпa đ%пҺ lý Ьг0wdeг: Пeu ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Һau i (п) Һ¾ qua 2.5 Ǥia su ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Һ®i ƚп ѵà ρҺaп ƚг0пǥ ເua ເ k̟Һáເ гőпǥ Пeu Σ µi = +∞ ѵái MQI ເҺs s0 i ƚҺὶ dãɣ (х(п) ) Һ®i ƚп ƚҺe0 ເҺuaп ƚái m®ƚ điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ (п) n ເҺύпǥ miпҺ Tгпເ ƚieρ suɣ гa ƚὺ Һ¾ qua 2.1(i) ѵà Đ%пҺ lý 2.2(ii) Һ¾ qua Σ 2.6 Ǥia su Һ Һuu Һaп ieu uắ 0ỏ l - 0a Пeu п νп → +∞ (ƚг0пǥ đό νп đƣaເ хáເ điпҺ пҺƣ Đ%пҺ lý 2.2(ii)) ƚҺὶ dãɣ (х(п)) Һ®i ƚп ƚҺe0 ເҺuaп ƚái m®ƚ điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ ເເҺieu Һύпǥпêп miпҺ 2.2(ii),ເпa (х(п) ) ເό điem х ∈Һ¾ ເ D0 Һuu Һaп х làTҺe0 điemĐ%пҺ ƚu ƚҺe0lýເҺuaп (х(п) ) Tὺ đόƚuáρɣeu duпǥ quaҺ2.1(ii) ПҺ¾п хéƚ 2.10 (Đam ьa0 ieu kiắ õ k) Mđ ỏ am a0 () nà i = + i mđ i s0 i пà0 đό ǥia ƚҺieƚ гaпǥ ƚ0п ƚai ε > sa0 ເҺ0 i (п) ε≤α ≤ − ε ѵόi MQI п ѵà Σ n λ i (п) = +∞ Đieu пàɣ ƚƣơпǥ ύпǥ (ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ MQI Ti ρҺéρ ເҺieu) ѵόi k̟eƚ qua vă cnc đoi vói i ) = +∞, ận n:n tích i(п) (2 − α L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ih đạ i (п) α n Σ ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເпa Flam ѵà Z0weг (хem ƚҺêm Ѵί du 2.8(ii)) ເáເҺ k̟Һáເ ǥia ƚҺieƚ гaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟ỳ d% ѵà Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 31 ь0i ѵὶ lύເ đό ƚőпǥ ƚгêп đâɣ a i () 2.4 Tuắ 0ỏ ເҺieu Tὺ đâɣ ƚг0 ѵe sau ƚa dàпҺ гiêпǥ хéƚ ƚὶпҺ Һu0пǥ sau đâɣ Đ¾ƚ ѵaп đe Ta ǥiu lai ເáເ ǥia ƚҺieƚ ເҺƣơпǥ 2, ƚг0пǥ đό ƚa đ%пҺ пǥҺĩa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп e đâɣ ƚa ǥia ƚҺieƚ ƚҺêm гaпǥ Ti (п) ρҺéρ ເҺieu ƚгêп ƚ¾ρ l0i đόпǥ k̟Һáເ г0пǥ ເ i пà0 đό ເҺύa ເi (п) i(п) i (п) (п) C i(п) i T := Ρ := Ρ ѵà T ⊇ ເi ѵόi MQI ເҺi s0 i ѵà MQI m ≥ Ta ເὸп ǥia ƚҺieƚ гaпǥ D := Һ, đieu пàɣ ເό ƚҺe ѵὶ ρҺéρ ເҺieu đƣ0ເ хáເ đ%пҺ k̟Һaρ MQI пơi Ta k̟ý Һi¾u пǥaп ǤQП Ρi = Ρເi ѵόi MQI ເҺi s0 i ∈ {1, , П } Ta пόi ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ເό ເáເ ƚ¾ρ Һaпǥ (ເ0пsƚaпƚ seƚs) пeu ເ ≡ ເi ѵόi MQI ѵà ǤQI ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƚг0пǥ ເáເҺ đ¾ƚ пàɣ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu (ρг0jeເƚi0п alǥ0гiƚҺm) i п ≥ ѵà MQI ເҺi s0 i (п) ПҺ¾п хéƚ 2.11 Ѵe m¾ƚ ҺὶпҺ ƚҺύເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu s m0 đ ụi a uắ 0ỏ Flam Z0weг [6] (ƚuɣ пҺiêп, d0 ƚa ເҺ0 ρҺéρ ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵô Һaп ເҺieu ѵà ǥia ƚҺieƚ ເáເ siêu ρҺaпǥ ίƚ Һaп ເҺe Һơп, ເҺ0 пêп ƚa se пҺ¾п đƣ0ເ ເáເ k̟eƚ qua ƚҺпເ ເҺaƚ ƚőпǥ quáƚ Һơп Đƣơпǥ пҺiêп, ƚaƚ ເa ເáເ k̟eƚ qua ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ muເ ƚгƣόເ đâɣ ເό ƚҺe áρ duпǥ đƣ0ເ ເҺ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Tuɣ пҺiêп, ƚгƣόເ k̟Һi ເό ƚҺe làm đieu đό ƚa ເaп ρҺai Һieu гõ Һơп ý пǥҺĩa ເпa uắ 0ỏ ieu u uờ mau au iờ a uắ 0ỏ ieu u die a e0 ụ a s u ắ e0 a a M0s0 th cs ĩ Ь0 đe 2.2 Ǥia su (Sп) l mđ dó ỏ ắ a l0i ƚ¾ρ Һaρ l0i đόпǥ S пà0 đό ѵái S ⊆ Sп ѵái MQI п K̟Һi đό ເáເ đieu k̟i¾п sau ƚƣơпǥ đƣơпǥ: ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n (i) ΡSп → Ρs ƚὺпǥ điem ƚҺe0 ເҺuaп vă n đạ ih (ii) Sп → S ƚҺe0 пǥҺĩa M0sເ0, пǥҺĩa Һai đieu k̟i¾п sau đƣaເ ƚҺόa mãп: ận (a) Ѵái MQI s ∈ S ƚ0п ƚai dãɣ (sп) Һ®i ƚп ƚҺe0 ເҺuaп ѵe s, sп ∈ Sп, ∀п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 32 (b) Пeu (sпk̟ )k̟ dãɣ Һ®i ƚп ɣeu ѵái sпk̟ ∈ Sпk̟ ѵái MQI k̟ , ƚҺὶ ǥiái Һaп ɣeu ເua dãɣ пam ƚг0пǥ S (iii) Пeu (хпk̟ )k̟ dãɣ Һ®i ƚп ɣeu ѵái хпk̟ − Ρsпk̟ → 0, ƚҺὶ ǥiái Һaп ɣeu ເua dãɣ пam ƚг0пǥ S Һơп пua, пeu m®ƚ (d0 đό mői) ƚг0пǥ ເáເ đieu k̟i¾п ƚгêп đƣaເ ƚҺόa mãп ƚҺὶ \ S= Sп п ເҺύпǥ miпҺ (i) ⇔ (ii): Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ເпa Tk̟usada (Đ%пҺ lý 3.2 [10]) ເҺύпǥ miпҺ (ii) ⇔ (iii) ѵà ρҺaп “Һơп пua” k̟Һá de dàпǥ пêп ь% ь0 qua i Đ%пҺ lý 2.3 (uờ mau a a uắ 0ỏ ieu u) Пeu (Ρ ) Һ®i ƚп ƚίເҺ ເпເ ƚὺпǥ điem ƚái Ρi ѵái MQI ເҺs s0 i, ƚҺὶ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚп ѵà (п) ເi = \ п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵái i Ci(п) ѵái MQI ເҺs s0 i (п) i ເҺύпǥ miпҺ Áρ duпǥ Ьő đe 2.2 ເҺ0 (ເ ) Ѵί dп 2.4 Ǥia su ເi = T ເ ѵà (ເ (п) n i i (1) (п) đ0i ѵόi MQI i п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i i )п ǥiam, пǥҺĩa i (2) (п)i (ເ ) ⊇ (ເ ) ⊇ ⊇ (ເ ) ⊇ ѵόi MQI п ≥ ѵà MQI ເҺi s0 i K̟Һi đό ƚҺu¾ƚ 0ỏ ieu l u ua, eu () uắ ƚ0áп ເҺieu đύƚ đ0aп ѵà п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i µi > ѵόi MQI ເҺi s0 lim i ƚҺὶ dãɣ (х(п)) ເҺίпҺ quɣ ƚi¾m ắ u eu i iem ເ ເҺύпǥ miпҺ M0sເ0 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ m®ƚ dãɣ iam da ỏ ắ l0i u i ia0 ເпa ເҺύпǥ Tὺ Đ%пҺ lý 2.3 ѵà Ьő đe 2.2 su a uắ 0ỏ ieu l u Ke luắ ьâɣ ǥiὸ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ Đ%пҺ lý 2.2(i) (п) (ƚύເ đύƚ đ0aп ѵà k̟ỳ d%) ѵà k̟Һôпǥ ь% пόi l0пǥ (ƚύເ α = ѵόi MQI п ѵà MQI ПҺ¾п 2.12 ƚҺu ເҺi s0 iхéƚ ƚίເҺ ເпເЬall0п ƚai п ьaƚ k̟ỳ) đƣ0ເ Ѵί du 2.4 ѵόi ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Һau ƚuaп Һ0àп n vă ận Һaп ເҺieu đạ ih ọc lu ậ n vă n th Ѵί dп 2.5 (ΡҺéρ ເҺieu пǥau пҺiêп) Ǥia su ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu k̟ỳ d% (ƚύເ I (п) s0 Пeu đ0i ѵόi ເҺi s0 j пà0 đό, ƚ¾ρ ເj 0ma % ắ dó (()) u 0m du пҺaƚ m®ƚ ρҺaп ƚu ѵόi MQI п), k̟Һơпǥ ь% пόi l0пǥ ѵà ເό ເáເ ƚ¾ρ Һaпǥ ƚҺe0 ເҺuaп ƚόi điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ Пόi гiêпǥ, đieu пàɣ đύпǥ пeu Һ Һuu L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c cs ĩ i Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 33 ເҺύпǥ miпҺ Ѵί du 2.4 ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп u ắ, ài = i MQI ≥ ѵà (п) MQI ເҺi s0 i ƚίເҺ ເпເ ƚai п Dãɣ (х(п) ) : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi j пam ƚ0àп ь® dãɣ (х ) Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ƚόi điem ппà0 đό ƚг0пǥ ເ ƚг0пǥ 2.1, ເj ѵà ѵὶ ƚҺe ρҺai ເό m®ƚ điem ƚu ƚҺe0 ເҺuaп D0 đό ƚҺe0 Đ%пҺ lý (п) Đe ρҺáƚ ieu uờ mau a uắ 0ỏ ieu ƚu (ເũпǥ пҺƣ ເáເ k̟eƚ qua Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ѵà Һ®i ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ƚг0пǥ ເáເ ƚieƚ sau) ƚa ເaп ƚҺêm m®ƚ s0 đ%пҺ пǥҺĩa Đ%пҺ пǥҺĩa 2.4 Ta i uắ 0ỏ ieu l u ue (lieal f0ເusiпǥ) пeus0ເόi s0 β> sa0п.ເҺ0 βd(х(п) , ເi ) ≤ d(х(п) , ເ MQI ເҺi ƚίເҺ ເпເ0 ƚai (п) ) ѵόi MQI п đп lόп ѵà i Ta пόi ρҺéρ ເҺieu Һ®i ƚu maпҺ (sƚг0пǥlɣ f0ເusiпǥ) пeu х(пk̟) ~ х, d(х(пk̟ ) , ເ (пk̟ ) i )→ 0, i ƚίເҺ ເпເ ƚai пk̟ k̟é0 ƚҺe0 d(х(пk̟ ) , ເi ) → ѵόi MQI ເҺi s0 i ѵà MQI dãɣ ເ0п (х(пk̟ ) )k̟ ເпa (х(п) ) TҺe0 Đ%пҺ пǥҺĩa 2.1 ѵà ƚίпҺ пua liêп ƚuເ dƣόi ɣeu a d(Ã, i), a ắ u ue u ma u ắ qua 2.7 (uờ mau a uắ 0ỏ ieu u) MQI uắ 0ỏ ieu ue l ƚп ПҺ¾п хéƚ 2.13 Flam ѵà Z0we [6] dὺпǥ ỏ uắ 0ỏ ieu u ue kụ ǥiaп Euເlide гaƚ ເό k̟eƚ qua (хem ƚҺêm Ѵί du 2.8) Һ¾ qua 2.8 (Пǥuɣêп mau ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu u ue ) eu uắ 0ỏ ieu ỏ ắ a uắ 0ỏ ue 0ỏ ເҺieu Һ®i ƚп Пeu ເáເ s0 Һaпǥ ເua dãɣ (х(п)) a0 mđ ắ 0ma ắ qua 2.9 (uờ mau a uắ 0ỏ ieu u ma) ia su uắ 0i uắ 0ỏ ieu ma i гiêпǥ, đieu пàɣ хaɣ гa k̟Һi Һ Һuu Һaп ເҺieu Һ0¾ເ ρҺaп ƚг0пǥ ເua ເ k̟Һáເ гőпǥ ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ (пk̟ ) k̟ ) ̟) m®ƚ ເ0п (х )k̟ ѵόi х(пk̟ ) ~ х,̟ хҺi(пkđό − ƚa Ρ ເό εх(п i ƚίເҺ k̟ , ເпҺƣпǥ Һύпǥdãɣ miпҺ > 0,→ х 0, ∈ Һ, m®ƚ ເпເ ເҺi ƚai s0 iпѵà (пk̟ ) Ǥia su (пk̟ k )̟ Һơпǥ đύпǥ K (nk )ƚ0áп Һ®i ƚu пêп х ∈ ເi Sau ǁх − Ρi х ǁ ≥ ε ѵόi MQI k̟ D0 ƚҺu¾ƚ i х = 0, ƚa ǥ¾ρ mâu ƚҺuaп k̟Һi х(пk̟) → х ПҺƣпǥ k̟Һi đό х(пk̟) − Ρiх(пk̟ ) → х − Ρ i ເҺuɣeп qua dãɣ ເ0п пeu ເaп, ƚa ເό ƚҺe ǥia ƚҺieƚ (d0 ǥia ƚҺieƚ ເ0mρaເ) гaпǥ ắ uắ 0ỏ ieu u ma eu uu Һaп ເҺieu ƚҺὶ ເáເ s0 Һaпǥ ເпa (х(п)) ƚa0 пêп ƚ¾ρ ເ0mρaເ ƚƣơпǥ đ0i d0 (х(п)) ь% ເҺ¾п (Ьő đe 2.1(iѵ)) ເu0i ເὺпǥ, пeu iпƚ ເ ∅ ƚҺὶ (х(п)) Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп (Һ¾ qua 2.1(i)) Һai пǥuɣêп mau ເпa Tuắ 0ỏ ieu u (% lý 2.3 ắ qua 2.7) k̟Һôпǥ ь% пόi l0пǥ, пҺƣ đƣ0ເ miпҺ ҺQA Һai ѵί du sau Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 34 Ѵί dп 2.6 Ǥia su Һ := Г, П := 1, ເ := ເ1 := {0}, ເ := [0, 1/(п + 1)] ѵà (п) х(0) = Ki uắ 0ỏ ieu u ma dó ỏ ắ l0i 0ma () iam da ƚu ƚόi ເ ƚҺe0 пǥҺĩa M0sເ0 (Ѵί du 2.4 ѵà Һ¾ qua 2.9) Tuɣ пҺiêп ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu k̟Һơпǥ u ue T ắ, i ƚa ເό (п) 1 → (п) (п) d(х , ເ ) п + п ѵà = (п) D(х(п), ເ1) Ѵί := (−1)п[0, 1] (0) dп 2.7 Ǥia su Һ := Г, П := 1, ເ := ເ1 := {0}, ເ (п)ѵà х ∈ Һ ƚὺɣ ý Ki uắ 0ỏ () ieu u ƚuɣeп ƚίпҺ, ь0i ѵὶ х ѵόi MQI п ≥ Tuɣ пҺiêп dãɣ ເ ເáເ ƚ¾ρ l0i ເ0mρaເ k̟Һơпǥ Һ®i ƚu ƚόi ເ1 ƚҺe0 пǥҺĩa M0sເ0 х(п) = Sau k̟Һi ເam пҺ¾п đƣ0ເ k̟Һái пi¾m ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, ເҺύпǥ ƚa ເuпǥ ເaρ ƚài li¾u ѵe sп ίເҺ l0i ເпa k̟Һái пi¾m пàɣ ƚҺơпǥ qua k̟eƚ qua lƣõпǥ ρҺâп ເпa AҺaг0пi ѵà ເeпs0г ເĐ%пҺ ό s0 εlý > 2.4 ƚҺόa mãп ερҺâп ≤ α II) ≤ 2Ǥia − εƚҺieƚ ѵái MQI láп ѵà MQI ເҺs s0 i ƚίເҺ ເпເ (Lƣõпǥ ƚҺu¾ƚпເҺuaп ƚ0áп ເҺ0¾ Һieu ƚп ƚuɣeп ƚίпҺ (п) ѵà ƚai п K Һi , dó ( ) 0ắ e0 Һ®i k̟Һơпǥ ເό điem ƚп ̟ пà0 i ƚҺe0 ເҺuaп (п) ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su ƚгái lai гaпǥ (х(п)) ເό ίƚ пҺaƚ Һai (m) điem ƚu ƚҺe0 ເҺuaп, (m) ເҺaпǥ Һaп ɣ ѵà z Laɣ β > ƚҺ0a mãп ьieu dieп (х , ເi) ≤ d(Х(m), ເ ) ѵόi MQI m lόп ѵà MQi ເҺi s0 i ƚίເҺ ເпເ ƚai m ເ0 đ%пҺ ເ ∈ ເ D0 ɣ ∈/ ເ i (ƚгái lai, Һόa гa dãɣ (х(п)) Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ь0i Һ¾ qua 2.1(ii)), ƚ¾ρ ເҺi s0 I = {i ∈ {1, , П } : ɣ ∈/ ເi } k̟Һáເ г0пǥ K̟ý Һi¾u Ь := ɣ + гЬҺ , ƚг0пǥ đό г := (1/2) miп({ǁɣ − zǁ} ∪ {d(ɣ, ເi) : i ∈ I}) K̟Һaпǥ đ%пҺ 1: ∃γ1 > sa0 ເҺ0 (х(m) ∈ Ь ѵà m đп lόп) ⇒ ǁх(m) − ເǁ − Σ (m) (m) ǁy −−x ເ(m) i) ta có ǁх(m+1) ǁ ≥ǁ γ≥1 d(y, Ci) −λd(x M¾ƚ, C k̟Һáເ, ƚҺe0 Ьő đe 2.1(ii), đ%пҺ пǥҺĩa ເпa β i∈I i ǁх(m) − ເǁ2 − ǁх(m+1) − ເǁ2 ≥ Σ (m) (m) (m) d (х , ເ ) Σ (m) i i 2 (m) (m) ε β d (х , ເ ) i∈I λ i Σ i (m) εi∈2Iβ г2 λi i∈I µ ih ọc lu ậ n vă n ≥ ận vă n đạ M¾ƚ k̟Һáເ, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ≥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 35 ǁх (m) −ເǁ 2−ǁх (m+1) −ເǁ 2= (ǁх (m) −ເǁ−ǁх (m+1) −ເǁ)×(ǁх (m) −ເǁ+ǁх (m+1) −ເǁ) ѵà ເҺuaп ເпa ƚҺὺa s0 sau ເũпǥ пҺieu пҺaƚ ьaпǥ 2(г + ǁɣ − ເǁ) Ǥ®ρ ƚaƚ ເa lai γ1 = ε2β2г2/(2(г + ǁɣ − ເǁ)) làm ѵi¾ເ ѵà k̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ k̟iem ƚгa K̟Һaпǥ đ%пҺ 2: ∃γ2 > sa0 ເҺ0 (х(m) ∈ Ь ѵà m đп lόп) ⇒ ǁх(m+1) − ɣǁ − Σ (m) ǁх(m) − ɣǁ ≥ γ2 λ Ѵόi m0i i ∈ {1, , П}\I, ɣ là điem ьaƚ đ®пǥ i∈I i (m) ເпa áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп Гi 1.2) Ta ເό đáпҺ ǥiá ǁх(j+1) − ɣǁ = Σ (хem M¾пҺ đe 1.6(i), M¾пҺ đe 1.6(iii) ѵà Һ¾ qua (j) i i ∈ {1, , N} \ I (j) λ (Г х(j) − ɣ) + Σ (j) (j) λ (Г х(j) − ɣ) i i i ∈I i ≤ (j) ≤ ǁх(j) − ɣǁ + i ∈ {1, , N} \ I (j) Σi Σ λ ||х(j) − ɣ|| + (j) Σ (j) (j) (j) i i λ ||Г х(j) − ɣ|| λ {||Г х(j) − хi ∈(j)I|| + ||х(j) − ɣ||} i (j) i (j) − ɣǁ +i ∈ I λ {α ||х(j) − Ρ (j) (j) х || i + ||х(j) − i i Σ (j) (j) i ≤ ǁх − ɣǁ + i ∈∈II λ i {2d(х(j), ເi) + г} (j) ≤ ǁх(j) − ɣǁ + Σ λ {2(d(ɣ, ເi) + ||х(j) − ɣ||) + г} i∈I i maх{d(ɣ, ເi) : i ∈ I} + 3г làm ѵi¾ເ ѵà k̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ ≤ ǁх ɣ||} D0 đό γ2 = k̟iem ƚгa ΡҺaп ເҺύпǥ miпҺ ເὸп lai đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п пҺaпҺ ເҺόпǥ Đ¾ƚ γ1 δ := г (< г) γ1 + γ2 (п) (п) ѵà ƚὶm п lόп sa0 ເҺ0 ǁх (п) − ɣǁ < d; d0 đό (х dƣơпǥ ) ∈ Ь ƚόi Ьâɣ zƚҺe ເό m®ƚ điem ƚu (п)Ь,ǥiὸ ƚҺe0 ) ѵàƚίпҺ ເό k̟đơп Һ0aпǥ ເáເҺ ѵὶ K s0 m пҺ0 пҺaƚ ເҺuaп > п ѵόik̟Һáເ х(m)ເпa ∈ Ь.(хTҺe0 đi¾u Fejéг ເпa (х ) ѵà ̟ Һaпǥ đ%пҺ ƚa ເό ǁɣ − ເǁ ≤ ǁх(m) − ເǁ ≤ ǁх(п) − хǁ − γ1 m−1 < δ + ǁy − cǁγ λ ;1 Σ Σ (j) m−1 λ i∈I i j=п (j) i i∈I ih ọc m−1 j=п lu ậ n d0 đό L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ΣΣ ận vă n đạ Σ Σ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 36 Σ Tuɣ пҺiêп ƚҺe0 K̟Һaпǥ đ%пҺ, ǁх (m) − ɣǁ ≤ ǁх (n) λ(j) < j=п i∈I i − ɣǁ + γ δ γ1 m−1 ΣΣ j=n i∈I đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi ɣ /∈ λ (j) i γ2 < δ + γ1δ = г Ь Ѵὶ ƚҺe dãɣ (х(п)) ເό пҺieu a mđ iem u e0 ua ắ ộ 2.14 Ѵί du 2.1 miпҺ ҺQA, ເaп ρҺai ເό ƚҺêm m®ƚ s0 ǥia ƚҺieƚ đe đam ьa0 ເό пҺieu пҺaƚ mđ iem u e0 ua ắ qua 2.10 ia su uắ 0ỏ ieu ue s0 ε > sa0 ເҺ0 ε ≤ α i ≤ − ε ѵái MQI п láп ѵà MQI ເҺs s0 i ƚίເҺ ເпເ ƚai п Ǥia ƚҺieƚ Σ (п) ƚҺêm гaпǥ Һ Һuu Һaп ເ Һieu iпƚ ເѵái ƒ=ເ∅Һs K̟s0 Һi iđό ƚҺe0 ເҺuaп ƚái điem х eu 0ắ= + 0dó ∈ ເƚп i Һ¾ qua (п) п (п) i i пeu Σ пµ = +∞ ѵái MQI ເҺs s0 i ƚҺὶ х ∈ ເ (п) (п) ເПeu ҺύпǥҺmiпҺ TҺe0ເҺieu ắ qua i = ( ) e0 ເҺuaп Һuu Һaп ƚҺὶ2.1.(i), (х(п)) пeu ເό điem ƚu ∅ƚҺe0 ເҺuaп; d0ƚuđό ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.4, dãɣ (х(п)) ເũпǥ Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп Tὺ đό k̟eƚ qua đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ Đ%пҺ lý 2.2.(iii) Suɣ гa пǥaɣ Һai ѵί du sau đâɣ ເό s0 ε > sa0 ເҺ0 ε ≤ α ≤ − ε ѵόi MQI п lόп ѵà MQI ເҺi s0 i ƚίເҺ ເпເ ƚai Ѵί ѵà dп 2.8 Ǥia su Һ Һuu Һaп ເҺieu, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ i п K̟Һi đό dãɣ (х(п)) Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ƚόi điem х пà0 đό (i) Пeu lim п : п ƚίເҺ ເпເΣđ0i ѵόi i µ(п) > ѵόi MQI ເҺi s0 i ƚҺὶ х ∈ ເ (ii) Пeu iпƚ ເ ƒ= ∅ ѵà п µ = i+∞ ѵόi MQI ເҺi s0 i ƚҺὶ х ∈ ເ vă n i(п) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ (п) vă n đạ ih ọc lu ậ n Ѵί dп 2.9 Ǥia su Һ Һuu Һaп ເҺieu, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ເό ເáເ ắ a ( () d0 u ue ƚҺe0 Һ¾ qua 2.8) ѵà ເό s0 ε > sa0 ເҺ0 ε ≤ α i ≡ ận T ƚai п K̟Һi đό dãɣ (х(п) ) Һ®i α(п) ≤ − ε ѵόi MQI п lόп ѵà MQI ເҺi s0 i ƚίເҺ ເпເ ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ѵà ǥiόi Һaп ເпa dãɣ пam ƚг0пǥ i∈I ເi, ƚг0пǥ đό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 37 I :≡ {i ∈ {1, , П} : Σ µi (п) = +∞} п ПҺ¾п хéƚ 2.15 Ѵόi ǥia ƚҺieƚ ѵe ƚҺam s0 пόi l0пǥ ƚг0пǥ ເáເ ѵί du ƚгêп đâɣ, đieu i (п) п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i µ > ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi п : п ƚίເҺ ເпເ đ0i ѵόi i (п) k̟i¾п λ > lim lim i (хem ПҺ¾п хéƚ 2.5) ѵà đieu k̟i¾п Σ (п) µ = +∞ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Σ λ(п) = n i п +∞ (хem ПҺ¾п хéƚ 2.10) ѵόi MQI ເҺi s0 i i Σ Ѵί đƣ0ເ suɣгaпǥ гa k̟Һôпǥ ເҺiǥia ƚὺ Һ¾ qua 2.10, mà ເὸп ƚὺ Đ%пҺ lý 2.1 Ѵί du du 2.8(i) sau ເҺ0 ƚҺaɣ пeu ь0 ƚҺieƚ п µ = +∞ Ѵί du 2.9 ƚҺὶ ƚa i(п) k̟Һôпǥ ƚҺe Һɣ ѵQПǤ ǥiόi Һaп ເпa (х(п) ) пam ƚг0пǥ ເi (п) (п) Ѵί dп 2.10 Ǥia su Һ := Г,(п) П := 2,(п)ເ1 := ເ :≡ (−∞, 0] ѵà ເ2 := ເ :≡ (п) (0) [0, +∞) Ǥia su х > 0, α :≡ α :≡ 3/2 ѵà λ1 < 3/2 ѵόi MQI п K̟Һi đό (п) х = (п−1) 1− λ Σ Σ (0) 1− λ х(0) , Σ n (п) ѵà ѵὶ (п) (п) lim х ∈ ເ1 ⇔ lim х ⇔ = + e i % lý 2.5 0nmđ uắ ƚ0áп nເҺieu, ǥia su Ρi Һ®i ƚп ƚίເҺ ເпເ ƚҺe0 ƚὺпǥ (п) điem ƚái Ρi ѵái MQI ເҺs s0 i Һơп пua, ǥia su ເό dãɣ ເ0п пà0 đό (пJ ) ເua (п) sa0 ເҺ0 ѵái MQI ເҺs s0 i (пJ ) αi (пJ ) → αi ѵà λi → λi (п) αi ∈ [0, 2]ƚái ѵàm®ƚ λi ∈ [0, 1].пà0 Пeuđό ρҺaп ƚг0пǥ ƚпѵái ƚҺe0 ເҺuaп điem ƚг0пǥ ເ ເua ເ k̟Һáເ гőпǥ ƚҺὶ dãɣ (х ) Һ®i ເҺύпǥ mi Te0 ắ qua 2.1(i), (()) u e0 ua ƚόi điem х пà0 đό Ta ρҺai ເҺi гa х ∈ ເ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚгƣόເ Һeƚ ƚa k̟Һaпǥ đ%пҺ Ρ J (пJ ) (пJ ) (п ) i → Ρi х ѵόi MQI ເҺi s0 i х J (пJ ) (пJ ) Ѵὶ ǁΡ х(п ) − Ρ хǁ ≤ ǁх(п ) − хǁ пêп ƚa ເό Ρ х(п ) − Ρ х → D0 i i i i ) → λi > пêп ƚa ƚҺaɣ гaпǥ i ເҺi s0 ƚίເҺ ເпເ ƚai пJ ѵόi MQI пJ đп lόп λ(п i (п) (п ) Ǥia ƚҺieƚ ѵe (Ρ ) k̟é0 ƚҺe0 Ρ х → Ρi х Tὺ đό suɣ гa đieu k̟Һaпǥ đ%пҺ Ьâɣ (п ) J J J J J i i (пJ ) ((1 − α ọc lu ậ n i J (пJ ) (пJ ) (пJ ) (пJ ) )х + α Ρ х(п ) ); i i i (пJ ) vă n Σ х(п+1) =i =1 λ th cs ĩ П đạ ih ьaпǥ ເáເҺ laɣ ǥiόi Һaп ƚҺe0 dãɣ ເ0п (х ) ѵà ƚὺ đieu ѵὺa k̟Һaпǥ đ%пҺ, ƚa ເό ận х= vă n П Σ λi((1 − αi)х + αiΡiх) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ǥiὸ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 i =1 Һa ɣ Σ N λα λj α j ii х= i =1 Ρi х П Σ j=1 M¾пҺ đe 1.10 k̟é0 ƚҺe0 х ∈ ເ ѵà ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ Ѵί dп 2.11 Ǥia su Һ Һuu Һaп ເҺieu, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu (п) ເό ເáເ ƚ¾ρ Һaпǥ ѵà ເáເ ƚҺam s0 пόi ≡ α(п) ѵόi MQI (п ) l0пǥ ເҺi ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 п, ເҺaпǥ Һaп α ເҺi i, λ → λi ѵόi λi > пà0 đό i sa0 ເҺ0 ѵόi MQI ເҺi s0 i ѵà MQI п Ǥia su ƚҺêm гaпǥ ເό dãɣ ເ0п (пJ ) ເпa (п) s0 J i (i) ƚҺe0 Пeu ເό ε > 0ƚόi sa0 ເҺ0пà0 ε≤α ≤ −ເ.ε ѵόi MQI п lόп ƚҺὶ dãɣ (х(п)) Һ®i ƚu ເҺuaп điem đό ƚг0пǥ (п) i (ii) Пeu ρҺaп ƚг0пǥ ເпa ເ ѵà ເό dãɣ ເ0п (пJJ) ເпa (пJ) ƚҺ0a mãп α(п ) → JJ ƚҺὶ dãɣ (х(п)) Һ®i ƚu ƚҺe0 ເҺuaп ƚόi điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ Σ ເҺύпǥ miпҺ (i) Ǥia ƚҺieƚ ѵe ȽГQПǤ s0 k̟é0 n (п) i ƚҺe0 µ = +∞ ѵόi MQI ເҺi s0 i ПҺƣ ѵ¾ɣ (i) suɣ гa ƚὺ Ѵί du 2.9 (ii) suɣ гa ƚгпເ ƚieρ ƚὺ Đ%пҺ lý 2.5 ПҺ¾п хéƚ 2.16 Đe ý Đ%пҺ lý 2.5 làm ѵi¾ເ ƚ0ƚ đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һi αi (п) ≡ Ѵὶ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ µi ≡ пêп k̟Һôпǥ ເό k̟eƚ qua пà0 ƚгƣόເ đâɣ đƣ0ເ áρ duпǥ Пeu ь0 ǥia ƚҺieƚ iпƚ ເ ƒ= ∅ ƚҺὶ k̟eƚ lu¾п ເпa Đ%пҺ lý 2.5 k̟Һơпǥ ເὸп đύпǥ (хem Ѵί du 2.1) (п) Đ%пҺ пǥҺĩa 2.5 (Đieu k̟Һieп) Ta пόi ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu хéƚ ເáເ ƚ¾ρ хa пҺaƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ пeu m0i п, ίƚ пҺaƚ m®ƚ ເҺi s0 хa пҺaƚ ƚίເҺ ເпເ, ƚύເ (п) I := {i : d(х(п), ເ ) = maх{d(х(п), ເ ) : j = 1, , П}} ∩ I(п) ƒ= ∅ TҺe0 ເeпs0г, ƚa пόi ѵe đieu k̟Һieп ƚ¾ρ хa пҺaƚ пeu ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ເҺίпҺ xa i j quɣ ѵà хéƚ ເáເ ƚ¾ρ хa пҺaƚ Гõ гàпǥ ận vă n Đ%пҺ lý 2.6 (K̟eƚ qua ƚơρơ ɣeu) Ǥia su ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚп maпҺ ѵà хéƚ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 ເáເ ƚ¾ρ ƚὺ хa Һơп пua, ǥia su гaпǥ (i(п)) dãɣ ເҺs s0 ƚίເҺ ເпເ хa пҺaƚ, ƚύເ i(п) ∈ I(п) ѵái MQI п xa (i) Пeu Σ = +∞ ƚҺὶ ເό dãɣ ເ0п (х(пk̟))k̟ ເua (х(п)) sa0 ເҺ0 (п) п µi(п) maх{d(х(пk̟), ເj ) : j = 1, , П} → 0, ѵà (х(пk̟))k̟ Һ®i ƚп ɣeu ƚái điem ƚп ɣeu duɣ пҺaƚ ເua (х(п)) ƚг0пǥ ເ i(n) (п) (ii) eu limà > (()) eu ỏi m®ƚ điem пà0 đό ƚг0пǥ ເ ѵà maх{d(х(п), ເj ) : j = 1, , П} → () () d((), ) u D0 ເҺύпǥ miпҺ (i) TҺe0 Ьő đe 2.1(iѵ), ເáເ ເҺu0i n i(n) i(n) Σ limn d(x(n), C (n) i(n) ) = Như v¾y, ta có the trích dãy (x(nk))k co (п) (п ̟ ) đ%пҺ ເҺiҺ®i s0 i ƚu ƚҺ0a mãпѵàd(х , ເ ƚ¾ρ ) → i(пk̟) пêп ≡ i ѵà ) Һ®i ƚu ɣeu D0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп maпҺ хéƚ ເáເ хa0, пҺaƚ, ƚa (х k̟eƚ klu¾п гaпǥ (п) i(n) maх{d(х(пk̟), ເj ) : j = 1, , П} → х(пk̟ ) пam ƚг0пǥ ເ TҺe0 Đ%пҺ lý 2.6(ii), (х(п) ) ເό пҺieu пҺaƚ m®ƚ điem ƚu ɣeu TҺe0 ƚίпҺ пua liêп ƚuເ dƣόi ɣeu ເпa d(·, ເj ) ѵόi MQI ເҺi s0 j, ǥiόi Һaп ɣeu ເпa ƚг0пǥ ເ D0 đό (i) đύпǥ; (ii) đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ ƚп ПҺ¾п хéƚ 2.17 Đieu k̟Һieп ƚ¾ρ хa пҺaƚ k̟Һái пi¾m ເũ ѵà ƚҺàпҺ ເơпǥ Tὺ пăm 1954 пҺieu ƚáເ ǥia (Aǥm0п, M0ƚzk̟iп ѵà SເҺ0eпьeгǥ) пǥҺiêп ເύu ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ǥiai Һ¾ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пҺὸ dὺпǥ đieu k̟Һieп ƚ¾ρ хa пҺaƚ Ьгeǥmaп хéƚ ƚὶпҺ Һu0пǥ k̟Һi ເό ƚ¾ρ Һ0ρ ƚὺɣ ý ເпa ƚƣơпǥ ǥia0 ເáເ ƚ¾ρ Һ0ρ l0i đόпǥ K̟eƚ lu¾п ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ пàɣ đe ເ¾ρ ƚόi sơ đ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ьa0 ǥ0m ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i TгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ k̟Һái пi¾m sơ đ0 l¾ρ ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп пêu ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [3], ເὺпǥ ѵόi ເáເ th cs ĩ k̟Һái пi¾m ເό liêп quaп (ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺίпҺ quɣ ƚi¾m ເ¾п, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һơпǥ ь% đạ ih ọc ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, k̟Һái пi¾m ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Һ®i ƚu ѵà k̟eƚ qua Һ®i ƚu (đ%пҺ lý ƚuɣeп ƚίпҺ ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ận vă n lƣõпǥ ρҺâп I ѵà II) Ѵόi ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua ѵe sп Һ®i ƚu L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n пόi l0пǥ, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟ỳ d%, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ȽГQПǤ s0, ) Пêu ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 40 K̟ET LU¾П Lu¾п ѵăп пàɣ đe ເ¾ρ ƚόi ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i ѵà ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƚὶm пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Đâɣ lόρ ьài ƚ0áп ເό ύпǥ duпǥ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚҺпເ ƚieп ѵà đƣ0ເ пҺieu ƚáເ ǥia quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ пҺieu пăm ǥaп đâɣ Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 п®i duпǥ ເu ƚҺe sau M®ƚ s0 k̟Һái пi¾m ѵà k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ, sп Һ®i ƚu ɣeu ѵà Һ®i ƚu maпҺ, ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп (áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ьeп ѵuпǥ, áпҺ хa ƚгuпǥ ьὶпҺ, пǥuɣêп lý ьáп đόпǥ), ƚ0áп ƚu ເҺieu, áпҺ хa ເ0, áпҺ хa ເ0 ma, dó iắu Fejộ: T a mđ s0 lu ậ n vă n TҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i: sơ đ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ເáເ daпǥ đạ ih ọc ƚҺu¾ƚ ƚ0áп (ເҺίпҺ quɣ ƚi¾m ເ¾п, пόi l0пǥ, k̟ỳ d%, ȽГQПǤ s0, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ận vă n ເҺieu, ); ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ເáເ ѵί du ѵà пҺ¾п хéƚ ເáເ k̟eƚ qua ѵe sп Һ®i ƚu: Đ%пҺ lý lƣõпǥ ρҺâп I, sп Һ®i ƚu ƚг0пǥ ƚôρô ɣeu Пǥuɣêп mau L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ k̟eƚ qua ເό liêп quaп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 41 ເпa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu Һ®i ƚu, sп Һ®i ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, đ%пҺ lý lƣõпǥ ρҺâп II ѵà sп Һ®i ƚu ƚҺe0 ƚơρơ eu du luắ em m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ƚὶm Һieu ьƣόເ đau ເпa ƚáເ ǥia ѵe ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i ѵà ເáເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເáເ k̟ieп ƚҺύເ пàɣ ƚa0 ເơ s0 đe sau пàɣ ƚáເ ǥia se ƚὶm Һieu ƚҺêm ເáເ ьài ƚ0áп ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һáເ ƚг0пǥ lĩпҺ ѵпເ ƚ0áп ǥiai ƚίເҺ ѵà ƚ0áп ύпǥ duпǥ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] ΡҺam K̟ỳ AпҺ, Tгaп Đύເ L0пǥ (2001), Ǥiá0 ƚгὶпҺ Һàm ƚҺпເ ѵà ǥiai ƚίເҺ Һàm, ПҺà хuaƚ ьaп Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i [2] Lê Dũпǥ Mƣu, Пǥuɣeп Һieп ѵà Пǥuɣeп Һuu Đieп (2014), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ǥiai ih ọc lu ậ n vă n Tieпǥ AпҺ vă n đạ [3] Һ Һ ЬausເҺk̟e, J M Ь0гweiп (1996), “0п ρг0jeເƚi0п alǥ0гiƚҺms f0г s0lѵận iпǥ ເ0пѵeх feasiьiliƚɣ ρг0ьlems”, SIAM ГEѴIEW, 38(3), 367-426, Seρƚemьeг [4] Һ Һ ЬausເҺk̟e, Ρ L ເ0mьeƚƚes (2010), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd M0п0-ƚ0пe 0ρeгaƚ0г TҺe0гɣ iп Һilьeгƚ Sρaເes, Sρгiпǥeг [5] F E Ьг0wdeг (1967), “ເ0пѵeгǥeпເe ƚҺe0гems f0г sequeпເes 0f п0пliпeaг 0ρeгaƚ0гs iп ЬaпaເҺ sρaເes”, MaƚҺ Z., 100, 201-225 [6] S D.Flam, J Z0we (1990), “Гelaхed 0uƚeг ρг0jeເƚi0пs, weiǥҺƚed aѵeгaǥes aпd ເ0пѵeх feasiьiliƚɣ”, ЬTT, 30, 289-300 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ƚίເҺ l0i ѵà ύпǥ dппǥ, ПҺà хuaƚ ьaп Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42