TOIYJISPHHE JEKHMW HO MATEMATHKE
Trang 5
LECCIONES POPULARES DE MATEMATICAS
G E SHÍLOV ANALISIS MATEMATICO EN EL CAMPO DE FUNCIONES RACIONALES
Traducido del ruso por Carlos Vega,
Candidato a doctor en ciencias
fisico-matematicas Segunda edicién
EDITORIAL MIR MOSCÚ
Trang 6Impeso en la URSS
Ha ucnanckox a3oike
Primera edici6n 1975 Segunda edici6n 1984
Trang 8
PREFACIO
Los conceptos de Ja derivada y' de ta integral, fundamen-
tales en el Analisis Matematico, no son elementales: en cual-
quier curso consecuente dé Analisis Matemético les preceden las teorjas de los miimeros reales, de los limites y de las fun- ciones continuas Esta exposicién previa es indispensable si se quiere enunciar dichos conceptos de forma suficientemente
universal con el fin de aplicarlos a clases de funciones lo
mas amplio posibles Sin embargo, limitandose a la clase relativamente estrecha de lds funciones racionales y recurrien-
do al lenguaje de la representacién grafica, es posible ex-
plicar estos conceptos en pocas paginas de una manera precisa
y, 4 la vez, enjundiosa Este es el objetivo de nuestro folleto
Trang 9§ 1 GRAFICOS
Aun suponiendo que el lector esta familiarizado con l: representación gráfica, recordaremos los momentos esenciales
Tracemos en el plano dos rectas perpendiculares, una hori
zontal y otra vertical, indicando por O el punto de intersec cién La recta horizontal se denomina eje de fas abscisas y |
vertical lleva el nombre de eje de fas ordenadas E] punto € divide cada uno de los ejes en dos kh uno positive y otro negativo: el semieje de la derecha del eje de tas abs-
cisas y el semieje de arriba del eje de las ordenadas se consi deran positivos, mientras que el semieje de la izquierda de eje de las abscisas y et semieje de abajo del eje de las orde
Pig i
nadas se consideran negativos; marquemos con flechas lo: semiejes positivos, La posicién de cualquier punto M de plano se puede entonces determinar mediante un par de nú meros Para ello bajemos desde M las perpendiculares a cad:
uno de los ejes obteniendo asi dos segmentos: OA y OB (fig 1)
La longitud del segmento OA, tomada con el signo «++» si 4 se halla en el semieje positivo y con el signo «—» si A se en cuéntra en el semieje negativo, se denomina abscisa del punic My se designa por x Andlogamente, la longitud del segment< OB {aplicando la misma regla para determinar su signo)
se denomina ordenada del punto M y se representa por y
Los niimeros x e y son las coordenadas del punto M Todc
punto del plano tiene coordenadas; ademas, 1a ordenada di cualquier punto del eje de las abscisas y la abscisa de cual
quier punto del eje de las ordenadas son iguales acero; amba coordenadas del origen de coordenadas O (puntode intersec ción de los ejes) soniguales a cero Reciprocamente a parti de dos nimeros arbitrarios x e y de signos cualesquiera si
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puede construir un punto M (que—momento muy impor-
tante—es tinico) cuya abscisa es x y cuya ordenada es y;
para ello bastara tomar en el eje de las abscisas el segmento OA=:x y levantar en A la perpendicular AM=y (teniendo en
cuenta la regia de los signos); M sera entonces el punto buscado
Sea dada una regla que indica las operaciones que deben
realizarse con la variable independiente (representada por x)
obtener el valor de la magnitud que nos interesa (representada por y)
Los matematicos suelen decir que toda regla de este tipo define la.magnitud y como funcién de la variable independiente x
En otras palabras, la funcién es precisamente la regla con- creta que permite hailar los valores de y a partir de los valo- res de x
Por ejemplo, la formula
1
Y=TtB
muestra que los valores de la magnitud y se obfienen elevando
al cuadrado la variable independiente x, agregando uno y di- vidiendo después el uno por el resultado obtenido Si x toma
un valor numérico xo, también y tomard, segiin esta formula, un valor numérico yo Los niimeros xo € Yo determinan en el plano un punto My En lugar de x se puede tomar otro nú- mero x, y calcular, empleando la formula, el valor nuevo ys;
el par de nameros x, y; determina en el plano un punto nuevo M, El lugar geométrico de todos los puntos del plano,
cuyas ordenadas estan ligadas a las abscisas segiin la formula
dada, se denomina grdfico de la funcién correspondiente
Hablando en términos generales, el conjunto de los puntos del gr4fico es infinito y, por eso, no podemos aspirar a cons-
truir todos esos puntos, sin excepción alguna, a partir de la tegla dada Pero podemos pasarnos sin ello ya que en la mayo- ria de los casos basta con unos cuantos puntos para juzgar de la forma general del grafico
La construccién del grafico «por el método de puntos» consiste en marcar ciertos puntos del grafico y en unirlos
mediante una linea suave
A titulo de ejemplo, consideremos el grafico de la funcién
Trang 11
En Ja primera fila aparecen los valores de x=0, I, 2, 3, —1l, —2, —3 Como regla general, conviene tomar para los calculos valores enteros de x En la segunda fila aparecen los valores correspondientes de y hallados mediante la fér- mula (1), Marquemos en el plano los puntos correspondien-
tes (fig 2) Trazando por ellos una linea suave, obtenemos el
grafico (fig 3)
Como vemos, !a construccién «por el método de puntos»
es muy sencilla y no requiere «ciencia» alguna Sin embargo, posiblemente por esta misma razón, la apHcación ciega del método de construccién «por puntos» puede conducir a errores
Trang 12FIG 4 y lỡ FIG 5
Consiruyamos «por el método de puntos» la curva corres-
pondiente a la ecuacién
9= Gea Ệ (2)
Tenemos la siguiente tabla de los valores de x e y corres pondientes a esta ecuacidn:
«fof [2] |- ‘ | ~2 —3 Vey dep Ta | 676 | 1 tp dp 21 a da I
Los puntos correspondientes del plano se indican
en la fig 4 muy parecida a la que acabamos de considerar
Uniendo los puntos marcados con una curva suave, obtene- mos el grafico (fig 5) Al parecer, podemos estar satisfechos y soltar el lápiz; jhemos Ilegado a dominar el arte de la cons-
Trang 13i
para x=0,5, Obtenemos un resultado inesperado: y=16 que no corresponde absolutamente al grafico Y no estamos
a salvo de que al calcular y para otros valores intermedios
de z —iniinitos, sea dicho de paso— no surjan incongruencias
aun mayores Lamentablemente, la construccién de los gra- ficos «por el método de puntos» no resulta lo suficientemente
‘a
Veamos otro método de construccién de gréficos de mayor
seguridad pues permite prevenirse contra situaciones inespe-
radas semejantes a la que acabamos de ver Empleando este
¥, + Co ——ee-DU lỡ ở FiG 6 FIG 7
método, lograremos mas adelante construir el grafico correcto correspondiente ala ecuacién (2) Segiin este método —!lamé-
moslo, por ejemplo, «método de operaciones»—, todas las
operaciones (adicién, sustraccién, multiplicacién, division,
etc.) que comprende la férmula dada se realizan directamente en los graficos
Comencemos con ejemplos elementales Construyamos el grafico correspondiente a la ecuación
yt @)
Esta ecuacién significa que son iguales las abscisas y las orde-
nadas de todos los puntos del grafico buscado El lugar geo- métrico de los puntos, cuyas ordenadas son iguales a sus abs-
cisas, es la bisectriz del Angulo que forman los semiejes positives y del Angulo que forman los semiejes negati-
Trang 1412
EI! grafico correspondiente a la ecuacién
yoke,
donde & es un coeficiente determinado, se obtiene del anterior multiplicando todas las ordenadas por un mismo nimero &
Sea, por ejemplo, =2; deberemos entonces duplicar cada ordenada del grafico anterior obteniendo asi una recta de mayor pendiente (fig 7): a cada paso hacia la derecha segin el eje x correspondera un desplazamiento de dos pasos hacia
arriba segin el eje y Baséndose en esto es facil realizar la
FIG 8
construccién empleando papel cuadriculado En el caso general de Ia ecuacién y=kx con un coeficiente & cualquiera
también se obtiene una recta Si &>0, a cada paso hacia la
derecha correspondera en esta recta un desplazamiento de & pasos hacia arriba según eÌ eje Si &<0, el desplazamiento será hacia abajo
Consideremos ahora la fórmula
g=kx+b (4)
Para obtener su grafico, debemos agregar a cada ordenada de la linea y=hx, que ya conocemos, un mismo ntmero 5;
de esta forma la recta y=hx se desplazará como un fodo en el
plano en 6 unidades hacia arriba sỉ b>0 (sỉ <0, la recta inicial descendera en lugar de elevarse) Como resultado ob- tendremos una recta paralela a la inicial; ella no pasara ya por el origen de coordenadas y cortara en el eje de ordena-
Trang 1513 FIG 10 FIG It FAG 12
El número & se llama coeficiente angular de la recta y=kx-+b; como hemos sefialado, el namero & indica cuadntos pasos hacia arriba corresponden en la recta a cada paso hacia la derecha En otras palabras, & es la tangente del angulo
entre la direccién del eje x y la recta y=kx+-b El grafico de la ecuacién
yk (x—Xo) + Yo 4)
es la recta de coeficiente angular & que pasa por el punto
(Xo, Yo) (fig 9) ya que tomando x=x,, obtenemos y=¥o
Por lo tanto, el grafico de cualquier polinomio de primer grado en x es una recta que se traza segiin las reglas expli-
cadas
Pasemos a los graficos de los polinomios de segundo grado
Trang 1614
Consideremos la férmula
gar, 6)
que puede ser representada asi
y=yj, donde y,=x
En otras palabras, el grafico requerido se obtiene elevando al cuadrado las ordenadas de la linea y=x que ya conocemos
Veamos lo que debe resultar
Puesto que 0*==0, 1°=1 y (—1)*=1, obtenemos tres puntos
basicos A, By C (fig 10), Six>1, se tiene x*>.; por eso, a la
derecha del punto B el grafico ira por encima de la bisectriz del cuadrante (fig 11).Si O<x<l, se tiene 0<cx*<<x, 0 sea, entre los puntos A y 8B el grafico ira por debajo de la bisectriz Es mas, afirmamos que, segin vaya aproximandose al punto A, el grafico quedaré dentro de cualquier Angulo limitado por
arriba por la recta y=kx, donde & es tan pequefio como se quiera, y por abajo por el eje x; en efecto, la desigualdad xt<ckx es valida siempre que x< Este hecho significa que
la curva buscada es éangenie al eje de las abscisas en el
punto O (fig 12) Desplacémonos ahora segin el eje x hacia
la izquierda respecto al punto O Sabemos que los nimeros —a y +a elevados al cuadrado dan el mismo resultado a’,
Por consiguiente, la ordenada de nuestra curva para x=—a@ seré la misma que para x=-+a Geométricamente esto signi-
fica que el grafico de nuestra curva correspondiente al se- miplano de la izquierda se obtiene del grafico ya construido en el semiplano de la derecha mediante una simetria respecto
al eje de las ordenadas Obtenemos asi la curva denominada pardbola (fig 13)
Procediendo igual que antes, podemos construir ahora la
curva mds compleja
yaa! (6)
y Ja curva ain mas compleja
` y=axt+b (7)
La primera se obtiene multiplicando por el nttmero a todas las ordenadas de la parabola (5) que denominaremos pardbola
estandard,
Trang 17FIG ve FIG 14 FIG 16 ¥ a<Q FIG 16
Si 0<a<l, la curva serd de pendiente mas suave (fig 15); si a<0, sus ramas se volcardn hacia abajo (fig 16)
Si b>0, la curva (7) se obtiene de la curva (6) mediante
un desplazamiento hacia arriba determinado por el
Trang 1816 y=ax?‹b 6x0 FIG 18
segmento 6 (fig 17) Si b<0, habra que desplazar la curva
hacia abajo (fig 18) Todas estas curvas también se denominan parábolas
Consideremos un ejemplo mas complejo empleando para la construccién del grafico el método de multiplicacién Supongamos que debemos construir el grafico correspondiente a ta ecuacién
y=x (X—]) (x—2) (x3) @)
Aqui tenemos el producto de cuatro factores Construyamos los graficos correspondientes a cada factor por separado; todos estos graficos representaraén rectas, paralelas a la bisectriz del cuadrante, que interceptardn en el eje de las ordenadas
segmentos de
0, —l, —2 y —3 tespectivamente (fig 19)
En los puntos 0, I, 2 y 3 del eje x Ia ordenada de la curva
buscada sera 0, ya que el producto es igual a cero si al menos
Trang 1917 FIG, 19 FIG 20 FIG 21
sera diferente de cero y su signo estara determinado por tos
signos de los factores Por ejemplo, a la derecha del punto 3
todos los factores son positives y, por consiguiente, el pro- ducto también resulta positivo Entre los puntos 2 y 3 uno de los factores es negativo y el producto se hace negativo Entre los puntos 1 y 2 hay dos factores negativos y, por lo tanto, el producto es positivo, ete Obtenemos Ja distribu- cién de los signos del producto indicada en la fig 20 A !a derecha del punto 3 todos los factores crecen cuando aumenta x y, por consiguiente, el producto también crece, ademas muy
rapidamente A la izquierda del punto 0 todos los factores
crecen en el sentido negative y, por eso, el producto (que es
positive) también crece rapidamente
Ahora es facil abocetar en lineas generales el gra-
Trang 20denommodor
PIG 23
Hasta aqui hemos considerado las operaciones de adicién y multiplicacién Agreguemos ahora a éstas la divisién Construyamos la curva
= @)
Con este fin construiremos por separado los graficos del nume
tador y del denominador EI grafico del numerador
“n=l
es una recta paralela al eje de las abscisas, a una unidad del eje El grafico del denominador
g=xl
Trang 21
FIG, 24 PIG: 25
et mismo valor de x) del denominador Si x=0, tenemos
0i=;=l de modo que y=1 Si x40, ef numerador es menor
que el denominador y el cociente es menor que 1 Puesto que
el numerador y el denominador son siempre positivos, et
cociente también es positivo y, por consiguiente, el grafico
queda situado en Ja franja comprendida entre el eje de las
abscisas y la recta y=1 Si x crece infinitamente, el denomi- nador también crece infinitamente, mientras que el numerador permanece constante; por eso, el cociente tiende a cero Todo esto conduce al siguiente grafico del cociente (fig 23); coin-
cide con el grafico obtenido por el método de puntos (fig 3)
En la división gráfica desempan un papel especial los
valores de x que anulan el denominador, Si el numerador es
distinto de cero, e! cociente se hace infinito Para comprender
el significado de estas palabras, construyamos la curva
1+: (10)
Conocemos ya los graficos del numerador y de! denomi-
nador (fig 24) Para x=1 tenemos y:=y,~1, de donde y=1
Si x>1, el numerador es menor que el denominador y el co-
ciente es menor que 1; cuando x crece infinitamente, el co-
ciente tiende a cero (igual que en el ejemplo anterior); asi
obtenemos la parte del grafico correspondiente a los valo- res x>1 (fig 25)
Consideremos ahora los valores de x comprendidos entre 0
Trang 2220 M ý 35 $ ý ¥ OY numerador tt numerador = x we ? Ry s$ <6 ¥ FIG 26 FIG 27
Por eso, el cociente crece infinitamente sobrepasando, para valores suficientemente pequefios de x, cualquier nimero por
grande que sea; asi obtenemos la rama que va a! infi-
nito (fig 26) Para x<0 el denominador y, por ende, el co- ciente son negativos El aspecto general del grafico puede
verse en la fig 27
Aliora podemos realizar debidamente la construccién
del grafico de la curva
1“ (i)
de la que hemos hablado antes
Construyamos primero el grafico del denominador La curva y=3x? es la parabola estandard «triplicada» (fig 28) La sustraccién de la unidad equivale al desplazamiento del
grafico en una unidad hacia abajo (fig 29) La curva cortara
el eje xen dos puntos que se determinan facilmente igualando
3⁄?—] acer0: xi ,s=zE V3 —+-05T 'Elevemos al cuadrado
el grafico obtenido, En los puntos x, y x2 las ordenadas con-
linuarán siendo iguales a cero, Todas las demas ordenadas seran positivas de modo que el grafico pasaré por encima
Trang 2321
xi y xạ Fuera de esie intervalo la curva se elevara brusca- mente en ambas direcciones (fig 30)
Hemos construido el grafico del denominador En esta misma figura hemos representado con una linea de puntos el grafico del numerador y=1 Resta dividir ahora el numerador
por el denominador Puesto que ambos tienen siempre el
Trang 2422 Cnomnador
por encima del eje de las abscisas Si x=0, el numerador y el
denominador coinciden y el cociente resulta igual a 1 Des-
‘placémonos segiin el eje x desde el punto 0 hacia la derecha
El numerador continuard siendo igual a 1 mientras que el denominadorira disminuyendo; por consiguiente, el cociente
ira creciendo a partir de 1 Cuando Ileguemos al punto x,=
Trang 25signi-23
fica que para ese momento el cociente se ira al infinito (fig 31) Pasado el punto x», el denominador comenzara a variar ra-
pidamente en el sentido contrario a partir del valor 0, pasando
por el valor 1 y aumentando después infinitamente El co- ciente, por el contrario, volverd del infinito a la unidad, cor- tard la recta y=! en el mismo punto que la corta la curva (3x1)? y continuard aproximandose después al cero tanto
como se quiera (fig 32)
Lo mismo ocurriraé a la izquierda del eje de las
ordenadas (fig 33)
En este tiltimo grafico hemos marcado los puntos corres-
pondientes a los valores enteros x=0, 1, 2, 3, —1, —2 y —3
Son los mismos que hemos tomado anteriormente (pag 10) al construir el grafico empleando «el método de puntos»
Pero 1a forma real del grafico difiere considerablemente de la
propuesta en la fig 5
En realidad, como vemos, la curva, en lugar de descender suavemente desde el valor 1 (para x=0) hasta el valor + (para x= 1}, se va hacia arriba hasta el infinito Aqui mismo podemos ver también el punto de coordenadas rod, y=16
que no encajaba en el grafico erréneo anterior y que encaja
perfectamente en el grafico nuevo, correcto
Hemos hablado de las operaciones elementales que se
pueden realizar con los graficos Mas exactamente: hemos
arrancado de la ecuacién elemental y=x aplicando después las cuatro operaciones aritméticas (adicién, sustraccién, multi- plicacién y división)
Las funciones y(x), que se obtienen aplicando estas ope- taciones, pueden ser representadas como el cociente de dos polinomios
PU) agate tage”
9)“ T BE thue
y se denominan funciones racionales de la variable x (En el Analisis también existen otras clases de funciones; pero la
definicién misma de estas funciones requiere el empleo de Ja teoria desarrollada de Jos niimeras reales; por eso, en el pre- ae pellets nos limitamos al estudio de las funciones racio-
Trang 2624
El lector que se haya interesado por la construccién de los grdficos por «el método de operaciones» puede resolver los problemas, de adiestramiento y autocontrol, que proponemos
PROBLEMAS
Constrúyanse los gráficos a partir de las ecuaciones dadas 1 g=x*>+x+I1 2 y=x (xl) y=xr(x—l), 4, y=x(x—1)* -—— xt"
Sugerencia En el problema $ conviene separar la parte entera
a T° x* x x—T° 6 y= 7 y=
Sugerencia En tos problemas 6 y 7 también conviene separar la
parte entera,
8 y= AV x
Sugerencia La raiz cuadrada đe x existe para x0" y no existe para x <0
9 y=+V T—x* «Como demostrar que la curva obtenida es una circunferencia?
‘ién exacta de la circunferencia
Sugerencia Recuérdese 1a defini y empiéese el teorema de Pitágoras
10 y=+V 1-Fx* Demuéstrese que cuando x+0o las ramas de esta curva se aproximan tanto como se quiera a las
3) Esta afirmacién no es; ni mucho menos, obvia y
requiere para su argumentaci6ri completa el empleo de la teoria desarro- Mada de los nimeros reales La demostracién puede verse en NÓ libro completo de Ânálísis Aq sóio se exige construir el grafica de la
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bisectrices de los cuadrantes
1 Vite Sugerencia WT-Ƒ3—x= Ih y=b4Vx(I—x) 12, g=+x'VT—š sâu a: 14 y=x* (1—x)?,
Trang 28
§ 2 DERIVADAS
La construccién del grafico por el «método de operaciones» permite obtener una idea general de cémo varia la funcién Pero los métodos de esta indole resultan insuficientes cuando se trata de responder a preguntas mas precisas Por eiemplo,
Ja curva de la fig 34 primero desciende alcanzando e! va- lor y, correspondiente a la abscisa x» y después se eleva; se
dice que la funcién respectiva y (x) tiene un minimo relativo en el punto x» Un sentido andlogo tiene el concepto de má- ximo relativo: decimos que la funcién y=y(x) tiene maximo
telativo en el punto x, si su grafico se eleva cuando x aumenta
Negando al punto x, y desciende pasado el punto x, (fig 35) La pregunta es: ¢cuales son los valores exactos de x9 y de yo?
vịt 1 V i =| z 40 : x 6] +g * FIG 34 FIG 38
Es facil imaginarse una situacién concreta en la que se plantee un problema de este tipo Supongamos, por ejemplo,
que el} grafico 34 representa el costo de una tonelada de pro-
duccién elaborada en dependencia del consumo diario de
energia eléctrica Si el consumo diario de energia es pequefio,
la elaboracién de una tonelada de produccién requiere mucho
tiempo y, debido a los gastos constantes (plantilla, etc.), su costo sera elevado Si el consumo diario de energia es
grande, el tiempo necesario para elaborar una tonelada de
produccién sera menor, pero el costo de la produccién au-
mentara segiin vaya aumentando el costo de la energia con- sumida Para cierto nivel de consumo diario de energia e!
costo de una tonelada de produccién seré minimo; natural-
mente, tiene gran interés conocer este costo minimo y el
consumo diario de energia que te corresponde Mas adelante
Trang 2937
Para responder con precisién a la pregunta planteada an-
teriormente —sobre la posicién del punto de mínimo relativo— se necesitan métodos nuevos que nos introducen en la parte
del Analisis Matematico llamada cdlculo diferencial
La idea de la solucién del problema planteado es la si- guiente Por todo punto del grafico de la funcién y (x) podemos
trazar la recta tangente Por definicién, la tangente al grafico de la funcién y(x) en el punto A (fig 36) es la recta « que
My
FIG 36 FIG 37
pasa por el punto A de modo que al aproximarse a este punto la curva y(x) penetra y permanece en el interior de un angulo tan pequeño como se quiera que contiene Ja recta @ y cuyo
vértice es el punto A (En este sentido precisamente hemos dicho en el § 1 que el eje de las abscisas es tangente a la pa-
rabola estandard.) Cualquier recta 8 que pasa por el punto A se llama secanie del grafico de y (x); si la secante no coincide
con la tangente, siempre podremos construir un angulo (cuyo vértice esta en A y cuya bisectriz es B) tal que cerca del punto A
Ja curva no penetra en su interior (fig 37) Indiquemos por k=k(x) el coeficiente angular de la tangente en el punto (x, 4)
Esta funcién &(x) se denomina derivada de Ja funcién y (x) (Mas adelante veremos que siendo y(x) un polinomio también
k(x) es un polinomio y que siendo y(x) una función racio- nal también &(x) es una funcién racional; ademas, daremos
unas reglas precisas para el calculo de &(x) Supongamos que
Trang 3028
visto que la curva y=y(x) debe penetrar en cualquier Angulo,
tan pequefio como se quiera, que comprenda en su interior la recta @; si la recta @ no es horizontal, podremos construir
un dngulo pequefio cuya bisectriz sera a y cuyos lados tendrán pendientes del mismo signo (fig 36); por consiguiente, !a
FIG 38
curva y=y(x) no puede tener minimo relativo) Por eso,
en el punto x=xe de minimo relativo debe ser &(x)=0 Consideremos la ecuación
R(x)=0
Puede tener varias soluciones determinando cada una un punto
(Xi, Yo) en la curva y=y (x), donde la tangente:es horizontal;
debemos hallar todas estas soluciones y escoger entre ellas la que nos interesa, Es decir, si conocemos la funcién &(x),
todo se reduce a la resolucién de una ecuación algebraiea Pasemos ahora a determinar 1a funcidn & (x) Supongamos, primero, que y=x* es nuestra parabola estandard Queremos hallar el coeficiente angular de la tangente a esta parabola
en un punto (%, Yo)
Sean Ax y Ay los incrementos que reciben la abscisa y la ordenada de nuestra parabola al pasar del pinto (xo, yo) a un
punto préximo (x, 41):
k= Kot Ax, yi YotAy
(fig 38) Puesto que
9e =Xi © YotAy=(x,+Ax)?
obfenemos, restando,
Trang 3129
Tracemos la secante que pasa por los puntos (x, ¥) y (1, 41) 2fig 39) Su coeficiente angular es
A -Ê=24+Ax
y su ecuacién completa es (véase (4’))
Y= (2x44 Ax) (xX) Y0- (12)
Disminuyamos Ax hasta cero (fig 40) La secante (12) comen-
zara a moverse girando alrededor del punto (%o, Yo) y, cuando
| : | {xe-Yo), ae ax FIG, 39 FIG, 40 ^y
Ax se haga igual a cero, ocupará la posición que corresponde a la ecuacién
tan = 2Xa(X— He) Đưa (*)
Esta recta —resuitado de la rotacién de la secante— serd precisamente la tangente buscada a la pardbola y=x* en el
punto (Xo, Yo)
Demostremos esta afirmacién La ecuacién de la curva y=x* puede ser representada como
Y= Yq + 2X, (X— He) + (4%)? = =0, +|2x,+ (x—x¿)] (#—x),
de donde se ve que, cuando los desplazamientos de x respecto a Xo son pequefios, el grafico de la curva queda comprendido
en el Angulo tan estrecho como se quiera formado por las rectas
Y= Yor (2xo-be) (X—~X0);
efectivamente, esto tendra lugar si aceptamos que —e<x—
Trang 3230
cualquiera que sea e, resulta según la definición que esta
recta es precisamente la tangente buscada
E1 coeficiente angular de nuestra tangente ha_ resultado igual a 2x,; por lo tanto, la derivada de la funcién y=x? es igual a
k@)=%x
Veamos a qué conduce esta idea en el caso de Ja funcién y=P(x), donde P(x) es un polincmio de grado n:
P(@)=aud-ax+ -Lanx", (13) De nuevo trazamos la secante que une el punto (xe, Yo), donde queremos construir la tangente, con un punto proximo (xo+ +Ax, yotAy) de nuestra curva Tenemos
Yo t Ay =P (xt Ax) =
= Ay $4, (%p-+ Ax) + +n (Xo Ax)" (14)
Indiquemos por e; toda suma formada por términos que con- tienen Ax en primer grado y en grado superior y por e, toda
suma formada por términos que contienen Ax en grado no
Menor que dos Puesto que
Yo= Mo + ‹ Xi
obtenemos, aplicando a (14) la férmula de Newton ” y restando (13) de (14),
Aw= (ai +24;x¿ + naax§"”) Ax + sự (15)
El coeficiente angular de la secante se obtiene dividiendo Ay
por Ax Como quiera que e,:Ax=e,, obtenemos para este coe-
ficiente 1a expresién
fe =ø,+2a;x¿+ +-na„xg—" + tụ
1) Segiin la formula de Newton para todo & y cuales-
quiera uy use tiene
(upojt sub h yop POD aka try
"xương BRN) oyna 4 ® ygh-1 4 gk
Trang 3331
La ecuaciédn completa de la secante es
=(@+2a,#,+t +na,xiT^+ei) (x—*,) <E gá-
Si tomamos Ax igual a0, la magnitud e, se convierte en cero
y obtenemos la ecuacién de la tangente
Đan = (8y + 2agey + «ENG gxE) (X— Xe) + Yo
Para el coeficiente angular de la tangente encontramos la expresión
b=a,+2a;ty+ +na,xt”' (16) Si fijamos xo, la magnitud & sera un némero; si xo varia, tam-
bién varia este numero y obtenemos la funcién que determina
los valores de los coeficientes angulares de las tangentes a la curva y=P(x) correspondientes a diferentes puntos Esta funcién es, como hemos dicho, la derivada de la funcién P (x);
también se indica por P’(x) La férmula obtenida se puede
representar asi
P* (x) =a, + 2a,x + -+a,0"7) (I6) La ley que permife obtener Pf(x) a partir de P(x) es muy sencilla: hay que sustituir en la suma (13) toda expresién de tipo x* por la expresién &x*~!,
En particular, la derivada de una constante (o sea, de una funcién que toma el mismo valor y=a, cualquiera que sea x) es igual a 0 Sea dicho de paso, esto es un resultado geométrico
obvio: jla tangente al grafico de la funcién y=ay es horizon-
tal en todo punto!
Volviendo al caso general, prestemos atencién a la igualdad
P(x-+-Ax)=P (x)4+-P’(x) Axes (17) que se desprende de (15)
Consideremos este mismo problema de la tangente para el
caso de una funcién racional! general
= Pl) “tu? (18)
đonde P() y QŒ) son polinomios Tenemos, según (l7),
—P(sa+EAx) — P (xạ) P’ (xq) Sete:
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Restando (18) de (19), encontramos
Ay= P(6e)+ P" (x0) Ax-tee P (0) _ Q (ro) + (ra) AE Fe,” Qữa)
— [P! (to) Q (xo) — Q (0) P (xe)] Axb es (20) Qo) [2 Ho) FQ’ (ee) Artes] *
De aqui para el coeficiente angular de la secante resulta Ay P’ (xo) Q (x0) — Q’ (x0) P (xo) +8:
ue ° Ol -Fey wedi (21)
La ecuacién completa de 1a secante es
Pp =’ (xy) P
y= 1) 0, Hư (6e) +8) (x—x¿) +0:
Aceptemos que Q (xa)3£0 Tomando aqui Ax=0, obtenemos la ecuación de la tangente
P —Q' (xe) P
vụ, È 6991008 E9 P09 (cụ,
Para x==x, el coeficiente angular de la tangente es y(t) = P` œe) Q TH (0) P (0) |
Esta formula ofrece la regla para el calculo de la derivada
dị P(x), del cociente 8m ;
, “9—Q'P
(q)- te 2
Consideremos algunos ejemplos en los que se emplean las
reglas obtenidas
1, ¢Qué par de nameros positivos arroja el producto ma-
ximo entre todos los pares qué suman c?
Este problema admite una solucion algebraica elemental Dejindola:a un lado, apliquemos nuestro método general
Si uno de estos nuimeros es x, e! otro es c—x y, por consiguiente, se trata de buscar el maximo de la funcion
P(x) =x{e—x) =—x*-bex
Tenemos
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e, igualando la derivada a cero, encontramos la solucién
x=5 slo yy c—x= role
El problema que sigue se asemeja al anterior por su forma
pero no admite ya solucién elemental
2 Entre todos los pares de nimeros positivos que suman c, équé dos niimeros arrojan el resultado maximo al multiplicar
el cubo del primero por el cuadrado del segundo?
Aqui se trata del maximo de la funcién P (x) =28(e—x)? 92x FOX
Como sabemos, en el punto de maximo la derivada de la funcién se hace igual a cero
Calculemos la derivada:
P'(x) =5xt—Bex?4-3c%x?
Igualandola a cero, encontramos una soluciéa evidente x=0 Para hallar las soluciones x40 debemos resolver la ectacién
cuadrada 5x?—8cx-+3c°=0 Su solucién es 4c+ V f62— lắc 5 Xu
Por consiguiente, la tangente al grafico de la funcion y=P (x)
es horizontal en los puntos x,=0, nate y xs=c El valor
de P(x) es igual a cero en x, y x2 y es positivo en x, : Ø(x;)= =p Es decir, los niimeros buseados son x;= ey
2e
=:
3 Hallense los ángulos que la curva y=P (x) =x (x—l) x
X(x—2)(x—3) forma con el eje x (véase la fig 21 de la
pag 17) Naturalmente, el angulo entre un eje y una curva se comprende como el Angulo entre el eje y la tangente a la
curva (en el punto donde ésta se corta con el eje)
Solucién Suprimiendo los paréntesis, obtenemos g=“t—Bx°+-lIx°—6x,
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de donde resulta, según la formula (16’), yf 4x8 —18x°+221—6
La curva y=P (x) corta el eje x en Jos puntos 0, 1, 2 y 3
Evaluando sucesivamente, obtenemos
40)=—6, w()=2, /()=—2 € y'(3)=6
Estos números son los coeficientes angulares de Jas tangentes
en los puntos sefialados, o sea, son las tangentes de los dn- gulos buscados
4 ¿En qué puntos de esta misma curva es horizonfal la tangente?
En los puntos donde Ja tangente es horizontal su coefi- ciente angular es igual a cero Igualando a cero ta expresión
encontrada para " derivada, obtenemos la ecuación +3—18x?-+22x—-6=0
Como puede verse del grafico (fig 21), esta ecuacién admite
(por razones de simetria) la solucién evidente n= Despe- jando el factor xe obtenemos
4x9—~- 18x* 99x—6=4 (x) (xt— 3x41)
Resta resolver la ecuacién cuadrada x*—3x-+1=0 Resol- viéndola, encontramos
Xu= 3V — 182 1, us
Las ordenadas correspondientes se calculan facilmente:
pb 3+ Võ (H) (Hk VS tt VS =34 V3 _
ee
5 Se sabe que la velocidad v de una motonave viene dada por la férmula
c=ạ.P
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donde p es el costo (en rublos) del combustible que consume
cada hora y c es una constante, Esta formula se aclara con el grafico representado en la fig 41 Dicho grafico corresponde a la hipdtesis natural de que al principio, cuando los gastos de combustible son relativamente pequefios, la velocidad aumenta proporcionalmente a ellos; luego, se relentece su
FIG 41
aumento y la motonave no puede sobrepasar la velocidad
maxima ¢ por mucho que se aumente el suministro de com- bustible
Aparte del combustible, existen unos gastos constantes de
qrublos por hora ¢Qué velocidad hay que mantener durante un viaje de s km entre los puertos A y B para que los gastos totales sean minimos?
Solucién Sean v ta velocidad y T= la duraeión del viaje Los gastos de combustible se determinan del modo si_
guiente: el gasto horario se calcula invirtiendo la formula (23), v
p= emu (24)
y el gasto completo P se calcula multiplicando (24) por el tiempo T=:: pas El gasto constante Q es igual a
qT =ưy EI gaslo total R es igual a
8
R=P+9=z1+uỷ =s(
(25)
EI grafico de esta funcién puede verse en la fig 42 Para dc
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Jos gastos, igualamos a cero la derivada de R respecto a v,
" 1 Sự
R (ms (Gap H)=0
de donde encontramos sucesivamente
v—gle—v)*=0, t*=q[c—0)1,
u=J/{(c—9)=V—W 4 ",
VY vq
Introduciendo (26) en (25), obtenemos la suma total de los gastos correspondientes al viaje mas econémico
R=+(L+V?*
6 Hallese la tangente a la curva y= x? en x=0 Tenemos y’=3x? y es obvio que y‘ =0 en x=0, de modo
que Ja tangente es el eje x (fig 43)
v= i e km por hora (26)
8
FIG, 42
Como vemos, en este caso la tangente atraviesa la curva:
siendo x>0 la curva se halla por encima de la tangente, mien-
tras que siendo z<<0 la curva se encuentra por debajo de la tangente Los puntos del grafico en los que la tangenta atra - viesa ta curva se llaman puntos de inflexidn (fig 44) Por
} La solucién omitida que corresponde a la ecuacién
v=—VG (cv)
Trang 3937 FIG 43 FIG 44 FIG 4s
ejemplo, este mismo valor x=0 determina un punto de in-
flexion en las curvas
=Cz++rx para distintos, valores de C (fig 45)
En efecto, tenemos y’(0)=1 de modo que la ecuacién de
la tangente en el punto (0,0) es Đun=x
y, por eso, la diferencia
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cambia de signo cuando pasamos de los valores negativos a los valores positivos de x
¿Cómo se determinan los puntos de inflexién en el grafico de la funcién y=y (x)?
Como puede verse de Ja fig 45, si con el aumento de x la
curva pasa de la posición «por debajo de la tangente» a la
posicién «por encima de la tangente», su coeficiente angular
y’(x) a ambos lados del punto de tangencia es mayor que en el propio punto de tangencia:
y'(x)>y' (xo) para x#xe
Andlogamenie, si con el aumento de x la curva pasa de la
posición «por encima de la tangente» a Ìa posieión «por debajo đe la tangente», el valor de y’(x) a ambos lados del punto de tangencia es menor que en el propio punto de tangencia:
/(<'() para xz%a
Enel primer caso, el punto de inflexién es un punto de
minimo relativo para la funcién y‘(x); en el segundo caso, es un punto de maximo relativo para esta funcién Si queremos
determinar estos puntos, debemos calcular primero la deri-
vada de la funcién y’(x) Esta funcién (y’(x))’ se denomina segunda derivada de la Tunción (2) y se indica por y"(x)
Después tenemos que hallar las soluciones de la ecuación
¥'(x)=0
Entre las soluciones de esta ecuacién figuran las abscisas de todos los puntos de inflexién buscados (Pueden aparecer
también soluciones «parasitarias» que no determinan puntos de inflexién; claro esta, habra que omitirlas Ð.)
7 Determinemos los puntos de inflexién de la curva
1 2
wT (fig 46)
El grafico sugiere la existencia de dos puntos de inflexién situados simétricamente respecto al eje de las ordenadas Determinémoslos aplicando la regla explicada mas arriba
) Por ejemplo, dada fa funcién y=x* tenemos
y'=48 e y'= 1223;
¥'O)=0;
sin embargo, este punto no es un punto de inflexién de ta curva y=x,