Bài tập tổ hợp xác suất vận dụng cao

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi số A  a1a2 a3 a4 a5 a6 Từ giả thiết suy A có hoặc chữ số lẻ TH1: A có chữ số lẻ: i) a1 lẻ: Số số A C51 P5  600 ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Số số A  C51C44  P5  2400 Tổng có: 600  2400  3000 số số A có chữ số lẻ TH2: A có chữ số lẻ: i) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 chẵn Vậy số số A 5.5  C41C43  P4  9600 ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a2 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4. C52 6.P2  A43  11520 Tổng có: 9600  11520  21120 số số A TH3: A có chữ số lẻ: i) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 5.5. C42 3.P2  A42  10800 ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn ba vị trí không kề ba số lẻ a2 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4. C53 1.P3  A42  2880 Tổng có: 10800  2880  13680 số số A Tóm lại có: 3000  21120  13680  37800 số số A Câu 29: (Đề thi học sinh giỏi Lào Cai lớp 11 năm học 2017 – 2018) Gọi A tập hợp số gồm bảy chữ số khác Ta có n  A   7! B tập số gồm chữ số khác mà số lẻ không đứng cạnh C tập số gồm chữ số khác mà chữ số lẻ đứng cạnh C  A D tập số gồm chữ số khác mà chữ số lẻ đứng cạnh D  C Khi số hoán vị theo yêu cầu là: n  B   n  A   n  C  Tính n  C  : +) Gọi    a1 , a2 , a3  , với a1 , a2 , a3  1, 3,5, 7 , suy C43  cách chọn  Với  có 3! hốn vị, nên số cách chọn  4.3!  24 cách chọn +) Với  , số hoán vị dạng  , a4 , a5 , a6 , a7  5! hốn vị Suy có 24.5!  2880 số, chữ số lẻ đứng cạnh nhau, số mà số lẻ đứng cạnh kể hai lần Tính n  D  : +) Gọi    a1 , a2 , a3 , a4  , với a1 , a2 , a3 , a4  1,3,5, 7 , suy 4!  24 hoán vị  +) Với  , số hoán vị dạng   , a5 , a6 , a7  là: 4!  24 hoán vị  n  D   4!.4!  576 Vậy n  C   2880  576  2304 Do số hốn vị theo yêu cầu n  B   7! 2304  2736 Câu 30: (Đề thi học sinh giỏi cụm trường Đông Anh – Hà Nội lớp 11 2017 – 2018) Chỉ xảy trường hợp sau: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -87- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Trường hợp 1: chữ số chữ số : +) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có 10 vị trí xếp số 1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào 10 vị trí nói trên: có C101 cách xếp Suy trường hợp có C101 cách xếp Trường hợp 2: chữ số chữ số : +) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp hai số 1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào hai vị trí nói trên: có C92 cách xếp Suy trường hợp có C92 cách xếp Trường hợp 3: chữ số chữ số : +) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp ba số 1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào ba vị trí nói trên: có C83 cách xếp Suy trường hợp có C83 cách xếp Trường hợp 4: chữ số chữ số : +) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp bốn số 1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào bốn vị trí nói trên: có C74 cách xếp Suy trường hợp có C74 cách xếp Trường hợp 5: chữ số chữ số : +) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp năm số 1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào năm vị trí nói trên: có C65 cách xếp Suy trường hợp có C65 cách xếp Vậy có C101  C92  C83  C74  C65  143 số Câu 31: (Đề học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm 2015- 2016) + Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác n     10.9.8.7.6.5  151200 + Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số , đứng cạnh chữ số , đứng cạnh n  A   2!.2!.C62 4!  1440 + Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số , đứng cạnh n  B   2!.C84 5!  16800 + Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số , đứng cạnh n  C   2!.C84 5!  16800 Vậy xác suất để rút thẻ có sáu chữ số khác mà chữ số , không đứng cạnh chữ số , không đứng cạnh n     n  B   n  C   n  A  248 P  n  315 Câu 32: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2017 – 2018) Ta có: A  0;1; 2;3; 4;5  a1a2 a5 ( a5 chẵn; chữ số 0, không cạnh nhau) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -88- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI TH1: a5  + #Chọn vị trí xếp số cịn lại có cách (loại a1 , a4 ) + Cịn vị trí xếp chữ số có A53 cách Trường hợp có 2.A53 số TH2: a5  suy a5 có cách chọn + #Chọn vị trí không cạnh từ a2 a3 a4 để xếp số có cách (vào a2 a4 ) + Cịn chữ số xếp vào vị trí có A42 cách Trường hợp có: 2.A42 số Do xác suất cần tìm là: P  A53  2.A42 144   5.6 6480 45 Loại 4: Liên quan đến lớn , nhỏ Câu 33: (Đề học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 12 năm 2017- 2018) + Trường hợp 1: a  b  c  d có         36 số thỏa mãn + Trường hợp 2: a  b  c  d có C82  C72   C22  84 số thỏa mãn + Trường hợp 3: a  b  c  d có 1.7  2.6  3.5  4.4  5.3  6.2  7.1  84 số thỏa mãn + Trường hợp 4: a  b  c  d có C94  126 số thỏa mãn Vậy có 330 số thỏa mãn Câu 34: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2012 – 2013) Gọi số tự nhiên có chữ số khác lấy từ chữ số , , , , , , abcd Số abcd không lớn 2503 ta có trường hợp: TH1: Số có dạng 250d có số: 2501 , 2503 TH2: Số có dạng 2bcd b  0;1;3; 4 nên có 4.5.4  80 số TH3: Số có dạng 1bcd có 6.5.4  120 số Vậy có  80  120  202 số thỏa yêu cầu tốn Câu 35: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2011 – 2012) Gọi số chẵn có chữ số đơi khác lấy từ chữ số , , , , abcd TH1: Nếu d  có 4.3.2  24 số TH2: Nếu d  d , trường hợp có 2.3.3.2  36 số Do có 60 số chẵn theo giả thiết tốn Trong 60 số số nhỏ 2012 phải có dạng: 1bcd Vì d , , nên có 3.3.2  18 số vậy, suy số lớn 2012 42 42 Từ suy xác suất cần tìm  60 10 Câu 36: (Đề thi HSG Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2014 – 2015) n  M   A95 (số có sáu chữ số đơi khác a1 có cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 chỉnh hợp chập phần tử nên có A95 ) Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 ” Ta có trường hợp sau: TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -89- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI TH1: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C95 cách chọn TH2: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C75 cách chọn TH3: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C55 cách chọn  n  A   C95  C75  C55  148 Do P  A   n  A  148 37   n    9.A9 34020 Câu 37: (Đề thi HSG Nam Định lớp 12 năm học 2014 – 2015) Từ chữ số , , , , , lập A53  300 số tự nhiên có bốn chữ số đôi khác Suy n     C300  44850 Số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ chữ số , , , , , nhỏ 2015 A53  1.1.1.3  63   Gọi A biến cố “trong hai số chọn có số lớn 2015 ” n A  C632  1953   Do n  A  n     n A  44850  1953  42897 Vậy P  A   42897 14299  44850 14950 Câu 38: (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 - 2018) Đặt T   a1 ; a2 ; a3  | a1 , a2 , a3  A; a1  a2  a3 ; a2  a1  2, a3  a2  2 Với  a1 , a2 , a3  , xét tương ứng với  b1 , b2 , b3  cho b1  a1 ; b2  a2  1; b3  a3  Lúc ta có:  b1  b2  b3  tương ứng tương ứng  do: +) Với  a1 , a2 , a3  cho tương ứng với  b1 , b2 , b3  công thức b1  a1 ; b2  a2  1; b3  a3  +) Ngược lại, với  b1 , b2 , b3  cho tương ứng với  a1 , a2 , a3  công thức a1  b1 , a2  b2  1, a3  b3  Đặt B  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 Tập  b1 , b2 , b3  tập có phần tử B Vậy số tập  a1 , a2 , a3  cần tìm là: C83  56 Câu 39: (Đề thi thử THPT Quốc gia chuyên Hạ Long – Quảng Ninh năm học 2017 – 2018) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcd ,  a  b  c  d  Lời giải Do  a  b  c  d    a  b   c   d     12 Số cách chọn  a; b; c; d  C124 C124 Xác suất cần tìm: P   0, 055 9.103 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -90- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI DẠNG 2: CÁC BÀI TỐN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN NGƯỜI HOẶC ĐỒ VẬT Câu 40: (Đề thi học sinh giỏi Hải Phòng lớp 12 năm học 2017 - 2018) Tốn + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa Gọi x, y, z ( x, y , z   ) số học sinh nhận phần thưởng Toán + Lý ; Toán + Hóa; Lý + Hóa Khi đó, ta có hệ sau : x  y  x    x  z    y  y  z  z    Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : C94 C53 Vậy số phần tử không gian mẫu n()  C94 C53 Gọi S biến cố “ hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” TH1 : A B nhận Tốn+Lý có C72 C53 cách phát TH2: A B nhận Tốn+Hóa có C71 C64 cách phát TH3 : A B nhận Lý-Hóa có C74 cách phát  n  S   C72 C53  C71 C64  C74 Vậy xác suất biến cố S là: P( S )  C72C53  C71C64  C74  C94 C53 18 Câu 41: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 - 2016) Số phần tử không gian mẫu n     C40 Giả sử có hai cặp vợ chồng  A, B   C , D  A, C chồng Trường hợp 1: #Chọn cặp vợ chồng  A, B  Cần chọn người số 38 người cịn lại (trừ  A, B  ) mà khơng có cặp  C , D  - Số cách chọn người 38 người C383 - Số cách chọn người số 38 người mà có cặp  C , D  C36 Suy số cách chọn người số 38 người mà khơng có cặp  C , D  C383  C36 Trường hợp 2: #Chọn cặp vợ chồng  C , D  Tương tự ta có số cách chọn C383  C36 Vậy xác suất cần tìm P   C383  C36  C40 Câu 42: (Đề thi học sinh giỏi Cà Mau lớp 12 năm học 2017 - 2018) a Số cách chọn An Bình giữ chức vụ bí thư phó bí thư cách Số cách lập ban chấp hành với số ủy viên n  A387 Vậy có tất : 2.A387 cách b Số phần tử không gian mẫu A382 C38n #Chọn người từ 38 người để giữ chức vụ bí thư phó bí thư có A382 TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -91- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI #Chọn thêm ủy viên có C36n  ( trừ bí thư, phó bí thư An, Bình) A382 C36n 2 Vậy xác suất để ban chấp hành đạt chuẩn A0 là: n  n5 A40 C38 78 Câu 43: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu n()  410 Gọi A biến cố “Thí sính đạt từ 7,0 điểm trở lên” Thí sinh chọn câu, sai câu có C107 1.3.3.3  1080 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C108 1.3.3  405 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C109 1.3  30 cách Thí sinh chọn 10 câu có cách Vậy, n(A)  1080  405  30   1516  P ( A)  n( A) 1516  10 n ( ) Câu 44: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh lớp 12 năm học 2016 – 2017) Trong câu xác suất trả lời Trong câu xác suất trả lời sai Học sinh thi đỗ trường hợp sau: Trường hợp 1: câu sai câu Số cách chọn câu 10 câu C106 1 Xác suất để câu đồng thời câu lại đề sai là:   4 1 3 Suy trường hợp có xác suất P1  C     4 4 Tương tự: 3   4 10 1 Trường hợp 2: câu sai câu có xác suất là: P2  C107    4 1 Trường hợp 3: câu sai câu có xác suất là: P3  C   4 10 1 Trường hợp 4: câu sai câu có xác suất là: P4  C   4 10 3   4  3    4  3    4 10 1 Trường hợp 5: 10 câu có xác suất là: P5  C   4 Do trường hợp biến cố biến cố xung khắc nên xác suất để học sinh thi đỗ là: P  P1  P2  P3  P4  P5 10 10 1  C    4 10 3 1    C107   4 4 3 1    C108   4 4  3 1    C109    4 4 10 20686 3 10      C10    10 4 4 Câu 45: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2015 – 2016) Ta có: TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -92- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 30  14  16 (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 15   16  (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 16   (người) Xét phép thử: “ người chọn biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy   C165  4368 Xét biến cố: “#Chọn người có người biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy  A  C73 C92  1260 Xác suất cần tìm P  A    A 1260 15    4368 52 Câu 46: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2015 – 2016) Ta có: Gọi x, y, z số học sinh nhận phần thưởng sách Toán – Vật lí, Tốn – Hóa học, Vật lí – Hóa học x  y  x    Từ giả thiết ta có:  x  z    y  y  z  z    Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho học sinh”, suy   C94 C53 C22  1260 Xét biến cố: “An Bình có phần thưởng giống nhau” TH1: An Bình nhận sách Tốn – Vật lí, có C72 C53 C22  210 TH2: An Bình nhận sách Tốn – Hóa, có C74 C31.C22  105 TH3: An Bình nhận sách Vật lí – Hóa học, có C74 C33  35 Suy ra,  A  210  105  35  350 Xác suất cần tìm P  A   A 350    1260 18 Câu 47: (Đề thi học sinh giỏi Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017) Số phần tử không gian mẫu: n     C158 Gọi A biến cố: Số sách lại thầy X có đủ mơn Xét khả xảy ra: Khả : sách lại có Văn Sử Số cách chọn là: C97 Khả : sách lại có Văn Địa Số cách chọn là: C107 Khả : sách lại có Địa Sử Số cách chọn là: C117 Vậy P  A   P  A    C97  C107  C117 5949  C158 6435 Câu 48: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2013 – 2014) Gọi A biến cố cần tính xác suất Số cách xếp khách lên toa là:   45 Số cách chọn ba khách để xếp lên toa là: C53  10 Số cách chọn toa để xếp ba người là: C41  Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa lại là: A32  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -93- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Suy  A  10.4.6  240 Vậy xác suất cần tìm P  A    A 240 15    64 Câu 49: (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2015-2016) Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ tư có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ năm có cách chọn cửa hàng để vào Theo quy tắc nhân có: 55  3125 khả khác xảy cho người vào cửa hàng Suy số phần tử không gian mẫu là:   3125 Để có cửa hàng có nhiều khách vào có trường hợp sau: TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Vậy: C51.C53 C41 C22  200 khả xảy TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Vậy: C51.C53 C42 P2  600 khả xảy TH3: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Vậy: C51.C54 C41  100 khả xảy TH4: Một cửa hàng có khách, cửa hàng khác khơng có khách Vậy: C51  khả xảy Suy có tất 200  600  100   905 khả thuận lợi cho biến cố “ có cửa hàng có nhiều người khách vào ” 905 181 Vậy xác suất cần tính là: P   3125 625 Câu 50: n()  C103  120 , có mã P( A)  112 112 111   120 120 119 120 119 118 DẠNG : CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC Câu 51: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2014 – 2015) Số tam giác có đỉnh thuộc  H  Cn3 Số tam giác có đỉnh thuộc  H  có hai cạnh cạnh  H  n Số tam giác có đỉnh thuộc  H  có cạnh cạnh  H  n  n   Suy số tam giác có ba đỉnh thuộc  H  khơng có cạnh cạnh  H  Cn3  n  n  n   Theo giả thiết ta có Cn3  n  n  n    5n  n   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -94- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Giải phương trình ta n  35 ( giá trị n  loại) Câu 52: (Đề thi HSG Hịa Bình lớp 12 năm học 2017-2018) Tính số phần tử khơng gian mẫu: n     C143  364 Gọi A biến cố :” Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác “ Suy A biến cố “Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác “ TH1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10  140 tam giác thỏa mãn   Suy n A  14  140  154   Vậy số phần tử biến cố A : n( A)  n()  n A  210 Suy P  A   n  A  15  n    26 Câu 53: (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2017 -2018) Gọi  không gian mẫu  n     C103  120 Gọi A : ” tam giác chọn cạnh cạnh đa giác cho” Các tam giác tập X có ba loại: Tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác, tam giác có cạnh cạnh đa giác, tam giác có hai cạnh cạnh đa giác Ứng với cạnh đa giác có 10  đỉnh đa giác tạo thành tam giác có cạnh cạnh đa giác nên số tam giác có cạnh cạnh đa giác là: 10 10    60 Có 10 tam giác có hai cạnh cạnh đa giác là: A1 A2 A3 ; A2 A3 A4 ; … ; A10 A1 A2  n  A   120  60  10  50 Vậy p  A   50  120 12 Câu 54: (Đề thi học sinh giỏi Thái Bình lớp 12 năm học 2017 - 2018) Số phần tử tập S là: C2n Số phần tử không gian mẫu n     C2n Gọi A biến cố: “#Chọn tam giác vng” Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O Mỗi tam giác vuông tạo hai đỉnh nằm đường chéo qua tâm O 2n  đỉnh cịn lại Suy số tam giác vng n  2n   Theo đề ta có: P  A   n  2n     n  20 C23n 13 Câu 55: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2015-2016) Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153  455 tam giác Số phần tử tập M n  M   455 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA , hay có tam giác cân đỉnh A Như với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -95- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI 15  tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy số tam giác cân khơng phải tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15  3.5  90 Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M là: 90 18 P  455 91 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Câu 56: (Đề thi học sinh giỏi Yên Lạc – Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 – 2016) Không gian mẫu n     C244 Gọi A biến cố “4 đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng” Gọi O tâm đa giác Vì đa giác số đỉnh chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành đường kính, lấy đường kính chúng đường chéo hình chữ nhật Do số hình chữ nhật C122 Suy n  A   C122 Vậy P  A   n  A  C122   n    C24 161 Câu 57: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định năm học 2015 – 2016) Đầu tiên ta xét loại tam giác tạo thành Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh  H  là: C22  1540 tam giác bao gồm loại sau: Loại tam giác có cạnh cạnh  H  , loại tam giác có cạnh cạnh  H  , tam giác khơng có cạnh cạnh  H  , cụ thể ta làm sau: Cứ đỉnh  H  với đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành tam giác có cạnh cạnh  H  Các tam giác trùng nhau.Mà  H  có 22 đỉnh nên có 22 tam giác có cạnh cạnh  H  Xét cạnh  H  ,bỏ đỉnh liên tiếp bên cạnh đó,nối đỉnh lại  H  với đầu mút cạnh xét ta có tam giác có cạnh cạnh  H  ,nên ta có 22  18  396 tam giác thỏa ycbt Do số tam giác khơng có cạnh cạnh  H  1540   22  396   1122 tam giác Ta có số phần tử khơng gian mẫu n     C1540 Gọi A biến cố “chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác  H  tam 1 giác khơng có cạnh cạnh đa giác  H  ” suy n  A   C396 C1122 Vậy P  A   1 n  A  C396 C1122 748   n   C21540 1995 Câu 58: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016-2017) Gọi đa giác A1 A2 A24 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -96- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số phần từ không gian mẫu n     C24  2024 Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác) Giả sử xét cạnh màu xanh A1 A2 , ta có 20 cách chọn đỉnh Ai  Ai   A4 ; A5 ; ; A23  Nên số phần tử B n  B   24.20  480 Gọi C biến cố chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n  C   24 Ta có n  A   n  B   n  C   n    Suy số phần tử biến cố A n  A   n     n  B   n  C   2024  480  24  1520 Vậy xác suất biến cố A P  A   n  A  190  n    253 Câu 59: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2016-2017) Số đường chéo đa giác 2n cạnh C22n  2n Đường chéo có độ dài lớn đường chéo qua tâm đa giác đều, có n đường chéo n n 1 Từ giả thiết ta có      n6 C2 n  n  2n  1 n  2n 2n  i k i     Xét khai triển  x    có số hạng tổng quát : C6k Cki 26  k  x     C6k Cki 26 k x k  i x    x 3k  4i  i   Số hạng chứa x khai triển ứng với i, k thỏa mãn hệ: 0  i  k    k  i, k  N  Hệ số số hạng chứa x5 C63 c13 23  480 Câu 60: (Đề thi học sinh giỏi Lâm Đồng lớp 12 năm học 2017 – 2018) Ta có: Số phần tử không gian mẫu C53  10 Để ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác có bốn cách chọn sau: 3,5, 7 3; 7;9 ; 5, 7,9 3,5,9 Gọi A biến cố chọn ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác Vậy xác suất để ba đoạn xếp thành hình tam giác là: P  A   10 Câu 61: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018) Ta có: Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt C2n Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có Cn3 mặt phảng trùng Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt C23n  Cn3  Ta có phương trình: C23n  Cn3   505  2n  2n  1 2n   1.2.3   9n  2n  3024   n   n  n  1 n   1.2.3  505 VẬY n  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -97- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI DẠNG : CÁC BÀI TỐN ĐẾM – TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN XẾP CHỖ , VỊ TRÍ Câu 62: (Đề thi học sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n  học sinh vào 2n  chỗ ngồi đánh số suy n      2n  3 ! Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n  cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n  cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 3.2! cách xếp An Bình …… - Xếp Bình ghế thứ n  ghế thứ n  cách có n.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế thứ n  cách có  n  1 2! cách xếp An Bình Suy 1     n  2!  n  1 2!   n  1 2! cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi Với cách xếp có  2n  ! cách xếp học sinh cịn lại Vậy ta có n  A   n  1  2n  ! 2  n  1  2n ! 12 Theo giả thiết ta có phương trình  575  2n  3 !  n  11  48n  479n  539     n   49  L  48  Suy số học sinh 2.11   25 Câu 63: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu n     10! Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán - Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách (Sau xếp có vị trí trống (4 hai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6 - Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải (23456) có 5! Cách xếp - Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 có vị trí xếp học sinh có A43 2!.2.3 cách Suy n  A  5!. 2.5! A32 2!.2.3  63360 63360 11  10! 630 2.5!.5! Vậy P( A)   10! 126 Vậy P  A   Câu 64: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2016 – 2017) Số phần tử không gian mẫu: n     13! TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -98- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số , , 13 Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh nhau” Xét trường hợp: * Bạn Minh ngồi ghế số + Số cách xếp ba bạn nữ cịn lại là: 3! + Có cách xếp vị trí Hải + Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí cịn lại Suy số cách xếp 3! 8! - Bạn Minh ngồi ghế số 13 có số cách xếp 3! 8! * Bạn Minh ngồi ghế số (Ghế số tương tự) + Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam cịn lại, số cách xếp 3!.7.8! Số phần tử biến cố A là: n  A   2.3!.7.8! 2.3!.7.8! Xác suất cần tìm là: P  A   n  A  n    858 Câu 65: (Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Gọi A biến cố: “ Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh nhau” Số cách xếp 36 học sinh vào 36 bàn lớp số phần tử khơng gian mẫu   36! * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang Có cách chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh Có hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhóm X ,  có nhóm X khác có cách xếp chỗ cho nhóm X Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh lại vào 34 bàn Vậy trường hợp 6.2.5.34!  60.34! cách xếp * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự ta có 60.34! cách xếp Số phần tử A n  A   120.34! Vậy xác suất cần tìm là: P  A   n  A  120.34! 120    n   36! 35.36 21 Câu 66: (Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 – 2016) 18 18 Khơng gian mẫu có số phần tử n     C52 C34 16 18 Nếu Thành Đạt ngồi chung phòng phịng n  A1   2.C50 C34 18 18 Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng n  A2   C50 C32 Gọi A biến cố “Thành Đạt chung phòng” 16 18 18 18 n  A  2.C50 C34  C50 C32 71 n  A   n  A1   n  A2   P  A     18 18 n  C52 C34 221 Câu 67: (Đề thi học sinh giỏi chuyên Bắc Ninh lớp 11) 6! Tổng số cách xếp viên bi thành hàng  90 (hoặc C62 C42  90 ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -99- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Kí hiệu: A1 tập hợp viên bi xanh cạnh nhau; A2 tập hợp viên bi đỏ cạnh nhau; A3 tập hợp viên bi vàng cạnh Số cách xếp khơng hợp lệ (có viên màu cạnh nhau) là: A1  A2  A3  A1  A2  A3   A1  A2  A2  A3  A3  A1   A1  A2  A3 Với A1  A2  A3  5!  30 22 A1  A2  A2  A3  A3  A1  4!  12 A1  A2  A3  3!   A1  A2  A3  90  3.12   60 Vậy, số cách xếp hợp lý A1 A2 A3  90  60  30 Câu 68: (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 – 2018) u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng u1  u3  2u2 Do u1 , u3 chẵn lẻ Số tất cấp số cộng theo thứ tự số cặp số(có thứ tự)  u1 , u3  #Chọn u1 có 2012 cách chọn, chọn u3 có 1005 cách chọn số chẵn lẻ với u1 u1  u3 có cách chọn Còn lại 2009 lại ta chọn số xếp có thứ tự để hồn tất việc chọn Khi u2  Vì số kết 2012.1005.A2009 Câu 69: (Đề thi kỳ Yên Phong1_Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu n     6!  720 Gọi A biến cố hai xe màu khơng xếp cạnh Ta tính n  A  Xe màu đỏ nhiều nên ta trước để tránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp sau TH : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe cịn lại nên có ! cách xếp xe cịn lại Vậy trường hợp có 6.6  36 cách TH2 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe cịn lại nên có ! cách xếp xe lại Vậy trường hợp có 6.6  36 cách TH3 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề ô lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 5.2.2  24 cách TH4 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề ô lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 5.2.2  24 cách Vậy tổng cộng n  A   36.2  24.2  120 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -100- Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT Do P  A   DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI n  A  120   n    720 DẠNG : CÁC BÀI TOÁN KHÁC Câu 70: (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2017 – 2018) Lời giải Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến di chuyển m (sau phút) Do chúng gặp giao điểm đường chéo chạy từ góc bên trái đến góc bên phải  A1 A5  C40 ; 24 C40 Xác suất để sau phút, kiến thứ hai đến vị trí A1 P2  A1   ; Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí A1 P1  A1   Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1 P  A1   P1  A1  P2  A1  C   256 Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí A2 , A3 , A4 , A5 là: P  A2  C   2 C   C   ; P  A3  ; P  A4  256 256 Vậy xác suất để hai kiến gặp là: 256 P  A   P  A1   P  A2   P  A3   P  A4   P  A5   ; P  A5  4 C   256 4 2 4 4 C   C   C   C   C   256 35 128 Câu 71: (Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh lớp 11 năm học 2016 – 2017) Số phần tử không gian mẫu   1728 Số trường hợp xảy để lượt tung thu súc sắc mặt chấm xu sấp Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.1.11  3.11 Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.11.11  3.112 Vậy xác suất cần tìm là: P  3.11  3.112 397  123 1728 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập -101-