(Luận văn) không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng lu an n va to p ie gh tn KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, w KHÔNG GIAN F – MILUTIN d oa nl VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ll u nf va an lu oi m z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng lu an KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, n va gh tn to KHÔNG GIAN F – MILUTIN p ie VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI nl w : 60 46 01 05 ll u nf va an lu Mã số d oa Chun ngành : Hình học tơpơ m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z @ gm NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: m co l TS NGUYỄN HÀ THANH an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Nguyễn Hoàng Dũng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ lu an Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành công! va n Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô ie gh tn to Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện p Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn nl w Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình d oa học tơpơ khoa Tốn khóa 26 sẻ chia giúp đỡ thời an lu gian học tập làm luận văn va Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ll u nf quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học oi m z at nh Nguyễn Hoàng Dũng z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian compact 1.3 Không gian mêtric lu 1.4 Đồng cấu nhóm an 1.5 Không gian lồi địa phương va n 1.6 Dàn Banach tn to 1.7 Toán tử 10 gh 1.8 Độ đo 13 p ie 1.9 Hàm tử 14 w 1.10 Khối lập phương Cantor 15 oa nl 1.11 Khối lập phương Tychonoff 16 d Chương KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN 18 lu an 2.1 Không gian Dugundji không gian Milutin 18 u nf va 2.2 Một số định lý không gian F – Dugundji F – Milutin 20 ll Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN oi m F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 z at nh 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức 37 z KẾT LUẬN 48 @ m co l gm TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Với hàm tử chức F : Comp  Comp phạm trù Comp không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa khái niệm không gian F – Dugundji F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển không gian Dugundji Milutin Qua đó, ta chứng minh lớp khơng gian F – Dugundji trùng với lớp co rút F – giá trị tuyệt đối Kế tiếp, cho X khơng gian compact Dugundji với tích tensơ tương lu an ứng hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X co rút F – giá n va trị tuyệt đối tập hai phần tử 0,1 co rút F – giá trị tuyệt to gh tn đối p ie Ta chứng minh với hàm tử Lip k phiếm hàm k w – Lipschitz ( k  ), co rút Lip k – giá trị tuyệt đối sinh mở Mặt khác, oa nl compact hóa điểm không gian rời rạc khơng đếm d khơng thể sinh mở lại co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối lu an Tổng quát hơn, không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa ll z at nh 1.2 Thực tiễn đề oi m k  2n   u nf va nâng rời rạc hữu hạn n  ht  X  co rút Lip k – giá trị tuyệt Một định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với hàm xác định tập đóng X khơng gian z số liên tục f : X  @ gm tôpô thông thường Y xác định thác triển liên tục f : Y  l m co Trước đây, có nhiều nỗ lực nhằm hợp định lý Tietze-Urysohn tốn tử quy Dugundji đề cập [9] mong muốn hoàn toàn an Lu tự nhiên hợp lý, nhiên nỗ lực thất bại tồn n va ac th si cặp  X , A không gian Hausdorff compact A  X khơng nhận tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C  A  C  X  Điều khiến A.Pelczynski [15] ý tưởng giới thiệu lớp không gian compact Dugundji Tồn không gian compact X nhận với phép nhúng X  Y vào khơng gian Hausdorff compact Y tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C  X   C Y  Việc nghiên cứu có hệ thống lớp không gian compact Dugundji bắt đầu A.Pelczynski khơng lâu sau khơng gian compact lu Dugundji chứng minh mô tả co rút P – giá trị an n va tuyệt hàm tử P : Comp  Comp độ đo xác suất phạm tn to trù Comp không gian Hausdorff compact ánh xạ liên tục Cần gh nhắc lại với không gian Hausdorff compact X khơng gian độ đo C X  p ie xác suất P  X  không gian Tychonoff cấp phiếm tuyến tính quy  :C  X   bao gồm tất nl w (  quy có nghĩa d oa   f   conv  f  X   ) Ta đồng điểm x  X với độ đo Dirac  x xác định phép nhúng tắc  : X  PX X vào ll m với độ đo xác suất u nf gán x va an lu  x : C  X   , gán hàm số f  C  X  với giá trị f  x  x Phép oi Đồng thời R Haydon làm sáng tỏ hiểu biết cấu trúc z at nh không gian Dugundji compact chứng minh lớp không gian z Dugundji compact trùng với lớp AE   mở rộng compact tuyệt đối số gm @ chiều không m co l Như thấy trước sau Haydon có nhiều nghiên cứu vấn đề đặt xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin an Lu n va ac th si co rút F – giá trị tuyệt đối đạt nhiều kết Từ cho thấy cấp thiết đề tài cần quan tâm nghiên cứu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu khơng gian Dugundji nhà tốn học giới Việt Nam từ báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts hai tác giả Taras Banakh Taras Radul xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2015 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 2.1 Mục tiêu nghiên cứu lu an Từ chứng minh R Haydon lớp không gian Dugundji compact n va trùng với lớp AE   giãn tử compact tuyệt đối số chiều không tn to Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu:  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan không p ie gh  Định lý Haydon chứng minh định lý Haydon nl w gian compact F – Dugundji không gian compact F – Milutin d oa  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan co rút F – an lu giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối va  Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối số hàm tử chức ll u nf 2.2 Phương pháp nghiên cứu oi m Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số z at nh kết có liên quan đến nội dung luận văn làm sở lý luận trình bày lại số khái niệm kết có chứng minh số định lý tính chất gm @ Cấu trúc luận văn z m co l Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết thúc an Lu n va ac th si Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương nhằm đưa số kiến thức cần thiết cho chương chương Chương 2: Không gian F – Dugundji F – Milutin: Chương luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji F – Milutin tính chất liên quan Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt lu an đối: Chương luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối không n va gian F – Milutin tuyệt đối tính chất liên quan Cuối chương tơi xin trình Kết luận: Chúng hệ thống lại kết trình bày gh tn to bày số kết có xét F hàm tử cụ thể p ie chương chương số vấn đề nhằm định hướng phương hướng d oa nl w nghiên cứu tương lai ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương giới thiệu nhắc lại số khái niệm kết nhằm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Các định nghĩa trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [12] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: , X  ; lu an U ,V   U V  ; va n U i  , i  I  U i  Khi đó, ta gọi  tơpơ X  X ;  không gian tôpô ie gh tn to iI p 1.1.2 Lân cận điểm nl w Cho không gian tôpô  X ;  điểm x  X , U  X gọi lân cận d oa x tồn V  cho x V V  U an lu 1.1.3 Tập đóng 1.1.4 Tơpơ cảm sinh u nf va Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở ll Cho không gian tôpô  X ;  A  X oi m z at nh Ta có họ  A   A  U :U mở X  họ tập mở A  A m co l gm @ gian tôpô không gian tôpô  X ;  z tôpô A cảm sinh từ tôpô  Khi  X ; A  gọi khơng an Lu n va ac th si 37 Với phép nhúng từ X  Y vào khơng gian compact Hausdoff iii) Y , Y  có tốn tử e : X   Y cho:  e U   X  U với tập mở U  X  e U   e V    với hai tập mở U ,V  X 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức Trong phần nghiên cứu lớp AR  F  với hàm tử chức F cụ thể Trước tiên, nhắc lại định nghĩa tính chất số phiếm hàm lu 3.2.1 Định nghĩa số phiếm hàm hàm tử: an n va Cho X khơng gian compact Ta nói phiếm hàm  :C  X   tn to là: gh  Bảo toàn   cX   c cho hàm cX : X  c  p ie  Bảo toàn thứ tự   f     g  với hàm f  g , f , g  C  X  nl w  Bảo toàn thứ tự yếu   a     f     b  với hàm f  C  X  d oa với hàm a, b  C  X  với a  f  b u nf f , g C  X  va an lu  Bảo toàn cực tiểu    f , g    f  ,   g  với hàm ll  Bảo toàn cực đại   max  f , g  max   f  ,   g  với hàm oi m z at nh f , g C  X  z Bảo toàn cực tiểu yếu    f , c    f  ,   c  với hàm gm @ f  C  X  hàm c  C  X  an Lu hàm f  C  X  hàm c  C  X  m co l  Bảo toàn cực đại yếu   max  f , c  max   f  ,   c  với n va ac th si 38  Cộng tính   f  g     f     g  với hàm f , g  C  X   Cộng tính yếu   f  c     f     c  với hàm f  C  X  hàm c  C  X   Nhân tính yếu   c f     c .  f  với hàm f  C  X  hàm c  C  X   k – Lipschitz với k    f     c   k f  g với hàm f , g C  X  lu Cho hàm f  C  X  , ta kí hiệu chuẩn f không gian Banach an n va C  X  f  sup xX f  x  tn to Các tính chất phiếm hàm nêu cho phép ta định nghĩa hàm tử C   gán không gian compact X với khơng gian đóng C X  ie gh hàm tử p không gian phiếm hàm  C X  :  bảo toàn ; oa nl w  V X   ; d  V  X    V  X  :  bảo toàn thứ tự ; lu va an  V  X    V  X  :  bảo toàn thứ tự yếu  ll u nf  Vmin  X    V  X  :  bảo toàn cực tiểu   m Vmax  X    V  X  :  bảo toàn cực đại oi   z at nh  Vmin  X    V  X  :  bảo toàn cực tiểu yếu   z Vmax  X    V  X  :  bảo toàn cực đại yếu  V  X    V  X  :  có tính cộng tính yếu an Lu  V  X    V  X  :  có tính nhân tính  m co l  V  X    V  X  :  có tính cộng tính  gm @  n va ac th si 39  Lip k  X    V  X  :  k - Lípchitz   với k  Một số hàm tử viết thành giao hàm tử Ví dụ như:  V  V hàm tử phổ dụng xét T.Radul  P  V  V  V hàm tử độ đo xác suất (xem [11])  I  V  Vmax hàm tử độ đo lũy đẳng (xem [23])  O  V  V hàm tử phiếm hàm bảo toàn cấp cộng tính yếu định nghĩa T.Radul  S  V  V  V hàm tử định nghĩa nghiên cứu bới V.Valov lu an [22] va n  Vmax  Vmin  V đẳng cấu với hàm tử G siêu không gian gh tn to growth p ie  Vmin  Vmax  V Vmin  Vmax  V đẳng cấu với hàm tử exp siêu w không gian oa nl Khi hàm tử Vmin  Vmax  V Vmin  Vmax  V đẳng cấu đến exp d siêu không gian hàm tử, mô tả Fedorchuk lớp AR exp sau: va an lu 3.2.2 Định lý: ll u nf AR Vmin  Vmax  V   AR Vmin  Vmax  V   AR exp  AR 1 oi m Tiếp theo mô tả lớp AR  S  cho hàm tử S  V  V  V  V z at nh V Valov đưa [22] z 3.2.3 Định lý (Valov) Với hàm tử S  V  V  V , lớp AR  S  trùng gm @ với lớp OG compact sinh mở quát sau m co l Nhận xét, bao hàm thức AR  S   OG suy từ định lý tổng an Lu n va ac th si 40 3.2.4 Định lý Cho X không gian compact hàm tử chức F : Comp  Comp thỏa:     FX   V  X  : sup   f     g  : f , g  C  X  , f  g  0, f  g   Nếu X  AR  F  khơng gian compact X sinh mở Chứng minh Cố định không gian compact X  AR  F  Nếu X   , khơng có cần chứng minh Vì thế, ta giả sử X   Để X sinh mở, ta áp dụng định lý 3.1.12 Nhúng X vào lu không gian compact Hausdorff Y Khi X co rút F – giá an n va trị tuyệt đối, có ánh xạ r : Y  FX cho r  x   F  x   FX , x  X tn to Có nghĩa F x  V  x  khác rỗng trùng với tập điểm p ie gh V x   X  x  Điều cho phép ta đồng X với tập đóng X gồm độ đo Dirac w   x  : x  X   FX  V  X   oa nl Đầu tiên ta xây dựng toán tử mở rộng e :  X   FX Chọn   cho  d  2  sup   f     g  : f , g  C  X  , fg  0, f  g  an lu C X  f : X  0,1 cho có ánh xạ liên tục supp  f   f 1  0,1  U Do X quy oi z at nh đầy đủ suy e U   X  U m   f     ,    f   1   ll   FX  u nf va Cho tập mở U  X , xét tập mở e U  FX gồm tất hàm tử z Ta chứng minh rằng: e U   e V    với tập mở rời gm @ an Lu (1) supp  fU   U ,supp  fV   V m co hai ánh xạ liên tục fU , fV : X  0,1 cho: l U ,V  X Giả thiết điều ngược lại, ta tìm hàm tử   e U   e V  n va ac th si 41 (2)   fU        fV   1   Điều kiện (1) suy fU   fV   0, fU  fV    fU      fV    2 (do cách chọn  ) Mặt khác, điều kiện (2) cho   fU      fV    2 (dẫn đến mâu thuẫn) Toán e :  X   FX tử ánh r : Y  FX xạ sinh toán tử r 1  e U   thỏa hai tính chất định lý 3.1.12 r 1 e :  X   Y , r 1 e : U Suy không gian X sinh mở  lu Kết hợp với định lý 3.2.4 định lý Valov 3.2.3, ta có hệ sau: an 3.2.5 Hệ Cho k  1,2  hàm tử F  Lip k với n va Hệ dẫn đến kết sau phát biểu Valov [22] gh tn to AR  F   OG V  V  V  F AR  F   OG p ie 3.2.6 Hệ Hàm tử O  V  V phiếm hàm bảo tồn thứ tự nl w cộng tính yếu có AR O  OG oa Một điều cần lưu ý với k  hệ 3.2.5 khơng cịn lớp d AR  Lip3  chứa số không gian compact rời rạc mà không sinh mở an lu u nf va Một không gian tôpô X gọi rời rạc tập khác rỗng A ll X chứa điểm cô lập Cho A không gian X , ta kí hiệu oi m tập chứa điểm không cô lập A A1 cho số  , ta ký hiệu X      1 với   Với không gian rời rạc X , gm @    X z cô lập X X    z at nh tập dẫn xuất thứ  X Đặt X  0  X , X 1 tập tất điểm không l  dãy vô hạn  X   giảm ngặt, X     với   tập hữu hạn an Lu X m co Cái nâng rời rạc ht  X  X số  nhỏ cho tập dẫn xuất n va ac th si 42 Ví dụ: Một khơng gian compact vô hạn X với điểm không cô lập có nâng rời rạc ht  X   3.2.7 Định lý Mỗi không gian compact rời rạc paracompact kế thừa X nâng rời rạc hữu hạn s  ht  X  với X s  co rút Fs –giá trị tuyệt hàm tử Fs  V  V  V  Lip2s 1 1 Chứng minh Vì V X  VX    f ,max f  f C  X  co rút tuyệt đối Ta xây dựng lu ánh xạ liên tục pX : VX  Fs  X  cho p X  X   X Sự tồn ánh an n va xạ pX chứng minh phép quy nạp nâng rời rạc tn to s  ht  X  Nếu s  X  0  X tập điểm không gian ie gh F0 X Ánh xạ rX : VX  F0 X có tính chất: p X  X   X p Bây ta giả thiết với số s  đó, tồn ánh xạ oa nl w pK : VK  Fht K  K với pK  X   X chứng minh cho không gian d compact rời rạc paracompact kế thừa K cho ht  K   s K  ht  K   an lu  Giả va thiết X không gian compact rời rạc paracompact kế thừa ll u nf nâng rời rạc ht  X   s X  s  tập điểm  Theo kết oi m Telgarsky [21], không gian rời rạc X \  paracompact có số chiều khơng z at nh mạnh, cho phép ta chọn phủ rời X \  tập mở z compact khác rỗng X \  Mỗi khơng gian A có nâng rời rạc @ tập điểm cho A m co  ht A mở, ta thêm giả thiết A l gm ht  A  ht  X   s Phân tích A thành hợp hữu hạn rời tập Giả thiết an Lu quy nạp cho ánh xạ liên tục pA : VA  Fht A  A  Fs1  A cho n va ac th si 43 p A  A   A Lấy  A : X  0,1 kí hiệu cho hàm đặc trung tập A (có nghĩa A   A1 1 ) Cố định rút rA : X  A xét rút VrA : VX  VA đặt  A  pA VrA     Fs1  A Giả sử: Với phiếm hàm  VX    Xác định ánh xạ p X : VX  V X cho phiếm hàm  VX tương ứng phiếm hàm p X    V X , cho ánh xạ   C  X  tương ứng với số thực pX         sup    A . A  A      inf    A . A  A     A  A  lu Trong công thức A   , ta cho    A   A  A       có nghĩa an n va sup    A . A  A      max    A . A  A      inf    A   A  A          A . A  A      gh tn to A  A  A  A  p ie Cách xác định phiếm hàm p X    cho thấy cộng tính yếu Tính nhân tính yếu phiếm hàm  A , A  nl w cho thấy tính nhân tính yếu phiếm d oa hàm p X    Tiếp theo, ta chứng minh phiếm hàm p X    bảo toàn thứ tự lu an yếu Thật vậy, va p X          sup    A . A  A      inf    A . A  A     A u nf A ll       inf    A    A       A   oi m A  X  z Do p X     V  V  V z at nh Tương tự ta chứng minh pX      max  gm @ Ta cần kiểm tra rằng: p X     Lip2s 1 1  X  Cố định hai ánh xạ l  ,  C  X  chọn (có thể rỗng) tập A , A , A , A  cho: m co A an Lu    A   A  A       sup    A   A  A     n va ac th si 44     A  A  A      inf    A . A  A     A    A . A  A      sup    A   A  A    A    A   A  A       inf    A   A  A      A Từ tính cộng tính yếu  2s  1  Lipschitz phiếm hàm  A , A  , cho ta: pX      pX                  A             A               A             A               A             A      1                            A     A           A     A    1                 1      1     1    1        1    lu        A   A  A         A  A  A     an  n va A A A A A A A  A  A A A A   p ie gh tn to  A A w  nl  A A d oa A A  A s s A ll u nf s  va A an lu A s 1 tương tự ta z at nh cách oi m Bằng chứng minh pX      pX       2s1  1   Điều cho kết z phiếm hàm p X     2s1  1  Lipschitz p X     Lip2s 1 1  X  gm @ , cho   , chuẩn l Sử dụng tính liên tục ánh xạ p A , A m co  A       cách hữu hạn có nhiều A , ta an Lu ánh xạ p X : VX  V  X  liên tục n va ac th si 45 Cuối cùng, ta kiểm tra pX         X  x  độ đo Dirac điểm x  X Nếu x  *    A    A   pX            cho vài hàm   C  X  Giả thiết x  X \  Khi X , có tập A phủ rời rạc chứa x Điều cho ta rA  x   x  A  p A VrA     p A VrA  X  x    p A  A  x     A  x  Lấy hàm   C  X  ,   x     p X             A   A  A       lu      1. A  x   A      an n va         x           x  tn to Nếu   x     p X              A   A  A     ie gh      1.  x          x  p Vì p X     p X  X  x     X  x     w oa nl 3.2.8 Định lý Mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa d nâng rời rạc hữu hạn s  ht  X  co rút F –giá trị tuyệt hàm lu u nf Chứng minh va an tử Fs1  V  V  V  Lip2s 2 1 ll Xét compact hóa điểm Y X  ) ý ht Y   ht  X    s  Y  s1 tập z at nh rạc đếm oi m (tích X với không gian rời điểm Theo định lý 3.2.7 không gian Y co rút F – giá trị tuyệt z l rút Y gm @ hàm tử Fs1  V  V  V  Lip2s 2 1 không gian X đồng cấu từ m co Trong [16, 1.7] đề cập đến không gian compact sinh mở có phần có điểm khơng lập khơng sinh mở an Lu tử đếm Điều dẫn đến không gian X compact không đếm n va ac th si 46 Mặt khác, theo định lý 3.2.7 X co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F  V  V  V  Lip3  3.2.9 Hệ Với X không gian compact khơng đếm có điểm không cô lập không sinh mở co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F  V  V  V  Lip3 AR  F   OG Kết hợp định lý 3.2.4, 3.2.7 mệnh đề 3.1.3 ta có hệ sau đây: 3.2.10 Hệ Hàm tử V  V  V  Lip3 không nhận phép biến đổi tự nhiên vào hàm tử Lip k với k  1,2  lu Với lý do, định lý 3.1.4 3.2.3 cho hệ quả: an n va 3.2.11 Hệ Hàm tử S  V  V  V không nhận phép biến đổi tự Điều thú vị cần ý hàm tử F  V  V  V có lớp cực đại gh tn to nhiên vào hàm tử chuẩn tắc F : Comp  Comp p ie AR  F  co rút F – giá trị tuyệt đối nl w 3.2.12 Định lý Cho hàm tử F  V  V  V lớp AR  F  trùng với lớp tất d oa không gian compact Hausdorff với không gian compact X không    ,max   co rút tuyệt đối, kéo theo lớp ll gian AR V  oi m C  X  u nf V X  VX  va ý an Chú lu Chứng minh z at nh chứa tất không gian compact Để chứng minh rằng: AR  F   AR V  đủ để xây dựng co rút gán hàm   C  X  với số thực l gm    max   Định nghĩa rút rX : VX  FX biến phiếm m co       FX @ Xét phiếm hàm z rX : VX  FX an Lu n va ac th si 47 hàm  V  X  thành phiếm hàm p X    biến hàm số khác   C  X  thành số thực                                                     Điều chứng minh rX     FX ánh xạ rX : VX  FX rút định nghĩa tốt từ VX vào FX lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 KẾT LUẬN Những kết đạt được: Luận văn trình bày: Các khái niêm không gian Dugundji, không gian Milutin, không gian co rút P – giá trị tuyệt đối mối liên hệ không gian qua định lý Haydon Các khái niệm không gian compact F – Dugundji, không gian compact F – Milutin định lý cung cấp cách chứng minh không gian compact không gian compact F – Dugundji F – Milutin Các khái niệm không gian co rút F – giá trị tuyệt đối F – Milutin lu an tuyệt đối định lý liên hệ không gian n va Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối số hàm tử chức F Một số câu hỏi: Câu hỏi Hàm tử F  V  V  V có co rút (tự nhiên) hàm ie gh tn to p tử V hay không? nl w Điều thấy rút rX : VX  FX xây dựng chứng minh d oa định lý 3.2.12 không xác định phép biến đổi tự nhiên r : V  F an lu Câu hỏi Có phải khơng gian X compact có điểm khơng u nf va lập co rút Lip - giá trị tuyệt đối hay không? ll Câu hỏi Mỗi khơng gian compact (rời rạc) có phải co rút Lip k - m oi giá trị tuyệt vài k hay không? z at nh Câu trả lời cho câu hỏi trước không gian Mrowka    m co  không gian Stone đại số Boolean l  n : n    gm @ Theo định nghĩa,  sinh hầu rời không đếm z tập vô hạn sinh họ an Lu n va ac th si 49 Mặt khác,   phương A   compact hóa điểm khơng gian compact địa với điểm n bị lập với A   A  A \ F : F  , F tập hữu hạn  họ sở lân cận A Không gian Mrowka có nâng rời rạc ht     khơng paracompact kế thừa Nó tách lại chứa không gian rời rạc hầu rời rạc tối đại  khơng đếm Nếu họ   dãy không Frechet-Urysohn Câu hỏi Không gian Mrowka    có phải co rút Lip k – giá lu an trị tuyệt vài số thực k  hay khơng? va n Ta nói hàm tử F : Comp  Comp bảo tồn số to tn khơng gian X compact vô hạn, số không gian FX với số ie gh không gian X p Chỉ số không gian tôpô lực lượng dương nhỏ sở Hiểu nghĩa là: w T    lực lượng  với tập tất sở T d oa nl w :  lu va an Câu hỏi Mỗi không gian compact co rút F – giá trị tuyệt đối u nf với vài hàm tử bảo tồn số F  V hay khơng? Điều có ll cho hàm tử Lip3 hay khơng? m Câu hỏi Sự compact hóa Stone-Cech  oi số nguyên dương có z at nh co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối hay không? z m co l gm @ an Lu n va ac th si 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2006), “Tôpô đại cương”, Nxb Giáo dục Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006) “Đại số đồng đều”, Nxb Đại học Quốc gia Tp.HCM Nguyễn Bích Huy (7/2006) “Tài liệu học tập - Mơn giải tích sở”, khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư phạm TP HCM Tiếng Anh Taras Banakh, Taras Radul (2015), “F – Dugundji spaces, F – Milutin lu an spaces and absolute F – valued retracts” Topology and its Applications, va 170, pp 34-50 n Math Anal 399 (1) (2013) 306-314 ie gh tn to R Alkins, V Valov, “Functional extenders and set-valued retractions”, J p I Banakh, T Banakh, K Yamazaki, “Extenders for vetor-valued functions”, w Math 191 (2009) 123-150 oa nl T Banakh, A Leiderman, “Uniform Eberlein compactifications of d metrizable spaces”, Topol Appl 159 (7) (2012) 1691-1694 lu va an R Cauty, “Sur les rétractes absolus Pn-valués de dimension finie”, Fundam u nf Math 158 (3) (1998) 241-248 ll J Dugundji, “An extension of Tietze’s theorem”, Pac J Math (1951) 353- oi m 367 z at nh 10 R Engelking, “General Topology”, Heldermann Verlag, Berlin, 1989 z 11 V Fedorchuk, “Probability measures in topology”, Usp Mat Nauk 46 gm @ (1991) 41-80 Constructions, Nauka, Moscow, 2006 m co l 12 V.V Fedorchuk, V.V Filippov, “General Topology” Fundamental and AE(0-dim)”, Stud Math 52 (1974) 23-31 an Lu 13 R Haydon, “On a problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces n va ac th si 51 14 A.A Milyutin, “Continuous function spaces”, Doctoral dissertation, Moscow State University, 1952 15 A Pelczynski, “Linear extensions, linear averagings, and their applications to linear topological classification of spaces of continuous functions”, Diss Math 58 (1968) 1-89 16 T Radul, “On functional representations of Lawson monads”, Appl Categ Struct (2001) 69-76 17 T Radul, “Monads and tensor products”, Proc Indian Acad Sci (2014), submitted for publication lu an 18 L.V Shirokov, “External characterization of Dugundji spaces and K- n va metrizable bicompacta”, Dokl Akad Nauk SSSR 263 (5) (1982) 1073- tn to 1077 gh 19 E Schepin, “Functors and uncountable powers of compacta”, Usp Mat p ie Nauk 36 (1981) 3-62 w 20 A Teleiko, M Zarichnyi, “Categorical Topology of Compact Hausdorff oa nl Spaces”, VNTL Publishers, Lviv 1999 d 21 R Telgarsky, “Total paracompactness and paracompact dispersed spaces”, lu va an Bull Acad Pol Sci, Sér Sci Math Astron Phys 16 (1968) 567-572 ll 331-341 u nf 22 V Valov, “Extenders and k-metrizable compacta”, Mat Zametki 89 (2011) m oi 23 M Zarichnyi, “Spaces and mappings of idempotent measures”, Izv Ross z at nh Akad Nauk Ser Mat 74 (2010) 45-64 z m co l gm @ an Lu n va ac th si