Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 236 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
236
Dung lượng
6,9 MB
Nội dung
Chủ đề 06: Cực trị hình học khơng gian C Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho lăng trụ đứng ABC ABC có AB = 6; BC = 12; ABC = 600 Thể tích khối chóp C .ABBA 216 Gọi M điểm nằm tam giác ABC cho tổng diện tích mặt bên hình chóp M ABC đạt giá trị nhỏ Tính cosin góc đường thẳng BM , AC ? A Câu 2: B C D Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi M , N điểm thuộc cạnh BC , CD cho MN = Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện S AMN A Câu 3: 4− 24 B 12 C 12 D 1+ 12 Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( P ) chứa AM cắt cạnh SB , SD B' , D' Giá trị lớn u = a SB' SD' + , b SB SD ( a , b N * ) tối giản Tích a.b bằng: A Câu 4: C 15 D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I điểm thuộc đoạn SO cho SI = SO Mặt phẳng ( ) thay đổi qua B I ( ) cắt cạnh SA , SC , SD V M , N , P Gọi m , n giá trị lớn giá trị nhỏ S MBNP VS ABCD Giá trị m + n A 15 Câu 5: B 12 B 75 C 14 75 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh D biết mặt bên hình chóp có diện tích cạnh bên Tính thể tích nhỏ khối chóp SABC A Câu 6: B 2 C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi M trung điểm cạnh SA , N điểm cạnh SB cho SN = 3NB Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua điểm M , N cắt cạnh SC , SD hai điẻm phân biệt P , Q Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.MNPQ A Câu 7: V B 27 V 80 C 27 V 40 D V Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Điểm M nằm cạnh AA ' cho góc BMD ' lớn a nhất, đặt góc lớn Biết cos = ; a, b ; ( a , b ) = 1; b Mệnh đề sau b đúng? A a + b = B a + b = C a + b = D a + b = Chinh phục tốn VD - VDC: Cực trị hình học khơng gian | 252 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 8: Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vng B Biết thể tích khối chóp giá trị nhỏ diện tích tồn phần chóp S ABC p + q 24 p , q Tính giá trị biểu thức: p + q = ? A p2 + q = Câu 9: 37 36 B p2 + q = 37 C p2 + q = 25 D p + q = 16 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi I điểm thuộc đoạn SO cho SI = SO Mặt phẳng ( ) thay đổi qua B I ( ) cắt cạnh SA , SC , SD V m M , N , P Gọi m , n GTLN, GTNN S.BMPN Tính ? n VS ABCD A B C 14 75 D Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB = , cạnh bên SA = vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Kí hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN = 45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN A −1 B +1 +1 C D −1 Câu 11: Cho tứ diện SABC G trọng tâm tứ diện Một mặt phẳng ( ) quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M N ( M , N không trùng S ) Gọi V thể tích tứ diện SABC , V1 thể tích tứ diện SAMN gọi m, n giá trị lớn giá trị nhỏ V1 Hãy V tính m + n A m + n = B m + n = 17 18 C m + n = 18 19 D m + n = 19 20 Câu 12: Cho hình nón ( H ) có đỉnh S , chiều cao h mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng đáy khối nón Một khối nón (T ) có đỉnh tâm đường trịn đáy ( H ) đáy (T ) thiết diện ( P) với hình nón Thể tích lớn (T ) bao nhiêu? A 4 R2 h 81 B 4 R2 h 27 C R2 h 24 D R2 h Câu 13: Cho hình chóp S ABC có AB = 1, ASB = 300 Lấy điểm B ', C ' thuộc cạnh SB , SC cho chu vi tam giác AB ' C ' nhỏ Tính chu vi A 1+ B −1 C D + Câu 14: Trong mặt phẳng ( P ) cho tam giác ABC cạnh 8cm điểm S di động mặt phẳng ( P ) cho tam giác MAB ln có diện tích 16 3cm , với M trung điểm SC Gọi ( S ) mặt cầu qua bốn đỉnh M , A , B , C Khi thể tích hình chóp S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ ( S ) : 253 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 06: Cực trị hình học không gian 16 A B cm cm C 15 cm D 39 cm Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD đáy hình vng cạnh a , SA = a Và SA vng góc với đáy M N hai điểm thay đổi thuộc hai cạnh BC CD cho MAN = 450 Tính tỉ số giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S AMN A −2 + 2 B 1+ C 2 − D 1+ Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D có tổng diện tích tất mặt 36 , độ dài đường chéo AC Hỏi thể tích khối hộp chữ nhật lớn bao nhiêu? B 6 A C 24 D 16 Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a đường cao SA = a MNPQ thiết diện song song với đáy, M SA AM = x Xét hình trụ có đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ đường sinh MA Giá trị x để thể tích khối trụ lớn a A x = B x = 2a C x = a D x = 3a Câu 18: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông D , AD = Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng ( ACD ) là? A 2a B a C a a D a Câu 19: Cho khối chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) 2a Gọi góc mặt bên hình chóp với đáy hình chóp Với giá trị thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị nhỏ nhất? A = arcsin B = 450 C = arccos D = 60 Câu 20: Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD hình thoi cạnh a , SA = SB = SC = a Đặt ( ) x = SD x a Tìm x theo a để tích AC SD đạt giá trị lớn A x = a B x = a C x = a D Đáp án khác Câu 21: Cho tứ diện S ABCD M điểm di động, nằm bên tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với SA , SB , SC cắt mặt phẳng tương ứng ( SBC ) , ( SAC ) , ( SAB ) lần A ', B ', C ' Khi lượt MA ' MB ' MC ' MA ' MB ' MC ' T= + + + SA SB SC SA SB SC 28 A B 27 giá C trị 62 27 lớn D biểu thức 13 Chinh phục toán VD - VDC: Cực trị hình học khơng gian | 254 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 22: Cho lăng trụ ABC ABC tích V M , N , P điểm nằm cạnh AM BN CP AA , BB , CC cho = , = y Biết thể tích khối đa diện ABC.MNP = x, AA BB CC 2V Giá trị lớn x.y 25 17 A B C D 21 24 16 36 Câu 23: Trong mặt phẳng ( ) cho đường tròn (T ) đường kính AB = 2R Gọi C diểm di động (T ) Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( ) lấy điểm S cho SA = R Hạ AH ⊥ SB H , AK ⊥ SC K Tìm giá trị lớn Vmax thể tích tứ diện SAHK A Vmax = R3 75 B Vmax = R3 25 C Vmax = R3 27 D Vmax = R3 Câu 24: Cho tứ diện ABCD có cạnh Hai điểm M , N di động cạnh AB , AC cho mặt phẳng ( DMN ) vng góc mặt phẳng ( ABC ) Gọi S1 , S2 diện tích lớn nhỏ tam giác AMN Tính T = A T = S1 S2 B T = 8 C T = D T = Câu 25: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' với độ dài tất cạnh a Xét tất đoạn thẳng song song với mặt phẳng ( ABB ' A ' ) có đầu E nằm đường chéo A ' C mặt bên AA ' C ' C , đầu F nằm đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C Hãy tìm độ dài ngắn đoạn thẳng 2a a a 2a A B C D 5 5 Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) b Góc mặt bên mặt đáy hình chóp Tìm để thể tích khối chóp S ABCD nhỏ 3 A = arccos B = arccos ( 3) 1 C = arccos 3 2 D = arccos 3 Câu 27: Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a Điểm M N thay đổi cạnh BB ' DD ' cho ( MAC ) ⊥ ( NAC ) BM = x , DN = y Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ACMN A a3 B a3 C a3 2 D a3 Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = b vng góc với ( ABCD ) Điểm M thay đổi cạnh CD với CM = x ( x a ) H hình chiếu vng góc S BM Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH theo a , b 255 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 06: Cực trị hình học khơng gian a2 b a2 b A B 12 24 C a2 b D a2 b 18 Câu 29: Cho tứ diện SABC có D điểm thuộc cạnh AB cho BD = AD , I trung điểm SD Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh SA , SB M , N Biết AB = a m a3 Khi d thay đổi, thể tích khối chóp S.MNC nhỏ , với m , n , ( m, n ) = m n Tính m + n A m + n = B m + n = C m + n = D m + n = Câu 30: Cắt khối trụ trịn có chiều cao h mặt phẳng song song với hai mặt đáy ta thu hai khối trịn nhỏ Một hai khối ngoại tiếp lăng trụ đứng thể tích V có đáy tam giác có chu vi p Khối cịn lại ngoại tiếp khối nón có bán kính R Tìm giá trị R cho thể tích khối nón lớn nhất? A R = p3 162V B R = hp3 162V C R = p3 162 D R = p3 162V Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi O tâm tứ giác ABCD Một mẳng phẳng thay đổi vng góc với SO cắt cạnh SO, SA, SB, SC, SD I, M, N, P, Q Một hình trụ có đáy nội tiếp tứ giác MNPQ đáy nằm hình vng ABCD Khi thể tích khối trụ lớn đội dài đoạn SI A SI = a B SI = 3a C SI = a D SI = a Câu 32: Chohình chóp S ABC có cạnh bên Mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm hình chóp, cắt ba cạnh bên SA , SB , SC D , E , F Tìm giá trị lớn Pmax 1 + + SD.SE SE.SF SF.SD 16 A B 3 P= C D Câu 33: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a G trung điểm BD ' , mặt phẳng ( P ) thay đổi qua G cắt AD ',CD ', B ' D ' tương ứng H , I , K Tìm giá trị lớn biểu thức T= A 1 + + D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H 3a B 16 a2 C 8a2 D 16 3a2 Câu 34: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SB = a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với nhau, góc SC ( SAB ) 45 Góc SB mặt đáy ( 0 90 ) Xác định để thể tích khối chóp S ABC lớn A = 30 B = 45 C = 60 D = 70 Câu 35: Cho chóp S ABCD có SA = x tất cạnh lại Tìm x để thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn Chinh phục toán VD - VDC: Cực trị hình học khơng gian | 256 Phan Nhật Linh A Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 B C D Câu 36: Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh , người ta lấy điểm M cho AM = x ( x 1) nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng chứa hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y thỏa mãn y x + y = Biết M thay đổi đoạn AD thể tích khối chóp S.ABCM đạt giá trị lớn nguyên tố Tính T = m + n A 11 B 17 m với m , n n * m, n D 35 C 27 Câu 37: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ASB = 60 , BSC = 90 , CSA = 120 Gọi M , N CN AM = điểm cạnh AB SC cho Khi khoảng cách M N SC AB nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN A V = 2a3 72 B V = 2a3 72 C V = 2a3 432 D V = 2a3 432 Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D có AD = , AB = x ,( x 0) Góc đường thẳng AC mặt phẳng ( ABBA ) 60 Tính giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.ABC D A Vmax = B Vmax = 3 C Vmax = 10 D Vmax = Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có SABC = , mặt phẳng ( ABC ) tạo với mặt đáy góc Khi thể tích khối lăng trụ ABC ABC lớn nhất, giá trị cos A B C D Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA , N điểm đoạn SB cho SN = NB Mặt phẳng ( R ) chứa MN cắt đoạn SD Q cắt đoạn SC P Tỉ số A VS MNPQ VS ABCD B lớn C 257 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 D Chủ đề 06: Cực trị hình học khơng gian HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Gọi I hình chiếu M ( ABC ) ; D , E , F hình chiếu I AB, BC , CA Đặt x = ID , y = IE, 2a = AB, 2b = BC , 2c = CA , h = AA ' = MI Khi SABC = SIAB + SIAC + SIBC = ax + by + cz Diện tích tồn phần hình chóp M ABC nhỏ S = SMAB + SMBC + SMCA nhỏ Có MD = MI + ID2 = h2 + x2 SMAB = Tương tự ta chứng minh S = AB.MD = a h + x = ( ah ) + ( ax ) Sử dụng bất đẳng thức u + v + w u + v + w ( ah ) + ( ax ) 2 ( bh ) + ( by ) + ( ch ) + ( cz ) với u = ( ah; ax ) , v = (bh; by ), w = (ch; cz) ta được: + 2 2 S ( ah + bh + ch)2 + ( ax + by + cz)2 = ( a + b + c )2 h + SABC = const ax by cz = = x=y=z ah bh ch Suy I tâm đương tròn nội tiếp tam giác ABC , nên M tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' B ' C ' Tính cosin góc hai đường thẳng B ' M AC ' Dấu xảy SA ' B ' C ' = SABC = BA.BC.sin ABC = 18 A ' C '2 = AC = AB2 + BC − AB.BC cos600 = 108 A ' C ' = 3 Do VABC ABC = VC ABB ' A ' = 216 = 324 AA '.SABC = 324 AA ' = 2 Gọi K chân đường phân giác tam giác A ' B ' C ' kẻ từ B , từ K kẻ đường thẳng song song với AC ' cắt AA ' H , đó: = ( B ' M , AC ') = ( B ' K , KH ) cos = cos B ' KH 18 BK ( BA + BC ) sin 300 18 = BK BK = 4 AK AB 1 = = AK = AC = Ta có BK CB SABC = SBKC + SAKB = Chinh phục tốn VD - VDC: Cực trị hình học khơng gian | 258 Phan Nhật Linh Do KH / / AC nên Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 AH AK = = AH = AA C A KH = AH + AK = , BH = AB2 + AH = Vậy cos =cos BKH = Câu 2: BK + KH − BH 2 = BK.KH Chọn A 2 Ta có VS AMC = SAMN h = S AMN Thể tích khối tứ diện S AMN đạt giá trị nhỏ SAMN nhỏ Hình chóp S ABCD có đường cao h = Đặt x = CM , y = NC MB = − x , DN = − y Ta có x2 + y = xy = ( x + y )2 − Với ( x + y)2 2( x2 + y ) x + y 1 Ta có SAMN = − SABM − SCMN − SADN = − (1 − x) − x.y − (1 − y) 2 ( x + y )2 − x x.y − y 1 = 1− − − = ( x + y) − + Đặt t = x + y SAMN = − t + t + 4 2 2 2 Tam giác có diện tích nhỏ Smin = 2 −1 t = Vậy thể tích nhỏ tứ diện S AMN Vmin = Câu 3: Lấy I = AM B ' D ' ; O = AC BD 259 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 2 −1 − = 24 Chủ đề 06: Cực trị hình học khơng gian Ta có S , O , I điểm chung hai mặt phẳng (SAC );(SBD) Suy S , O , I thẳng hàng SI = SO SD SB Vẽ BP / / B ' I ; DN / / D ' I OP = ON Đặt x = ;y= SD ' SB ' SB SD SP SN 2SO x+y = + = + = = = SB ' SD ' SI SI SI Và I trọng tâm mặt chéo SAC x , y [1; 2] 1 2 + = 3( ) = a = 3; b = a.b = 12 x y xy x+y Câu 4: SA =x SB SD SO SD + =2 = 2.3 = = Đặt SM với x , y Có SB SP SI SP SC =y SN Mà x + y = Khi SO = y = − x , với x SI VS.BMNP x + + y + 12 3 = = = = = VS ABCD x.1.y.5 20 xy xy x ( − x ) x − x ( Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ( x ) = Khi f (1) = ( x − x2 2x − ( 6x − x ) 2 ) ) , với x Cho f ( x ) = x − = x = 1; 5 3 14 , f ( 3) = f ( ) = Suy m = n = Vậy m + n = 25 15 25 25 15 75 Câu 5: Chinh phục tốn VD - VDC: Cực trị hình học khơng gian | 260 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Gọi H hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) , Gọi M , N , P hình chiếu vng góc H AB, BC , CA SM , SN , SP chiều cao mặt bên SAB, SBC , SAC Vì mặt bên hình chóp có diện tích nên SM = SN = SP nên suy HM = HN = HP H tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Trường hợp 1: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi SH = SA − AH = 2 (3 ) 2 6 − =4 3 ( ) 1 Vậy VSABC = SH.SABC = =2 3 Trường hợp 2: H tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC nên giả sử H tâm đường trịn bàng tiếp góc A Khi AH = , BH = CH = Nếu SA = SH = SA − AH = Do SB = SC = SH = SB2 − BH = 1 Suy VSABC = SH.SABC = 3 Câu 6: Chọn C Đặt k = (3 ) − ( ) 2 ( ) 43 = Ta có 2 =2 3 Vậy Vmin = SC SD ;q = ( k , q 1) SP SQ Vì bốn điểm M , N , K , Q đồng phẳng nên ta có Suy + k = SA SC SB SD + = + SM SP SN SQ V SA SB SC 3V + q q = k + Ta có S ABC = = .k = k VS MNP = 3 VS MNP SM SN SP 3 8k VS ADC SA SD SC V = = 2.q.k = 2qk VS.MQP = VS.MQP SM SQ SP 2qk Suy VS MNPQ = VS.MNP + VS.MQP V = + V = + k qk k 2 k + k 3 261 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 (S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z2 = ( P ) : 2x + y − z + = (S ) có tâm I (1; 2; ) bán kính R = 2 7 Đường trịn giao tuyến ( C ) có tâm K − ; ; bán kính r = 9 9 d ( P ) Từ điểm d vẽ tiếp tuyến đến ( Sm ) d ( K , d ) r ( ) 1 Phương trình giao điểm d ( P ) : + 2t + ( − mt ) − m2 + − 2t + = 2 ( − m ) t + − m2 = 6 − 2m = d ( P) m=3 9 − m = x = + 2t 1 19 32 83 Thử lại với m = , ta có: d : y = − 3t qua A ; 4;10 KA = ; ; 2 18 9 z = 10 − 2t Xét d ( K , d ) = AK ud ud r (thỏa) Vậy có giá trị m = thỏa yêu cầu toán Câu 57: Chọn B Gọi EF đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 , d2 ( E d1 , F d2 ) Ta có mặt cầu đường kính EF mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với d1 , d2 Gọi I trung điểm EF ta có I tâm mặt cầu ( S ) E d1 E(3 + t ; t ; t ) , F d2 F ( + 2t ';1 + t '; 2t ' ) 473 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 11: Phương trình mặt cầu EF.u = t= d t ' − t = EF(2t '− t − 1; t '− t + 1; 2t '− t ) Ta có EF.ud1 = 9t '− 5t = t ' = 11 5 21 11 E ; ; , F 5; ; I ; ; 2 2 4 ( P ) mặt phẳng chứa d1 song song với d2 nên ( P ) tiếp diện mặt cầu (S) ( P ) qua E nhận EF làm vecto pháp tuyến có phương trình x − z − = d( I ,( P)) = 2 = IE ; AE = AI − IE2 = Gọi K giao điểm IA với mặt cầu (S) r bán kính đường trịn ( C ) ta có IK r Vậy diện tích đường trịn ( C ) r = = = r= 25 IA AE Câu 58: Chọn B Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2; −3 ) bán kính R = 3 Gọi ( C ) đường tròn giao tuyến mặt phẳng ( ABC ) mặt cầu ( S ) Đặt MA = MB = MC = x AB = x , BC = x , CA = x ABC vng B nên trung điểm H AC tâm đường tròn ( C ) H , I , M thẳng hàng Vì AMC = 1200 nên AIC x = R suy IM = AM = x = Lại có M d nên M ( −1 + t ; −2 + t ;1 + t ) ,(t 1) Mà IM = nên ( t − ) + ( t − ) + ( t + ) Do a nên t = 2 t = = 36 3t − 4t = t = 112 −2 suy H ; ; Vậy a3 + b3 + c = 3 3 Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + 10 y − z − = Cho m số thực thỏa mãn giao tuyến hai mặt phẳng y = m x + z − = tiếp xúc với mặt cầu (S ) Tích tất giá trị mà m nhận A −11 B −10 C −5 Lời giải D −8 Chọn A Chinh phục toán VD - VDC: Phương trình mặt cầu | 474 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + 10 y − z − = có tâm I ( 2; −5;1) bán kính R = 2 x = t Giao tuyến hai mặt phẳng y = m x + z − = đường thẳng : y = m , t z = − t qua A ( 0; m; ) có véc tơ phương u = ( 1;0; −1) , IA = ( −2; m + 5; ) , IA , u = ( −m − 5;0; −m − ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) d(I ,) = R IA , u u =6 ( m + 5) 2 = m2 + 10 m − 11 = Vậy tích m1 m2 = −11 Câu 60: Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu (S) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 18 2 điểm K(4; −4; 4) Kẻ tiếp tuyến KM đến mặt cầu (S) ( M (S)) Khoảng cách lớn từ đến đường thẳng : A x y z−4 = = −1 −4 14 + 14 +2 B C 14 D Lời giải Chọn B Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2;1) , R = , IK R K nằm mặt cầu Ta có KMI = 90o Suy M nằm mặt cầu đường kính IK , có phương trình là: 2 5 5 27 x − + ( y + 1) + z − = 2 2 Từ suy M mp( P) : x − y + z − = Gọi (C ) đường tròn giao tuyến ( P ) ( S ) M ( C ) Tâm đường trịn (C ) hình chiếu vng góc I lên ( P ) x = + t Phương trình đương thẳng d qua I vng góc với mp ( P ) là: y = − 2t z = + t Gọi N giao điểm d mp ( P ) N d N ( + t ; − 2t ;1 + t ) N ( P) + t − 2(2 − 2t ) + + t − = t = N ( 2;0; ) Vậy đường tròn ( C ) giao tuyến ( S ) mp ( P ) có tâm N , bán kính r = R2 − d ( I ,( P)) = Dẽ thấy đường thẳng ( P ) không cắt ( C ) 475 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 11: Phương trình mặt cầu Do khoảng cách từ M đến lớn d ( N , ) + r = 14 +2 Chinh phục tốn VD - VDC: Phương trình mặt cầu | 476 Phan Nhật Linh CHỦ ĐỀ 12 A Câu 1: Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho lăng trụ ABC ABC có tam giác ABC cạnh 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M BC Biết góc tạo AB mặt đáy 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ABC ) A Câu 2: a 2a C a 39 13 D a 39 13 x = x = Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng : y = + t d : y = + t ' Biết có z = −t z = −1 + t ' hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' thỏa mãn A , C thuộc Ox , B , C ' thuộc D , B ' thuộc d , thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' A Câu 3: B B 18 C D 18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB = AA = Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC BC Cơsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( MNP ) bằng? A Câu 4: 11 35 B 15 60 C 13 65 D 17 45 Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = , SC vng góc ( ABC ) , tam giác ABC vuông A , điểm M N thuộc SA BC cho AM = CN = Khoảng cách hai đường thẳng MN SB A 2 Câu 5: C D Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh bên cạnh đáy Đường thẳng MN NB ( M AC ; N BC) đường vng góc chung AC BC Tỷ số NC A Câu 6: B B C D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O Biết B ( m;0;0 ) , D ( 0; m;0 ) , A ( 0;0; n ) với m , n số dương m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC Thể tích lớn khối tứ diện BDAM 477 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 12: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian 11 64 A B d ( M ; ( P ) ) = C 27 Câu 7: D 75 32 Cho hình lập phương ABCD.ABC D có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính cơ-sin góc tạo A ' G CD ( ) ( ) A cos AG; CD = − C cos AG; CD = Câu 8: 14 ( ) ( ) B cos AG; CD = D cos AG; CD = − 14 14 14 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S ABCD có điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 4;6;0 ) , D ( −3; 5;0 ) Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách từ đường vng góc chung đường thẳng SI BC đến đường thẳng AB 15 A B C 2 Câu 9: D Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy , cạnh bên Gọi I điểm cạnh BB ' cho BI = BB ' , điểm M di động cạnh AA' Biết diện tích tam AM a giác MIC ' nhỏ tỷ số = ( a ; b *, ( a , b ) = 1) P = a + b AA ' b A B C D Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Độ dài cạnh AB = 3a , AD = a , SA = 5a Gọi M điểm nằm cạnh BC BM = 3a Khoảng cách hai đường thẳng SB MD 15a 29a A B 259 245 C 39a 245 D 45a 259 Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D có AB = a , AD = a AA = a Gọi M trung điểm cạnh AB Thể tích tứ diện AC DM A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; −3; −4) B( −2;1;1) Với M điểm đường x −1 y z +1 = = , xét N điểm di động mặt cầu có tâm M với bán kính −1 Giá trị nhỏ biểu thức P = AM + BN thuộc khoảng khoảng đây? thẳng d : A ( 1; ) B ( 3; ) C ( 5;7 ) D ( 7; ) Chinh phục toán VD - VDC: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian| 478 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C Góc AB mặt phẳng ( ABC ) góc ABM = 60 Ta có AM = BM.tan 60 = a ; AM = AB.sin 60 = 2a =a ( 3;0;0 ) , B ( 0;1; ) , C ( 0; −1;0 ) , ) , AB = ( − 3;1; ) Đặt hệ trục toạ Oxyz hình vẽ Coi a = A ( ) ( A 0;0; Gọi B ( x0 ; y0 ; z0 ) , AB = x0 ; y0 ; z0 − x = − Vì AB = AB nên y0 = B − 3;1; z0 = ( ( AB = ( −2 AC , AB = − 3; 3; −3 n = 1; − 3; 3;1; AC = − 3; −1;0 Ta có ) ) ( ) ) ( ) vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ACB ) Phương trình mp ( ACB ) x − y + 3z − = d ( B ,( ACB) ) = Câu 2: − 3− 1+ + = a 39 39 Vậy khoảng cách từ B đến mp ( ABC ) 13 13 Chọn B 479 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 12: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian AC ⊥ BC ' Nhận xét đường thẳng , d , Ox đôi vng góc với nên BC ' ⊥ B ' D B ' D ⊥ AC Gọi I tâm hình bình hành ABCD M giao D ' I B ' D IM ID 1 = = IM = ID ' Ta có MD ' B ' D ' B ' D ⊥ AC B ' D ⊥ ( AD ' C ) Mặt khác B ' D ⊥ BC ' B ' D ⊥ AD ' Kẻ MH // AD ' ( H AC ) MH ⊥ AC Suy MH đoạn vuông góc chung AC , B ' D MH = d ( AC , B ' D ) = d ( Ox; d ) = Vì MH IM = = AD ' = AD ' ID ' Kẻ MK // AC ( K AD ) MK ⊥ AD ' suy MK đoạn vng góc chung AD ', B ' D MK = d ( AD ', B ' D ) = d ( ; d ) = Vì MK D ' M = = AI = AC = AI ID ' Ta lại có BC ' // ( AD ' C ) d ( BC '; AC ) = d ( BC '; ( AD ' C ) ) = d ( B; ( AD ' C ) ) = d ( D; ( AD ' C ) ) ( ) d D; ( AD ' C ) = d (Ox; ) = ( ) VDAD ' C = d D; ( AD ' C ) SAD ' C 1 = d D; ( AD ' C ) AD '.AC = VABCD A ' B ' C ' D ' = 6VDAD ' C = 18 ( Câu 3: ) Chọn C Gọi góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( MNP ) Chọn hệ trục tọa độ hình ( ) ( ) Khi ta có: A ( 6;0;0 ) , B 0; −2 ; , C 0; ; , ( ) ( ) M 3; − ; , N 3; ; , P ( 0;0;0 ) ( ) Ta có: AB, AC = −16 ;0; −24 nên VTPT mặt phẳng ( ABC ) n1 = ( 2;0; ) ( ) PM , PN = −8 ;0;6 nên VTPT mặt phẳng ( PMN ) n = ( 4;0 ; −3 ) Chinh phục toán VD - VDC: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian| 480 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ( ) Khi đó: cos ( ) = cos n1 , n2 = Câu 4: 2.4 + 0.0 + ( −3 ) 2 + + 32 + + ( −3 ) = 13 65 Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa C ( 0; 0; ) O hình vẽ ( ) Điểm B ( 0; 6; ) Oy , S 0;0; Oz , A ( 3; 3;0 ) ( ) Khi tọa độ N ( 0; 2;0 ) ; M 2; 2; ( ) ( ) NM = 2; 0; ; SB = 0;6; −3 NB = ( 0; 4;0 ) ( ) Khi NM , SB = −6 2;6 2;12 Câu 5: Chọn B Kết toán không thay đổi ta xét lăng trụ ABC ABC có cạnh bên cạnh đáy z A C B M N C A O x y B ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( O trung điểm BC ) Ta có: A 0; − 3; , ( ) B ( 1;0;0 ) , C ( −1; 0; ) , C ( −1; 0; ) , CA = 1; − 3; , BC = ( −2; 0; ) CM = mCA Do nên ta có M −1 + m; − 3m; 2m , N ( − 2n; 0; 2n ) BN = nBC ( ( ) ) MN = −m − 2n + 2; 3m; 2n − 2m Đường thẳng MN đường vuông góc chung AC BC nên: 481 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 12: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian MN CA = m = −4m + 2n = −1 BN NB =n= = BC NC − m + 4n = MN BC = n = Câu 6: Chọn A Ta có A ( 0;0;0 ) , B ( m;0;0 ) , D ( 0; m;0 ) , A ( 0;0; n ) n Suy C ( m; m;0 ) , B ( m;0; n ) , C ( m; m; n ) , D ( 0; m; n ) , M m; m; 2 n Và BD = ( −m; m;0 ) , BA = ( −m;0; n ) , BM = 0; m; 2 ( ) BD , BA = mn; mn; m2 BD , BA BM = m2 n 1 1 Ta VBDAM = BD , BA BM = m2 n = m2 ( − m ) = m.m ( − 2m ) 6 4 VBDAM Câu 7: 64 m + m + − 2m = 27 8 Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ 2a a 2a a Khi đó: B ( a; 0; ) , A ( 0;0;0 ) , C ( a; a; ) , G ; ;0 , A ( 0;0; a ) , D ( 0; a;0 ) , AG ; ; −a , 3 3 Chinh phục toán VD - VDC: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian| 482 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ( ) CD ( −a;0;0 ) Áp dụng công thức: cos AG ; CD = Câu 8: AG.CD AG CD =− 14 Chọn D Vì I tâm hình vng ABCD nên I trung điểm BD 11 Tọa độ I ; ;0 Suy tọa độ điểm C ( 0;9;0 ) 2 15 Gọi H trung điểm BC tọa độ H 2; ;0 IH ⊥ BC (1) Vì hình chóp S ABCD hình chóp nên SI ⊥ ( ABCD ) SI ⊥ IH (2) Từ (1) (2) suy đường vng góc chung SI BC đường thẳng IH AB Vì IH / / AB nên khoảng cách từ IH đến AB = 2 Câu 9: Chọn D Chọn hệ toạ độ Axyz cho: A ( 0;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ; ;0 , A ( 0;0; ) Khi 2 B ' ( 0;1; ) ; C ' ; ; ; I 0;1;1) Gọi toạ độ điểm M ( 0; 0; x ) AA ' ( x ) 2 ( IC ' = ; − ; ; IM = ( 0; −1; x − 1) 2 483 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 12: Ứng dụng phương pháp tọa độ khơng gian 1 Ta có: Diện tích tam giác MIC ' S = IC ', IM = x2 − 16 x + 31 = ( x − ) + 15 4 AM a Do S nhỏ x = Khi tỉ số = = a+b = AA ' b Câu 10: Chọn D Từ giả thiết ta có BM = 3a Chọn hệ trục tọa độ đề vng góc Oxyz thỏa mãn O A , điểm B nằm Ox , điểm D nằm Oy , điểm S nằm Oz hình vẽ: Từ giả thiết ta có tọa độ điểm B ( 3a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S ( 0;0; 5a ) M ( 3a; 3a; ) suy tọa độ vectơ SB = ( 3a;0; −5a ) , MD = ( −3a; a;0 ) , BM = ( 0; 3a;0 ) ( Tích có hướng SB, MD = 5a2 ;15a2 ; 3a2 ) Vận dụng cơng thức tính khoảng cách d ( SB, MD ) = SB, MD BM 45a3 45a = = SB, MD a 259 259 Câu 11: Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng B Để cho đơn giản chọn a = Tọa độ điểm sau: M ;0;0 , D ( ) ( ;1;0 , A ) ( ) ;0; , C 0;1; Chinh phục toán VD - VDC: Ứng dụng phương pháp tọa độ không gian| 484 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Thể tích tứ diện AC DM V = MD MA, MC = Tổng quát, với a bất kì, thể tích tứ diện AC DM V = 6a3 MD MA, MC = Câu 12: Chọn C Với điểm M di động đường thẳng d , N điểm di động mặt cầu có tâm M với bán kính nên BN nhỏ BN = BM − R = BM − Do đó, tốn đưa việc tìm M cho P = AM + BM − đạt giá trị nhỏ Do M d nên M(1 + t ; 2t ; − − t ) với t Khi AM = t + (2t + 3)2 + (3 − t )2 = 6t + 6t + 18 , BM = (t + 3)2 + (2t − 1)2 + ( −2 − t )2 = 6t + 6t + 14 Khi đó: P = 6t + 6t + 18 + 6t + 6t + 14 − = 6t + 6t + 18 + 6t + 6t + 14 − (vì t 6t + 6t + 14 nên 6t + 6t + 14 − , 6t + 6t + 14 − = 6t + 6t + 14 − ) Xét hàm số f (t ) = 6t + 6t + 18 + 6t + 6t + 14 − , với t Ta có f (t ) = 6t + 6t + 6t + 18 Qua đó, ta thấy t = − + , 6t + = 6t + = t = − 6t + 6t + 14 điểm cực trị hàm số điểm cực tiểu nên hàm số f (t ) đạt giá trị nhỏ 66 + − t = − 2 485 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH Chuyên luyện thi THPT Quốc Gia 10,11,12 Điện thoại/Zalo: 0817.098.716 – Email: linh.phannhat241289@gmail.com Facebook: fb.com/nhatlinh.phan.1401/ CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG PHAN NHẬT LINH BIÊN TẬP PHAN NHẬT LINH THIẾT KẾ BÌA PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC Đề nghị q vị tơn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ chưa đồng ý Mọi ý kiến đóng góp vui lịng liên hệ thơng tin tác giả cung cấp Cuốn sách gửi cho đăng kí thơng qua tác giả