(Luận văn) một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ thự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang lu MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP an n va NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC p ie gh tn to TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang lu MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP an n va NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC p ie gh tn to TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ w Mã số: 8460102 d oa nl Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z m co l gm @ PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo lu an Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 n va p ie gh tn to nl w d oa Nguyễn Nguyên Trang nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy Nguyễn Bích Huy Em xin phép bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Em xin chân thành tỏ lịng biết đến Q Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm giảng dạy tận tình quan lu an tâm, động viên, khích lệ suốt trình học tập thực Luận n va văn gh tn to Cuối cùng, em xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè p ie cổ vũ, động viên để em an tâm học tập nghiên cứu nl w Mặc dù em nỗ lực khả thời gian có d oa hạn nên Luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong Quý lu nf va an Thầy Cô phê bình để Luận văn hồn thiện Xin chân thành cám ơn z at nh oi lm ul Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 z m co l gm @ an Lu Nguyễn Nguyên Trang n va ac th si Mục lục Lời cam đoan lu an Lời cảm ơn n va gh tn to Danh mục kí hiệu p ie MỞ ĐẦU nl w oa Chương Kiến thức chuẩn bị d 1.1 Nón thứ tự sinh nón Chương Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 nf va an lu 1.2 Ánh xạ đa trị Tính liên tục z at nh oi lm ul 38 Chương Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42 z Chương Phương pháp sử dụng dãy lặp m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Bao đóng tập hợp A co A Bao lồi tập hợp A kxk Chuẩn phần tử x không gian định chuẩn X B (a; r ) Quả cầu mở tâm a , bán kính r B (a; r ) Quả cầu đóng tâm a , bán kính r L p (1 p < ∞) Không gian hàm khả tích cấp p an n va i K(F, D) Bậc topo ánh xạ đa trị F D ứng với nón K f² Ánh xạ ² - xấp xỉ ánh xạ đa trị F Ánh xạ đa trị từ X vào Y tn to Không gian hàm liên tục nón K gh lu C (K) p ie f : X → 2Y Bán kính phổ ánh xạ L d Giá hàm φ, supp φ = {x ∈ X : φ(x) 6= 0} nf va an lu supp φ {x ∈ X : u x v} oa 〈u, v〉 nl w r (L) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Từ năm 1930, nhà Toán học nhận thấy tầm quan trọng việc nghiên cứu ánh xạ đa trị Lý thuyết ánh xạ đa trị nghiên cứu mạnh mẽ từ năm 1950, xuất phát từ phát triển nội Toán học phát triển Khoa học, Kỹ thuật Kinh tế lu an Cho đến nay, Lý thuyết ánh xạ đa trị phát triển n va hồn chỉnh tìm ứng dụng có giá trị Toán học, to gh tn Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, , ví dụ Lí thuyết phương trình p ie vi phân, Lí thuyết điều khiển tối ưu, toán Kinh tế, nl w d oa Ở hướng khác, từ năm 1940, cơng trình nghiên lu nf va an cứu M.Krein, A.Rutman, hình thành Lí thuyết phương trình khơng gian với thứ tự sinh nón Lí thuyết mặt lm ul cho phép nghiên cứu sâu tính chất nghiệm phương trình z at nh oi (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, ), mặt khác cho phép nghiên cứu phương trình khơng có tính liên tục, vốn thường z gm @ gặp toán xuất phát Tự nhiên Xã hội co l Gần đây, nhà Toán học kết hợp hai lý thuyết nghiên m cứu bao hàm thức dạng an Lu ∈ F (x) (1) n va ac th si khơng gian có thứ tự Hướng nghiên cứu hứa hẹn đưa tới kết Lí thuyết Ứng dụng có giá trị Để nghiên cứu tốn (1) tùy theo tính chất ánh xạ F (tính đơn điệu, liên tục, compact, ) mà ta chọn phương pháp thích hợp Một mặt, nhà Toán học sử dụng phương pháp chung nghiên cứu bao hàm thức khơng gian khơng có thứ tự với chỉnh sửa cần thiết để sử dụng quan hệ thứ tự lu Mặt khác, để nghiên cứu bao hàm thức mà phương pháp chung an n va khơng áp dụng (như F khơng có tính chất liên tục, compact, tn to ), nhà Tốn học dựa vào tính chất ánh xạ có liên quan w thù p ie gh đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi, ) để đưa phương pháp đặc oa nl Để tìm kết để nghiên cứu toán d phát sinh ta cần tìm hiểu đầy đủ phương pháp nghiên cứu bao an lu nf va hàm thức dạng (1) khơng gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, lm ul phạm vi ứng dụng phương pháp Luận văn trình bày khơng gian có thứ tự z at nh oi vài phương pháp để nghiên cứu bao hàm thức z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Các kiến thức phần trích từ giảng ([6]) PGS.TS n va Nguyễn Bích Huy tn to Nón thứ tự sinh nón p ie gh 1.1 oa nl w Định nghĩa 1.1.1 d Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: nf va an lu i) K tập đóng z at nh oi iii) K ∩ (−K) = {θ} lm ul ii) K + K ⊂ K, λK ⊂ K ∀λ > Nếu K nón thứ tự X sinh K định nghĩa bởi: z @ co Mỗi x ∈ K\{θ} gọi dương l gm x y ⇔ y −x ∈K m Khi đó, cặp (X, K) gọi khơng gian Banach có thứ tự an Lu n va Nhận thấy quan hệ " " quan hệ thứ tự Thật vậy, ta có: ac th si • Phản xạ ∀x ∈ X, ta có x − x = θ ∈ K ⇒ x x • Phản xứng Lấy x, y ∈ X thỏa x y y x Ta có:          x y y −x ∈K y −x ∈K ⇒ ⇒ ⇒ y−x ∈ K ∩(−K ) ⇒ y−x = θ ⇒ x = y       y 6x x − y ∈ K  y − x ∈ −K • Bắc cầu lu an n va ie gh tn to ∀x, y, z ∈ X thỏa x y, y z , ta có:       x y y −x ∈K ¡ ¢ ¡ ¢ ⇒ ⇒ y − x + z − y ∈ K ⇒ z − x ∈ K ⇒ x z     y 6z z − y ∈ K p Như vậy, quan hệ thứ tự w d oa nl Mệnh đề Giả sử thứ tự sinh nón Khi đó: nf va an lu x y ⇒ x + z y + z, λx λy với z ∈ X, với λ > Nếu x n y n ∀n ∈ N∗ lim x n = x, lim y n = y x y lm ul (x n )n dãy tăng, hội tụ x x n x∀n ∈ N∗ z at nh oi Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn z gm @ ° ° ∃N > : θ x y ⇒ kxk N ° y ° co l Mệnh đề Giả sử " " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó, m Nếu u v đoạn 〈u, v〉 = {x ∈ X : u x v} bị chặn theo chuẩn an Lu n va Nếu x n y n z n ∀n ∈ N∗ , lim x n = lim z n = a lim y n = a ac th si 39 Do x x mà F ánh xạ (1) - tăng nên F (x ) 6(1) F (x ) Mà x ∈ F (x ) nên ∃x ∈ F (x ): x x kx − x k q kx − x k Do x x nên với x ∈ F (x ), ∃x ∈ F (x ) : x x kx − x k q kx − x k q kx − x k Lặp lại trình trên, ta tìm dãy (x n ) thỏa mãn x n ∈ F (x n−1 ) x n−1 x n , kx n+1 − x n k q kx n − x n−1 k q n kx − x k Khi ta có: lu ° ° ° ° °x n+p − x n ° = °x n+p − x n+p−1 + x n+p−1 − + x n+1 − x n ° an va ° ° n °x n+p − x n+p−1 ° + + kx n+1 − x n k to ie gh tn (q n+p−1 + q n+p−2 + + q n ) kx − x k p = n+p−1 X i q kx − x k = kx − x k n+p−1 X i =n i =n q n − q n+p q = kx − x k 1−q i oa nl w Vậy (x n ) dãy Cauchy X Lại thêm X không gian Banach nên d (x n ) hội tụ, nghĩa ∃x ∗ ∈ X : lim x n = x ∗ lu nf va an Do dãy (x n ) tăng nên x ∗ > x n ∀n ∈ N Do lm ul F (x n ) 6(1) F (x∗) ∀n ∈ N z at nh oi x n−1 x ∗ nên F (x n−1 ) 6(1) F (x ∗ ) ° ° Với x n ∈ F (x n−1 ), ∃y n ∈ F (x ∗ ) : °x n − y n ° q kx n−1 − x ∗ k z Cho n −→ +∞, ta lim y n = x ∗ @ m co Vậy F có điểm bất động x ∗ x ∗ > x l gm Do (y n )n ⊂ F (x ∗ ), F (x ∗ ) đóng lim y n = x ∗ nên x ∗ ∈ F (x ∗ ) an Lu Định lý 3.0.2 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón n va K M ⊂ X tập đóng, F : M −→ 2M \{;} toán tử đa trị thỏa mãn: ac th si 40 a) F (x) đóng với x ∈ X b) K nón chuẩn c) Tồn x ∈ X cho {x } 6(1) F (x ) d) Tồn toán tử tuyến tính L : X −→ X có bán kính phổ r (L) < 1, L(K) ⊂ K thỏa mãn x y ∀u ∈ F (x), ∃v ∈ F (y) : v − u L(y − x) Khi đó, F có điểm bất động M lu Chứng minh an n va Vì lim kL n k n = r (L) < nên ∃q ∈ (0, 1) cho kL n k q n n đủ lớn tn to Do c) nên ∃x ∈ F (x ) : x x p ie gh Từ giả thiết e), ta có x x nên với x ∈ F (x ), ∃x ∈ F (x ) thỏa nl w x x x − x L(x − x ) d oa Do x x nên ∃x ∈ F (x ) thỏa: nf va an lu x x x − x L(x − x ) Cứ tiếp tục vậy, ta dãy (x n ) dãy tăng thỏa: lm ul x n+1 − x n L(x n − x n−1 ) L (x n−1 − x n−2 ) L n (x − x ) z at nh oi Vì K nón chuẩn nên ∃N > cho: z ° ° kx n+1 − x n k N °L n ° kx − x k N q n kx − x k gm @ co l Suy m ° ° ° ° ° ° °x n+p − x n ° °x n+p − x n+p−1 ° + °x n+p−1 − x n+p−2 ° + + kx n+1 − x n k q n − q n+p 1−q n va i =n q i = N kx − x k an Lu N kx − x k n+p−1 X ac th si 41 Vậy (x n ) dãy Cauchy Mà X không gian Banach nên (x n ) hội tụ, nghĩa ∃x ∗ ∈ X : lim x n = x ∗ Do (x n )n dãy tăng nên x n x ∗ ∀n ∈ N∗ Ta có x n−1 x ∗ , điều kiện d) nên F (x n−1 ) F (x ∗ ), mà x n ∈ F (x n−1 ) nên ∃y n ∈ F (x ∗ ) thỏa y n − x n L(x ∗ − x n−1 ) ° ° ⇒ ° y n − x n ° N kLk kx ∗ − x n−1 k lu an ⇒ lim y n = lim x n = x ∗ n va Lại có F (x ∗ ) đóng, (y n ) ⊂ F (x ∗ ), y n −→ x ∗ , suy x ∗ ∈ F (x ∗ ) tn to p ie gh Do F có điểm bất động x ∗ x ∗ > x d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy lu an n va tn to Các kiến thức trình bày tham khảo từ trang 91 đến trang p ie gh 99 tài liệu ([5]) w Mệnh đề (Nguyên lý Entropy) d oa nl Cho (M , 6) tập thứ tự hàm S : M −→ [−∞; +∞) thỏa: nf va an lu a) Mọi dãy tăng tập M có cận thuộc M (x n a ∈ M ) b) S đơn điệu tăng (a b ⇒ S(a) S(b)) bị chặn (∃N > : S(a) z at nh oi lm ul N , ∀a ∈ M ) Khi đó, tồn u ∈ M cho ∀v ∈ M , v > u ⇒ S(u) = S(v) z Chứng minh @ l gm Coi S(M ) 6= {−∞} Lấy tùy ý u ∈ M mà S(u ) 6= −∞ xây dựng phần m co tử u u sau: Nếu βn = S(u n ) u n giá trị cần tìm n va 42 an Lu Giả sử có u n , ta đặt Mn = {v ∈ M : v > u n }, βn = sup{S(v) : v ∈ Mn } ac th si 43 Nếu βn > S(u n ), ta tìm u n+1 thỏa mãn:  u n+1 M n Ô 1Ê   S (u n+1 ) > βn − βn − S (u n ) Nếu trình vơ hạn ta có dãy tăng {u n } thỏa: 2S(u n+1 ) − S(u n ) > βn , ∀n ∈ N∗ Gọi u cận {u n } Với v > u , ta có: lu v ∈ M n , ∀n ∈ N∗ an n va ⇒ S(v) βn 2S(u n+1 ) − S(u n ) gh tn to ⇒ S(v) lim S(u n ) (Giới hạn tồn S đơn điệu tăng bị chặn (giả thiết)) p ie nl w ⇒ S(v) S(u) hay S(v) = S(u) (Điều phải chứng minh) d oa Định lý 4.0.1 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón a) F (x) đóng ∀x ∈ M nf va an lu K, M ⊂ X tập đóng F : M −→ 2M \{;} ánh xạ (1)−tăng thỏa mãn: lm ul z at nh oi b) Tồn x ∈ X cho {x } 6(1) F (x ) c) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y > y z m co Khi đó, F có điểm bất động cực đại M l hội tụ gm @ d) Nếu dãy (x n ), (y n ) dãy tăng cho y n ∈ F (x n ) dãy (y n ) an Lu n va ac th si 44 Chứng minh Đặt M0 = {x ∈ M : {x} 6(1) F (x)} Ta giả sử x y ∀y ∈ F (x) với x ∈ M (4.1) Ta định nghĩa toán tử G xác định M0 sau: G(x) = F (x) ∩ [x, +∞) Khi đó, x y ∀y ∈ G Mặt khác, ta có: G : M0 −→ 2M0 Thật ta có: ∀y ∈ G(x) x y ⇒ F (x) 6(1) F (y) Mà y ∈ F (x) ⇒ {y} 6(1) F (y) ⇒ y ∈ M lu an Nhận xét: G thỏa tất điều kiện định lý Thật vậy, n va (x n ) ⊂ G(x) ⇒ (x n ) ⊂ F (x) Mà F (x) đóng nên z ∈ F (x) ie gh tn to • Lấy x ∈ M Giả sử dãy (x n ) ⊂ G(x) x n −→ z Ta có: p Mặt khác, x n > x ∀n ∈ N∗ nên z > x Suy z ∈ G(x) w d oa nl Nghĩa G(x) đóng an lu • Theo giả thiết, ∃x ∈ X : {x } 6(1) F (x ) ⇒ ∃z ∈ F (x ) : x z nf va ⇒ z ∈ F (x ) ∩ [x , +∞) = G(x ) ⇒ z ∈ G(x ) z at nh oi lm ul Nghĩa ∃x ∈ X : {x } 6(1) G(x ) • Lấy x ∈ M , ∀y , y ∈ G(x) ⇒ y , y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y > y , y > y nên y > x ⇒ y ∈ G(x) z co l gm • Lấy x ∈ M @ Do vậy, ∃y ∈ G(x) : y y, y y m Lấy (x n ), (y n ) dãy tăng, thỏa x n y n , y n ∈ G(x n ) an Lu Khi ta có y n ∈ F (x n ), y n > x n va ac th si 45 Theo giả thiết, (y n ) −→ z ∈ F (x) Khi z ∈ F (x n ), z > x ⇒ y n −→ z ∈ G(x) Ta kiểm tra F (M0 ) ⊂ M0 Thật vậy, lấy y ∈ F (M0 ) ∃x ∈ M0 : y ∈ F (x) Theo (4.1) x y ⇒ F (x) 6(1) F (y) ⇒ {y} 6(1) F (y) ⇒ y ∈ M0 Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta cần kiểm tra điều kiện sau: Điều kiện 1: Chứng minh dãy tăng (x n ) M0 có cận lu an n va Lấy (x n ) dãy tăng M0 (y n ) tăng p ie gh tn to Vì F ánh xạ (1) - tăng nên lấy (y n ) dãy cho y n ∈ F (x n ) w Theo điều kiện d ) (y n )n hội tụ, đặt y = lim y n Khi y n y ∀n ∈ oa nl N∗ (do (y n ) dãy tăng) d Vì y n ∈ F (x n ) nên theo (∗), ta có x n y n ∀n ∈ N∗ Do an lu nf va x n y ⇒ F (x n ) 6(1) F (y) n ∈ N∗ lm ul Khi đó, ∃z n ∈ F (y) : y n z n z at nh oi Do điều kiện c), ta xem (z n )n dãy tăng Khi dãy (z n )n hội tụ e ∈ F (y) (do F (y) đóng) z Do z n e ∀n ⇒ y n e ⇒ y e Mà e ∈ F (y) nên {y} 6(1) F (y) ⇒ y ∈ M0 m co l gm Vậy dãy tăng (x n )n có cận y ∈ M0 @ Như vậy, ∃y ∈ M0 : x n y ∀n ∈ N∗ trên, xác định M0 an Lu Điều kiện 2: Chứng minh tồn hàm đơn điệu tăng, bị chặn n va ac th si 46 Lấy x ∈ M0 , điều kiện c) nên ∃y, z ∈ M0 : x y z ; F ánh xạ đa trị (1) - tăng nên F (y) 6(1) F (z) Khi đó, ∀u ∈ F (y), ∃v ∈ F (z) : u v Đặt: M x = {(u, v) ∈ M ×M |u v ∃y, z ∈ M : u ∈ F (y), v ∈ F (z), x y z} lu Do (x, x) ∈ M x nên M x 6= ; Xét hàm: an va S : M −→ [0, +∞) n Nhận xét: S hàm giảm nên (−S) hàm tăng p ie gh tn to x 7−→ S (x) = sup{ku − vk |(u, v) ∈ M x } w Như vậy, (−S) hàm đơn điệu tăng, bị chặn xác định oa nl M0 d Áp dụng nguyên lý Entropy cho M0 hàm (−S) thì: an lu (4.2) nf va ∃a ∈ M : ∀x ∈ M , x > a ⇒ S(x) = S(a) lm ul Ta chứng minh S(a) = z at nh oi Giả sử ngược lại, giả sử ∃α > : S(a) > α Ta có sup{ku − vk |(u, v) ∈ M a } > α z m an Lu y ∈ F (x ), y ∈ F (x )      ° °   ° y − y ° > α, y y co l     a x1 x2     gm @ ⇒ ∃x , x , y , y ∈ M : n va ac th si 47 Vì    a x ,    a x nên a y ∈ M0     y ∈ F (x )   x2 y Do (4.2), ta S(y ) = S(a) > α Do S(y ) > α nên sup{ku − vk |(u, v) ∈ M y } > α, ∃x , x , y , y ∈ M cho:     y x3 x4     lu y ∈ F (x ), y ∈ F (x )        ky − y k > α, y y an n va Vì y ∈ F (x ) nên x y x x p ie gh tn to y ∈ F (x ) nên x y ⇒ y y    a x2 Khi ⇒ a y ∈ M ⇒ S(y ) = S(a) > α    x2 y thỏa d oa nl w Một cách tương tự, ta có dãy (x n )n , (y n )n tăng cho y n ∈ F (x n ) lu Vậy S(a) = nf va an ky 2n−1 − y 2n k > α (mâu thuẫn với d)) lm ul Ta chứng minh b ∈ F (a) điểm bất động F M z at nh oi Do b ∈ F (a) nên a b Lấy c ∈ F (b) b c Khi đó, a b c ⇒ (b, c) ∈ M a ⇒ kb − ck S(a) = ⇒ kb − ck = z gm @ ⇒ b = c co l Suy b ∈ F (b) Như vậy, b điểm bất động F M m Ta chứng minh b điểm bất động lớn F M an Lu Thật vậy, x điểm bất động F M thỏa n va ac th si 48 x > b Khi đóta có:      b x b x ⇒ ⇒ a b x ⇒ (b, x) ∈ M a      b ∈ F (a)  a b ⇒ kb − xk S(a) = ⇒ b = x Vậy b điểm bất động lớn F M Hệ 4.0.2 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K, M = 〈u, v〉 ⊂ X lu F : M −→ 2M \{;} toán tử đa trị (1)−tăng thỏa mãn: an n va a) F (x) đóng, ∀x ∈ M to gh tn b) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y > y p ie c) K nón Chứng minh d oa nl w Khi đó, F có điểm bất động M lu nf va an Ta chứng minh điều kiện Định lý 4.0.1 thỏa lm ul Ta có M = 〈u, v〉 nên {u} 6(1) F (u) z at nh oi Lấy (x n ), (y n ) dãy tăng cho y n ∈ F (x n ) Ta có (y n ) bị chặn y n v ∀n ∈ N∗ Hơn nữa, K nón nên z (y n ) hội tụ @ điểm bất động M m co l gm Như vậy, tất điều kiện Định lý 4.0.1 thỏa Do F có an Lu Hệ 4.0.3 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K n va M = 〈u, v〉 ⊂ X , F : M −→ 2M \{;} toán tử đa trị (1)−tăng thỏa mãn: ac th si 49 a) F (x) đóng, ∀x ∈ M b) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y > y c) K nón chuẩn X khơng gian phản xạ Khi đó, F có điểm bất động M Chứng minh Do K nón chuẩn X khơng gian phản xạ nên K nón Khi đó, giả thiết Hệ 4.0.2 thỏa mãn Từ ta lu suy F có điểm bất động an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 50 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày được: Phương pháp sử dụng bậc topo Phương pháp sử dụng dãy lặp Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy việc tìm hiểu bao hàm thức khơng gian có thứ tự lu Tùy vào lớp ánh xạ mà có phương pháp đặc an n va thù để nghiên cứu, tìm hiểu Ví dụ phương pháp sử dụng bậc topo gh tn to sử dụng để nghiên cứu tính chất tập nghiệm phương trình nghiên cứu cặp riêng dương ánh xạ đa trị, áp dụng p ie w ánh xạ F có tính compact nửa liên tục nửa liên oa nl tục dưới; phương pháp sử dụng dãy lặp sử dụng để nghiên cứu d tồn điểm bất động ánh xạ đa trị có điều an lu nf va kiện liên quan đến tính co; phương pháp sử dụng Nguyên lý Entropy z at nh oi cần điều kiện liên tục lm ul dùng để nghiên cứu điểm bất động ánh xạ đa trị tăng mà không Thông qua việc viết Luận văn này, thân hiểu kiến thức z học Giải tích hàm, Giải tích thực, biết vận dụng chúng gm @ học tập vấn đề làm quen với công việc nghiên cứu m co l khoa học n va viên Cao học học giải tích Đa trị an Lu Hi vọng Luận văn phần hỗ trợ sinh viên Đại học học ac th si 51 HỌC VIÊN THỰC HIỆN lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Tài liệu tham khảo [1] J.Aubin-I.Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, J.Wiley and Sons, New-York, 1984 lu an [2] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Spring-Verlag, Berlin, va n 1985 tn to p ie gh [3] L.Gasinskii, N.S.Papageorgiou, Nonlinear Analysis, Chapman and nl w Hall/CRC, 2005 d oa [4] N B Huy, N H Khanh, Fixed Point for multivalued increasing op- nf va an lu erators, J Math Anal Appl, 250(2000), 368-371 [5] Nguyen Bich Huy, Fixed points of increasing multivalued operators lm ul and an application to discontinous alliptic equations, Nonlinear z at nh oi Analysis, 51(2002), 673-678 z [6] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình mơn Giải tích phi tuyến 2, Thành phố @ l gm Hồ Chí Minh, 2010 m co [7] N B Huy, T T Binh, V V Tri, The monotone monorant method and an Lu eigenvalue problem for multivalued operators in cones, Fixed Point Theory, 19(2018), 275-286 n va 52 ac th si 53 [8] Phan Quốc Khánh, Giải tích đa trị (Giáo trình Cao học), ĐHQG Tp.HCM, 1999 [9] V V Prasolov, Elements of Combinational and Differential Topology (pp 93-99), American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, 2006 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si