Analisis matematico

Carlos Ivorra Castillo ´ ´ ANALISIS MATEMATICO Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜ na que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero A quienes preguntan qu´e es una cantidad infinitamente peque˜ na en matem´aticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer Esos supuestos misterios han convertido el c´alculo de lo infinitamente peque˜ no en algo sospechoso para mucha gente Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´aginas siguientes, donde explicaremos este c´alculo Leonhard Euler ´Indice General Introducci´ on ix Cap´ıtulo I: Topolog´ıa 1.1 Espacios topol´ ogicos 1.2 Bases y subbases 1.3 Productos y subespacios 1.4 Algunos conceptos topol´ ogicos 1.5 Continuidad 1.6 L´ımites de funciones 1.7 Convergencia de sucesiones 1.8 Sucesiones y series num´ericas 1 11 15 20 34 43 47 Cap´ıtulo II: Compacidad, conexi´ on y completitud 2.1 Espacios compactos 2.2 Espacios conexos 2.3 Espacios completos 2.4 Espacios de Hilbert 2.5 Aplicaciones a las series num´ericas 2.6 Espacios de funciones 2.7 Ap´endice: El teorema de Baire 59 59 67 79 83 86 92 96 Cap´ıtulo III: C´ alculo diferencial de una variable 3.1 Derivaci´ on 3.2 C´ alculo de derivadas 3.3 Propiedades de las funciones derivables 3.4 La diferencial de una funci´ on 3.5 El teorema de Taylor 3.6 Series de potencias 3.7 La funci´ on exponencial 3.8 Las funciones trigonom´etricas 3.9 Primitivas 3.10 Ap´endice: La trascendencia de e y π 101 101 104 108 115 118 123 127 133 144 148 v ´INDICE GENERAL vi Cap´ıtulo IV: C´ alculo diferencial de varias variables 157 4.1 Diferenciaci´ on 157 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables 164 4.3 Curvas parametrizables 175 Cap´ıtulo V: Introducci´ on a las variedades diferenciables 5.1 Variedades 5.2 Espacios tangentes, diferenciales 5.3 La m´etrica de una variedad 5.4 Geod´esicas 5.5 Superficies 5.6 La curvatura de Gauss 195 196 203 210 215 220 223 Cap´ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 238 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 246 Cap´ıtulo VII: Teor´ıa de la medida 7.1 Medidas positivas 7.2 Funciones medibles 7.3 La integral de Lebesgue 7.4 El teorema de Riesz 7.5 La medida de Lebesgue 253 254 258 261 270 278 Cap´ıtulo VIII: Teor´ıa de la medida II 8.1 Producto de medidas 8.2 Espacios Lp 8.3 Medidas signadas 8.4 Derivaci´ on de medidas 8.5 El teorema de cambio de variable 287 287 295 299 309 313 Cap´ıtulo IX: Formas diferenciales 9.1 Integraci´ on en variedades 9.2 El a´lgebra exterior 9.3 El a´lgebra de Grassmann 9.4 Algunos conceptos del c´alculo vectorial 321 321 330 336 348 Cap´ıtulo X: El teorema de Stokes 10.1 Variedades frontera 10.2 La diferencial exterior 10.3 El teorema de Stokes 10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes 10.5 Las f´ ormulas de Green 10.6 El teorema de Stokes singularidades 10.7 Ap´endice: Algunas f´ ormulas vectoriales 357 357 363 367 374 385 388 393 ´INDICE GENERAL vii Cap´ıtulo XI: Cohomolog´ıa de De Rham 11.1 Grupos de cohomolog´ıa 11.2 Homotop´ıas 11.3 Sucesiones exactas 11.4 Aplicaciones al c´alculo vectorial 397 397 400 406 413 bola 417 418 421 436 439 Cap´ıtulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 13.1 Electrost´ atica 13.2 Magnetost´ atica 13.3 Las ecuaciones de Maxwell 13.4 La ecuaci´on de ondas 13.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell 445 445 448 453 459 468 Cap´ıtulo XII: Funciones Harm´ onicas 12.1 El problema de Dirichlet sobre una 12.2 Funciones holomorfas 12.3 Funciones subharm´ onicas 12.4 El problema de Dirichlet Bibliograf´ıa 475 ´ Indice de Materias 476 Introducci´ on En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el an´ alisis matem´ atico o c´ alculo infinitesimal, una potent´ısima herramienta que revolucion´ o el tratamiento matem´atico de la f´ısica y la geometr´ıa, y que m´ as tarde impregnar´ıa las m´as diversas ramas de la matem´atica, como la estad´ıstica o la teor´ıa de n´ umeros Esencialmente, el c´alculo infinitesimal consist´ıa por una parte en analizar o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constitu´ıa el c´ alculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideraci´ on (el llamado c´ alculo integral) Es dif´ıcil que un lector que no tenga ya algunas nociones de c´ alculo pueda entender cabalmente el p´ arrafo anterior, pero las nuevas ideas eran a´ un m´ as dif´ıciles de entender de la pluma de sus descubridores El primer libro de texto que se public´ o el fin de explicarlas sistem´aticamente fue el “An´alisis” del marqu´es de l’Hˆopital Veamos algunos pasajes: La parte infinitamente peque˜ na en que una cantidad variable es aumentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad Siguiendo la notaci´ on leibniziana, L’Hˆ opital explica que la letra d se usa para representar uno de estos incrementos infinitamente peque˜ nos de una magnitud, de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc En ning´ un momento se precisa qu´e debemos entender por un aumento infinitamente peque˜ no de una cantidad, pero en compensaci´ on se presentan varias reglas para tratar diferenciales Por ejemplo: Post´ ulese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infinitamente peque˜ na pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo que es lo mismo) que una cantidad que est´ a incrementada o disminuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede considerarse que permanece constante As´ı, por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx, ix x Introducci´ on donde hemos despreciado el infinit´esimo doble dxdy porque es infinitamente menor que los infinit´esimos simples x dy e y dx Es f´ acil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospechas y pol´emicas Baste citar el t´ıtulo del panfleto que en 1734 public´ o el obispo de Berkeley: El analista, o discurso dirigido a un matem´ atico infiel, donde se examina si los objetos, principios e inferencias del an´ alisis moderno est´ an formulados de manera m´ as clara, o deducidos de manera m´ as evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe En esta fecha el c´alculo infinitesimal ten´ıa ya m´as de medio siglo de historia La raz´on por la que sobrevivi´ o inmune a estas cr´ıticas y a la vaguedad de sus fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en afirmaciones que no involucraban infinit´esimos en absoluto, y que eran confirmados por la f´ısica y la geometr´ıa Por ejemplo, consideremos la circunferencia formada por los puntos que satisfacen la ecuaci´ on x2 + y = 25 Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en que los dos factores son iguales obtenemos que dx2 = 2x dx e igualmente ser´a dy = 2y dy Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante 25 no se ve incrementada en absoluto Si a esto a˜ nadimos que la diferencial de una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuaci´on diferencial 2x dx + 2y dy = 0, de donde a su vez dy x =− dx y Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circunferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y disminuir´ a en 3/4 dx Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito de la variable x, por peque˜ no que sea, pues si valiera para incrementos suficientemente peque˜ nos resultar´ıa que la circunferencia contendr´ıa un segmento de la recta y − = − (x − 3), lo cual no es el caso Vemos que ´esta se comporta igual que la circunferencia para variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque difiere de ella para cualquier variaci´ on finita La interpretaci´ on geom´etrica es que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4) El argumento ser´ a nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que nos proporciona un m´etodo sencillo para calcular la tangente a una circunferencia por uno cualquiera de sus puntos De hecho el m´etodo se aplica a cualquier curva que pueda expresarse mediante una f´ ormula algebraica razonable, lo que 466 Cap´ıtulo 13 Aplicaciones al electromagnetismo El caso bidimensional Aunque la ecuaci´ on de ondas bidimensional no nos va a hacer falta en las consideraciones posteriores sobre el electromagnetismo, lo cierto es que los c´alculos de la secci´on anterior nos permiten resolverla r´ apidamente, y la ecuaci´on tiene inter´es en s´ı misma Sus soluciones describen las vibraciones de una membrana, o las vibraciones de la superficie del agua provocadas por la ca´ıda de un objeto Para resolver el problema  ∂2u ∂2u ∂2u   =v +    ∂t2 ∂x2 ∂y u(x, y, 0) = φ(x, y)    ∂u  (x, y, 0) = ψ(x, y)  ∂t basta notar que si u es una soluci´on entonces la funci´ on u(x, y, z, t) = u(x, y, t) es soluci´ on del problema tridimensional determinado por las condiciones iniciales φ(x, y, z) = φ(x, y), ψ(x, y, z) = ψ(x, y) —lo que prueba la unicidad— as´ı como que una soluci´ on cualquiera u del problema tridimensional (con las condiciones iniciales φ y ψ) no depende de la variable z (pues la funci´ on , u(x, y, z + k, t) es soluci´on del mismo problema), luego determina una soluci´ on u(x, y, t) = u(x, y, 0, t) del problema bidimensional Para trabajar la f´ ormula (13.18) conviene cambiar la notaci´ on a x = (x1 , x2 , x3 ) identificando los puntos de R2 los de la forma (x1 , x2 , 0) Entonces u(x1 , x2 , t) = ∂ ∂t 4πv t φ(y) dσ(y) y−x =vt + 4πv t ψ(y) dσ(y) y−x =vt Puesto que φ(y1 , y2 , y3 ) = φ(y1 , y2 , −y3 ), la primera integral es el doble de la integral restringida a la semiesfera y3 > Lo mismo se aplica a la segunda integral Una carta de dicha semiesfera es X(y1 , y2 ) = v t2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 = v t2 − x − y , donde en la u ´ltima expresi´ on consideramos x, y ∈ R2 Para esta carta vt dσ = dy1 dy2 , 2 v t − x−y luego u(x, t) = + ∂ ∂t 2πv 2πv φ(y) y−x s definimos u(x, t, s) = us (x, t − s), que tiene la misma interpretaci´on salvo que la perturbaci´ on aparece en el instante t = s en lugar de en t = Entonces ∂2u ∂ us = = v ∆us (x, t − s) = v ∆u(x, t, s) ∂t ∂t2 u(x, s, s) = us (x, 0) = ∂u ∂us (x, s, s) = (x, 0) = w(x, s) ∂t ∂t Finalmente definimos t u(x, t) = u(x, t, s) ds = 4πv t t−s w(y, s) dσ(y) ds, y−x =v(t−s) que representa la acumulaci´ on de los efectos de todas las perturbaciones que han aparecido hasta el instante t Vamos a probar que u es la soluci´on del problema no homog´eneo Para derivar u respecto de t definimos t1 u(x, t1 , t2 ) = u(x, t2 , s) ds 468 Cap´ıtulo 13 Aplicaciones al electromagnetismo y aplicamos la regla de la cadena El resultado es ∂u ∂t ∂2u ∂t2 t ∂u (x, t, s) ds = ∂t t ∂ u ∂u (x, t, t) + (x, t, s) ds ∂t ∂t t = u(x, t, t) + = ∂u (x, t, s) ds, ∂t t v ∆u(x, t, s) ds = w(x, t) + v ∆u(x, t) = w(x, t) + Evidentemente u cumple las condiciones iniciales Podemos expresar la soluci´ on de forma m´ as simple Mediante el cambio de variable s = v(t − s) queda u(x, t) = 4πv = 4πv vt y−x =s y−x λ> >λ> >λ> >λ> >λ> >λ 400 0,8 0,4 120 0,05 µm µm µm ˚ A ˚ A Hemos usado el micr´ ometro o micra, abreviado µm, igual a una mil´esima de mil´ımetro, y el Angstrom, abreviado ˚ A, igual a 10−10 m Las ondas monocrom´aticas de longitud entre 0,8 y 0,4 son casos particulares de lo que com´ unmente llamamos “luz” El ojo humano percibe la longitud de onda en forma de color Las longitudes cercanas a 0,8 micras corresponden a la luz roja, mientras que las cercanas a 0,4 micras corresponden a la luz violeta, pasando por toda la gama del arco iris Los colores que no aparecen en el arco iris, como el marr´on, corresponden a superposiciones de luz de distintas longitudes de onda Bibliograf´ıa [1] Borden, R.S A course in advanced calculus North Holand, Amsterdam, 1983 [2] Corwin, L.J Szczarba, R.H Multivariable calculus Marcel Dekker, New York, 1982 [3] Do Carmo, M.P Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies Alianza, Madrid, 1990 [4] Elsgoltz, L Ecuaciones diferenciales y c´ alculo variacional Ed Mir, Mosc´ u, 1977 [5] Greub, W., Halperin, S., Vanstone, R Connections, curvature, and cohomology Vol Academic Press, New York, 1972 [6] Hu, S.T Differentiable manifolds Holt, Rinehart and Winston, New York, 1969 [7] John, F Partial differential equations Springer, New York, 1982 [8] Lang, S Differential Manifolds Addison Wesley, Reading, Mass 1972 [9] Ramo, S Whinnery, J.R., van Duzer, T Campos y ondas Pir´ amide, Madrid, 1965 [10] Rudin, W An´ alisis real y complejo Mc Graw Hill, Madrid, 1988 [11] Santal´ o, L A Vectores y tensores Ed Universitaria de Buenos Aires, 1968 475 ´Indice de Materias abierta (aplicaci´ on), 28 abierto, b´ asico, absolutamente continua (medida), 302 absolutamente convergente, 86 aceleraci´on, 184 angular, 249 geod´esica, 217 acotado, 19 algebra ´ de conjuntos, 254 de Grassmann, 337 exterior, 332 antiderivaci´ on, 402 arco, 70, 175 rectificable, 179 singular, 348 argumento, 137 arm´ onica (funci´ on), 386 atlas, 338 cerrado, 15 Christoffel (s´ımbolos de), 216 ciclo, 399 cicloide, 179 cilindro, 202 circulaci´ on, 348 circunferencia osculatriz, 184 clase mon´otona, 288 clausura, 15 cocadena, 399 cociclo, 399 cofrontera, 398, 399 cohomolog´ıa, 399 compacto, 60 compleci´on, 257 completitud, 79 componente conexa, 70 condicionalmente convergente, 86 conexo, 67 conjugados (n´ umeros), 295 cono, 202 conservativo (campo), 350 continuidad, 21 ecuaci´on de, 375 contractible, 405 contractiva (aplicaci´ on), 238 convergencia de funciones, 35 de sucesiones, 44 uniforme, 93 convexa (funci´ on), 295 convexo, 70 coordenadas, 196 esf´ericas, 395 coseno, 134 cubo, 367 Banach (espacio de), 83 barrera, 441 Barrow (regla), 237 base, de entornos, Borel (´algebra, medida), 255 cadena, 399 cardioide, 180 carta, 196 Cauchy producto, 87 sucesi´on de, 79 Cauchy-Riemann (ecuaciones de), 422 celda, 279 476 ´INDICE DE MATERIAS cubrimiento, 60, 61 curva parametrizada, 177 curvatura, 183 geod´esica, 217 media, 224 normal, 221 D’Alembert criterio de, 54 operador de), 459 denso, 18 derivada, 102 covariante, 215 direccional, 158, 378 parcial, 159, 209 difeomorfismo, 206 diferenciabilidad, 160 diferenciable, 205 diferencial, 161, 206 Dirac (delta de), 299 direcci´on principal, 223 Dirichlet problema de, 418 regi´ on de, 441 disco de convergencia, 124 discreta (m´etrica, topolog´ıa), diseminado (conjunto), 97 distancia, divergencia, 366 ecuaci´on de continuidad, 375 de Euler, 376 de Laplace, 417 de ondas, 459 de Poisson, 383 del calor, 385 ecuaciones de Maxwell, 454 elemento de longitud, 212 de medida, 340 energ´ıa cin´etica, 350 potencial, 352 entorno, b´ asico, 477 esfera, 201 espacio arco-conexo, 70 compacto, 60 completo, 79 conexo, 67 de Banach, 83 de Hilbert, 83 discreto, localmente compacto, 270 localmente conexo, 71 medida, 254 m´etrico, normado, precompacto, 80 prehilbertiano, σ-compacto, 257 tangente, 204 topol´ ogico, vectorial topol´ ogico, 25 evaluaci´ on, 402 exponencial, 127, 131 extremo, 109, 171 factorial (funci´ on), 283 figura elemental, 287 finalmente, 44 forma diferencial, 336 compleja, 422 constante, 331 exacta, cerrada, 397 integrable, 340 Frenet f´ ormulas de, 185 triedro de, 185 frontera de una variedad, 359 en un complejo, 399 operador, 398 topol´ ogica, 16 fuerza, 188 centr´ıfuga, de Coriolis, 189 Gamma (funci´ on), 283 geod´esica, 218 gradiente, 162 478 Green (f´ ormulas), 385, 386 gr´ afica, 28 harm´ onica (funci´ on), 386 Hausdorff (espacio de), 18 Hilbert (espacio), 83 Hă older (desigualdad de), 295 holomorfa (funci´ on), 421 homeomorfismo, 27 homolog´ıa, 399 homomorfismo de conexi´on, 409 homotop´ıa, 401 indeterminaci´ on, 43 integrable Lebesgue (funci´ on), 266 integral, 145 curvil´ınea, 348 de Lebesgue, 266 de Riemann, 233 interior, 15 intersecci´on finita (propiedad), 61 isometr´ıa, 214 isomorfismo topol´ ogico, 30 ´INDICE DE MATERIAS medida de Lebesgue, 281, 321, 325 finita, 254 positiva, 254 producto, 290 regular, 257 σ-finita, 254 signada, 299 Minkowski (desigualdad de), 296 momento, 249 angular, 249 mon´ otona, 48 mutuamente singulares (medidas), 302 m´aximo, 109, 171 m´etrica, m´odulo graduado, 398 m´ınimo, 109, 171 Newton ley de gravitaci´ on de, 248 primera ley de, 176 segunda ley de, 188 norma, nulo (conjunto), 255 jacobiana, 162 ortogonalidad, 84 Kepler primera ley, 248 segunda ley, 317 tercera ley, 317 Laplace (ecuaci´on de), 417 laplaciano, 378 vectorial, 416 Leibniz (criterio), 56 Lipschitz, 24 localmente compacto (espacio), 270 logaritmo, 129, 132 longitud de un arco, 179 l´ımite, 35 superior, 123 masa, 188 Maxwell (ecuaciones de), 454 Mayer-Vietoris, 410 media aritm´etica/geom´etrica, 133 medible (aplicaci´ on), 258 paralelep´ıpedo, 331 partici´ on de Hann, 307 de la unidad, 271 Perron (familia de), 439 Poisson (ecuaci´on de), 383 potencial newtoniano, 380 precompacto, 80 prehilbertiano, primer axioma de numerabilidad, 45 primera categor´ıa, 97 primitiva, 144 principio del m´ aximo, 438 producto de variedades, 203 escalar, mixto, 78, 186 vectorial, 77 pseudoesfera, 228 punto ´INDICE DE MATERIAS adherente, 46 aislado, 17 de acumulaci´ on, 17 de Lebesgue, 311 frontera regular, 389 radio de convergencia, 124 de curvatura, 184 rectificable (arco), 179 rect´angulo medible, 287 regla de la cadena, 107, 166 regular (medida), 257 resto de Taylor, 121 retracci´on, 343, 405 rotacional, 366 segmento, 70 segunda categor´ıa, 97 semiespacio, 357 seno, 134 serie, 49 de Laurent, 429 de potencias, 123 de Taylor, 121 σ-´algebra, 254 soporte, 270, 341 subbase, 11 subcubrimiento, 60 subharm´ onica (funci´ on), 436 subsucesi´on, 44 sucesi´on, 43 exacta, 406 suma parcial, 49 superficie de revoluci´ on, 201 superharm´ onica (funci´ on), 436 tangente, 102, 175 Taylor (polinomio), 119 tensor m´etrico, 211 Teorema de Baire, 96–98 de cambio de variable, 315 de Cauchy, 111, 427 de Fubini, 291 de Gauss, 384, 387, 417 de Hann, 306 479 de inyectividad local, 174 de L’Hˆ opital, 112–114 de la convergencia dominada, 267 de la convergencia mon´ otona, 264 de la divergencia, 373 de la funci´ on compuesta, 107, 166 de la funci´ on impl´ıcita, 199 de la funci´ on inversa, 106, 172 de Lebesgue-Radon-Nikod´ ym, 304 de Liouville, 421 de los residuos, 433 de los valores intermedios, 72 de Lusin, 277 de Meusnier, 221 de Riesz, 272, 308 de Rolle, 110 de Schwarz, 170 de Stokes, 370, 372, 392 de Taylor, 121 de Tychonoff, 64 de Weierstrass, 424 del valor medio, 111 egregium de Gauss, 227 topolog´ıa, eucl´ıdea, 7, 30 producto, 11 proyectiva, 31 relativa, 13 usual, toro, 202 torsi´ on, 185 trabajo, 349 tractriz, 182 transporte paralelo, 246 umbilical (punto), 223 uni´ on (de arcos), 348 Urysohn (lema), 270 variaci´ on total, 300 variedad, 196 frontera, 358 orientable, 338 tangente, 204 vector binormal, 185 normal, 183 tangente, 177 velocidad, 176 angular, 249