Khóa luận tốt nghiệp một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN Hà Nội – 2018 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phƣơng trình vi phân 1.1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.3 Nghiệm phƣơng trình vi phân 1.2 Phƣơng trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số dạng phƣơng trình 1.2.2.1 Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.2.2.2 Phƣơng trình vi phân tồn phần 1.2.2.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1.2.2.4 Phƣơng trình Bernoulli 1.3 Phƣơng trình vi phân cấp 10 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN 13 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ 13 2.1 Phƣơng trình vi phân cấp 13 2.1.1 Phƣơng trình Bernoulli 13 2.1.2 Sự phân rã phóng xạ 14 2.1.3 Định luật Newton nhiệt độ môi trƣờng 15 2.1.4 Một số toán học 16 2.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 18 2.3 Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt 21 2.3.1 Phƣơng trình dao động sợi dây 21 2.3.2 Phƣơng trình truyền nhiệt 27 2.3.3 Phƣơng trình Schrodinger 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 35 3.1 Trong y sinh hóa lý (dƣợc động lực học trình biến đổi hóa chất đơn giản, phát triển dịch bệnh) 35 3.1.1 Dƣợc động lực học trình biến đổi hóa chất đơn giản 35 3.1.2 Sự phát triển dịch bệnh: 38 3.2 Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa giá cả) 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Phƣơng trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kĩ thuật u cầu địi hỏi thực tế, vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều toán học, vật lý dẫn đến nghiên cứu phƣơng trình vi phân tƣơng ứng Phƣơng trình vi phân có ứng dụng rộng rãi ngành nhƣ kinh tế, điều tra tội phạm, mơ hình tốc độ tăng dân số, vật lí,… Đặc biệt ngành Vật lí lý thuyết – môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí, nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí, từ tìm tính đắn giả thuyết Và phƣơng trình vi phân cơng cụ, giải pháp hữu hiệu để giải toán trình chứng minh giả thuyết Vì vậy, em định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải tốn vật lí” để nghiên cứu Khóa luận bao gồm nội dung:  Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân  Chƣơng 2: Áp dụng phƣơng trình vi phân để giải số toán  Chƣơng 3: Một số ứng dụng khoa học đời sống Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu dạng phƣơng trình vi phân - Ứng dụng giải tốn vật lí phƣơng trình vi phân Đối tƣợng nghiên cứu - Các dạng phƣơng trình vi phân - Một số tốn vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo sách, mạng,… - Thống kê, lập luận, diễn giải Những đóng góp khóa luận Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng phƣơng trình vi phân vào giải số tốn vật lý CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phƣơng trình vi phân Cấp cao đạo hàm có mặt phƣơng trình vi phân đƣợc gọi cấp hay bậc phƣơng trình vi phân Ví dụ: ( y' )2  xy3  y5  0, có mặt đạo hàm cấp nên đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp ( y '' )2  5( y ' )3  y  1; ( y ' )5  ( y '' )2  y  1, có mặt đạo hàm cấp nên đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp 1.1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng Phƣơng trình vi phân có dạng F ( x, y, y ' , y ( n) )  0, đƣợc gọi phƣơng trình vi phân thƣờng cấp n Trong x biến số độc lập, y hàm phải tìm, đạo hàm cấp n y đạo hàm cấp y, 1.1.3 Nghiệm phƣơng trình vi phân Nghiệm hay tích phân phƣơng trình vi phân hàm số y = f(x) mà thay vào phƣơng trình biến phƣơng trình thành đồng thức Ví dụ: Phƣơng trình y ''  y  0, nhận hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – sinx tổng quát hàm số có dạng y = trình, với số sinx + cosx nghiệm phƣơng 1.2 Phƣơng trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa Phƣơng trình vi phân cấp phƣơng trình có dạng F(x,y, ) = Hay = f(x,y) hay Ví dụ: = f(x,y) yy '  3x  ; y dx  xdy  ; y '   Hoặc từ (1.1) ta giải đƣợc: y x (1.1) y '  f ( x, y) Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phƣơng trình vi phân giải đạo hàm dƣới dạng đối xứng M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  Cách giải: Ta dùng phƣơng pháp tách biến - Đƣa phƣơng trình vi phân cấp dạng: A(x)dx + B(y)dy = (1.2) Trong A(x), B(y) hàm lần lƣợt phụ thuộc vào x y - Tích phân vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng quát (1.2):  A( x)dx   B( y)dy  C Ví dụ: Giải phƣơng trình: (1  x) ydx  (1  y) xdy  Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, viết phƣơng trình thành: 1 (  1)dx  (1  )dy x y Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: ln|x| + x = y - ln|y| + C Hay ln|xy| + x – y = C Đó tích phân tổng qt phƣơng trình 1.2.2 Một số dạng phƣơng trình 1.2.2.1 Phƣơng trình đẳng cấp cấp Phƣơng trình y’ = f(x,y) đƣợc gọi phƣơng trình đẳng cấp f (x, y) hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa f (x, y)  f (tx, ty) ví dụ: y'  x y phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp x y Cách giải: Theo định nghĩa phƣơng trình đẳng cấp ta có f (tx, ty)  f (x, y) Chọn t  y ( x  )thì ta có y '  f (x, y)  f(1, ) x x (1.3) Vế phải phƣơng trình (1.3) biểu thức phụ thuộc vào y x y x y x y '  f (1, )   ) (1.4) Đặt u  y x y  u.x y '  u  x.u ' vào phƣơng trình (1.4) ta có x.u '   (u)  u - Trƣờng hợp 1:  (u)  u y x Khi đó: ( )  y x Do phƣơng trình (**) trở thành y '  - Trƣờng hợp 2: dy dx  y x y x y  Cx  (u)  u  du dx  : phƣơng trình tách biến  (u)  u x Khi đó: Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y '  x y x y Rõ ràng phƣơng trình đẳng cấp Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau: y x y x y'   x  y 1 y x 1 y x Đặt u  Ta có: y '  u ' x  u thay vào phƣơng trình ta có: u' x  u  1 u 1 u 1 u dx du  1 u x Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: du udu  1 u   1 u 2  ln x  lnC arctgu  ln(1  u )  ln C x Hay arctgu  ln C x  u Vậy nghiệm phƣơng trình có dạng: C( x  y )  e 2 y arctg ( ) x 1.2.2.2 Phƣơng trình vi phân tồn phần Phƣơng trình: M (x, y) dx  N(x, y) dy  (1.5) Đƣợc gọi phƣơng trình vi phân tồn phần thỏa mãn điều kiện vế trái phƣơng trình (1.5) phải vi phân toàn phần hàm khả vi Tức tồn hàm U (x, y) khả vi cho: dU (x, y)  M(x, y) dx  N(x, y) dy Điều kiện để phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành phƣơng trình vi phân tồn phần (hay cách nhận biết phƣơng trình vi phân tồn phần) là: M N  y x Cách giải: Nếu (1.5) phƣơng trình vi phân tồn phần tích phân tổng qt phƣơng trình (1.5) là: y x U (x, y)   M (x, y0 ) dx   N (x, y)dy  C x0 (1.6) y0 Hoặc y x U (x, y)   M (x, y) dx   N (x , y)dy  C x0 (1.7) y0 Với (x , y0 ) điểm mà thay vào hàm M (x, y0 ) , N (x , y) xác định Ví dụ: Giải phƣơng trình: (3x2  xy )dx  (6 x2 y  y3 )dy  (1.8) Giải: Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình cho có phƣơng trình vi phân tồn phần hay khơng M(x, y)  (3x2  xy ) , N(x, y)  (6 x2 y  y3 ) Ta có: M N   12 xy y x Vậy (1.8) phƣơng trình vi phân toàn phần Chọn (x , y0 )  (0,0) t2 Q1  k  dt  udV t1 V Giả sử vùng V có nguồn nhiệt có mật độ g(x,y,z,t) (nghĩa nhiệt lƣợng sinh đơn vị thể tích sau đơn vị thời gian), từ thời điểm t1 đến t2 , thể tích V xuất nhiệt lƣợng là: t2 Q2   dt  gdV t1 V Mặt khác nhiệt lƣợng cần cho thể tích V thay đổi từ u(x,y,z, t1 ) đến u(x,y,z, t2 ) là: Q3   u ( x, y, z, t2 )  u ( x, y, z, t1 )c( x, y, z )  ( x, y, z )dV V Trong c nhiệt dung,  mật độ mơi trƣờng Tính xác đến đại lƣợng nhỏ so với V , ta có: u dt t t1 t2 u ( x, y, z, t2 )  u ( x, y, z, t1 )   Vậy: t2 Q3   dt  c  t V u dV t Nhiệt lƣợng phải Q1  Q2 vậy: Q3  Q1  Q2  Hay t2 u   dt  c t  k t1 V  u  g dxdydz   Vì khoảng thời gian nên:  (c  u ' t  k u  g )dxdydz  V Đồng thời vùng V tùy ý nên điểm mơi trƣờng, ta phải có đẳng thức: c  u 't  k u  g  Hay u 't  a (u '' xx  u '' yy  u '' zz )  g ( x, y , z , t ) c 28 (2.15) a2  Trong k c Phƣơng trình (2.15) gọi phƣơng trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) phƣơng trình mơ tả phân bố nhiệt độ môi trƣờng truyền nhiệt Nếu g 0, ta có phƣơng trình truyền nhiệt Ngƣợc lại, phƣơng trình khơng Bài tốn: Tìm nhiệt độ u(x,t) dẫn nhiệt dài mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x = đƣợc giữ u0 ; đầu đƣợc giữ u1 , nhiệt độ ban đầu điểm M(x) u2 Giải: Phƣơng trình truyền nhiệt: 0  x  u  2u  a 2 với  t x t  Điều kiện ban đầu: u t 0  u2 với x  0;1 Điều kiện biên: u x0  u0 , u x1  u1 với t  Đặt v( x, t )  u( x, t )  u0  (u0  u1 ) x  v x 0  u x 0  u0  (u0  u1 ).0    v x 1  u x 1  u0  (u0  u1 ).1  Với điều kiện ban đầu: v t 0  u2  u0  (u0  u1 ) x Và điều kiện biên: v x0  v x1  Tách biến: v( x, t )  X ( x).T (t )  X ( x).T ' (t )  a X '' ( x).T (t ) ''  X '' ( x) T ' (t )  X ( x)   X ( x)       const   ' X ( x) a 2T (t )  T (t )  a T (t )  Điều kiện biên: X (0)  X (1)  Giải phƣơng trình: Trƣờng hợp 1: Thay điều kiện biên X '' ( x)   X ( x)  (1)    X ( x)  Ax  B  X (0)  A.0  B    A B0 X (1)  A  B   29  X ( x)   v( x, t )  (loại)    X ( x)  A.e x  B.e x với    Trƣờng hợp 2: Thay điều kiện biên  X (0)  A  B    A B0    X (1)  A.e  Be   X ( x)   v( x, t )  (loại)    X ( x)  A.cos x  B.sin  x với    Trƣờng hợp 3: Thay điều kiện biên  X (0)  A     sin    X (1)  A  B sin      k Với k = 1, 2, 3, Phƣơng trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x)  B sin k x Giải phƣơng trình: Ta có nghiệm: T ' (t )  a 2T (t )  (2) Tk (t )  C.e t  C.e( k ) t , với     (k )2 2 suy ra: v( x, t )   C k e ( k ) t sin k x  Ck  2 u2  u0  (u0  u1 ) x  sin k xdx Vậy: u( x, t )  u0  (u1  u0 ) x   C k e( k ) t sin k x 2.3.3 Phƣơng trình Schrodinger Chúng ta biết hàm sóng phẳng De Broglie mơ tả chuyển động hạt tự Để mô tả chuyển động hạt trƣờng lực, cần phải tìm hàm sóng mơ tả chuyển động hạt mơi trƣờng cho.Hàm sóng phải xác định đƣợc hồn tồn trạng thái hệ vật lý.Điều có nghĩa là, việc làm cho hàm sóng thời điểm khơng mơ tả đƣợc tính chất hệ, mà xác định đƣợc động thái hệ thời điểm sau Yêu cầu biểu diễn nguyên lý nhân học lƣợng tử Trong trƣờng hợp đặc biệt khơng có trƣờng, nghiệm phƣơng trình hàm sóng phải mơ tả chuyển động hạt tự Do phƣơng trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie nhƣ chồng chất tùy ý sóng phẳng Về mặt tốn học kiện nêu địi hỏi giá trị đạo hàm 30  hàm sóng t theo thời gian thời điểm cho phải đƣợc xác định giá trị hàm sóng  thời điểm Thêm vào theo nguyên lý chồng chất, phƣơng trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải tuyến tính Ta viết đƣợc:  ( x, t ) ˆ  L( x, t ) ( x, t ) t Trong Lˆ tốn tử tuyến tính Để tìm dạng L, ta xét trƣờng hợp chuyển động tự Khi  hàm sóng phẳng De Broglie  i     ( x, y, z, t )  N exp   ( Et  px x  p y y  pz z )  Trong E  px2  p y2  pz2 2m , N số chuẩn hóa Phép tính trực tiếp cho ta:  i   2 t 2m Phƣơng trình viết lại dƣới dạng:  ˆ  H t i Trong Hˆ hamiltonien cho chuyển động tự hạt: Hˆ  Tˆ   2m 2   2m  Từ suy rằng, chuyển động tự hạt: Lˆ  Hˆ i Trong học lƣợng tử, ngƣời ta tổng quát hóa kết riêng biệt sang trƣờng hợp khác, coi nhƣ tiền đề, nghĩa toán tử Lˆ ln bằng: Lˆ  Hˆ i Trong Hˆ hamiltonien, hàm sóng  đƣợc viết dƣới dạng: i   Hˆ t Đó phƣơng trình Schrodinger dƣới dạng tổng quát nhất.Nó tiên đề học lƣợng tử.Sự đắn đƣợc thực nghiệm xác nhận 31 Đặc điểm quan trọng phƣơng trình Schrodinger thể chỗ, phƣơng trình cấp thời gian có chứa đơn vịa ảo i trƣớc đạo hàm  Do hàm sóng phải phức phƣơng trình có nghiệm tuần hồn t Tất nhiên chọn hàm sóng biểu diễn hàm thực hàm sóng cho hạt tự do, chẳng hạn dƣới dạng sóng chạy   Acos ( pr  Et ) Tuy nhiên đó, ta khơng thể xây dựng đƣợc phƣơng trình bậc theo thời gian, mà nghiệm chồng chất tùy ý trạng thái nhƣ Sự kiện phƣơng trình Schrodinger chứa đạo hàm bậc theo thời gian  có liên t quan mật thiết đến nguyên lý nhân học lƣợng tử Thực vậy, phƣơng trình Schrodinger chứa  2 , để xác định  thời điểm t đó, t biết hàm  thời điểm ban đầu chƣa đủ, mà cần phải biết hàm   thời điểm ban đầu t Biểu thức Hˆ xét chuyển động hạt chuyển động tự có dạng: Hˆ  ( pˆ x2  pˆ y2  pˆ z2 )    2m 2m Đối với hệ hạt không tƣơng tác, Hˆ hệ tổng hamiltonien hạt thành phần Hˆ  a m a a Ở số a đánh số hạt,  a tốn tử Laplace, việc lấy vi phân đƣợc thực cho hạt thứ a Đối với hệ hạt có tƣơng tác với nhau: Hˆ  a m a  U (r1 , r2 , ) a Số hạng thứ tốn tử động năng, cịn số hạng thứ hai toán tử Đặc biệt hạt nằm trƣờng ngoài: p2 ˆ H  U ( x, y, z )     U ( x, y, z ) 2m Ta thu đƣợc phƣơng trình sóng: 32     U ( x, y, z ) t 2m i Bài toán: Viết hàm sóng hạt chuyển động tự Ta xét hạt chuyển động tự theo trục x Vì U(x) = nên phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt có dạng: d 2 ( x) 2mE   ( x)  dx Nếu đặt k  2mE (2.16) nghiệm phƣơng trình (2.3) là:  k ( x)  Aeikx  Beikx (2.17) Số hạng thứ (2.17) mơ tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng thứ hai mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ) Biểu thức (2.17) viết gọn lại:  k ( x)  Aeikx (2.18) Trong x > ứng với chuyển động theo chiều dƣơng, x < ứng với chuyển động theo chiều âm Do hạt chuyển động tự nên nghiệm (2.18) thỏa mãn điều kiện liên tục hữu hạn tồn khơng gian với lƣợng E có giá trị Biểu thức lƣợng là: h2 k Ek  2m (2.19) Nếu để ý pk  k biểu thức lƣợng viết lại dƣới dạng: Ep  p2 2m (2.20) Phổ trị riêng lƣợng liên tục, có giá trị định khoảng từ đến  , p  pk  k xung lƣợng hạt tự do, k  k x thành phần vec-tơ sóng trục x Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự trạng thái dừng có dạng:  k ( x, t )  Ae i ( kx  k2 t) 2m (2.21) Trong ta thay giá trị E theo (2.19) Hàm sóng ứng với hạt tự nghiệm phƣơng trình Schrodinger tổng qt có dạng:  ( x, t )    i ( kx t )  ck k ( x, t )dk  A  ck e dk   33 (2.22) Với A  điều kiện trực chuẩn hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng 2 (2.18) diễn tả dạng bó sóng, tổ hợp tuyến tính sóng phẳng dạng (2.19) với giá trị k khác Hệ số ck biên độ bó sóng đƣợc xác định từ điều kiện ban đầu   ( x, 0)  A  ck eikx dk (2.23)  Từ đó: ck  2    ( x, 0)e  34  ikx dx (2.24) CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 3.1 Trong y sinh hóa lý (dƣợc động lực học trình biến đổi hóa chất đơn giản, phát triển dịch bệnh) 3.1.1 Dƣợc động lực học trình biến đổi hóa chất đơn giản  Dược động lực học: Trƣớc y tá tiêm cho uống thuốc, nồng độ thuốc máu bệnh nhân 0.Khi thuốc di chuyển khắp thể đƣợc chuyển hóa, nồng độ thuốc tăng dần lên Nhƣng đạt đến thời điểm nồng độ khơng cịn tăng bắt đầu suy giảm Đây thời kì thuốc đƣợc phân rã hồn tồn q trình trao đổi chất diễn ra.Theo thời gian, nồng độ thuốc giảm xuống thấp liều lƣợng định có hiệu cho việc điều trị Nhƣ bệnh nhân cần phải tiếp tục uống thuốc theo dẫn bác sĩ Chúng ta lập mơ hình tốn học cho tình nhƣ phƣơng trình vi phân Nó có phần- phần hấp thụ phần loại bỏ Lúc đầu, hấp thụ (tăng lƣợng thuốc tập trung) có quyền ƣu tiên theo thời gian, phần đào thải hay loại bỏ (giảm nồng độ) yếu tố quan trọng Gọi biến sau:  D liều thuốc dùng  V thể tích phân phối thể  C(t) nồng độ thuốc thời điểm t  F tỉ lệ liều lƣợng đƣợc hấp thụ (còn gọi sinh khả dụng)  A tỉ lệ hấp thụ (không đổi)  E tỉ lệ đào thải (không đổi) - Phần hấp thụ: điều phụ thuộc vào số lƣợng loại thuốc định, tỉ lệ phần đƣợc hấp thụ tỉ lệ hấp thụ không thay đổi Phần hấp thụ giảm dần theo thời gian Các biểu thức hấp thụ đƣợc cho Ap (t ) - Phần đào thải: động lực loại bỏ chịu ảnh hƣởng số đào thải, thể tích phân phối thể nồng độ lại thuốc Các biểu cho phần E p (t ) 35 Tích số gia nồng độ thuốc thời điểm t thể tích phân phối thể hiệu phần hấp thụ phần đào thải Ap (t )  A.D.F e At E p (t )  C (t ).E.V Phƣơng trình vi phân nhƣ sau: dC (t )  Ap (t )  E p (t ) dt Hay V dC (t )  A.D.F e At  C (t ).E.V dt Ví dụ: Bệnh nhân tích hấp thụ 15 (uva), tỉ lệ hấp thụ 0,5, sinh khả dụng F=2, liều dùng thuốc 800 giờ, tỉ lệ đào thải 0,4 - Viết giải phƣơng trình vi phân mơ - Xác định thời điểm cao thấp nồng độ thuốc thể bệnh nhân Giải: - Từ số liệu cho trƣớc ta có: dC (t )  0,5.800.e0.5t  C (t ).0, 4.15 dt dC (t )   0, 4.C (t )  53.3.e0.5t dt 15 Ta có:  (t )  e  0,4 dt  e0,4t    (t )Q(t )dt   e0,4t 53.3.e 0,5t dt  533e 0,1t  C Nghiệm tổng quát: 533.e0,1t  C  533.e 0,5t  C.e 0.4t 0,4 t e t  0; C (0)   C  533 C (t )  C (t )  533.(e0,5t  e0,4t ) Do đó: - Để tìm thời điểm nồng độ thuốc cao ta tính đạo hàm C(t) giải phƣơng trình C (t )'  Để tìm thời điểm nồng độ thuốc thấp dựa vào đồ thị C(t) ta tính giới hạn: lim C (t )  t t0 36 Thời điểm cao t thời điểm thấp t (nồng độ khoảng )  Sự chuyển đổi hóa chất đơn giản: Kết thí nghiệm ra, phản ứng hóa học chất A chuyển thành chất khác tốc độ chuyển hóa tỉ lệ với lƣợng chất khơng bị chuyển hóa x Giả sử lƣợng chất không bị biến đổi thời điểm t = x0 Khi lƣợng x thời điểm t > đƣợc xác định phƣơng trình vi phân: dx  kx dt (3.1) Và điều kiện x  x0 t = Vì lƣợng x giảm thời gian tăng lên nên số tỉ lệ (3.1) đƣợc xác định –k Từ (3.1) ta có nghiệm: x  C.e kt Từ x  x0 t = ta suy C  x0 Vì ta có: x  x0 e kt Ta giả sử t  30s (3.2) lƣợng chất ban đầu x0 vừa bị biến đổi Ta xác định lƣợng chất khơng bị biến đổi cịn lại t  60s lƣợng chất bị biến đổi lƣợng chất cịn lại khơng bị biến đổi Do 3 x  x0 t  30 Từ (3.2) ta có: Khi x0  x0e30t Từ ta có k  ln Khi với t đƣợc đo giây lƣợng chất không 30 bị biến đổi đƣợc xác định phƣơng trình: x  x0 exp( t ln 3) 30 Tại t = 60 thì: x  x0 exp( 60ln 3)  x0 exp(2ln 3) 30 37 3.1.2 Sự phát triển dịch bệnh: Phƣơng trình vi phân dùng để dự báo phát triển dân số, vật nuôi, vi khuẩn chịu tác động yếu tố khách quan Hàm số logarit mô tả thành phần tác động thành phần ngăn cản, dùng để dự báo tốc độ phát triển dịch bệnh Gọi N  N (t ) số ngƣời nhiễm bệnh thời điểm t, P tổng thể ngƣời (hằng số), c số phát triển Ta có phƣơng trình vi phân mô sau: dN  cPN  cN dt Giả sử thành phố có 50.000 dân bị lây nhiễm AIDS Virut 100 ngƣời nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu thống kê cho thấy có 1000 ngƣời mắc bệnh sau 10 tuần - Viết phƣơng trình vi phân mơ tả giải phƣơng trình - Dự báo xem nửa số dân thành phố mắc phải AIDS Giải: - Phƣơng trình vi phân mô tả: dN  50000 PN  cN dt Ta có: Hay dN  dt 50000cN  cN dN   dt 50000cN  cN  ln N  ln 50000  N  t  C1  50000c 50000 N (t )   50000C1.e50000c.t Thay t = 0, N(0) = 100 ta đƣợc: 38 100  50000 499  C1   50000C1 50000  N (t )  50000 50000  499 50000c.t  499.e 50000c.t  50000 .e 50000 Thay t = 10, N(10) = 1000 ta đƣợc: 50000 c 50000 c.t 49  499.e 50000 ln( ) 499 c  0, 46416.e5 1000  Khi đó: N (t )  50000  499.e0,232080.t - Dự báo xem nửa dân số thành phố mắc pải AIDS Dựa vào hàm N(t), giải phƣơng trình N (t )  25000 Tìm t: 25000  50000  e0,232080.t  0,232080.t  499.e 499 t  26,76924  27 tuần 3.2 Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa giá cả) Xét mơ hình kinh tế thị trƣờng hàng hóa định.Giả sử giá P, nguồn cung S nhu cầu D hàng hóa hàm thời gian biến thiên giá tỉ lệ với độ chênh nhu cầu nguồn cung Nghĩa là: dP  k (D  S ) dt (3.3) Giả sử số k dƣơng giá tăng nhu cầu vƣợt nguồn cung Nhiều mơ hình khác thị trƣờng hàng hóa đƣợc kết phụ thuộc vào tính chất hàm cung hàm cầu Ví dụ, giả sử: D  c  dP S  a  bP (3.4) Trong a, b, c số dƣơng Ta có phƣơng trình vi phân tuyến tính P: 39 dP  k  (c  a )  ( d  b ) P  dt (3.5) (3.3) phản ánh xu hƣớng nhu cầu giảm giá tăng nguồn cung tăng giá tăng.Giả sử  P  c để D không âm d Từ (3.4) ta có: dP  k ( d  b ) P  k (c  a ) dt (3.6) Nghiệm tổng quát (3.5) là: P(t )  C1e k ( d b )t  ca d b Giả sử t = P  P0 Khi ta có: P0  C1  ca d b C1  P0  ca d b Do đó: Vì P(t )  ( P0  c  a  k ( d b )t c  a ).e  d b d b (3.7) Phƣơng trình (3.7) với giả định (3.3) (3.4) giá ổn định giá trị ca t lớn d b 40 KẾT LUẬN Trên em trình bày xong tồn khóa luận là: “Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải toán vật lý” Trong khóa luận em trình bày số ứng dụng phƣơng trình vi phân vật lý, khoa học nhƣ đời sống Tuy nhiên thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn khoa để khóa luận em đƣợc hoàn thiện Qua em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Phương Lan – giảng viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ hƣớng dẫn em để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phƣơng pháp toán lí, Đỗ Đình Thanh, NXB Giáo dục 2, Cơ lý thuyết, Nguyễn Hữu Mình, NXB Đại học Quốc gia 3, Bài tập Vật lí lý thuyết, tập 1, Nguyễn Hữu Mình, NXB Giáo dục năm 1983 4, Tốn cao cấp, tập 3, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục 5, Khóa luận “ Một số ứng dụng phƣơng trình vi phân” - Cao Thị Thanh Huệ - Sƣ phạm Toán – trƣờng ĐHSP Hà Nội 6, http://cohtran.blogspot.com/2012/11/nhung-ung-dung-cua-phuong-trinh-viphan.html 7, Introduction to classical mechanics, David Morin (Sách dịch), ĐHKHTNHN 2013 8, Mathematical Methods for Physics and Engineering, K F Riley, M P Hobson and S J Bence, Cambridge University Press, 2006 42