(Luận văn) về tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU lu an va n VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Tp Hồ Chí Minh, 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU lu VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN an n va ie gh tn to Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu p Mã số chuyên ngành: 62 46 2001 d oa nl w Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát an lu Phản biện 2: GS.TSKH Đỗ Cơng Khanh nf va Phản biện 3: TS Nguyễn Đình Tuấn lm ul Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện độc lập 2: TS Tạ Quang Sơn z at nh oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z @ gm PGS.TS PHẠM HỮU ANH NGỌC an Lu Tp Hồ Chí Minh, 2015 m co l PGS.TS NGUYỄN NGỌC HẢI n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các kết Luận án viết chung với Thầy hướng dẫn trí Thầy đưa vào Luận án Các kết nêu Luận án trung thực chưa khác công bố lu cơng trình an va n Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 gh tn to Tác giả p ie Lê Trung Hiếu d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến người Thầy Trong thời gian dài, Thầy bước dẫn dắt tác giả tiếp cận thực nghiên cứu vấn đề trình bày Luận án Thầy khơng hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà truyền cảm hứng động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chun mơn sống Làm việc với Thầy, tác giả học tinh thần lu trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong an va cách làm việc khoa học, trung thực nghiêm túc Tác giả xin bày n tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, người Thầy tn to hướng dẫn thứ hai tác giả, giúp đỡ luôn động viên tác giả ie gh suốt trình học tập p Tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại học nl w Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, oa Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn-Tin học, Bộ môn Tối ưu Hệ d thống tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, lu nf va an nghiên cứu hoàn thành Luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộ lm ul môn Tối ưu Hệ thống), PGS.TSKH Nguyễn Định, người Thầy z at nh oi giảng dạy cho tác giả kiến thức chuyên ngành bổ ích tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Đỗ Công Khanh PGS.TSKH Vũ z Hoàng Linh dành nhiều thời gian đọc thảo Luận án bảo vệ @ gm cấp đơn vị chun mơn có ý kiến bổ ích giúp tác giả cập l nhật cải thiện chất lượng Luận án Xin gửi lời cám ơn chân thành m co đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, TS Tạ Quang Sơn dành nhiều thời an Lu gian đọc phản biện độc lập cho Luận án cho nhiều lời khen ngợi động viên tác giả Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn, n va GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Nguyễn Đình ac th si Phư, PGS.TS Nguyễn Đình Huy, PGS.TS Trần Thị Huệ Nương có lời khuyên, góp ý cho tác giả lần báo cáo học thuật hội nghị khoa học Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang (Phịng Đào tạo Sau đại học) ln nhiệt tình giúp đỡ tác giả thủ tục học tập bảo vệ suốt khóa học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Đồng Tháp, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Đặc biệt, tác giả xin cám ơn thành viên Bộ mơn Giải tích-Tốn ứng dụng giúp đỡ động viên, đảm nhận thay lu nhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu hồn thành Luận an án Qua đây, tác giả xin gửi lời cám ơn đến TS Trần Giang va n Nam (Viện Toán học, cựu giảng viên trẻ Khoa Sư phạm Toán-Tin), tn to giới thiệu cho tác giả có hội làm việc với Thầy hướng dẫn ie gh mình, để tác giả có hội nghiên cứu khoa học cháy bỏng p đam mê lĩnh vực Toán học Xin cám ơn thành viên nhóm nghiên cứu Lý thuyết điều khiển w oa nl PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc, anh chị nghiên cứu sinh Khoa d Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt NCS Cao lu an Thanh Tình (cũng người anh đồng mơn thân thiết nhất), TS Trần nf va Hồng Mơ, TS Phan Tự Vượng, NCS Lê Thanh Quang trực tiếp giúp lm ul đỡ động viên tác giả nhiều suốt q trình học tập Cuối tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân z at nh oi gia đình mình, đặc biệt người Mẹ già kính u người Vợ hiền luôn bên cạnh tôi, động viên, chia sẻ khó khăn z tơi thời gian qua Đó nguồn động lực lớn giúp tơi có @ co l hồn thành tốt Luận án gm đủ ý chí để vượt qua khó khăn, tập trung tối đa cho việc nghiên cứu m Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 an Lu Tác giả n va Lê Trung Hiếu ac th si MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU lu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kí hiệu qui ước 1.2 Chuẩn véctơ chuẩn ma trận 1.3 Định lý Perron-Frobenius 1.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ an n va 16 16 17 19 22 tn to p ie gh CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG 2.1 Ổn định hệ phi tuyến 2.2 Phỏng đoán loại Aizerman 2.3 Kết luận SAI PHÂN oa nl w 23 23 36 38 d CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CĨ CHẬM 3.1 Điều kiện ổn định mũ tường minh cho hệ phụ thuộc thời gian 3.2 Ổn định mũ hệ chịu nhiễu 3.3 Thảo luận kết thu 3.4 Kết luận nf va an lu 40 z at nh oi lm ul z CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 4.1 Sơ lược toán ổn định hệ phương trình sai phân Volterra 4.2 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính 4.3 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm hữu hạn 4.4 Ổn định mũ hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm vô hạn 42 52 60 64 65 67 m co l gm @ 65 an Lu 75 n va 90 ac th si 4.5 Áp dụng kết thu vào mơ hình mạng nơ ron nhân tạo 104 4.6 Kết luận 110 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 112 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Asymptotically stable: ổn định tiệm cận ES Exponentially stable: ổn định mũ GES Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục UAS Uniformly asymptotically stable: ổn định tiệm cận Z Vành số nguyên Z+ Tập hợp số nguyên không âm Z[k1 ,k2 ] Tập hợp số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ], k1 , k2 ∈ Z n n := {1, 2, , n} = Z[1,n] , với n ∈ Z+ n0 n0 := {0, 1, 2, , n} = Z[0,n] , với n ∈ Z+ lu AS an n va gh tn to Trường số thực R ie p Tập hợp số thực không âm R+ Không gian véctơ thực m-chiều Vành ma trận thực, cỡ l × q d oa Rl×q nl w Rm Trường số phức K K = R K = C JF (x) Ma trận Jacobi hàm F x det(M ) Định thức ma trận vuông M M −1 Nghịch đảo ma trận vuông M |x| |x| := (|x1 |, |x2 |, , |xm |), x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm |M | |M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q kxk Chuẩn vectơ x kM k Chuẩn ma trận M Im Ma trận đơn vị cấp m Số không/ vectơ không/ ma trận không nf va an lu C z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm x≥y y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm xy y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q A≥B B = (bij ) ∈ Rl×q aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q AB B = (bij ) ∈ Rl×q σ(M ) = {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ ma lu σ(M ) an trận vuông M va ρ(M ) = max{|λ| : λ ∈ σ(M )}, bán kính phổ ma n ρ(M ) to gh tn trận vuông M p ie lγ (Km×m ) d oa nl w l1 (Km×m )  P+∞ lγ (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m : n=0 kC(n)kγ n < +∞ , với γ ≥ cho trước  P+∞ l1 (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m : n=0 kC(n)k < +∞ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định hệ động lực có lịch sử 100 năm bắt đầu kể từ nhà Toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (18571918) xuất cơng trình tiên phong mình: “On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid” (năm 1884, tiếng Nga) “General problem of the stability of motion” (năm 1892, tiếng Nga) Đến lý thuyết ổn định hệ động lực có bước phát triển đạt nhiều thành tựu vượt bậc lu an Do giao thoa ngành Tối ưu Điều khiển ngày lớn, va n mối quan hệ, kết hợp toán tối ưu toán gh tn to điều khiển ngày trở nên rõ ràng hơn, tinh tế (xem [BLO01a], [BLO01b], [Lew03], [Lew07], [RG96], [Sha15], [XLW02]) Một số ie p toán ổn định, ổn định vững, điều khiển hệ động lực thực chất nl w tốn tối ưu tồn cục: chẳng hạn tốn tính bán kính ổn d oa định bán kính điều khiển hệ tuyến tính với hệ số an lu chịu nhiễu cộng tính (xem [HP96], [HS91], [NNS06], [WH94], [Ei84]) nf va Một vài lớp tốn ổn định hóa, toán điều khiển hệ lm ul động lực quy việc giải toán tối ưu, tốn quy hoạch tuyến tính (xem [LWYZ08], [RG96], [RHT07], [RT06], z at nh oi [RTB07], [VVMV08]) Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm hệ động lực phần tất yếu số toán điều khiển tối ưu, chẳng z gm @ hạn “bài toán điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”1 hệ động lực (xem [CC93], [HB90], [HBM91], [MP05], [MZH12], [ZDG96]) Chính l co vậy, việc giải tốn ổn định nghiệm hệ động lực bước m bắt buộc số toán điều khiển tối ưu an Lu Như tác động ngược, số kết quả, phương pháp từ lý thuyết H2 /H∞ control problem n va ac th si Chương Ổn định hệ phương trình sai phân có chậm “chặn trên” hệ phương trình sai phân tuyến tính dừng y(n + 1) = A0 y(n) + s X
Ai y n − τi (n) , n ∈ Z+ (3.21) i=1 Ps Mặt khác (3.21) GES ρ( i=0 Ai ) < Điều kéo theo (3.1) GES, theo Định lý 3.1.4 Định lý sau trường hợp riêng Định lý 3.1.2 thu từ việc đặc biệt hóa Định lý 3.1.2 cho hệ tuyến tính lu Định lý 3.1.6 Giả sử Ai (·) : Z+ → Rm×m (i ∈ s0 ) hàm ma trận an n va cho trước τi (·) : Z+ → Z+ (i ∈ s) hàm bị chặn Khi đó, (i) Tồn véctơ p ∈ Rm , p  < δ < cho p ie gh tn to (3.2) GES điều kiện sau thỏa mãn: nl w s X |Ai (n)|p ≤ δp, ∀n ∈ Z+ (3.22) i=0 d oa nf va an lu (ii) Tồn ma trận A ∈ Rm×m ρ(A) < cho + |Ai (n)| ≤ A, ∀n ∈ Z+ lm ul s X (3.23) i=0 z at nh oi (iii) k|Ai (n)|k < (3.24) gm @ n∈Z+ i=0 z sup s X co l Nhận xét 3.1.7 a) Các số thực M, β dùng phép chứng minh Định lý 3.1.2 không phụ thuộc vào hàm chậm τi (·) (i ∈ s) m cho hàm τi (·) : Z+ → Z+ (i ∈ s) bị chặn an Lu Do kết Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4 Định lý 3.1.6 n va ac th 49 si Chương Ổn định hệ phương trình sai phân có chậm b) Nếu F (n, x0 , x1 , , xs ) liên tục Lipschitz toàn cục x0 , x1 , , xs Z+ × Rm(s+1) , tức F (n, x0 , x1 , , xs )−F (n, y0 , y1 , , ys ) ≤ M (x0 −y0 , x1 −y1 , , xs −ys ) , với n ∈ Z+ , (x0 , x1 , , xs ), (y0 , y1 , , ys ) ∈ Rm(s+1) F (n, 0, 0, , 0) = 0, ∀n ∈ Z+ , ln tồn ma trận Ai ∈ Rm×m (i ∈ s0 ) cho + (3.20) Ví dụ 3.1.8 Xét phương trình sai phân phi tuyến có chậm lu an n va x(n + 1) = arctan − √
cos2 ( n) n x (n) + e−n2 −4 x2 n − τ1 (n) + x2 (n − τ2 (n)), 5(n + 1) (3.25) p ie gh tn to s x(n)
+ d oa Ta đặt nl w n ∈ Z+ τi (·) : Z+ → Z+ (i = 1, 2) hàm bị chặn lu an x0 = arctan(− )+ nf va F n, x0 , x1 , x2
s √ n cos2 ( n) x0 + e−n2 −4 x21 + x22 , 5(n + 1) lm ul z at nh oi n ∈ Z+ x0 , x1 , x2 ∈ R Từ √ cos2 ( n) x0 ≤ x20 , 9 x0
| arctan − | ≤ |x0 |, 8 z @ −4 x1 ≤ n 2 x ≤ x , 5(n2 + 1) 10 m co x , e4 l e−n gm an Lu ta có n va F (n, x0 , x1 , x2 ) ≤ ( + )|x0 | + |x1 | + √1 |x2 |, e2 10 ac th 50 si Chương Ổn định hệ phương trình sai phân có chậm với n ∈ Z+ , x0 , x1 , x2 ∈ R Chú ý + + e2 + √1 10 < (3.25) GES, Định lý 3.1.4 Ví dụ 3.1.9 Xét hệ phương trình sai phân có chậm khơng gian R2 xác định   x(n + 1) = F n, x(n), x(n − τ1 (n)), x(n − τ2 (n)) , n ∈ Z+ , (3.26) τi (·) : Z+ → Z+ (i = 1, 2) hàm bị chặn lu
F n, x0 , x1 , x2 = an va n   −       e−(x02 ) x01 + −n e−(x12 ) arctan x11 + (cos n)2 x21 − x22 ie gh tn to sin2 n p x01 − − n 4n + sin x22 x12 +    ,    oa nl w x02  d n ∈ Z+ xi := (xi1 , xi2 )T ∈ R2 , i = 0, 1,  8 (cos n) A1 (n) :=  −n 8e 0 n 4n+1  ,  , n ∈ Z+ z Khi đó, dễ thấy ,  z at nh oi A2 (n) :=   lm ul  (sin n) nf va A0 (n) :=  an lu Ta đặt gm @ m co l F (n, x0 , x1 , x2 ) ≤ A0 (n)|x0 | + A1 (n)|x1 | + A2 (n)|x2 |, an Lu với n ∈ Z+ , x0 , x1 , x2 ∈ R2 Do (3.5) thỏa mãn n va ac th 51 si Chương Ổn định hệ phương trình sai phân có chậm Mặt khác, ta có  X Ai (n) ≤ A :=  i=0 2   , ∀n ∈ Z+ , ρ(A) < Như (ii) Định lý 3.1.2 thỏa mãn (3.26) GES 3.2 Ổn định mũ hệ chịu nhiễu Ps Giả sử (3.20) ρ( i=0 Ai ) < Khi đó, theo Định lý 3.1.4, (3.1) lu GES Xét hệ chịu nhiễu (phi tuyến) dạng an 



x(n + 1) = F n, x n , x n − τ1 (n) , x n − τ2 (n) , , x n − τs (n) + n va  (3.27) p ie gh tn to  



G n, x n , x n − h1 (n) , x n − h2 (n) , , x n − hu (n) , oa nl w với n ∈ Z+ , n ≥ n0 Trong G(·, ·, , ·) : Z+ × Rm(u+1) → Rm hàm d nhiễu cho G(n, 0, , 0) = 0, với n ∈ Z+ hi (·) : Z+ → Z+ , ≤ lu nf va an hi (n) ≤ h, ∀n ∈ Z+ (i ∈ u) với h > Ngoài ra, giả sử lm ul u X G(n, x0 , x1 , , xu )