Lời giải tham khảo đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 Lời giải tham khảo đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 Nguyễn Thái An - Nguyễn Phú Bảo Khang - Trần Minh Khôi Đề thi Bài (1, điểm) Cho a, b số thực b ̸= thoả mãn điều kiện p 4b2 a +b = √ + a a2 + b2 a2 + b2 + a 2 Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 Bài (2, điểm) √ + x − x−1 9y + 49 + x + y = 23, x+y b) Giải hệ phương trình: √ √ √ √ x x+y y = x+ y a) Giải phương trình: x = Bài (2, điểm) Cho tam giác ABC vng A(AB < AC), có đường cao AH Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC,CA, AB D, E, F Gọi J giao điểm AI DE; K trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác BIJD nội tiếp b) Gọi M giao điểm KI AC, N giao điểm AH ED c) Gọi Q giao điểm DI EF, P trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn √ + 4xy + 2x + 2y + 2z = 1 a) Chứng minh p + ⩾ (2x + 1)(2y + 1) 2z + b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+1 y + 2z + + + 2x + 2y + 4z + 2 Bài (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Gọi E, F, G, H điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EF, GH tiếp xúc với (O) a) Chứng minh CG · AH = AO2 b) Chứng minh EH song song FG Bài (1,0 điểm) Xét số nguyên a < b < c thỏa mãn n = a3 + b3 + c3 − 3abc số nguyên tố a) Chứng minh: a < b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c (a < b < c) cho n ước 2023 Lời giải chi tiết Bài Cho a, b số thực b ̸= thoả mãn điều kiện p 4b2 a2 + b2 = √ + a a2 + b2 a2 + b2 + a Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 Lời giải Do b ̸= nên √ a2 + b2 ̸= a Từ giả thiết, ta biến √đổi 2 4b a +b −a √ √ √ + b2 = a2 + b2 − 4a + a a2 + b2 a ⇔ a2 + b2 = + a b2 √ √ √ 2 2 2 ⇔ a +b a +b −4 −a a + b − = √ √ ⇔ a2 + b2 − a2 + b2 − a = "√ a2 + b2 = ⇔ √ a + b2 = a (vô lý) Vậy P = a2 + b2 = 16 Lời giải tham khảo đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 Bài √ + x − x−1 9y + 49 + x + y = 23, x+y b) Giải hệ phương trình: √ √ √ √ x x+y y = x+ y a) Giải phương trình: x = Lời giải a) Giải phương trình x= √ + x − x−1 x ̸= Điều kiện xác định : x ⩾ Ta có √ +2 x−2 x−1 √ ⇔ x(x − 1) = + 2(x − 1) x − √ ⇔ x2 − x − 2(x − 1) x − = √ ⇔ (x − 1)2 − 2(x − 1) x − + x − = √ ⇔ (x − − x − 2)2 = " √ x−1− x−2 = √ ⇔ x − − x − = −2 " √ x − = x − (x ⩾ 3) √ ⇔ x + = x − (x ⩾ 1) " x2 − 7x + 11 = ⇔ x2 + x + = (vơ lý vì) > x= √ 7+ (nhận) x= 2√ ⇔ 7− x= (loại) ( √ ) 7+ Vậy S = b) Giải hệ phương trình 9y + 49 + x + y = 23, x+y √ √ √ √ x x+y y = x+ y (1) (2) x + y ̸= 0, Điều kiện xác định: x ⩾ 0, y ⩾ Từ (2), ta có √ √ √ √ x x+y y = x+ y √ √ √ √ √ ⇔ x + y x − xy + y = x + y √ √ √ ⇔ x − xy + y = (Do x + y ̸= x, y ⩾ nên x + y ̸= 0) Từ (1), ta có 9y + 49 + x + y = 23 x+y ⇔ 9y + 49 + (x + y)2 = 23(x + y) ⇔ (x + y − 7)2 = 9x ⇔ xy = 9x ⇔ x = hay y = Với x = ⇒ y = (nhận) Với y = ⇒ x = hay x = (nhận) Vậy (x, y) ∈ {(0, 7), (1, 9), (1, 4)} Bài Cho tam giác ABC vuông A(AB < AC), có đường cao AH Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC,CA, AB D, E, F Gọi J giao điểm AI DE; K trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác BIJD nội tiếp b) Gọi M giao điểm KI AC, N giao điểm AH ED c) Gọi Q giao điểm DI EF, P trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Lời giải tham khảo đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 A E Q X Y F K I M J B H D P C N Lời giải a) Dễ thấy AJ BI trung trực EF FD d = 90◦ − FED d [ = 90◦ − F [ Ta có: AJE DB = IBD Suy tứ giác BIJD nội tiếp b) Do BIJD nội tiếp nên F, J, D ∈ (BI) JA · ID ⇒ ID ∥ AN ⇒ AN = JI d = 90◦ = 2JAB d ⇒ JK ⊥ AB Ta có: AJB KM · ID ⇒ JK ∥ AM ⇒ AM = KI ⇒ AN = AM (điều phải chứng minh) c) Qua Q vẽ đường thẳng d ∥ BC cắt AB X, AC Y d = IEY d = 90◦ nên tứ giác QEY I nội tiếp, tương tự có tứ giác IQXF nội tiếp Ta có: IQY d = QFI d = QEI d = QY dI ⇒ QXI ⇒ Q trung điểm XY mà XY ∥ BC nên A, P, Q thẳng hàng Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn √ + 4xy + 2x + 2y + 2z = 1 a) Chứng minh p + ⩾ (2x + 1)(2y + 1) 2z + b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+1 y + 2z + + + 2x + 2y + 4z + Lời giải a) Từ giả thiết ta có p Áp dụng bất đẳng thức (2x + 1)(2y + 1) + 2z = 1 + ⩾ , ta có a b a+b 1 4 p + ⩾p = = (2x + 1)(2y + 1) 2z + (2x + 1)(2y + 1) + 2z + b) Ta có P= x+1 y + 2z + + + , 2x + 2y + 4z + nhân vế cho ta 2x + 2y + 2z + + + 2x + 2y + 2z + 1 = 3+ + + 2x + 2y + 2z + 2P = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức câu a), ta có 1 2 2 + + ⩾p + ⩾ 2· = 2x + 2y + 2z + 3 (2x + 1)(2y + 1) 2z + Do 2P ⩾ + hay P ⩾ 13 Vậy giá trị nhỏ P 13 = , 3 13 , dấu = xảy x = y = z = Bài Cho đường trịn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Gọi E, F, G, H điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EF, GH tiếp xúc với (O) a) Chứng minh CG · AH = AO2 b) Chứng minh EH song song FG Lời giải tham khảo đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 K B E F X A O C J I H Y G D Lời giải a) Gọi I, J, Y tiếp điểm AD, CD, HG với (O) d = AHO d = AHO [ = GOY [ + AOI [ − 90◦ + GOH [ + AOI [ Ta có: GOC ⇒ ∆AOH ∼ ∆CGO ⇒ CG · AH = AO · OC = AO2 b) Gọi K giao điểm HE CB Tương tự câu a) ta có AE ·CF = AO2 , AE ·CF = AH ·CG ⇒ ∆AEH ∼ ∆CGF d =K [ =K [ [ Mặc khác BAD BE (do AD ∥ BC) AEH EB nên ∆AEH ∼ ∆BEK, ⇒ EH ∥ FG (điều phải chứng minh) Bài Xét số nguyên a < b < c thỏa mãn n = a3 + b3 + c3 − 3abc số nguyên tố a) Chứng minh: a < b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c (a < b < c) cho n ước 2023 Lời giải a) Giả sử a ⩾ đó: ⩽ a < b < c Khi ta có n = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) số nguyên tố Để ý a + b + c > 1, a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 1 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Do (a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 > nên (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ⩾ (c > b > a ⩾ 0) Từ suy a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ⩾ · > Vì số ngun tố phải có ước nên dễ thấy điều vô lý Vậy điều giả sử sai nên ta có điều phải chứng minh b) Ta có n = a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) số nguyên tố n ước 2023 = 7.172 nên n ∈ {7, 17} Vì a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca > nên ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = Khi ta có a + b + c = 1, (1) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (2) Từ (2) ta có ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 14 = 12 + 22 + 32 Do c > b > a nên c − a, b − a, c − b > c − a số lớn số c − a; b − a; c − b suy c − a = 3, b − a = c − b = 1, hay c − a = 3, b − a = c − b = Từ ta có khả năng: Nếu c = a + 3; b = a + 2; c − b = 1, vào (1) ta 3a + = hay a = − (vô lý) Nếu c = a + 3; b = a + 1; c − b = 2, vào (1) ta 3a + = hay a = −1; b = 0; c = Trường hợp 2: a + b + c = a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 17 Khi ta có (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 34 = 02 + 32 + 52 Suy tồn số số a, b, c (vô lý a < b < c) Vậy (a, b, c) = (−1; 0; 2)