Buồng cộng hưởng quang học - Chương 3

Buồng cộng hưởng quang học - Chương 3

Chương 3 BUỒNG CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 3.1 Gương quang học - Cấu tạo gồm nhiều lớp điện môi trong suốt, mỏng song song cách nhau bằng một lớp không khí lên đế. - Tính chất phản xạ lọc lựa của gương được quyết định bởi các tham số đặc trưng của lớp điện môi như: + Số lớp + Độ dày mỗi lớp + Khoảng cách giữa các lớp + Chiết suât của chất điện môi - Hệ số phản xạ cực đại đối với bước sóng λ o của bức xạ quang trong chân không của gương gồm m bản mặt có độ dày bằng nhau và bằng một vài số lẽ lần λ o /4 đặt cách nhau một khoảng trong không khí xác định (khoảng cách không khí bằng nhau) 2 2 ax 2 1 1 m m m n r n æ ö - ÷ ç ÷ ç = ÷ ç ÷ ÷ ç + è ø m: số bản mặt ( số lớp điện môi) n: chiết suất lớp điện môi - Hệ số phản xạ phụ thuộc tần số bức xạ υ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 sin 2 1 4 sin 2 r nD R r r nD p n n p n = - + D: Độ dày của lớp điện môi r = r 1 = r 2 : Hệ số phản xạ hai mặt bằng nhau υ : Tần số bức xạ - Hệ số phản xạ của gương chỉ cực đại ở một số bước sóng ánh sáng nào đó - Khoảng cách ∆υ r giữa hai đỉnh cực đại bằng: ∆υ r = (2nD) -1 - Điều kiện để có hệ số phản xạ của gương lớn: các lớp cách nhau không lớn hơn λ/8 - Khi độ dày các lớp nhỏ hơn λ/4 thì hệ số phản xạ của hệ bằng tổng hệ số phản xạ Fresner của tất cả các mặt phẳng - Gương nhiều lớp điện môi sẽ bền với bức xạ công suất lớn, do ngưỡng phá hủy của nó lớn - Ngưỡng phá hủy của vật liệu phụ thuộc vào tính chất của bề mặt. Bề mặt được đánh bóng thì ngưỡng phá hũy sẽ cao - Trong nhiều trường hợp gương ra của buồng cộng hưởng được ghép bởi nhiều bản mặt có độ dày như nhau nhưng với tiết diện ngang (bán kính) khác nhau 3.2 Lăng kính - Lăng kính phản xạ thay cho gương phản xạ 100% - Lăng kính làm cho các tia phân kì nhỏ được phản xạ trở lại hoạt chất - Lăng kính làm cho quá trình khuếch đại trong hoạt chất được phân bố đều  Lăng kính được sử dụng trong laser biến điệu xung - Lăng kính được sử dụng như một chi tiết lọc lựa 3.3 Phân bố ngang của năng lượng chùm tia laser trong buồng cộng hưởng  Cường độ trường trong các buồng cộng hưởng khác nhau có thể phân tích thành chuổi các hàm phụ thuộc vào 3 chỉ số.  Mỗi tích hợp của 3 chỉ số ứng với 1 dạng dao động (gọi là MODE) ký hiệu:TEM mnq .Chỉ số m,n ứng với hàm mô tả cấu trúc ngang của dao động.  Mỗi dao động ngang ứng với hang loạt dao động dọc có tần số cách nhau một khoảng c\2nL( c :vận tốc ánh sáng trong chân khôngn là chiết suất của môi trường trong buồng cộng hưởng, L:độ dài buồng cộng hưởng)  Mỗi dao động ứng với một tần số riêng mnq ν được xác định như sau: 2 2 2 1 2 2 2 mnq m n q a b L ν       = + +  ÷  ÷  ÷       Với a,b là kích thước gương, L là chiều dài của buồng cộng hưởng.  Trong thực tế số dao động dọc được xác định bởi độ rộng vạch huỳnh quang của buồng cộng hưởng.  Cấu trúc ngang của chùm tia laser gắn với sự tán xạ của bức xạ khi phản xạ lên gương và tán xạ lên chi tiết quang giới hạn khẩu độ chùm tia , khẩu độ hoạt chất.  Khi kích thước của gương >> bước song,chỉ giới hạn cho mode ngang, trường điện từ chỉ phân cực đồng nhất theo một phương, trường u p trong vùng nhiễu xạ Frenel gây ra bởi mặt gương diện tích A: ( ) 1 os 4 ikR p a A ik e u u c dS R χ − = + Π ∫ (*) Trong đó: u a là trường trên mặt gương A, k là tham số truyền ,R là khoảng cách từ mặt gương đến vị trí quan sát, χ :góc giữa R r và pháp tuyến của mặt gương.  Biểu thức trên cho thấy :trong quá trình phản xạ lên gương của buồng cộng hưởng ,tại một thời điểm bất kỳ, cường độ tại một điểm trên gương thứ nhất là tổng của các thành phần trường tán xạ tại mọi diểm lên gương thứ hai. Sau nhiều lần qua lại trong buồng cộng hưởng, phân bố của trường sẽ ngày càng thay đổi nhỏ dần và trở nên ổn định .  Tích phân (*) lập lại qua mỗi lần phản xạ lên mỗi gương,do đó: ( ) , , , , 1 ( , ) ( , ) 1 os 4 ikR n n ik e u x y u x y c dx dy R χ − − = + Π ∫ (**) Trong đó:x, y là biến tọa độ trên tiết diện ngang của buồng cộng hưởng.  Phân bố trường sẽ đạt được ổn định khi: 1 ( , ) ( , ) n n u x y Cu x y − =  C là hệ số suy giảm không phụ thuộc vào x và y. Nó phản ánh mất mát do nhiễu xạ: ( ) 1/2 1 i nhx C e ϕ γ = − Trong đó: + nhx γ là phần mất mát cường độ trường nhiễu xạ + ϕ là độ lệch pha tương ứng giữa hai lần phản xạ lên gương.  Từ đó, ta có phương trình tích phân cho cấu trúc ổn định của trường: ( ) ( ) , , , , 1 ( , ) 1 ( , ) 1 os 2 ikR i n nhx n i e u x y e u x y c dx dy R ϕ γ χ λ − − − = − + ∫∫ (***) Giải phương trình (***) bằng phương pháp gần đúng: + Đối với 2 gương phẳng như nhau,có cùng kích thước (2a) 2 ,khi chiều dài củ buồng cộng hưởng lớn hơn rất nhiều so với kích thước gương thì ảnh hưởng lẫn nhau của sự thay đổi trường theo hai chiều của gương có thể bỏ qua. + Đối với buồng cộng hưởng đồng tiêu: phân bố trường của mode ngang là tích của đa thức Hermit với hàm Gauss và tham số pha: 2 2 * * 0 (w, ) * * * ( ) 0 ( , , ) ( ) ( ) z x y mn m n u x y z C H x H y e e ϕ − − + = Với: H m là đa thức Hermit bậc m, 0 (w, )z ϕ là pha trong mặt phẳng z=z 0 cách trục của buồng cộng hưởng một khoảng 2 2 w x y = + . * x , * y là các biến phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai gương L=b : ( ) 1/2 * 2 2 1x x b ξ λ Π   = +     ( ) 1/2 * 2 2 1y y b ξ λ Π   = +     Trong đó: 0 2z b ξ = . ( ) 1/2 2 * 1 ( , ) 2 C C m n ξ   +   =     Phụ thuộc vào z 0 ,b,m,n. Biểu thức độ lệch pha: ( ) ( ) 2 2 0 2 w 1 (w, ) 1 1 ar 2 1 2 1 b z k m n ctg b ξ ξ ϕ ξ ξ ξ   Π − = + + + + + −   + +   Các chỉ số m,n cho ta số cực trị trên trục x,y tương ứng. o m=n=0:Gọi là mode cơ bản hay mode gần trục. o m>0 hoặc n>0 gọi là mode ngang bậc cao. o Khi thay * * 0 0 ( ) ( ) 1H x H y = = và ( ) 2 2 * * 2 2 w 1 x y b λ ξ   Π   + =   +     o ta có phân bố cường độ MODE cơ bản là: ( ) 2 2 w 2 / 1 00 0 ( , , )u x y z Ce ξ − Π + = Từ biểu thức trên ta thấy phân bố theo tiết diện ngang của mode cơ bản có dạng Gauss.Ở MODE cơ bản TEM 00 có phân bố cường độ: 2 2 2 0 ( ) ( , ) (0,0) x y I x y I e ρ + − = Trong đó: I(0,0) là cường đô tại trục buồng cộng hưởng, x,y là tọa độ trên tiết diện ngang của chùm tia, 0 ρ là bán kính chùm tia tại đó cường độ e -1 đạt giá trị I(0,0)  Laser nếu chỉ ở mode cơ bản thì vói gương laser có kích thước giới hạn ,chùm tia laser phát ra sẽ định hướng theo chiều dọc của buồng cộng hưởng là song phẳng song song lý tưởng nếu không xét đến hiệu ứng nhiễu xạ trên gương. 3.4. Phân loại buồng cộng hưởng (BCH) BCH Fabry- Perot gương cầu và gương phẳng được sử dụng nhiều nhất. Trong đó, gương cầu có nhiệm vụ hội tụ theo chu kỳ chùm tia ánh sáng phản xạ từ hai gương. Hiệu ứng này cũng giống như hội tụ liên tục chùm tia vào hoạt chất bằng chuỗi nhiều thấu kính. Như vậy, mọi BCH laser đều được xem như là một hệ thấu kính xếp đều đặn liên tục. Phân tích sự truyền của tia sáng qua hệ này ta sẽ giải thích được nhiều tính chất của nó. Trong các tính đó, ta chỉ quan tâm đến tính chất quan trọng nhất là độ bền và mất mát của BCH. Cơ sở để phân loại BCH đó là dựa vào tính chất độ bền của nó. Ta sẽ đi tìm hiểu tính chất này của BCH: Độ bền của BCH được xác định thông qua khả năng hội tụ nhanh hay chậm của các tia sáng khi đi qua lại nhiều lần trong nó (tức là đi qua hệ nhiều thấu kính). Qua trình truyền của chùm tia qua hệ các thấu kính này được mô tả bởi ma trận truyền (hình 3.8): 0 1 0 1 1 1 1 d a a d f f α α        ÷ =  ÷  ÷  ÷ − −      ÷   (3.13) Trong đó: • Các tham số qui định ma trận truyền: f : tiêu cự của thấu kính d : khoảng cách giữa thấu kính và mặt phẳng ảnh (khoảng cách môi trương truyền). • Biến số: α: góc phân kỳ của tia sáng và khoảng cách tức thời của chùm tia với trục chính của hệ quang a. Hình 3.8. Mô tả quá trình truyền qua hệ thấu kính Đây là hai tham số xác định một tia sáng lý tưởng. Bây giờ, ta đi khảo sát đối với BCH hai gương bán kính cong R 1 (tiêu cự 1 1 2 R f = ) và R 2 (tiêu cự 2 2 2 R f = ) đặt cách nhau một khoảng L, ta sẽ xác lập được hai ma trận truyền riêng cho hai gương (thay L, f 1 , f 2 vào (3.13)) Hai ma trận này đều có chung khoảng cách truyền L. Vì hai gương có hai bán kính cong khác nhau nên f 1 ≠f 2 . Giả sử có một tia sáng có hai tham số (a 0 ,α 0 ) truyền lan trong BCH. Sau khi đi lại một lần trong BCH (phản xạ qua hai gương) hai tham số của tia sáng đó sẽ thay đổi bởi hai ma trận truyền của gương. Tích của hai ma trận này cho ta ma trận truyền tia sáng trong BCH sau một lần qua lại hai gương sẽ có dạng A B T C D   =  ÷   (A, B, C, D được tính từ phép nhân hai ma trận (3.13). Như ta đã biết, quá trình khuếch đại trong BCH có được là nhờ các photon đi lại qua hoạt chất nhiều lần. Do đó, các photon đó phải thay đổi quang tuyến (tia laser) của mình sau rất nhiều lần, mà mỗi lần như vậy sẽ do ma trận truyền T n quyết định. Tức là trước khi phát ra ngoài BCH chum photon thay đổi quang lộ thông qua ma trận T n (n: số lần qua lại trong BCH). Muốn chùm photon đi lại ổn định trong BCH trước khi phát ra ngoài, ma trạn T n phải hội tụ, tức là định thức của nó bằng 1. Sau khi thay các tham số của BCH (L, R 1 , R 2 ) vào (3.13) lấy tích phân của chúng và giải phương trình định thức ta tìm được điều kiện bền của BCH: 1 2 0 1 1 1 L L R R    < − − <  ÷ ÷    (3.14) Phân tích điều kiện này thông qua giãn đồ bền của BCH (3.18). Giãn đồ với hai trục chính biểu diễn giá trị của g 1 =1-(L/R 1 ) và g 2 =1-(L/R 2 ) sẽ cho ta khả năng đánh giá độ bền của các BCH khác nhau với các gương cầu khác nhau và phân loại các BCh khác nhau. Vùng không bị gạch chéo trên giản đồ giới hạn bởi hai đường hyperbol là vùng bền của BCH, xác định bởi phương trình: 1 2 1 1 1 L L R R    − − =  ÷ ÷    (3.15) Hình 3.9. Giãn đồ bền của BCH laser Phương trình này mô tả cho hai trường hợp: 1. BCH Fabry-Perot gương phẳng song song (R 1 =R 2 =∞), ứng với điểm B trên giản đồ. 2. BCH gương cầu đồng tâm (L=2R 1 =2R 2 ), ứng với điểm C trên giản đồ. Như vậy, hai loại BCH này nằm ở vùng tranh chấp giữa bền và không bền. Nghĩa là, hai BCH này rất khó tinh chỉnh để trục chính của hai gương trùng nhau. Hai trục chính này rất dễ lệch khỏi nhau khi có một dao động cơ học nào đó tác động vào và như vậy quá trình phát laser sẽ dễ bị dập tắt. Ngoài ra, còn có các loại BCh mà các tham số của nó thỏa mãn phương trình: 1 2 1 1 0 L L R R    − − =  ÷ ÷    (3.16) nằm trong vùng tranh chấp giữa bền và không bền. Phương trình mô tả cho các trường hợp sau: 1. L=R 1 (hoặc L=R 2 ) BCH hai gương, với một gương đặt tại tâm cong của gương kia ứng với các gia trị nằm trên trục g 1 =0 (hoặc g 2 =0). 2. L=R 1 =R 2 , hai gương giống nhau và đặt tại tâm cong ứng với điểm A trên giản đồ - BCH đồng tiêu (tiêu cự trùng nhau). Ngoài các trường hợp trên, các BCH khác đều bền. Khi thiết kế BCH cho laser thông thường chúng ta chọn các loại gương khác nhau sao cho BCH phải bền. Có như vậy laser mới ổn định cao và laser mới dễ chỉnh phát.  Tóm lại, có hai loại BCH : + BCH bền + BCH không bền  Ưu điểm của BCH bền: Trường của mode sẽ tập trung ở gần trục lớn hơn so với ở trong BCH không bền. Vì mất mát do tán xạ của BCH bền nhỏ hơn của BCH không bền.  Sự thay đổi từ BCH bền sang BCH không bền: Sự thay đổi từ bền sang không bền (gần giới hạn) càng khó khi số Frenel càng lớn, nghĩa là khi kích thước của gương lớn và chiều dai của BCH nhỏ. Tuy nhiên, chúng lại có nhược điểm là dễ phát nhiều mode ngang. Sự thay đổi này sẽ diễn ra đều đặn hơn khi số Frenel nhỏ. Khi thay đổi sang trạng thái không bền, không chỉ tăng giá tri tuyệt đối của mất mát tán xạ mà mất mát khác cũng tăng đối với các mode khác nhau.  Phạm vi sử dụng: - BCH bền thương được sử dụng khi cần phát laser độ rộng, phổ rộng, đa mode. - BCH không bền thường được sử dụng cho laser cần phát ở chế độ băng hẹp, hoặc lọc lựa mode. 3.5. Một số điểm tổng quan về hộp cộng hưởng  BCH sử dụng cho laser là BCH mở, hoạt động trong vùng sóng quang học.  Khả năng ứng dụng hộp cộng hưởng (HCH) trong vùng quang học: Giả thiết có một HCH khối chữ nhật kín 6 mặt (hình 3.10). Trong đó, L và D là kích thước của HCH. Hình 3.10. Hộp cộng hưởng 6 mặt Biểu diến các mode cộng hưởng dưới dạng sóng phẳng, thỏa mãn điều kiện biên trên thành hộp. Sử dụng điều kiện biên đối với các sóng đứng, ta tìm được các mode thành phần với vecto sóng thành phần có dạng: 2 2 2 1 2 2 2 mnq m n q D D L λ       = + +  ÷  ÷  ÷       k x =Πm/D, k y =Πn/D, k z =Πq/L (3.17) m, n, q : các số nguyên (chỉ số mode). Hệ thức (3.17) cho phép dẫn ra biểu thức bước sóng cộng hưởng của mode (Tem mnq ). [...]... dụng HCH kích thước lớn cho vùng quang học? ” Vấn đề này đã được giải quyết năm 1958, khi ý tưởng sử dụng HCH mở ra đời (từ đây ta dùng thuật ngữ buồng cộng hưởng) 3. 6 Buồng cộng hưởng mở   Do Buồng cộng hưởng mở khác hộp cộng hưởng: • Các mặt bên bị bỏ qua, chỉ còn lại mặt trước và sau, tâm của chúng tạo nên trục của buồng cộng hưởng • Kích thước của buồng cộng hưởng lớn hơn bước sóng bức xạ Mặt... - U = (UΔz/2L)(1-R) (3. 33) Sự phụ thuộc của U vào z được thể hiện ở hình dưới, đường cong phụ thuộc này có dạng hình bậc thang, với độ cao mỗi bậc bằng U(z)(1-R) HÌNH 3. 11 Với giả thiết rằng hiệu số 1-R, được định nghĩa như độ cao của bặc phải nhỏ, tức R≈1, khi đó ta có thể viết R = 1- , trong đó ξ‹‹1 (3. 34) Lúc đó, ta có thể đảo dạng (3. 33) về dạng như sau: U(z) = U(0)exp [-( 1-R)z/2L] (3. 35) HÌNH 3. 12... mode kích thích, hộp cộng hưởng chuyển thành buồng cộng hưởng mở  Số MODE trong buồng cộng hưởng: M = ∆ω Ln / cΠ  Phổ tần số của buồng cộng hưởng mở không giảm khi tần số tăng nhưng nó bị loãng hơn do chỉ còn một số ít MODE được kích thích 3. 7 Hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng - Hệ số phẩm chất Q của BCH là một đại lượng vật lý mô tả khả năng tích lũy năng lượng trong BCH - Hệ số phẩm chất quyết... tích lũy năng lượng bức xạ trong buồng cộng hưởng + Độ đơn sắc của chùm tia laser + Bức xạ laser bước sóng nào trong vô số các mode được khuếch đại trong buồng cộng hưởng - Buồng cộng hưởng thụ động: Buồng cộng hưởng không chứa môi trường khuếch đại U(0): Năng lượng của bức xạ tích lũy trong BCH thụ động tại thời điểm t = 0  Năng lượng giảm trong khoảng thời gian dt: -dU = (1/τ).Udt (1) Năng lượng trong... số phẩm chất Q của hộp cộng hưởng xác định bởi mất mát Joule trên đường dẫn tỉ lệ với ω : Q ~ ω (3. 21) Các thông tin trên chỉ áp dụng một cách hiệu quả cho hộp cộng hưởng cho bức xạ tần số cao Hộp cộng hưởng này có các tính chất: + Sự tăng tần số sẽ dẫn đến sự giảm phổ tần số cộng hưởng- độ tách giữa các tâm vạch phổ cộng hưởng hay tỉ số Δω/M giảm theo tần số (theo công thức (3. 20) Δω/M ~ 1/ ω2) + Giảm... gây ra bởi sự truyền qua gương ra của BCH là: ŋ = (1-R)/2L (3. 36) Khi đó ta có: Q = 2ωLn/c(1-R) = 4πL/λ(1-R) (3. 37) Từ (3. 37) ta thấy rằng, độ dài BCH lớn và hệ số phản xạ càng lớn thì độ phẩm chất càng cao Đến đây ta đã hiểu độ phẩm chất của BCH cho ta thấy khả năng tích góp số phooton trong nó hay khả năng tích góp năng lượng của nó 3. 9 Buồng cộng hưởng chủ động và mode laser BCH chủ động là BCH chứa... 2L  (3. 18) *Xét mode với chỉ số 0, n, q truyền lan trong mặt phẳng yz (kx=0) với một góc χ so với trục hộp cộng hưởng Góc này được xác định bởi số n và q (hình 3. 9) Theo hệ thức (3. 17) k.sin χ = Πn/D và k.cosχ = Πq/L, nên: sin χ = λn/2D ; cosχ = qλ/2L (3. 19) Ta đã biết với hộp cộng hưởng thể tích V thì số sóng phẳng có tần số nằm trong khoảng từ ω đến ω + Δω tỉ lệ thuận với ω2: M ~ V ω2 Δω (3. 20)... (3. 21) ω/Q ~ ω ) Rõ ràng để tần số đủ cao thì vạch phổ của hộp cộng hưởng sẽ rất lớn và như vậy HCH sẽ mất tính chất cộng hưởng Để khắc phục nhược điểm đó của HCH bức xạ tần số cao và nhằm mục đích bảo đảm rằng chỉ kích thích một số tương đối nhỏ mode laser (tần số quang học lớn hơn nhiều so với tần số vô tuyến), nên giả sử rằng sử dụng các HCH có kích thước cùng bậc với bước sóng theo công thức (3. 18)... bức xạ - Gọi Qi là hệ số chẩm chất gắn với mất mát dạng i - Q là hệ số phẩm chất tổng Nếu các mất mát là độc lập với nhau khi đó ta có: - dU =å dt i  æ dU ÷ ö ç÷ ç ç ÷ ç dt ÷ è ø i 1 1 =å Q i Qi Kết quả thu được: l hi 1 l l 1 = h= hi = å =å å Q 2p 2p i 2p i i Qi  Kết luận: - Hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng có thể thay đổi được khi thay đổi các hệ số mất mát thành phần một cách độc lập - Mất mát... L bằng số nguyên lần nửa bước sóng, nên độ lệch pha trên mỗi gương bằng π; 3) khoảng cách giữa hai gương BCH chủ động được xác định theo biểu thức: L * = (L-1) + n(ν)l = L+(n+1)l (3. 39) Với giả thiết như trên ta có biểu thức tần số của BCH chủ động như sau: νa = c/2L*[q+1/2(m+n+1)(1+4/π arctg[(L*-b)/(L*+b)]] (3. 40) Trong (3. 39) n(ν) là chiết suất của hoạt chất thay đổi theo tần số của MODE phát, mà . quang học? ”. Vấn đề này đã được giải quyết năm 1958, khi ý tưởng sử dụng HCH mở ra đời (từ đây ta dùng thuật ngữ buồng cộng hưởng) . 3. 6 Buồng cộng hưởng mở  Buồng cộng hưởng mở khác hộp cộng. trong buồng cộng hưởng. + Độ đơn sắc của chùm tia laser + Bức xạ laser bước sóng nào trong vô số các mode được khuếch đại trong buồng cộng hưởng - Buồng cộng hưởng thụ động: Buồng cộng hưởng. Chương 3 BUỒNG CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 3. 1 Gương quang học - Cấu tạo gồm nhiều lớp điện môi trong suốt, mỏng song song cách nhau bằng một lớp không khí lên đế. - Tính chất phản