(Luận văn) sự khả vi fréchet của ánh xạ đa trị

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH DƯƠNG THÙY TRANG lu SỰ KHẢ VI FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ an n va gh tn to LUẬN VĂN THẠC SĨ p ie TỐN GIẢI TÍCH d oa nl w Chuyên ngành: nf va an lu Giảng viên hướng dẫn: z at nh oi lm ul PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY z m co l gm @ an Lu THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018 n va ac th si Mục lục Lời mở đầu lu an n va 7 10 Ánh 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 11 11 15 20 22 24 xạ affine Định nghĩa, tính chất Ánh xạ liên hợp ánh xạ đa trị affine Quá trình tuyến tính liên kết với ánh xạ đa trị affine Một vài tính chất khác ánh xạ đa trị affine Ánh xạ đa trị affine không mở rộng p ie gh tn to Ánh xạ đa trị 1.1 Ánh xạ đa trị, khái niệm 1.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị Sự khả vi Fréchet 27 3.1 Định nghĩa, tính chất 27 3.2 Sự khả vi ánh xạ khả vi hàm tựa 30 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cam đoan lu Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài Sự khả vi Fréchet ánh xạ đa trị, thực với hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Nguyễn Bích Huy, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời mở đầu lu an n va p ie gh tn to Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối từ năm 30 kỉ XX, nhà toán học nhận tầm quan trọng chúng Sự đời tạp chí quốc tế "Set- Valued Analysis" vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hướng nghiên cứu Hơn nữa, ánh xạ đa trị nghiên cứu có hệ thống Tốn học vào năm 1950-1960, nhu cầu phát triển nội Toán học nhu cầu mô tả nghiên cứu mơ hình phát sinh q trình phát triển khoa học, kỹ thuật Chúng ứng dụng rộng rãi nghiên cứu bao hàm thức vi phân tích phân, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu, Tin học lí thuyết, Cũng giống việc nghiên cứu ánh xạ đơn trị phi tuyến đưa nghiên cứu ánh xạ tuyến tính đạo hàm chúng; nghiên cứu ánh xạ đa trị, nhà Toán học muốn xấp xỉ chúng ánh xạ đơn giản hơn, gọi đạo hàm chúng Có ba hướng cách tiếp cận khái niệm khả vi ánh xạ đa trị Ở hướng nghiên cứu thứ nhất, ánh xạ đa trị F đồng với đồ thị gr F đạo hàm F điểm z0 thuộc gr F định nghĩa ánh xạ đa trị mà đồ thị nón tiếp xúc (theo nghĩa đó) với gr F z0 Trong hướng nghiên cứu thứ hai, ánh xạ đa trị xét ánh xạ đơn trị, nhận giá trị khơng gian xây dựng thích hợp, có cấu trúc không gian vectơ tôpô đạo hàm ánh xạ đơn trị tương ứng lấy làm đạo hàm ánh xạ đa trị ban đầu Hướng thứ ba mở rộng tự nhiên phương pháp định nghĩa đạo hàm ánh xạ đơn trị Theo hướng này, ta định nghĩa khái niệm “tiếp xúc” lớp A ánh xạ xét chọn lớp ánh xạ “đơn giản” ánh xạ thuộc lớp A Khi ánh xạ F thuộc lớp A gọi khả vi có ánh xạ thuộc lớp B tiếp xúc với F Hướng nghiên cứu thứ thứ hai khả vi ánh xạ đa trị trình bày nhiều sách Giải tích đa trị, đó, hướng thứ ba chưa giới thiệu nhiều Do việc thực luận văn Thạc sĩ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si hướng tự nhiên cần thiết Mục tiêu đề tài giới thiệu hướng nghiên cứu khả vi Fréchet ánh xạ đa trị theo sơ đồ xây dựng khái niệm khả vi ánh xạ đa trị Luận văn tài liệu bổ ích cho học viên Cao học học học phần Phép tính vi phân, Giải tích phi tuyến, lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Trong trình hồn thành viết này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Bích Huy - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ suốt thời gian vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất q Thầy Cơ khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Và cảm ơn bạn học viên cao học K26 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện Cuối xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công đến quý thầy cô, anh chị bạn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Ánh xạ đa trị lu 1.1 Ánh xạ đa trị, khái niệm an n va p ie gh tn to Cho X Y khơng gian vector định chuẩn có số chiều hữu hạn trường R F : X ⇒ Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như với x ∈ X F (x) tập Y Không loại trừ khả với số phần tử x mà F (x) tập rỗng Ta thường dùng ký hiệu F : X ⇒ Y để F ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với x ∈ X tập F (x) gồm phần tử Y , ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y người ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X → Y d oa nl w an lu nf va Ví dụ 1.1 Xét phương trình đa thức lm ul xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + + an−1 x + an = z at nh oi Trong n ∈ N số nguyên dương ∈ R (i = 1, 2, , n) hệ số thực Quy tắc cho tương ứng vector a = (a1 , , an ) ∈ Rn với tập nghiệm, ký hiệu F (a), cho ta ánh xạ đa trị z F : Rn ⇒ C co |F (a)| n, ∀a ∈ Rn , l gm @ từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C Theo định lý đại số, F (a) 6= ∅ với a ∈ Rn m |F (a)| ký hiệu lực lượng tập hợp F (a) Nếu ta đồng số phức x = u + iv ∈ C với cặp số thực (u, v) ∈ R2 ta có ánh xạ an Lu n va F : Rn → R2 ac th si Kí hiệu 1.1 Miền hữu hiệu dom F đồ thị gr F ánh xạ đa trị F từ X vào Y tương ứng xác định công thức domF := { x ∈ X : F (x) 6= ∅} gr F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} Các ký hiệu có nguồn gốc từ hai chữ tiếng Anh “domain” “graph” Với F ánh xạ đa trị ví dụ 1.1 ta có dom F = Rn  gr F = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + + an−1 x + an = Ánh xạ ngược F −1 : Y ⇒ X ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y xác định công thức lu an F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y ) n va p ie gh tn to Định nghĩa 1.1 Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi đóng gr F tập đóng X × Y Ánh xạ đa trị G : X ⇒ Y gọi mở rộng (hạn chế) ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y dom F ⊂ dom G (dom G ⊂ dom F ) F (x) = G(x) với x ∈ dom F (x ∈ dom G) w oa nl Kí hiệu 1.2 bcc Y tập hợp gồm tập lồi, đóng, bị chặn Y d bccY trang bị hai phép toán gồm phép cộng phép nhân với số thực khơng âm khơng gian nửa tuyến tính nf va an lu M + N := {y1 + y2 : y1 ∈ M, y2 ∈ N } với M, N ∈ bcc Y lm ul αM := {αy : y ∈ M } với M ∈ bcc Y, α ≥ z at nh oi Định nghĩa 1.2 Ánh xạ dH : bcc Y × bcc Y → R xác định dH (M, N ) := inf{α > : M ⊂ N + αBY , N ⊂ M + αBY } z gọi khoảng cách Hausdorff, xác định cấu trúc không gian metric bcc Y gm @ m co l Ở BY cầu đơn vị, BY = {y ∈ Y :k y k6 1} Trong viết xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y trường hợp F (x) ∈ bcc Y, với x ∈ dom F Điều giúp ta giải thích hàm đa trị F : X ⇒ Y xét hàm đơn trị F : X → bcc Y Xét X ∗ Y ∗ không gian đối ngẫu X Y an Lu n va ac th si Kí hiệu 1.3 H(Y ∗ ) không gian Banach ánh xạ dương p(λy ∗ ) = λp(y ∗ ), ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ∀λ > ánh xạ liên tục với phép toán đại số chuẩn định nghĩa kpk = max{|p(y ∗ )| : ky ∗ k = 1} Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ dương p : Y ∗ → R gọi tuyến tính cộng tính dưới, nghĩa p(y1∗ + y2∗ ) p(y1∗ ) + p(y2∗ ) , ∀y1∗ , y2∗ ∈ Y ∗ lu an n va p ie gh tn to CH(Y ∗ ) tập ánh xạ tuyến tính dưới, nón lồi H(Y ∗ ) Nón CH(Y ∗ ) đóng topo chuẩn tắc khơng gian Banach H(Y ∗ ) Bao tuyến tính DCH(Y ∗ ) = hCH(Y ∗ )i nón CH(Y ∗ ) gọi không gian ánh xạ có dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính Như ánh xạ thuộc DCH(Y ∗ ) p biểu diễn dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính Ánh xạ đơn trị P : Y ∗ → X ∗ biểu diễn dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính với x ∈ X ánh xạ y ∗ → hx, P (y ∗ )i biểu diễn dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính Với tập M ∈ bcc Y ta xét hàm tựa d oa nl w nf va an lu sM (y ∗ ) = max{hy, y ∗ i : y ∈ M } z at nh oi lm ul hàm tựa phép đẳng cấu khơng gian metric tuyến tính nón lồi CH(Y ∗ ) ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ đa trị F : X → bcc Y Ánh xạ sF : dom F × Y ∗ → R xác định sF (x, y ∗ ) := max{hy, y ∗ i : y ∈ F (x)} z gọi hàm tựa F Vì tính đối ngẫu Minkowski nên liên kết ánh xạ đa trị F : X → bcc Y với ánh xạ đơn trị F˜ : dom F → CH(Y ∗ ) cho F˜ (x) = sF (x, ) , ∀x ∈ dom F Do l gm @ m co CH(Y ∗ ) ⊂ DCH(Y ∗ ) ⊂ H(Y ∗ ) an Lu nên ta xét F˜ : dom F → DCH(Y ∗ ) F˜ : dom F → H(Y ∗ ) n va ac th si 10 1.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4 F nửa liên tục x ¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ⊂ V tồn lân cận mở U x¯ cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F, F gọi nửa liên tục X Định nghĩa 1.5 F nửa liên tục x ¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ∩ V 6= ∅ tồn lân cận mở U x¯ cho lu F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ dom F an n va tn to Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F, F gọi nửa liên tục X p ie gh Định nghĩa 1.6 F liên tục x ¯ ∈ dom F F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x ¯ Nếu F liên tục điểm thuộc dom F, F gọi liên tục X d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 22 Mệnh đề 2.6 Cho A : X → bcc Y ánh xạ đa trị affine Khi tồn trình tuyến tính R : X → bcc Y với dom R = 0+ (dom A) A(x + h) = A(x) + R(h) Ở 0+ (dom A) nón lõm domA Chứng minh Cho A∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên hợp A Đặt dom R = 0+ (dom A) R(x) = {y ∈ Y : hy, y ∗ i hx, A∗ (y ∗ )i} Với x ∈ dom R ta định nghĩa ánh xạ đa trị R : X → bcc Y Hiển nhiên R trình tuyến tính ∀x ∈ dom A, ∀h ∈ 0+ (dom A), ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ta có lu sA (x + h, y ∗ ) = sA (x, y ∗ ) + sR (h, y ∗ ), ⇒ A(x + h) = A(x) + R(h), ∀x ∈ dom A, ∀h ∈ 0+ (dom A) an n va to Một vài tính chất khác ánh xạ đa trị affine ie gh tn 2.4 p Nhắc lại, ánh xạ đa trị affine F : X → bcc Y gọi lipsit tập Q ⊂ dom A tồn số thực LQ cho với x1 , x2 ∈ Q nl w d oa F (x1 ) ⊂ F (x2 ) + LQ kx1 − x2 k BY an lu với BY cầu đơn vị Y LQ gọi hệ số lipsit F Q nf va Mệnh đề 2.7 Ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y lipsit miền hữu hiệu dom A với hệ số lipsit lm ul z at nh oi L = kA∗ k = max kA∗ (y ∗ )k ∗ ky k61 z Chứng minh Giả sử A∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên hợp A Vì A∗ tuyến tính liên tục nên tồn L ≥ cho @ m co với L hệ số bé Với x1 , x2 ∈ dom A, ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ta có l gm kA∗ (y ∗ )k kA∗ k ky ∗ k = L ky ∗ k , ∀y ∗ ∈ Y ∗ an Lu sA (x1 , y ∗ ) = sA (0, y ∗ ) + hx1 − 0, A∗ (y ∗ )i = hx1 , A∗ (y ∗ )i sA (x2 , y ∗ ) = sA (0, y ∗ ) + hx2 − 0, A∗ (y ∗ )i = hx2 , A∗ (y ∗ )i n va ac th si 23 suy |sA (x1 , y ∗ ) − sA (x2 , y ∗ )| = |hx1 , A∗ (y ∗ )i − hx2 , A∗ (y ∗ )i| = |hx1 − x2 , A∗ (y ∗ )i| kA∗ (y ∗ )k kx1 − x2 k kA∗ k ky ∗ k kx1 − x2 k Do sA (x1 , y ∗ ) sA (x2 , y ∗ ) + kA∗ k kx1 − x2 k ky ∗ k , ∀x1 , x2 ∈ dom A, ∀y ∗ ∈ Y ∗ Mặt khác, hàm tựa cầu BY = {y ∈ Y :k y k= 1} lu s BY : Y ∗ → R y ∗ 7→ sBY (y ∗ ) = max hy, y ∗ i = max hy, y ∗ i = ky ∗ k an y∈BY kyk61 max hy, y ∗ i max hy, y ∗ i + kA∗ k kx1 − x2 k max hy, y ∗ i n va Nên to y∈A(x1 ) y∈BY y∈A(x2 ) tn p ie gh suy A(x1 ) ⊂ A(x2 ) + kA∗ k kx1 − x2 k BY , ∀x1 , x2 ∈ dom A nl w Vậy A lipsit dom A với hệ số lipsit oa L = kA∗ k = max kA∗ (y ∗ )k ∗ d ky k61 nf va an lu lm ul Mệnh đề 2.8 Ánh xạ đa trị A : X → bcc Y liên tục theo nghĩa Hausdorff dom A z at nh oi Chứng minh Sử dụng đẳng thức ∗ ∗ dH (A(x1 ), A(x2 )) = max |s (x , y ) − s (x , y )| A A ∗ ky k61 z gm @ mà ky k61 ky ∗ k61 co l max |sA (x1 , y ∗ ) − sA (x2 , y ∗ )| max kA∗ k ky ∗ k kx1 − x2 k kA∗ k kx1 − x2 k ∗ m Do n va Vậy A liên tục theo nghĩa Hausdorff dom A an Lu dH (A(x1 ), A(x2 )) kA∗ k kx1 − x2 k ac th si 24 2.5 Ánh xạ đa trị affine không mở rộng Chúng ta nói rằng, ánh xạ đa trị A : X → bcc Y gọi mở rộng khơng có affine mở rộng khác A Một kết suy trực tiếp từ nhận xét 2.2 miền hữu hiệu ánh xạ đa trị affine mở rộng có phần khác rỗng Mệnh đề 2.9 Với ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y với int(dom A) 6= ∅ tồn mở rộng affine không mở rộng A lu Chứng minh Cho A∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên hợp củaA Cố định điểm x0 ∈ int(dom A) xét sˆA : X × Y ∗ → R định (x, y ∗ ) → sˆA (x, y ∗ ) := sA (x0 , y ∗ ) + x − x0 , A∗ (y ∗ ) an n va p ie gh tn to Từ định nghĩa A∗ , với y ∗ ∈ Y ∗ ánh xạ sˆA (., y ∗ ) : X → R xác định mở rộng affine ánh xạ sA (., y ∗ ) : dom A → R đến tồn khơng gian X Sử dụng mệnh đề 2.3, với x ∈ X ánh xạ sˆA (x, ) : Y ∗ → R hiệu hai ánh xạ tuyến tính dưới, ánh xạ dương liên tục Xét ánh xạ đa trị Aˆ : X → bcc Y cho dom Aˆ = {x ∈ X|ˆ sA (x, ) : Y ∗ → R tuyến tính dưới} oa nl w d giá trị Aˆ x ∈ dom Aˆ định ˆ A(x) = {y ∈ Y : hy, y ∗ i sˆA (x, y ∗ ) , ∀y ∗ ∈ Y ∗ } Kiểm tra Aˆ mở rộng affine A ˆ ∀x ∈ dom A.) (dom A ⊂ dom Aˆ dom A = dom A, nf va an lu lm ul z at nh oi Với x ∈ dom A ánh xạ sA (., y ∗ ) : dom A → R mở rộng đến ˆ sˆA (., y ∗ ) : X → R mà sˆA (., y ∗ ) : X → R tuyến tính dưới, x ∈ dom A Hay dom A ⊂ dom Aˆ ˆ Từ định nghĩa A(x) ta có z l Mà sˆA (., y ∗ ) mở rộng sA (., y ∗ ) nên gm b y∈A(x) @ sbA (x, y ∗ ) = max hy, y ∗ i m co sbA (x, y ∗ ) = sA (x, y ∗ ), ∀x ∈ dom A ∀y ∗ ∈ Y ∗ ⇒ max hy, y ∗ i = max hy, y ∗ i , ∀x ∈ dom A, ∀y ∗ ∈ Y ∗ y∈A(x) n va b ⇒ A(x) = A(x), ∀x ∈ dom A an Lu b y∈A(x) ac th si 25 Ta chứng minh Aˆ ánh xạ đa trị affine mở rộng ˆ Xét B : X → bcc Y mở rộng affine A Chú ý B mở rộng affine A Do A(x) = B(x), ∀x ∈ dom A ⇒ max hy, y ∗ i = max hy, y ∗ i y∈A(x) y∈B(x) ∗ ⇒ sA (x, y ∗ ) = sB (x, y ), ∀x ∈ dom A, ∀y ∗ ∈ Y ∗ Vì với y ∗ ∈ Y ∗ ánh xạ sA (., y ∗ ) : dom A → R có mở rộng affine đến tồn khơng gian X nên sB (x, y ∗ ) = sˆA (x, y ∗ ), ∀x ∈ dom B, ∀y ∗ ∈ Y ∗ lu an Suy ra, dom B ⊂ dom Aˆ ánh xạ đa trị affine Aˆ : X → bcc Y không mở rộng n va to p ie gh tn Nhận xét 2.3 Trong chứng minh mệnh đề 2.9 tính đối ngẫu tập hợp ánh xạ đa trị affine từ X vào Y không mở rộng tập hợp ánh xạ s(., ) : X × Y ∗ → R thỏa mãn điều kiện sau: (a) Với y ∗ ∈ Y ∗ , ánh xạ s(., y ∗ ) : X → R affine X (b) Với x ∈ X, ánh xạ s(x, ) : Y ∗ → R hiệu hai ánh xạ tuyến tính Y* (c) Tập {x ∈ X|s(x, ) : Y ∗ → R} tuyến tính có phần khác rỗng d oa nl w an lu nf va Nhận xét 2.4 Cho A1 : X → bcc Y A2 : X → bcc Y ánh xạ đa trị affine không mở rộng Nếu tồn tập mở U ⊂ dom A1 ∩dom A2 cho A1 (x) = A2 (x), ∀x ∈ U A1 (x) = A2 (x), ∀x ∈ X hoặc, tương đương, gr A1 = gr A2 z at nh oi lm ul z Mệnh đề 2.10 Với ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y không mở rộng miền hữu hiệu dom A tập đóng X @ m co l gm Chứng minh Xét x ∈ cl(dom A) , x0 ∈ int(dom A) Vì dom A tập lồi nên int(dom A) tập lồi Do xt := tx + (1 − t)x0 ∈ int(dom A) , ∀t ∈ [0, 1) Do x ∈ dom A y ∗ → sA (x, y ∗ ) cộng tính nên an Lu sˆA (xt , y1∗ + y1∗ ) sˆA (xt , y1∗ ) + sˆA (xt , y2∗ ), ∀y1∗ , y2∗ ∈ Y ∗ , ∀t ∈ [0, 1) n va ac th si 26 Với sˆA (., y ∗ ) : X → R affine mở rộng ánh xạ sA (., y ∗ ) : dom A → R đến tồn khơng gian X Vì với y ∗ ∈ Y ∗ , ánh xạ sˆA (., y ∗ ) : X → R affine, liên tục, nên t tiến ta xt := tx + (1 − t)x → x ⇒ sˆA (xt , y ∗ ) → sˆA (x, y ∗ ) Do sˆA (x, y1∗ + y2∗ ) sˆA (x, y1∗ ) + sˆA (x, y2∗ ) Vì tính khơng thể mở rộng A nên bất đẳng thức cuối với x ∈ dom A Vì cl(dom A) ⊂ dom A Vậy dom A đóng lu Mệnh đề 2.11 Mỗi ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y với miền hữu hiệu đóng dom A ánh xạ đóng Đặc biệt, ánh xạ đa trị affine khơng mở rộng đóng an n va p ie gh tn to Chứng minh Đồ thị ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y biểu diễn dạng sau gr A = ∗∩ ∗ {(x, y) ∈ dom A × Y : hy, y ∗ i − x − x0 , A∗ (y ∗ ) sA (x0 , y ∗ )} w y ∈Y d oa nl với x0 điểm cố định dom A Điều rằng, dom A tập đóng đồ thị gr A giao họ tập đóng Ánh xạ đa trị affine khơng mở rộng đóng (được suy từ mệnh đề 2.10) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Chương Sự khả vi Fréchet 3.1 Định nghĩa, tính chất lu an n va tn to Xét X Y khơng gian vector định chuẩn có số chiều hữu hạn trường R F : X → bcc Y ánh xạ đa trị từ X vào Y với int(dom F ) 6= ∅ p ie gh Định nghĩa 3.1 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi Fréchet điểm x0 ∈ int(dom F ) tồn ánh xạ đa trị affine A(x0 |.) : X → bcc Y
cho x0 ∈ int dom A(x0 |.)
dH F (x0 + h), A(x0 |h) =0 lim h→0 khk d oa nl w lu an với dH (., ) metric Hausdorff bccY nf va Dễ thấy A(x0 |0) = F (x0 ) Không tính tổng qt giả sử ánh xạ đa trị affine A(x0 |.) thỏa mãn định nghĩa 3.1 mở rộng Trong trường hợp ánh xạ đa trị xác định
dH F (x0 + h), A(x0 |h) lim = h→0 khk z at nh oi lm ul z Thật vậy, ta có ∀ε > 0, ∃δ > : ∀h ∈ δBX gm @ F (x0 + h) ⊂ A(x0 |h) + ε khk BY A(x0 |h) ⊂ F (x0 + h) + ε khk BY m co l an Lu n va Giả sử A1 (x0 |.) : X → bcc Y , A2 (x0 |.) : X → bcc Y hai ánh xạ đa trị affine mở rộng được, thỏa định nghĩa 3.1 ac th si 28 Khi đó, ∀ε > 0, ∃δ > : ∀h ∈ δBX ta có A1 (x0 |h) ⊂ A2 (x0 |h) + ε khk BY A2 (x0 |h) ⊂ A1 (x0 |h) + ε khk BY Vì tính đối ngẫu Minkowski nên bao hàm thức cuối tương đương với bất đẳng thức sau

sA x0 ; h, y ∗ − sA x0 ; h, y ∗ ε khk ky ∗ k , với sAi (x0 ; , ) : (h, y ∗ ) → lu max0 hy, y ∗ i hàm tựa ánh xạ đa trị y∈Ai (x |h) ∗ an n va tn to Ai (x |.) Vì sAi (x ; , y ) : X → Y, i = 1, ánh xạ affine ε > tùy ý nên suy

sA1 x0 ; h, y ∗ = sA2 x0 ; h, y ∗ , ∀h ∈ dom A1 ∩ dom A2 , ∀y ∗ ∈ Y ∗ gh Do p ie A1 (x0 |h) = A2 (x0 |h) , ∀h ∈ dom A1 ∩ dom A2 d oa nl w Suy A1 (x0 |.) = A2 (x0 |.) lân cận θ Theo nhận xét 2.4 ta A1 (x0 |.) = A2 (x0 |.) X Nếu có ánh xạ đa trị affine A(x0 |.) : X → bcc Y mở rộng mà thỏa mãn định nghĩa 3.1 gọi xấp xỉ khả vi Fréchet ánh xạ đa trị F : X → bcc Y điểm x0 kí hiệu DF (x0 |.) Từ mệnh đề 2.1, phép xấp xỉ khả vi Fréchet DF (x0 |.) ánh xạ đa trị F : X → bcc Y ánh xạ affine đơn trị F khả vi Fréchet điểm x0 ∈ int(dom A) F (x0 ) = {y } xác định Từ đó, ta thấy tính khả vi Fréchet ánh xạ đơn trị F : X → bcc Y theo định nghĩa tương đương với định nghĩa cổ điển tính khả vi Fréchet cho ánh xạ đơn trị Trong trường hợp ta có nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ DF (x0 |h) = F (x0 ) + F (x0 )h , h ∈ X an Lu Ví dụ 3.1 m co l với DF (x0 |.) xấp xỉ khả vi Fréchet F x0 F (x0 ) : X → Y đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển F x0 n va ac th si 29 Xét tập mở Ω ⊂ X f : Ω → Y ánh xạ đơn trị, M tập lồi, compact Y Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y xác định gr F := {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Ω, y ∈ f (x) + M } khả vi Fréchet x0 ∈ Ω ánh xạ đơn trị f : Ω → Y khả vi Fréchet x0 ∈ Ω xấp xỉ khả vi Fréchet F x0 xác định gr DF (x0 |.) := {(h, y) ∈ X × Y : h ∈ X, y ∈ f (x0 ) + f (x0 )h + M } Ở f (x0 ) : X → Y đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển f x0 lu Ví dụ 3.2 an n va Xét Y với quan hệ thứ tự ” ≤ ” sau tn to y1 y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C p ie gh Trong C nón đóng lồi với intC 6= ∅ C ∩ (−C) = Xét [y1 , y2 ] := {y ∈ Y : y1 y y2 } tập lồi compact Y Khơng tính tổng qt giả sử BY = [−e, e] với e thuộc intC Xét tập mở Ω ⊂ X f1 : Ω → Y , f2 : Ω → Y ánh xạ đơn trị thỏa mãn f2 (x0 ) − f1 (x0 ) ∈ int C, với điểm x0 ∈ Ω Xét ánh xạ đa trị F : X → bcc Y xác định d oa nl w nf va an lu gr F := {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Ω, f1 (x) y f2 (x)} lm ul z at nh oi khả vi Fréchet x0 ∈ Ω ánh xạ đơn trị f1 , f2 khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 Xấp xỉ khả vi Fréchet F xác định gr DF (x0 |.) := {(h, y) ∈ X × Y : h ∈ X, z 0 0 gm @ f1 (x0 ) + f (x0 )h y f2 (x0 ) + f (x0 )h} m co l Trong đó, f (x0 ) : X → Y, f (x0 ) : X → Y đạo hàm Fréchet theo nghĩa cổ điển f1 , f2 x0 an Lu Định lý 3.1 Nếu ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi Fréchet x0 ∈ int(dom F ) F liên tục Haudorff điểm x0 n va ac th si 30 Chứng minh Cho trước ε > Vì F : X → bcc Y khả vi Fréchet x0 ∈ int(dom F ) nên tồn δ > cho δBX ⊂ dom DF (x0 |.) ∩ dom F
dH F (x0 + h), DF (x0 |h) ε khk , ∀h ∈ δBX Vì ánh xạ đa trị affine Lipsit miền hữu hiệu nên DF (x0 |.) : X → Y lipsit dom DF (x0 |.) Do tồn L > cho với h ∈ dom DF (x0 |.) ta có DF (x0 |h) ⊂ DF (x0 |0) + L khk BY DF (x0 |0) ⊂ DF (x0 |h) + L khk BY lu Suy an n va
dH DF (x0 |h), DF (x0 |0) L khk , ∀h ∈ dom DF (x0 |.)

dH F (x0 + h), F (x0 ) = dH F (x0 + h), DF (x0 |0)

dH F (x0 + h), DF (x0 |h) + dH DF (x0 |h), DF (x0 |0) (ε + L) khk , ∀h ∈ δBH p ie gh tn to Vì DF (x0 |0) = F (x0 ) nên nl w d oa Vậy F liên tục Haudorff điểm x0 nf va an lu 3.2 z at nh oi lm ul Sự khả vi ánh xạ khả vi hàm tựa z Định nghĩa 3.2 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y gọi khả vi yếu x0 ∈ int(dom F ) với y ∗ ∈ Y ∗ , ánh xạ sF (., y ∗ ) : dom F → R khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 Nghĩa là, với ε > tồn ánh xạ tuyến tính s F (x0 , y ∗ ) ∈ X ∗ thỏa sF (x0 + h, y ∗ ) − sF (x0 , y ∗ ) − h, s F (x0 , y ∗ ) lim =0 h→0 khk m co l gm @ an Lu Ở ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi yếu x0 ∈ int(dom F ), 0 tạo ánh xạ đơn trị s F (x0 , ) : Y ∗ y ∗ → s F (x0 , y ∗ ) ∈ X ∗ gọi đạo hàm liên hợp ánh xạ đa trị F x0 n va ac th si 31 Định lý 3.2 Nếu ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi yếu x0 ∈ int(dom F ), đạo hàm liên hợp s F (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ F ánh xạ dương Chứng minh F khả vi yếu x0 ∈ int(dom F ), nên với ε > tồn ánh xạ tuyến tính s F (x0 , y ∗ ) ∈ X ∗ thỏa sF (x0 + th, y ∗ ) − sF (x0 , y ∗ ) − th, s F (x0 , y ∗ ) lim =0 t→0 kthk lu Chọn k h k= 1,  E sF (x0 + th, y ∗ ) − sF (x0 , y ∗ ) D − h, s F (x0 , y ∗ ) =0 lim t→0 t an n va Do p ie gh tn to E sF (x0 + th, y ∗ ) − sF (x0 , y ∗ ) D 0 ∗ lim = h, s F (x , y ) t→0 t Suy với h ∈ X ánh xạ y ∗ → h, s F (x0 , y ∗ ) giới hạn theo điểm ánh xạ dương Và y ∗ → h, s F (x0 , y ∗ ) ánh xạ dương d oa nl w Định nghĩa 3.3 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y gọi R− khả vi x0 ∈ int(dom F ), thỏa (i) F khả vi yếu x0 (ii) ∀ε > 0, ∃δ > : ∀h ∈ δBX , ∀y ∗ ∈ Y ∗ ta có D E 0 ∗ ∗ ∗ sF (x + h, y ) − sF (x , y ) − h, s F (x , y ) ε khk ky ∗ k nf va an lu lm ul z at nh oi Điều kiện (ii) nghĩa giới hạn định nghĩa 3.2 với y ∗ ∈ BY ∗ Điều hàm ý rằng, ánh xạ đa trị F : X → bcc Y R− khả vi x0 ∈ int(dom F ), giới hạn E sF (x0 + th, y ∗ ) − sF (x0 , y ∗ ) D 0 ∗ = h, s F (x , y ) lim t→0 t với y ∗ ∈ BY ∗ Vậy với h ∈ X ánh xạ y ∗ → h, s F (x0 , y ∗ ) liên tục BY ∗ giới hạn ánh xạ liên tục z m co l gm @ an Lu Định lý 3.3 Nếu ánh xạ đa trị F : X → bcc Y R− khả vi x0 ∈ int(dom F ) đạo hàm liên hợp s F (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ ánh xạ liên tục dương n va ac th si 32 Định lý 3.4 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y R− khả vi x0 ∈ int(dom F ) ánh xạ đơn trị F˜ : dom F → H(Y ∗ ) khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 Hơn nữa, đạo hàm liên hợp s F (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ ánh xạ đa trị F : X → bcc Y đạo hàm Fréchet F˜ (x0 ) : X → H(Y ∗ ) có quan hệ với đẳng thức D E   0 ∗ 0 ˜ h, s F (x , y ) = F (x )h (y ∗ ), ∀h ∈ X ∗ , ∀y ∗ ∈ Y ∗ lu Vì F˜ (x) ∈ CH(Y ∗ ) ⊂ DCH(Y ∗ ), ∀x ∈ dom F nên ta xét F˜ ánh xạ từ dom F vào không gian vector định chuẩn ánh xạ biểu diễn dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính DCH(Y ∗ ) an n va tn to Định nghĩa 3.4 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y π− khả vi x0 ∈ int(dom F ) ánh xạ đơn trị F˜ : dom F → DCH(Y ∗ ) khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 p ie gh Định lý 3.5 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y π− khả vi x0 ∈ int(dom F ) F R− khả vi x0 đạo hàm liên hợp s F (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ ánh xạ biểu diễn dạng hiệu hai ánh xạ tuyến tính d oa nl w Chứng minh F : X → bcc Y π− khả vi x0 ∈ int(dom F ) ⇔ F˜ : dom F → DCH(Y ∗ ) khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 ⇔ F˜ : dom F → H(Y ∗ ) khả vi Fréchet theo nghĩa cổ điển x0 ⇔ F : X → bcc Y R− khả vi x0 nf va an lu lm ul Định lý cho ta đặc trưng tính khả vi Fréchet ánh xạ đa trị thơng qua tính khả vi hàm tựa z at nh oi Định lý 3.6 Ánh xạ đa trị F : X → bcc Y khả vi Fréchet x0 ∈ int(dom F ) F R− khả vi x0 ánh xạ D E ∗ ∗ ∗ y → sF (x , y ) + h, s F (x , y ) z gm @ tuyến tính với h thuộc lân cận 0 co l Mối quan hệ xấp xỉ khả vi Fréchet DF (x0 |.) : X → bcc Y F x0 đạo hàm liên hợp s F (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ m (DF )∗ (x0 , y ∗ ) = s F (x0 , y ∗ ), ∀y ∗ ∈ Y ∗ an Lu n va Ở (DF )∗ (x0 , ) : Y ∗ → X ∗ đạo hàm liên hợp ánh xạ đa trị affine DF (x0 , ) : X → bcc Y ac th si