(Luận văn) thực trạng năng lực cạnh tranh điểm đến du lịch núi bà đen, tỉnh tây ninh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang lu an n va gh tn to p ie XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR d oa nl w lu oi lm ul nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang lu an n va gh tn to p ie XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR nl w d oa Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số ul nf va an lu Mã số: 8460104 oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z @ l gm NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: m co TS TRẦN HUYÊN an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng chúng tơi, nội dung nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác HỌC VIÊN lu PHAN LÊ THANH QUANG an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU §2 HÀM TỬ TENXO 14 §3 PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 24 lu §1 MODUN ĐỐI NGẪU 24 an §2 XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 31 n va tn to §3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH 46 KẾT LUẬN 55 gh p ie TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI NĨI ĐẦU Đồng điều cơng cụ dùng để đo mức độ không khớp dãy nửa khớp Các hàm tử Hom Tenxo hàm tử nửa khớp Để đo mức độ không khớp hàm tử so với hàm tử khớp, người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tương ứng Tor (hàm tử xoắn ) Ext (hàm tử mở rộng ) Các hàm tử ngày trở thành công cụ trụ cột nhiều lĩnh vực nghiên cứu Hình học, Topo, lu an Đại số, Lý thuyết số… va n Qua trình nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tiếp cận với tn to phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh Câu hỏi đặt đây: ie gh Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor nói trên, hàm tử Tor cịn xây dựng p phương pháp khác khơng? Điều dẫn đến lý khiến thực nl w đề tài d oa Đề tài thực nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor an lu trực tiếp Sau trình xây dựng, chứng minh hàm tử Tor xây va dựng trực tiếp hàm tử Tor xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh oi lm ul nf tương đương đồng luân với Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày z at nh chương: Chương 1: Trình bày kiến thức phức, đồng điều, hàm tử tenxo z gm @ phép giải xạ ảnh Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh l Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor phân hoạch ba, trình bày định lý tương đương hai cách xây dựng m co số tính chất định lý liên quan Cuối cùng, chương này, ta trình bày an Lu n va ac th si Luận văn trình bày hướng dẫn khoa học TS Trần Huyên, người thầy hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Hun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giảng viên giảng dạy, bảo suốt trình nghiên cứu, đặt móng kiến thức vơ q báu với tơi Tơi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, thầy cô cơng tác phịng sau đại học lu an trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho suốt n va trình học tập hồn thành luận văn p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1 Phức Cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1: Phức (phức lùi) dãy modun đồng cấu modun đánh lu số lùi theo tập số số nguyên có dạng: an n va K : n , tức Im  n1  Ker n n (1) n Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (1) viết gh tn to thỏa  n  n1   n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  p ie đơn giản: w K : n , tức Im   Ker n n d oa nl       K n 1   K n   K n 1   lu va an Định nghĩa 1.1.2: nf Phức (phức tiến ) dãy modun đồng cấu modun K :  n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  z at nh thỏa  n1 n  oi lm ul đánh số tiến theo tập số số nguyên có dạng: n , tức Im  n  Ker n1 n (2) n z Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (2) viết n , tức Im   Ker n n m co       K n 1   K n   K n 1   l K : gm @ đơn giản an Lu n va ac th si Như phức đồng cấu dãy nửa khớp đánh số theo tập số nguyên Nếu phức có chiều tăng số chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức tiến Ngược lại, phức có chiều tăng số ngược chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức lùi Ta chuyển phức tiến thành phức lùi ngược lại cách đặt lại số n '  n lu Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau: an K :  n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  n va n Bằng cách đặt Kn  L n  n   ' n , ta dãy phức lùi: to   n1  n   n1  L n1   L n  L n1   ' ' ' n p ie gh tn  L : Trong luận văn này, tập trung vào phức lùi Vì thế, nói d oa nl w phức K hay phức K   K n ,  n  ta ngầm hiểu phức lùi lu an 1.2 Biến đổi dây chuyền oi lm Định nghĩa 1.2.1: ul nf va Cho hai phức K   K n ,  n  K '  K n' ,  'n  Khi đó, ta có định nghĩa Một biến đổi dây chuyền n : K n  K n'  thỏa mãn đẳng thức  'n f n  f n 1 n với số nguyên n Điều kiện z at nh f f : K  K ' họ đồng cấu z đồng nghĩa với biểu đồ sau giao hoán:   n1  K n' ' n   '  n1 K n 1  f n 1   n1 K n' 1  ' m co K n' 1 fn n   l f n 1   n1  Kn gm  K ' : K n 1 @  K  : Để đơn giản, thường lược bỏ phần số Tuy vậy, gặp hệ thức an Lu đồng cấu, ta phải ngầm hiểu đồng cấu với số n va ac th si Mệnh đề 1.2.2: Ta có số tính chất sau:  Tích đồng cấu biến đổi dây chuyền biến đổi dây chuyền  Đồng cấu đồng 1K  1K : Kn  Kn  biến đổi dây chuyền n 1.3 Phạm trù phức lu an Với phức biến đổi dây chuyền định nghĩa trên, ta định va nghĩa phạm trù phức sau n Định nghĩa :  Vật phức p ie gh tn to Phạm trù phức phạm trù mà đó:  Cấu xạ biến đổi dây chuyền d oa nl w  Phép hợp thành: phép hợp đồng cấu an lu 1.4 Đồng điều oi lm Ta đặt H n  K   ul Định nghĩa: nf va Cho phức K , ta định nghĩa Z n  K   ker  n  K n Bn  K   Im  n 1  Z n ( K ) Zn  K  Bn  K   Ker  n Im  n 1 z at nh Khi đó, ta gọi H n  K  modun đồng điều chiều n phức K Mỗi phần z tử H n  K  lớp tương đương có dạng x  x  Im  n 1 x  Ker n gm @ m co l Cho phức K  K n ,  n  , K '  K n' ,  'n  f : K  K ' biến đổi dây chuyền an Lu Xét sơ đồ sau : n va ac th si Theo định nghĩa biến đổi dây chuyền biểu đồ giao hốn Do đó, f n  Ker  n   Ker  'n f n  Im  n 1   Im  'n 1 Vì thế, f n cảm sinh đồng cấu với n  : f*  H n  f  : H n  K   H n  K '  lu an Với phần tử x  Im   H n  K  , ảnh chúng qua đồng cấu xác va n định sau f*  x  Im    H n  x  Im    f  x   Im  ' gh tn to Ta dễ dàng chứng minh đồng cấu cảm sinh f n có tính chất  H n 1K   1Hn  K   H n  gf   H n  g  H n  f p ie sau: d oa nl w  lu va an Như vậy, H n hàm tử hiệp biến từ phạm trù phức biến đổi nf dây chuyền đến phạm trù modun Mỗi phức K ứng với modun đồng điều oi lm ul H n  K  biến đổi dây chuyền f ứng với đồng cấu modun H n  f  Hàm tử ta gọi hàm tử đồng điều z at nh 1.5 Đồng luân dây chuyền z m co l gm @ Bây giờ, ta xét biến đổi dây chuyền f , g : K  K ' an Lu n va ac th si Tiếp theo ta xây dựng cấu trúc modun cho Torn  G, C  Để thực điều này, trước hết ta cần xác định phép nhân thỏa tiên đề R-modun trái, phải 2.5 Cấu trúc modun cho Torn  G, C  Mệnh đề 2.5.1: Nếu G T lu an k R song modun với phần tử k T ánh xạ G với k  g   kg , g  G trở thành R đồng cấu :G n va Chứng minh: tn to Ta dễ dàng kiểm tra tính đồng cấu ánh xạ Thật vậy, ta có: gh g1 , g  G :k  g1  g   k  g1  g   kg1  kg2  k  g1   k  g  p ie r  R, g  G :k  gr   k  gr    kg  r  k  g  r k xác định d oa R nl w Như vậy, ta chứng minh ánh xạ đồng cấu an lu Mệnh đề 2.5.2: oi lm xác định sau: ul nf va Cho G T R song modun C R modun trái Khi đó, Torn  G, C  trang bị cấu trúc T modun trái với phép nhân k  T , t    , L,   Torn  G , C   kt  k *  t   k  , L,  z at nh Mệnh đề ta tự kiểm tra thơng qua tiên đề modun trái z @ l gm Tương tự với xây dựng trên, C R S song modun C với  s  c   cs, c  C trở thành R đồng cấu s S , ánh xạ s : C m co Khi đó, tập Torn  G, C  trang bị cấu trúc S an Lu nhân sau: modun phải với phép n va ac th 42 si s  S , t    , L,   Torn  G, C   t.s   s*  t     , L,  s  Từ mệnh đề trên, ta có định lý: Định lý 2.5.3: Nếu G T R song modun C R đó, Torn  G, C  T S song modun S song modun Chứng minh: lu Nếu G T an R song modun Torn  G, C  T modun trái S song modun Torn  G, C  S modun phải theo mệnh đề va n Nếu C R Như vậy, ta cần chứng minh với phần tử k T , phần tử s S phần tử t    , L,   Torn  G , C  ta có: p ie gh tn to theo cách xây dựng oa nl w  kt  s  k  ts  d Thật vậy, ta có: lu oi lm ul 2.6 Hàm tử Torn nf va an  kt  s  k  , L,  s  k  , L,  s   k *   , L,  s   k *  ts   k  ts  Với  : G  G ',  : C  C ' đồng cấu R modun phải R modun z at nh trai Theo phần trước, , cảm sinh ánh xạ * , * Ta kiểm tra định nghĩa đồng cấu nhóm, ánh xạ cảm sinh đồng cấu nhóm Các đồng cấu nhóm cảm sinh , có tính chất thể mệnh đề sau: z modun phải , :C C ' đồng an Lu Với 1, : G G ' R cấu R modun trái đó: m co l gm @ Mệnh đề 2.6.1: n va ac th 43 si 1  2 *  1*  2*    *   1*   2* Chứng minh: t    , L,   Torn  G , C  Ta có: 1  2  *  t    1  2   , L,   1  2  , L,  lu Do phần tử Torn có tính cộng tính nên an n va 1  2  *  t   1 , L,   2  , L,   1*  t   2*  t  gh tn to Từ đó, suy 1   *  1*   2* Thực tương tự, ta chứng minh ie p    *   1*   2* w oa nl Định lý 2.6.2: d Torn hàm tử hiệp biến va an lu Chứng minh: modun trái vào phạm trù nhóm abel Thật vậy, ta đặt oi lm từ phạm trù R tương ứng ul nf Ta cố định biến thứ nhất, ta có Torn  G ,   hàm tử hiệp biến z at nh  Mỗi vật C phạm trù Mod tương ứng với vật Torn  G, C  tương ứng với cấu xạ  * : Torn  G, C   Torn  G , C ' z C' l gm @ phạm trù Ab  Mỗi cấu xạ : C R  HT1: Với vật C R m co Bây giờ, ta kiểm tra tiên đề hàm tử HT1 HT2: Mod , ta có 1C : C n an Lu 1C *  1Tor G,C  : Torn G, C   Torn G, C  C tương ứng với n va ac th 44 si  HT2: Với :A B :B C C :A Đồng thời   * : Torn  G, A   Torn  G, C    *  * * Như vậy, Torn  G ,   hàm tử hiệp biến lu Tương tự ta cố định biến thứ hai Torn  , C  hàm an tử hiệp biến từ phạm trù Mod R vào phạm trù nhóm abel Thật vậy, ta đặt tương ứng: n va trù Ab  Mỗi cấu xạ :G G' p ie gh tn to  Mỗi vật G phạm trù Mod R tương ứng với vật Torn  G, C  phạm tương ứng với cấu xạ * : Torn  G, C   Torn  G ', C  w oa nl Bây giờ, ta kiểm tra tiên đề hàm tử HT1 HT2: d  HT1: Với vật G ModR , ta có 1G : G an lu 1G *  1Tor G,C  : Torn G, C   Torn G, C  n : G1 G2 : G2 nf va  HT2: Với G tương ứng với G3 G3 Đồng thời :G1 z at nh   *  * * oi lm ul   * : Torn  G1 , A  Torn  G3 , C  z m co l gm @ Do đó, Torn hàm tử hiệp biến theo biến Hơn nữa, Torn hàm tử cộng tính theo hai biến an Lu n va ac th 45 si §3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH Ở mục trên, ta xây dựng hàm tử Torn cách trực tiếp nhờ phân hoạch ba Trong chương 1, ta xây dựng hàm tử Torn nhờ phép giải xạ ảnh Vậy câu hỏi đặt hai hàm tử Torn xây dựng hai có quan hệ với ? lu Trong phần này, ta trả lời câu hỏi thông qua việc chứng minh đinh an n va lý quan trọng : “ Hai hàm tử Torn xây dựng cách tương đương mđồng luân” Tồn đẳng cấu tự nhiên G  R C  Tor0  G , C  p ie gh tn to Định lý 3.1: Chứng minh: nl w g :R G R modun phải theo d oa Mỗi phần tử g G xác định ánh xạ :R R* C R modun trái theo đẳng thức  c 1  c Bộ ba , R , C  thuộc Tor0  G , C  cộng tính theo G , C tuyến tính Như vậy, g  g , R , C  đồng cấu nhóm abel từ G C vào Tor0  G , C  z at nh ánh xạ g  c oi lm ul  c nf xạ R Tương tự, phần tử c C xác định ánh va an lu đẳng thức  g  r   gr với r Đồng cấu đồng cấu tự nhiên biến phần tử  g  c G C i i z thỏa mãn đẳng thức   ei   gi v  ei   ci m co l Đồng thời , gm @ thành ba   , F ,  Trong đó, F modun tự với phần tử sinh ei an Lu n va ac th 46 si từ Tor0  G , C  vào G Bây giờ, ta xây dựng ánh xạ ngược C Mỗi phần tử Tor0  G , C  viết ba   , F ,  Trong đó, F modun tự hữu hạn sinh đồng cấu  : F G , : F  C * Do F modun tự hữu hạn sinh nên ta chọn sở F e1 , e2 , , em m xác định sở đối ngẫu e , e , , e F * Ta đặt:    , F ,      ei    ei   G  C lu m an i 1 n va F ' ei e j ' sở F F ' Khi đó, ta có: ie gh tn to Bây giờ, xét s : F p s  ei    e j ' rji j w d oa nl rji  ma trận phần tử thuộc vành hệ tử R Khi đó: an lu s*e ' j   rji ei nf va i oi lm ul ta có: z at nh      ' s , F ,      ' s  ei     ei       '  e j ' rji     ei  i i  j        ' e j '   rji ei       ', F ', s*  j  i  z không phụ thuộc vào việc chọn sở F Và ngược ánh xạ nên từ suy ánh xạ m co F ' xác định tốt Đồng thời, l F gm @ Như vậy, ta chứng minh an Lu n va ac th 47 si G  R C  Tor0  G , C  Ta kết thúc chứng minh Hệ : Cho L R modun phải xạ ảnh hữu hạn sinh Khi đó, tồn đẳng lu cấu tự nhiên  : HomR  L* , C   L R C xác định theo đẳng thức an     1L , L ,  Do đó, phần tử t  Tor0  L , C  có biểu diễn va n dạng 1L , L ,  Chứng minh: p ie gh tn to đồng cấu từ L* đến C đồng cấu tự nhiên Bây giờ, ta chứng minh Do tính chất cộng tính nên oa nl w đẳng cấu: d   Ta có: L R C  L** R C   Hom  L* , C   Tor0  L , C  an lu chứng minh ánh xạ đồng đẳng cấu, ta chứng minh đẳng cấu, cụ thể oi lm z at nh Nếu L đẳng cấu tự nhiên Như ul vậy, để chứng minh nf va Theo mệnh đề modun đối ngẫu, ta có R theo định nghĩa ánh xạ, tích ánh xạ đồng z Các hàm tử có tính chất cộng tính nên kết luận với L @ gm modun tự hữu hạn sinh m co l Với modun L xạ ảnh hữu hạn sinh L hạng tử trực tiếp modun tự hữu hạn sinh F Các ánh xạ , ánh xạ tự nhiên nên biến an Lu n va ac th 48 si hạng tự trực tiếp vào hạng tử trực tiếp Như vậy, kết luận với L xạ ảnh hữu hạn sinh Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2: Đối với phép giải :X G modun G R R modun trái lu an C tồn đồng cấu: n va  : TornR  G, C   H n  X  R C  , n  0,1, đồng cấu tự nhiên C Hơn nữa, gh tn to đó, G phép giải đẳng cấu tự nhiên G C p ie xạ ảnh :X Chứng minh: w d oa nl Với phần tử t  Torn  G , C  t    , L,  Ta có: nf va an lu :LG  : X G oi lm ul Theo định lý so sánh có biến đổi dây chuyền h: L z at nh Ta đặt: X z    , L,   cls  hn , Ln ,   H n  X  C  gm @ X n : L*n C nên: m co l Cách đặt hợp lý, hn : Ln  hn , Ln ,   Tor0  X n , C   X n  C an Lu n va ac th 49 si Hơn nữa, phần tử  hn , Ln ,  chu trình X C vì:   hn , Ln ,    hn , Ln ,    hn 1, Ln ,    hn 1 , Ln 1 ,*    hn 1 , Ln 1 ,   Lớp đồng điều chu trình phụ thuộc vào h ' : L  X biến đổi dây chuyền khác tồn đồng luân   , L,  s Nếu cho: lu hn '  hn  sn  sn1 an n va Khi đó, p ie gh tn to  hn ', Ln ,    hn , Ln ,     sn , Ln ,    s n1 , Ln ,    hn , Ln ,     s n , Ln ,    s n 1 , Ln 1 ,*    hn , Ln ,     s n , Ln ,  d bờ oa nl w Như vậy, chu trình  hn ', Ln ,  có nhờ  hn , Ln ,  cộng với phần tử lu nf va an Nếu t    ' s, L,  t '    ', L ', s*  s : L  L ' đó, phần tử X h ' s : L Tor0 Thật vậy, X đồng thời t t' oi lm ul Torn Nếu h ' : L ' z at nh t   hn' s, Ln ,    hn' , Ln ', s*   t ' z Tức chứng minh gm @ Bây giờ, ta chứng minh tính đồng cấu m co l   t1  t2   t1  t2 , t1 , t2  TornR  G, C  R Với t1 , t2  Torn  G , C  an Lu n va ac th 50 si t1   1 , L1 ,  , t2   2 , L2 ,  Khi đó, t1  t2     1  2  , L1  L2 ,      Do đó,   t1  t2       1  2  , L1  L2 ,         cls   hn1  hn2  , L1n  L2n ,      t1  t2 lu an đó, hi : Li X sinh biến đổi dây chuyền   h1  h2  : L1  L2  X va đồng cấu n Vậy ie gh tn to p Tính tự nhiên w nhiên A suy trực tiếp từ định nghĩa.Tính tự G suy từ nhận xét f : X G ' nhân :G X cho ta biến đổi dây chuyền fh : L X ' d oa nl với biến đổi dây chuyền h : L X' an lu va toàn cấu Tiếp theo, ta chứng minh nf  toàn cấu, ta cần với phần tử oi lm ul Để chứng minh y  H n  X n  C  tồn   , L,   Torn  G, C  cho    , L,   y phần tử i 1 i i nên y có dạng n  1 xi phần l gm i 1 m  x  c  Ker   @ y   xi  ci  Im   n 1  1 Hn  X n  C  z m y z at nh Vì m co tử sở X n ci  C Ta đặt X n ' modun sinh phần tử xi có an Lu n va ac th 51 si m tham gia  x  c  Ker   i 1 i i n  1 Khi đó, X n ' modun tự hữu hạn sinh X n đồng thời X n ' hạng tử trực tiếp X n Ta có: X n  X n ' X n '' với X n '' modun sinh phần tử lại sở X n không tham m gia  x  c  Ker   lu i 1 i i n  1 an n va Do đó, ta có : in : X n '  X n phép nhúng đồng thời dãy gh tn to  X n '  Xn  X n ''  p ie dãy khớp chẻ nên dãy nl w  X n ' C  X n  C  X n '' C  d oa dãy khớp chẻ in 1: X n ' C  X n  C phép nhúng an lu Ta có X n ' modun hữu hạn sinh nên   X n ' modun hữu hạn sinh nf va Ta đặt X n 1 ' modun tự hữu hạn sinh X n 1 đồng thời chứa   X n ' oi lm ul Tương tự trình ta xây dựng X n2 ' Tiếp tục xây dựng ta có dãy: z at nh n ' ' X n '   X n1 '   X '  G Trong  k ' đồng cấu thu hẹp  k X k ' nên  k 1 '  k '  z @ gm Như vậy, dãy phức G Các phép nhúng ik : X k '  X k cảm m co l sinh phép nhúng ik 1C : X k ' C  X k  C Do đó, i  biến đổi dây chuyền an Lu n va ac th 52 si từ phức X ' C vào phức X  C Như y  H n  X n ' C  chu trình m  x  c X i 1 i i n ' C Theo định lý trên, ta có X n ' C  Tor0  X n ', C  Theo hệ chu trình viết dạng 1, X n ',  1: X n '  X n '  : X n '  C Khi đó, ta chọn   G Đặt t   , L,   Torn  G , C  Suy ra, phức L : X n '   X ' L  lu   t   cls  in , X n ',   y an va n Vậy  toàn cấu p ie gh tn to Cuối cùng, ta chứng minh Giả sử , tức chu trình nl w t đơn cấu X A Do đó, X phức tự hữu hạn sinh X ' A với X ' d oa  hn , Ln ,  có bờ  hn , Ln ,  có bờ an lu X X sinh ul nf va Ta chọn X ' chứa h  L  Khi đó, biến đổi dây chuyền h : L X ' oi lm biến đổi dây chuyền h ' : L z at nh  hn ', Ln ,   1, X n' , hn'*  bờ dây chuyền  n  1 chiều X ' A Theo hệ định lý z @ 1, ta viết dây chuyền dạng 1, X n' 1 ,   Trong đó, gm : X n'* 1, X ' n m co l Khi đó: A , hn'*    1, X n' 1 ,    1, X n' , *  an Lu Do tính biểu diễn hệ định lý nên n va ac th 53 si  hn'*  * n 1 Giả sử n0 X ' phần từ X 0' đến X n' phức X ' đến X n' X ' phần từ X 1' phức X ' Khi đó, h ' : L 0n X '  :1n 1 X ' 0n X ' biến đổi dây chuyền Phần tử xuất phát t  Torn  G , A  trở thành: lu   , L,    ' h ', L,    ', 0n X ', h'*    ', 0n X ', *  an n va   ' , n11 X ',     0, n11 X ',    to gh tn Vậy t Do đó, đơn cấu nên đẳng cấu p ie Ta kết thúc chứng minh nl w oa Vậy ta chứng minh tồn đẳng cấu tự nhiên từ hàm tử d Torn  G, A  vào H n  X  A  với X phép giải xạ ảnh G Trong chương an lu một, ta xây dựng hàm tử Tor dãy đồng điều Định lý ta vừa nêu chứng va oi lm luân với ul nf minh, hàm tử Tor xây dựng chương chương tương đương đồng z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 54 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai cách xây dựng hàm tử Tor Xây dựng hàm tử Tor phép giải xạ ảnh trình bày chương Xây dựng hàm tử Tor trực tiếp phân hoạch ba trình bày chương Ngồi ra, hai chương, luận văn trình bày tính chất lu hàm tử Tor an va Cuối cùng, phần cuối chương 2, luận văn chứng minh tương n đương hàm tử Tor xây dựng cách tn to Vì thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên luận văn không tránh gh p ie khỏi sai sót Tơi mong nhận đóng góp, quan tâm q thầy w bạn học viên để luận văn hồn thiện d oa nl Tơi xin chân thành cảm ơn! oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 55 si TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saunders Mac Lane ( 1975), Homology, Classics in Mathematics [2] Cartan H and Eilenberg S (1956), Homological abgebra, Princeton [3] Trần Huyên, Nguyễn Viết Đông (2003), Đại số đồng điều, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia TPHCM, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên [4] Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), Through the looking glass: a lu dictionary between rational homotopy theory and local algebra, in J.-E Roos an (ed.), Algebra, algebraic topology, and their interactions (Stockholm, 1983) va n [5] Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy gh tn to Theory in This Century, Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545 p ie w [6] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà Xuất Bản Giáo dục d oa nl [7] Saunders Mac Lane (1971), Categories for the Working Mathematician an lu [8] William S Massey, Singular homology theory, Springer, 1980 va [9] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân, Nhập môn Tôpô Đại số (Đồng điều đồng luân), oi lm ul nf Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2015 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 56 si