Toán học lớp 9, đề cương toán 9 giữa học kì 1. Đây là kiến thức đại số, chương trình sách cũ. Về chương 1: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA 1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai 2) Các công thức biến đổi căn thức Cùng với đó rất nhiều ví dụ và bài tập với các dạng: Tìm điều kiện xác định, Rút gọn biểu thức ...
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN GIỮA HỌC KÌ I Phần A- Đại số Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA 1) Định nghĩa, tính chất bậc hai a) Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a x ³ a b) Với a ³ ta có x = Û x a a a b c) Với hai số a b khơng âm, ta có: a < b Û A neu A ³0 A A A neu A d) 2) Các công thức biến đổi thức A2 A AB A B (A ³ 0, B ³ 0) A A B B (A ³ 0, B > 0) A B A B (B ³ 0) A B A B (A ³ 0, B ³ 0) A B B A B A B (A < 0, B ³ 0) AB (AB ³ 0, B ¹ 0) C A B C A B2 A B C C A B A A B B B (B > 0) A B A B Ví dụ 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a 2x b (A ³ 0, A ¹ B2) (A, B ³ 0, A ¹ B) x Giải: a x có nghĩa Û 2x - ³ Û 2x ³ Û x ³ x ¹0 x ¹49 x ¹7 Û Û x ³0 x ³0 x ³0 b x có nghĩa Û Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: a 45 20 b ( 5)( 5) 6 c Giải: a 45 3 20 = d 15 9.5 4.5 3 (3 2) 5 2 b ( 5)( 5) = 3 0 3.2 2.3 1 6 3 6 3 2 = 2 2 c d 15 = Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 21 15 71 1 a 2 ( 5) b x x 18 x với x ³ b a ab c Giải: a a b b a ab b a.Gợi ý: Phân tích 21 15 thành nhân tử rút gọn cho mẫu b x x 18 x = x 4.2 x 9.2 x 5 x 2.2 x 7.3 x 21 2x = 22 2x = b a b a a b b a a b( a b) a ab ab b a( a b) b ( a b ) c = b b a a a b ( a b ) a b ( a b ) = = b b a a = b - a ( rút gọn tử mẫu ) Ví dụ 4: Giải phương trình: a x 21 b x 20 x x 45 20 Giải: a x 21 Û x 21 Û 2x 20 4 Û 2 x 4 Û x 16 16 Û x =8 Vậy phương trình có nghiệm x = b ĐK: x + ³ Û x ³ -5 x 20 x x 45 20 Û 4( x 5) x 9( x 5) 20 Û x x 7.3 x 20 Û (2 21) x 20 Û 20 x 20 Û x 1 Û x 1 Û x = - = -4 ( thỏa ĐK ) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định: Bài 1: Với giá trị x biểu thức sau xác định: 5 2 1) x 2) x 3) x 4) x 5) 3x 9) 2x 13) 2−√ x 6) x 10) 15x 7) 11) 2x 8) √ 2x+1 √ 3 3x 12) 6x 2 14) √ x −1 15) x +3 16) √−x −2 Bi 3: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau ): 5 2 x x x 6 x 1) 2) 3) 4) 5) 3x 6) x Rút gọn biểu thức Bài 1: 7) 2x 8) 3 3x 1) 12 48 4) 12 27 48 2) 5 20 45 5) 12 75 27 3) 32 18 6) 18 162 7) 20 45 Bài Trục thức sau a) ; ; ; 15 8) ( 2) 2 9) ( 19 3)( 19 3) b) c) 12 31 3 ; ; ; 5 15 6 15 e) 3 ; ; 1 d) ; 1 f) g) 11 11 11 11 ; ; ; 11 11 11 11 h) 5 2 2 14 12 ; ; ; 10 3 3 2 15 ; ; ; 12 ; ; ; 2 1 12 15 24 ; ; ; 3 3 5 5 Bài 3: Trục thức mẫu thực phép tính 1 2 a) b) 5 2 3 d) 51 1 g) 10 10 11 11 5 5 Bài i) 1) 4) 3 e) 2) ) ( 3) 7) 15 - 11 3 51 3 7 2 2 3 2 f) 5 5 + 3) 3 15 9) 3 A B Û A B ; A ³0 (hay B ³0) A BÛ A B A ³0 A A B Û hay A B A B A 0 A B 0 Û B 0 3 2 6) ( 3) ( 2) Giải phương trình: Phương pháp: 2 2 7 2 5) ( 2) ( 1) 8) 7 7 7 7 15 j) 3 5 31 15 42 4 31 3 2 (1 3 h) 3 c) B ³0 A B Û A B B ³0 A B Û A B hay A B A 0 A B 0 Û B 0 A B Û A B hay A B Chú ý: √ A 2=B |A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.A|A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.=B ; |A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.A|A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.=A A ≥ 0; |A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.a|A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ 0.=-A A≤ Bài Giải phương trình sau: 1) x 2) x 3 3) 9( x 1) 21 4) x 5) x 12 0 6) ( x 3) 9 7) 2 9) x 6 10) 4(1 x) 0 11) Bài Giải phương trình sau: a) ( x 3) 3 x Bài Giải phương trình sau: a) 2x x d) x x Bài Giải phương trình sau: a) x x x x x x x2 x x d) Bài Giải phương trình sau: x 2 12) (2 x 1) 3 3 x x 20 x 25 x 5 c) 12 x 36 x 5 b) x2 x x c) 2x2 4x e) x2 x x f) x x 3x x2 x x c) e) x x 0 f) x x b) x x x c) x x x e) x x 16 2 x f) x x 11 2 b) x x 2 c) x 12 x x Bài Giải phương trình sau: a) x x 0 8) b) a) x x d) b) x x 2 d) x x 0 Bài Giải phương trình sau: a) x x 6 50 0 d) b) x x x 12 x x 8x 16 x 0 c) x x 0 x x x 0 CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.Các bước thực hiên: Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Quy đồng, gồm bước: + Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn B.Bài tập luyện tập: Bài Cho biểu thức : A = x 2x x x x x với ( x >0 x ≠ 1) b) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 4 a a 2 a ( Với a ³ ; a ¹ ) Bài Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị a cho P = a + x 1 x x x x1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A; a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; c)Với giá trị x A< -1 b)Rút gọn biểu thức A; x 1 x Bài 4: Cho biểu thức : B = x 2 x a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị B với x =3; A c) Tìm giá trị x để x 1 x 25 x 4 x x x 2 Bài 5: Cho biểu thức : P = a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 1 a 1 a 2 ):( ) a a a1 Bài 6: Cho biểu thức: Q=( a a) Tìm TXĐ rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị biểu thức biết a = 9- 15 x 11 x x 3 x 3 Bài : Cho biểu thức : K = x x x a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; d) Tìm giá trị lớn K c) Tìm x K= ; x x x x x1 x x G= Bài : Cho biểu thức: a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị G x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn G; e)Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; x2 x x1 x x x x 1 x : P= Với x ≥ ; x ≠ Bài : Cho biểu thức: a)Rút gọn biểu thức trên; Bài 10 : cho biểu thức a)Tìm a dể Q tồn tại; Bài 11: Cho biểu thức : b)Chứng minh P > với x≥ x ≠ 1 a 1 1 a 1 a Q= a a b)Chứng minh Q không phụ thuộc vào giá trị a x3 xy y A= a)Rút gọn A 2x xy y x 1 x x 1 x b)Tìm số nguyên dương x để y = 625 A < 0,2 a a 4 a a : 1 a 4 a 16 a a Bài 12:Xét biểu thức: P= (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố Phần B - HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Định lí Pi-ta-go: BC AB AC 2 AB BC.BH ; AC BC.CH AB AC BC AH AH BH CH 1 2 AB AC AH Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH HD: BH 1,8 cm , CH 3,2 cm , AC 4 cm , AH 2, cm Bài Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH HD: BC=2√ 41; BH=32√ 41/41 ; CH=50√ 41/41; AH=40√ 41/41 AB AC Bài Cho tam giác ABC vuông A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết 36 13 24 13 (cm) AC (cm) 13 13 HD: , Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC HD: AB BC 52 cm , AH 2 105 cm , AB 2 130 cm , AC 2 546 cm Bài Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 60 a) Tính cạnh BC Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN b) 0 Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 60 góc A 90 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c)Tính HK d) Vẽ BE ^ DC kéo dài Tính BE, CE DC OD a Từ Bài Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox ^ AB Trên Ox, lấy điểm D cho B kẻ BC vng góc với đường thẳng AD a)TínhAD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn AB 20 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AC 21 AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC Bài Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB 2 13, OA 6 , tính diện tích hình thang ABCD II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn cạnh đối cạnh kề cạnh đối sin a cos a tan a cạnh huyền ; cạnh huyền ; cạnh kề ; cot a cạnh kề cạnh đối Chú ý: Cho góc nhọn Ta có: sin 1; cos Cho góc nhọn a, b Nếu sin a sin b (hoặc cos cos , tan a tan b, a b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cotang góc Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700… Tỉ số lượng giác góc đặc biệt: a 300 450 600 sina 2 cos 2 2 tana 3 3 cot a cot b ) TS LG cota Một số hệ thức lượng giác sin tan cos ; cot cos sin ; tan tan a cot a 1 ; cot a sin2 cos2 1 ; cos2 ; sin a Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 abc S∆ ABC = ab sin C= bc sin A= ac sin B= P.r = 2 4R R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) Trong tam giác bất kì: b c a = = =2 R sin B sin C sin A Với a cạnh đối diện góc A, b cạnh đối diện góc B, c cạnh đối diện góc C BÀI TẬP: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm AC 108,4 ^ ^ = =0,75 nên C=41 CosC= ; B=490 BC 145 Bài Cho tam giác ABC vng A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm HD: a) sin B 0,8 ; cos B 0,6 Bài Cho tam giác ABC vng A, có AB = 10cm AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH ^ BI H Tính AH HD: AC 15 = a, tanB= nên ^B=56 AB 10 AI ABI= b, tan ^ nên AI=AB tan ^ ABI=10.tan280 =5,3cm AB AH ABH = c, sin ^ nên AH=AB.sin ^ ABH = 10.sin280 =4,7cm AB Bài Tính giá trị biểu thức sau: 2 2 2 a) cos 15 cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65 cos 75 2 2 2 b) sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 70 sin 80 sin150 sin 750 cos150 cos 750 sin 30 c) 0 0 d) sin 35 sin 67 cos 23 cos 55 2 2 e) cos 20 cos 40 cos 50 cos 70 0 0 f) sin 20 tan 40 cot 50 cos 70 HD: Dùng công thức: sin(900-a)=cosa; tan(900-a)=cota a) cos 150 +cos 75 ¿+ ( cos2 250 +cos 65 )+ ( cos 350 +cos 55 0) + cos2 450 =( cos ¿ ¿ 15 ¿ ¿ 0+sin2 150 )+ ( cos2 250 +sin2 250 ) + ( co b) c) 0,5 d) e) f) Bài Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn a, tính tỉ số lượng giác cịn lại : a) sin a 0,8 b) cos 0,6 c) tan a 3 d) cot a 2 Bài Rút gọn biểu thức sau: 2 a) (1 cos )(1 cos ) b) sin cos c) sin sin cos 4 2 2 d) sin cos 2sin cos e) tan sin a tan Bài Chứng minh hệ thức sau: 2 f) cos tan cos cos sin (sin cos )2 (sin cos )2 4 cos sin cos a) sin b) Bài Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a b c sin A sin B sin C a) Chứng minh: b) Có thể xảy đẳng thức sin A sin B sin C không? 1 c) Chứng minh: S∆ ABC = ab sin C= bc sin A= ac sin B ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề 2 với sin góc xen hai cạnh đó) III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c b a.sin B a.cos C ; c a.sin C a.cos B b c.tan B c.cot C ; c b.tan C b.cot B BÀI TẬP: Bài Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và: a 15cm; b 10cm b) b 12cm; c 7cm a) Bài Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC 4cm, BD 5cm , góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD Bài Chứng minh rằng: Bài a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính sin B,sin C Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 hai đường chéo vng góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Bài Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 Bài Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh Bài Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi DABC Bài Cho ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC DE DB a) Chứng minh DB DC b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB c) Tính tổng góc (AEB+BCD) Bài 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a sin B cos B a) Tính sin B cos B b) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan ^ c) Chứng minh ^ IED ; tan ^ HEC IED= ^ HEC d) Chứng minh: DE ^ EC Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a h; b c; h tam giác vuông Bài 13 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: S SBFD SCDE cos2 A cos2 B cos2 C S sin2 A cos2 B cos2 C a) AEF b) DEF Bài 14 Giải tam giác ABC, biết: ^ a) ^ b) ^ A=900 ; BC=10 cm ; B=75 A=1200 ; AB= AC =6 cm c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma 5 , đường cao AH = m 5 d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền a , góc nhọn 47 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vng ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC