SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 01 trang, 05 bài) Bài (2,0 điểm) x+2 x x +1 a) Cho biểu thức A = (với x > ) + − : + − + + x x x x x x 1 Rút gọn biểu thức A chứng minh A ≤ ( x ẩn, a tham số) Chứng minh b) Cho phương trình: x − 2(a + 1) x + a − 2a + = a số phương phương trình cho có hai nghiệm số phương Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x + x + ) x + x + 5= 27 x + x ( ) y x +1 + x = b) Giải hệ phương trình: y + y = x + x − − ( x + 1) x Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC khơng cân nội tiếp đường trịn tâm O Vẽ đường kính AT đường trịn ( O ) lấy điểm P đoạn thẳng OT ( P ≠ T ) Gọi E F tương ứng hình chiếu vng góc P đường thẳng AC AB Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC = HAC hai đường thẳng BC , EF song song với a) Chứng minh OAB b) Cho AH EF cắt U ; điểm Q di động đoạn thẳng UE ( Q ≠ U , Q ≠ E ) Đường thẳng vng góc với AQ điểm Q cắt đường thẳng PE , PF tương ứng M , N Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Chứng minh bốn điểm A, M , N , P = KAQ thuộc đường tròn OAH c) Kẻ KD vng góc với BC ( D ∈ BC ) Chứng minh đường thẳng qua điểm D song song với AQ qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a − 2b − 2c − P= + + ⋅ a + b2 + c2 + Bài (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố a, b số nguyên dương m thoả mãn a + b + 18ab = 4.5m b) Cho điểm phân biệt đường tròn Đánh số điểm cách ngẫu nhiên số 1, 2, ,8 (hai điểm khác đánh số hai số khác nhau) Mỗi dây cung nối hai điểm gán với giá trị tuyệt đối hiệu số hai đầu mút Chứng minh ln tìm bốn dây cung, đơi khơng có điểm chung, cho tổng số gán với bốn dây cung 16 - Hết ( Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi 1: Cán coi thi 2: Trang 1/1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐÁP ÁN: TỐN CHUN (Đáp án gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH Ứ Bài TT Ý Nội dung A a) ( ) x +1 x +1 x = : x − x +1 x +1 x − x +1 x ( )( b) 0,5 ) x ≤ ⇔ x ≤ 2x − x + ⇔ x − x +1 Có ∆ '= (a + 1) − (a − 2a + 1)= 4a ≥ Điểm ( ) x − ≥ Vậy A ≤ 0,25 Khi x1 = (a + 1) − ∆ ' = (a + 1) − a = ( a − 1) 0,5 x2 = (a + 1) + ∆ ' = (a + 1) + a = ( a + 1) Do a số phương nên phương a số nguyên nên x1 ; x2 số a , 3x = b Đặt x + x + = Khi phương trình trở thành: a + a = b3 + b 2 2 a) ⇔ (a − b)(a + ab + b + 1) = ⇔ a = b (vì a + ab + b + > ) x≥0 + 34 ⇔ 3x + x + = 3x ⇔ ⇔x= 6 x − x − = ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ PT thứ ⇔ PT thứ hai ⇔ b) +TH1: ( y= x +1 − x (1) ) ( x +1− x ) y +2 = y + = x +1− x ⇔ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 y = x − x − Kết kợp với (1): x ≥ x +1 = x −1 ⇔ ⇔ x = 3; y = − (tmđkxđ) x − 3x = +TH2: y + =− x − + x ( Vô lý y + > 0; − x − + x < ) Vậy x= 3; y= − Trang 2/1 0,25 0,25 A L J K I M O F B U Q E N H D C P T phụ với = OAC = HAC ABC , suy PAF Ta có BAH a) Có AEPF tứ giác nội tiếp, suy AEF = APF ⇒ AEF = ACB ⇒ EF / / BC Có APF = 900 − PAF ACB = 900 − HAC AMN = AEF = APN ⇒ A, M , N , P AQEM tứ giác nội tiếp ⇒ nằm đường tròn AMN = ACB , tương tự ANM = ABC b) Ta có =900 − =OAB − HAB OAH ACB − 900 − ABC ( ) ( ) =KAQ − QAN =900 − AMN − 900 − ANM =KAN Gọi L chân đường vng góc hạ từ điểm A xuống đường thẳng KD = KAQ ⇒ KAO = KAQ − OAQ = OAH − OAQ = QAH Từ OAH Gọi I trung điểm đoạn thẳng AP J giao điểm đường thẳng qua D song song với AQ đường thẳng qua I vng góc với BC JDL c) ⇒ QAH = = , mặt khác ta có IJ//LD nên suy tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) ⇒ ILK JDL hình thang cân Suy ra, I J đối xứng với qua trung trực DL, hay qua trung trực AH.Do ALDH hình chữ nhật (dễ thấy) Từ đây, I điểm cố định trung trực AH đường thẳng cố định nên J điểm cố định Khơng tính tổng qt, ta giả sử ab ≥ Khi a + b + ) (c + 1) (c − 2) (c + 1) ( P+3≥ + = + ( a + b) + c + c2 + c +2 Trang 3/1 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (c − 2) (c + 1) + ≥ ⇔ c ( c − ) ≥ (đúng) Xét BĐT: c +4 c +2 −3 Vậy P ≥ ; dấu đẳng thức xảy chẳng hạn a= b= c= , −3 a= b= −1, c = Do Pmin = Ta có (a − b) = 4.5m − 20ab5 ⇒ (a − b)5 ⇒ (a − b) 25 0,25 0,25 a, b ≥ ⇒ a + b + 18ab= 4.5 ≥ 80 ⇒ m ≥ 0,25 ⇒ 20ab =(a − b) − 4.5m 25 ⇒ 20ab 25 ⇒ ab5 a5 a5 ⇒ ⇒ ⇒ a = b = 5; m = b b5 0,5 a) 0,25 m Gọi X tập điểm gán số 1, 2, 3, Y tập điểm lại Ta tồn dây cung khơng có điểm chung, dây cung nối điểm X điểm Y Một cách nối thoả mãn yêu cầu tốn tổng số tương ứng với dây cung + + + − − − −1 = 16 0,25 Dễ thấy có điểm X nằm kề điểm Y Kẻ dây cung nối điểm loại bỏ điểm đánh dấu lẫn dây cung đi, ta lại điểm đánh dấu đường tròn tập X , Y1 tương ứng, tập gồm điểm đánh dấu Bây giờ, lập luận tương tự, ta suy có điểm X kề b) với điểm Y1 đường trịn bỏ điểm trước Kẻ dây cung nối điểm loại bỏ điểm đánh dấu lẫn dây cung đi, ta 0,75 lại điểm đánh dấu đường tròn tập X , Y2 tương ứng, tập gồm điểm đánh dấu Lập luận tương tự, ta suy có điểm X kề với điểm Y2 đường trịn bỏ điểm trước Kẻ dây cung nối điểm dây cung nối điểm cịn lại Bây giờ, khơi phục lại dây cung ban đầu Dễ thấy, dây cung kẻ đơi khơng có điểm chung Chú ý:- Trên trình bày tóm tắt cách giải, thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Thí sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, thí sinh làm phần sai, khơng chấm điểm - Bài hình học, thí sinh khơng vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh cơng nhận ý để làm ý mà thí sinh làm chấm điểm ý - Điểm thi tổng điểm câu làm khơng làm trịn Trang 4/1