Khóa luận tốt nghiệp đại học một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỉ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Sự đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt ngành Giải tích hàm giúp cho tốn thực tế sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải nhanh gọn xác Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân phần Giải tích Phép tính vi phân hàm số nhiều biến lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wihelm Leibniz Ngày với phát triển khoa học, cơng nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế sống nghiên cứu khoa học Đặc biệt phép tính vi phân hàm số nhiều biến sở quan trọng học tập nghiên cứu vật lý Engels viết: “Chỉ có phép tính vi phân đem lại cho khoa học tự nhiên khả miêu tả tốn học khơng trạng thái mà trình” Xuất phát từ nhận thức mong muốn tìm hiểu rõ vấn đề này, em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tổng hợp lại kiến thức phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ tìm ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức thân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: - Phép tính vi phân hàm số nhiều biến - Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến  Phạm vi: Hàm số nhiều biến Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm số nhiều biến đưa số tốn phép tính vi phân hàm số nhiều biến  Nghiên cứu ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến để tìm cực trị, tính gần Phƣơng pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần: Chương I Phép tính vi phân hàm số nhiều biến I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến I.2 Biểu diễn hình học hàm số hai biến số I.3 Sự liên tục hàm số nhiều biến số I.4 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số I.5 Vi phân toàn phần I.6 Đạo hàm hàm số ẩn I.7 Đạo hàm theo hướng I.8 Công thức Taylor với hàm số hai biến I.9 Cực trị hàm số nhiều biến số I.10 Cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến số Chương II Một số ứng phép tính vi phân hàm số nhiều biến số II.1 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần II.2 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện NỘI DUNG Chƣơng I Phép tính vi phân hàm nhiều biến Định nghĩa hàm số nhiều biến số I.1 I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến  Xét không gian Euclid số thực chiều Gọi phần tử tập hợp  Khi ánh xạ: xác định bởi: (1.1) gọi hàm số biến số xác định gọi miền xác định ; gọi biến số độc lập Nếu xem hàm số tọa độ điểm hệ tọa độ viết ) a Với b Với Hình 1.1 Hình 1.1: Hình vẽ hàm khơng gian chiều I.1.2 Một số hệ tọa độ  Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vng góc với đơi , mà chọn ba vector đơn vị cho độ dài ba vector đơn vị Vị trí điểm M khơng gian hồn tồn xác định ta biết thành phần toạ độ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧 𝑐 𝑀 𝑎𝑏𝑐 𝑘⃗ 𝑗 𝑖 𝑂 𝑏 𝑦 Hình 1.2 𝑎  Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực hệ tọa độ hai chiều điểm M mặt phẳng biểu diễn hai thành phần: + Khoảng cách từ điểm tới điểm gốc + Góc tạo đường thẳng (gốc cực) gọi bán kính với hướng gốc cho trước (trục cực) 𝑀 𝑟 𝜑 𝑂 Hình  Hệ tọa độ trụ: Cho hệ tọa độ Descartes vng góc điểm  khoảng cách từ gốc tọa độ   xác định sau: không gian ba xuống mặt phẳng Tọa độ trụ đến hình chiếu vng góc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ góc độ cao điểm Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vng góc biểu thức sau: { 𝑂𝐴 𝑂𝑀 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑦 M 𝑂𝐵 𝑧 𝑂 𝐴 𝑟 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑀𝑀 𝑧 𝐵 𝜑 𝑀 Hình 1.4  Hệ tọa độ cầu: Cho hệ tọa độ Descartes vng góc điểm 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜑 Tọa độ cầu xác định sau: không gian ba số  khoảng cách từ điểm  ̅̅̅̅̅ góc  góc xuống mặt phẳng đến gốc tọa độ , với hình chiếu vng góc Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vng góc sau: { er z D θ 𝑟 eθ 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 O B 𝜑 A φ 𝑧 / 𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦/ 𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠𝜑 C eφ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 𝑂𝐵 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 𝑂𝐷 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ⬚ ⬚ y Hình 1.5 Mối liên hệ hệ toạ độ: Từ Đề (Cartesian) S ang Trụ (Cylindrical) Cart esian 𝑧 Cầu (Spherical) Cyli ndrical Sph erical I.1.3 Giới hạn hàm nhiều biến số  Gọi Khi khoảng cách , kí hiệu , tính theo cơng thức: (1.2)  Ta nói dãy điểm dần đến điểm {  Cho hàm xác định lân cận nói hàm có giới hạn trừ điểm dần đến thuộc lân cận dần đến , ký hiệu dãy điểm ta có: Ký hiệu: hay (1.3) Ví dụ 1: Tìm giới hạn: a b Lời giải: Ta a a | | | | Do | | | | | || | Trị tuyệt đối số nhỏ khơng số phải bẳng khơng theo đường thẳng b Giả sử với số Như với giá trị khác có kết khác Do giới hạn hàm số có phải nên khơng tồn giới hạn I.2 Biểu diễn hình học hàm số biến số đồ thị hàm hai biến Trong không gian ba chiều với thường mặt cong Sau số mặt cong đặc biệt có nhiều ứng dụng vật lý:  Mặt phẳng Mặt phẳng đồ thị hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có dạng: 𝑧 𝑂 𝑦 Hình 1.6  Ellipsoid Ellipsoid mặt cong, phương trình tắc có dạng: Hình 1.7  Paraboloid elliptic Phương trình tắc paraboloid elliptic có dạng: Hình 1.8  Mặt trụ bậc hai o Mặt trụ elliptic có phương trình tắc là: 𝑧 𝑂 𝑦 Hình 1.9 o Mặt trụ hyperbolic có phương trình tắc là: Hình 1.10 o Mặt trụ parabolic có phương trình tắc là: 10 a b Hình 2.4 + Ví dụ 9: Tìm điểm tới hạn xác định vị trí điểm cực đại, điểm cực tiểu điểm yên ngựa hàm số: ( e ) Lời giải:  Các đạo hàm lần hàm số là: ( e ( e , Vậy có hai điểm tới hạn: ) ) Do đó: { {  Ta có : e ( e e 38 ( ) ) ( )  Với e () ( ) e Do với: điểm cực đại tương đối  Với e ( ) Do (-1;0) điểm n ngựa Hình 2.5 Ví dụ 10: Xác định điểm tới hạn xác định vị trí điểm cực tiểu, điểm cực đại điểm yên hàm cho hàm số: Lời giải:  Tìm đạo hàm riêng lần :  Các điểm tới hạn thỏa mãn phương trình đồng thời Do đó: { Hệ phương trình có nghiệm 39  Đạo hàm riêng lần hai ta được: Suy ra:  Vì dương dương nên có cực tiểu cục  Vậy hàm có cực tiểu cục điểm ( ) a b Hình 2.6  Đồ thị biểu đồ ba chiều hàm tiểu cục điểm ( Khi dương cho thấy có cực ) dương có cực tiểu địa phương 40 II.2.2 Cực trị có điều kiện II.2.2.1 Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền đóng bị chặn * Định nghĩa:  điểm cực tiểu cục (giá trị nhỏ nhất) điểm thấp  trên , nghĩa là: điểm cực đại cục (giá trị lớn nhất) điểm cao trên , nghĩa là: * Để giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền dóng bị chặn ta làm sau:  Tìm tất điểm dừng chúng miền  Tính giá trị hàm điểm  So sánh giá trị chúng với giá trị hàm biên Hình 2.7 * Một số ví dụ: 41 + Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Trong miền đóng xác định bởi: Lời giải:  Ta có: Hàm số liên tục với nhỏ nên đạt giá trị lớn giá trị miền  Có: { { { Suy ra: : √ , √ Vậy ta có năm điểm tới hạn là: ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) năm nằm miền  Tính điểm trên, ta được:  Xét giá trị miền Trên biên miền : Do đó:  Tìm giá trị hàm số đoạn: - Hàm số : đạt giá trị lớn khi: √ ; giá trị lớn băng  So sánh tất giá trị tính, ta thấy hàm số giá trị nhỏ đạt giá trị lớn 42 cho đạt điểm a b Hình 2.8 + Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Trong hình vng Lời giải:  Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình: { { { Từ hệ phương trình kết hợp với điều kiện hình vng ta có điểm dừng: ( ) ( )  Giá trị hàm số biên hình vng √ √ Vậy hình vng nói hàm có giá trị lớn ( ), có giá trị nhỏ √ đạt 43 ( ) √ đạt a b Hình 2.9 + Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: ( Trong miền ) xác định Lời giải: (  Hàm ) liên tục  Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình: , , ( ) ( ) Giải hệ phương trình ta nghiệm:  Các điểm nằm biên miền Do biên miền cần so sánh giá trị Ta có: biên miền có phương trình Trên biên đó, ta có: ( )  Với đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ 44 Vậy miền hàm số đạt giá trị bé , đạt giá điểm trị lớn a b Hình 2.10 II.2.2.2 Cực trị có điều kiện hàm số hai biến số * Định nghĩa: + Đối với cực trị có điều kiện, trường hợp đơn giản cực trị có điều kiện hàm điều kiện biến cực đại cực tiểu hàm đạt với thỏa mãn phương trình buộc) Hình 2.11 45 (phương trình ràng + Để tìm cực trị có điều kiện với điều kiện ràng buộc , Lagrange: ta lập hàm số nhân chưa xác định tìm cực trị thơng thường hàm bổ trợ Đây phương pháp thừa số bất định Lagranger - Tìm điều kiện cần để tồn cực trị có điều cách giải hệ phương trình: { (2.4) - Từ hệ ta xác định - Vấn đề tồn đặc tính cực trị địa phương minh định sở xét dấu vi phân cấp hai hàm bổ trợ: - Có trường hợp sau:  Nếu hàm có cực đại có điều kiện  Nếu hàm có cực tiểu có điều kiện  Nếu hàm cần phải khảo sát thêm * Một số ví dụ: với điều kiện + Ví dụ 14: Tìm cực trị hàm số: Lời giải:  Từ điều kiện rút ra: ta được: Thế vào biều thức √ Đây hàm biến xác định tức  Ta có: √ √ Vậy đạt cực đại có điều kiện 46 ( ) √ a b Hình 2.12 với điều kiện + Ví dụ 15: Tìm cực trị hàm số liên hệ với phương trình Lời giải:  Sử dụng phương pháp nhân tử Lagranger để tìm cực trị hàm số với điều kiện , ta cần tìm cực trị hàm số:  Giải hệ phương trình: { Ta được:  Vì Nên 47  Với nên điểm ( ) hàm có cực tiểu có điều kiện  Với nên điểm ( ) hàm có cực đại có điều kiện Vậy Điểm cực Điểm cực Hình 2.13 với điều kiện + Ví dụ 16: Tìm cực trị hàm số Lời giải:  Theo phương pháp nhân tử Lagranger, để tìm cực trị hàm số với điều kiện: , ta việc tìm cực trị hàm số: ( Trong nhân tử Lagranger Ta có: 48 )  Cho đồng thời triệt tiêu, ta vào điều kiện Thế giá trị , ta được: √ Vậy ta hai điểm tới hạn:  Để xét xem ( √ ) √ √ √ có điểm cực trị khơng, ta xét dấu số gia Ta có: ( √ ) √ √ √  Tại điểm Do theo công thức Taylor, số gia xác bé, dấu định dấu của: Nhưng:  Tại , ta có: Vậy số gia , đó: dấu với biểu thức , tức với bé Do √ điểm cực đại Tương tự vậy, ta có: điểm cực tiểu 49 √ Hình 2.14 50 KẾT LUẬN Khóa luận giải mục đích đặt ra, theo hướng tìm hiểu chi tiết ứng dụng phép tính vi phân để tính gần tìm cực trị hàm số hai biến số, khóa luận thu số kết sau:  Trình bày tổng quan kiến thức phép tính vi phân hàm nhiều biến  Giới thiệu kiến thức cực trị cực trị có điều kiện hàm số hai biến số  Đưa tập ứng dụng phép tính vi phân để tính gần tìm cực trị hàm số hai biến: - Tính gần - Cực trị hàm số hai biến - Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền đóng bị chặn - Cực trị có điều kiện hàm số hai biến Ngồi ra, khóa luận cịn sử dụng phần mềm tốn học “ Wolfram Mathematica” để vẽ đồ thị hàm số Hy vọng rằng, với nội dung trình bày khóa luận, khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu tốn tìm cực trị hàm số hai biến thuận lợi 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2006 Nguyễn Đình Trí ( chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán cao cấp, tập 3, NXBGD, 2000 Nguyễn Thủy Thanh, toán học cao cấp, tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 University of Glasgow: http://www.maths.gla.ac.uk/~cc/2x/2005_2xnotes/2x_chap2.pdf The OSU Math department wed Study Guide: https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStu dyGuides/vcalc/min_max/min_max.html Wolfram Mathematica: http://www.wolfram.com/mathematica 52